文档文本内容
第 2 节 向心力
目录
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................2
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：向心力的理解....................................................................................................................................2
知识点2：实验：探究向心力大小的表达式....................................................................................................3
知识点3：向心力的来源和计算........................................................................................................................7
知识点4：变速圆周运动和一般的曲线运动...................................................................................................9
【方法技巧】.............................................................................................................................................................12
方法技巧 匀速圆周运动问题的求解步骤.......................................................................................................12
【巩固训练】.............................................................................................................................................................12
【学习目标】
1．知道向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源。
2．通过实验，理解向心力的大小与哪些因素有关，能运用向心力公式进行计算。
3．理解匀速圆周运动和一般曲线运动的处理方法。
4. 采用控制变量法“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”。
重点：
1.知道向心力的定义及作用，知道它是根据力的作用效果命名的。
2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能进行计算。
难点：
1.通过实例认识向心力的作用及向心力的来源。
2.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题。【思维导图】
【知识梳理】
知识点 1：向心力的理解
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总 ，这个指向圆心的力叫作向心力。
2. 特点：
（1）向心力是变力：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，向心力始终与线速度垂直，
所以向心力的作用效果只是改变物体速度的 ，而不改变速度的 。
（2）向心力是效果力：向心力是根据力的 来命名的，是由某个力或者几个力的合力提供的。
向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不能添加
向心力。
【典例1】下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力D．做圆周运动的物体所受各力的合力不一定提供向心力
【变式1】物体做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A．物体所受合力必须等于零 B．物体所受合力的大小不变，方向不断改变
C．物体所受合力的大小可能变化 D．物体所受合力不变
【变式2】如图，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是（ ）
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力 B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力 D．老鹰受空气对它的作用力和向心力
【变式3】关于向心力，下列说法正确的是（ ）
A．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力
B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供，它是根据力的作用效果命名的
C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢
知识点 2：实验：探究向心力大小的表达式
1.实验目的：探究向心力大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
2.实验方法： 。
3.实验原理：如图所示为向心力演示器,转动手柄使长槽和短槽分別随变速塔轮匀速转动，槽内的小球就做匀速
圆周运动，槽臂的挡板对小球的压力提供了向心力,小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒
下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分标记显示出两个小球所受向心力的比值。
4.实验过程：
（1）探究Fn与m的关系把两个质量不同的小球分别放在长槽和短槽上，调整轮上的皮带和小球位置，使两球的转动半径和角速度都相
同。转动手柄，观察向心力的大小与质量的关系，记录实验数据。
（2）探究Fn与ω的关系
换两个质量相同的小球，调整小球的位置，使两球的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两球转动的
不同。转动手柄，观察向心力的大小与角速度的关系，记录实验数据。
（3）探究Fn与r的关系
换两个质量相同的小球，使两球转动的角速度相同，再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转
动手柄，观察向心力的大小与转动半径的关系，记录实验数据。
5.实验结果：
（1）在转动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与 成正比。
（2）在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与 成正比。
（3）在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与 成正比。
6.表达式： 𝐹 = =
＝𝑚4𝜋2
𝑟
𝑛 𝑇2
【典例2】用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板
A的2倍，长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随
变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作
用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所
受向心力的相对大小。
(1)为探究向心力和质量的关系，应将质量不同的小球分别放在挡板 处（选“A和B”、“A和C”、
“B和C”），将传动皮带套在两塔轮半径 的轮盘上（选“不同”“相同”）。(2)为探究向心力和角速度的关系，应将质量相同的小球分别放在挡板 处（选“A和B”、“A和C”
、“B和C”）。若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1，则选取的左、右变速塔轮轮盘半径之
比为 。
(3)在某次实验中，某同学将质量相同的小球分别放在挡板B和C处，传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘
半径之比为2∶1，则左、右标尺显示的向心力之比为 。
【变式1】如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体所受向心力大小与物体的质量、轨道半径及线速度
关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F ，速度传感器测
n
量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F 与线速度v的关系。
n
（1）该同学采用的实验方法为 ；
A．等效替代法 B．控制变量法 C．理想化模型法
（2）改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F 、v数据，如下表所示:
n
v/
m×s-1
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F /N 0.88 2.00 3.50 5.50 8.00
n
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。
①作出F -v2图线 ；
n
②若圆柱体运动半径r=0.3m，由作出的F -v2图线可得圆柱体的质量m= kg（结果保留两位有效
n
数字）。【变式2】用如图甲所示的装置探究影响向心力大小的因素。已知小球在槽中A、B、C位置做圆周运动的
轨迹半径之比为1：2：1，变速塔轮自上而下按如图乙所示三种方式进行组合，每层半径之比由上至下分
别为1：1、2：1和3：1.
