文档内容
第三讲 圆周运动
知识梳理
1．描述圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 ①v＝(定义式)
线速度(v)
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ②单位：m/s
①ω＝(定义式)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
角速度(ω) ②单位：rad/s
②是矢量，但不研究其方向
③ω与v的关系：v＝ωr
①T＝＝(与频率的关系)
周期(T)
①周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动
②T的单位：s
转速(n) 一周所用的时间，周期的倒数为频率
n的单位：r/s、r/min
②转速是单位时间内物体转过的圈数
频率(f)
f的单位：Hz
向心加速度 ①描述线速度方向变化快慢的物理量 ①a n ＝＝ω2r＝r＝ωv
(a)
n ②方向指向圆心 ②单位：m/s2
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：速度大小不变，方向时刻变化，是变速运动。
3．向心力
(1)定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力就叫作向心力。
(2)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)大小：
(4)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(5)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
4．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就
做逐渐远离圆心的运动。
(2)受力特点(如图)①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。
②当0mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
5．匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点
(1)匀速圆周运动的合力：提供向心力.
(2)变速圆周运动的合力(如图)
①与圆周相切的分力F产生切向加速度a，改变线速度的大小，当a与v同向时，速度增大，做加速圆周
t t t
运动，反向时做减速圆周运动．
②指向圆心的分力F 提供向心力，产生向心加速度a，改变线速度的方向。
n n
知识训练
考点一、描述圆周运动的