(1)在探究向心力大小与半径的关系时，为了控制角速度相同需要将传动皮带调至第 （填“一”“二”或“
三”）层塔轮，然后将两个质量相等的钢球分别放在 （填“A和B”“A和C”或“B和C”）位置，匀速转
动手柄，左侧标尺露出4格，右侧标尺露出2格，则左右两球所受向心力大小之比为 ；
(2)在探究向心力大小与角速度的关系时，若将传动皮带调至图乙中的第三层，转动手柄，则左右两小球的
角速度之比为 。为了更精确探究向心力大小F与角速度w的关系，采用接有传感器的自制向心力实
验仪进行实验，测得多组数据经拟合后得到F-w图像如图丙所示，由此可得的实验结论是
。
【变式3】为“探究向心力大小与角速度的关系”，某实验小组通过如图甲所示的装置进行实验。滑块套在
水平杆上，可随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过细绳连接滑块，可测绳上拉力大小。
滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间，测出滑块中心到竖直杆的距离为l。
实验过程中细绳始终被拉直。（1）滑块随杆转动做匀速圆周运动时，每经过光电门一次。力传感器和光电门就同时获得一组拉力F和
遮光时间t，则滑块的角速度w= （用t、l、d表示）。
1
（2）为探究向心力大小与角速度的关系，得到多组实验数据后，应作出F与 （填“t”、“ ”、“t2”或“
t
1
”）的关系图像。若作出图像是一条过原点的倾斜直线，表明此实验过程中向心力与 成正比（选填
t2
“角速度”、“角速度平方”或“角速度二次方根”）。
（3）若作出图像如图乙所示，图线不过坐标原点的原因是 。
知识点 3：向心力的来源和计算
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体的合力不是始终指向圆心，合力指向
圆心方向的分力提供向心力。
向心力来源 实例分析
绳的拉力提供向
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
心力
静摩擦力提供向
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
心力
拉力和重力的合 用细线拴住小球在竖直面内做圆周运动，当小球经过最
力提供向心力 低点时
重力和细线拉力
的合力提供向心 小球在细线作用下，在水平面内做匀速圆周运动
力重力和空气对飞
机作用力的合力 飞机水平转弯做匀速圆周运动
提供向心力
筒壁对块的弹力 在匀速转动的圆通内壁上，有一物体随圆筒保持相对静
提供向心力 止一起转动
【典例3】如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。该演员（
）
A．受到4个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．圆筒的角速度越大，演员所受的支持力越大
D．圆筒的角速度越大，演员所受的静摩擦力越大
【变式1】如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运
动，该小球的向心力（ ）
A．由重力和支持力的合力提供 B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C．只由重力提供 D．只由支持力提供【变式2】链球是奥运会比赛项目，研究运动员甩动链球做匀速圆周运动的过程，简化模型如图乙所示，
不计空气阻力和链重，则（ ）
A．链球受重力、拉力和向心力三个力的作用
B．链长不变，转速越大，链条张力越小
C．链长不变，转速越大，q角越小
D．转速不变，链长越大，q角越大
【变式3】如图，在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q（可视为质点），它们与转台之间的动摩擦
因数相同，P与转轴OO'的距离为r ，Q与转轴OO'的距离为r ，且r <r ，转台绕转轴OO'以角速度ω匀
1 2 1 2
速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（
）
A．滑块P和Q均受到四个力作用
B．P所受到的摩擦力小于Q所受到的摩擦力
C．若角速度ω缓慢增大，P一定比Q先开始滑动
D．若角速度ω缓慢增大，Q一定比P先开始滑动
知识点 4：变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动
（1）受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果。合外力F跟圆周相切的分力F，只改变速度的 ；合外力F指向圆心的分力F ，只改变速度
t n
的 。
v2
（2）某一点的向心力仍可用公式F ＝m ＝mω2r求解。
n r
当物体受的合外力与瞬时速度之间的夹角是锐角时，物体速率增大，做加速圆周运动；物体
受到的合外力与速度之间的夹角是钝角，物体速率减小，做减速圆周运动。
2.一般的曲线运动
（1）定义：运动轨迹既不是 也不是 的曲线，称为一般的曲线运动。
（2）处理方法：把一般曲线运动分割成许多小段，每一小段近似看成是 运动的一部分（曲率
圆），在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
①合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越 。
②合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越 。
【典例4】如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，不发生相对滑动，图中c方向沿半径指向
圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为cB．当转盘匀速转动时，P可能不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d
【变式1】如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆
心做圆周运动，提供运动中小球所需向心力的是（ ）
A．绳的拉力 B．重力和绳拉力的合力
C．重力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【变式2】如图，质量为m的熙熙小朋友（可视为质点）坐在秋千上自由摆动，摆动到最高点时悬线与竖
直方向的夹角为30°，重为加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．熙熙在最高点时的速度为零，所受合力为零
B．熙熙在最高点时，秋千对他的作用力为0.5mg
C．熙熙在最低点时，秋千对他的作用力为mg
D．熙熙在最低点时的向心力最大
【变式3】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一
系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点
两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一
物体沿与水平面成α角的方向以速度v 抛出，如图（b）示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（
0
）v 2 (v cosa)2 (v sina)2 (v cosa)2
A． 0 B． 0 C． 0 D． 0
g g g gsina
【方法技巧】
方法技巧 匀速圆周运动问题的求解步骤
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情
况求解物体的受力情况。
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)
(3)根据向心力公式列方程
【巩固训练】
1．狗拉雪橇，雪橇在位于水平冰面的圆弧形道路上匀速率滑行。如图为关于雪橇运动到某位置时受到的
合外力F 及速度v方向的示意图（O为圆心），其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图所示，质量相等的两小球A、B用长度相等的两根细线连接着，在光滑的水平面上以相同的角速度绕
O点做匀速圆周运动，两细线上的拉力F :F 为（ ）
AB OBA．2∶1 B．2∶3 C．5∶3 D．3∶2
3.荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量
为40kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2m。若秋千板摆到最低点时，
每一根绳上的拉力显示为450N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取10m/s2，则小孩在此位置运动的速
度大小约为（ ）
A．1.5m/s B．3.0m/s C．5.0m/s D．7.5m/s
4.如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做完整匀速圆周运动，ab为
水平直径，cd 为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到三个力作用
B．在a、b两点，水平板对物块的作用力指向圆心
C．物体全程所受的摩擦力大小不变
D．物体全程所受合力大小不变5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物
体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力增大 B．物体所受弹力不变，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
6.如图所示为一种叫做“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当“魔盘”转动到
一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会滑下。若魔盘半径为r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数
为 ，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程中，则下列说法正确的是（ ）
A．人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力作用
B．如果角速度变大，人与器壁之间的摩擦力变大
C．如果角速度变大，人与器壁之间的弹力不变
g
D．“魔盘”的角速度一定不小于
r
7.长L的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆中心O有一竖直方
向的固定转轴，A、B的质量分别为5m、m。当轻杆以角速度w绕轴在水平桌面上转动时，转轴受到杆的
拉力大小为（ ）A．4mLw2 B．3mLw2 C．2mLw2 D．mLw2
8.图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图，图中A、B槽分别与a、b
轮同轴固定，且a、b轮半径相同。a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。
(1)本实验采用的科学方法是 。
(2)两槽转动的角速度w （填“>”“=”或“<”）w 。
A B
(3)现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴
的距离之比为3:2，则钢球1、2的线速度之比为 ；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比
为 时，向心力公式F =mw2r得到验证。
9.某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩
擦的水平直杆固定在竖直转轴上，竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动，套在水平直杆上的滑块，
通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为R的边缘处安装
了宽度为d的遮光片，光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。
(1)本实验主要用到的科学方法与下列哪个实验是相同的______；
A．探究小车速度随时间变化规律B．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
C．探究两个互成角度的力的合成规律
D．探究平抛运动的特点
(2)若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为r，测得遮光片的挡光时间为Δt，则滑块的线速度表达式为v=
（用Δt、d、R、r表示）；
1
(3)实验小组保持滑块质量和运动半径不变，探究向心力F与线速度的关系时，以F为纵坐标，以 为
Δt2
横坐标，根据测量数据作一条倾斜直线如图乙所示，已测得遮光片的宽度d =1cm，遮光片到竖直转轴的
距离R=30cm，滑块到竖直转轴的距离r=20cm，则滑块的质量m= kg。
10.如图所示，有一质量为2kg的小球A与质量为1kg的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的
小孔O，当小球A在水平板上绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：（重力加
速度大小为g =10m/s2）
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A运动的线速度大小。
11.如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够
大的拉力），A、B、C在同一直线上。t =0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平
面上做圆周运动。在0£t£10s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则：
（1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？
（2）t=10.5s时细绳的拉力大小？
（3）t =12.5s时细绳的拉力大小？
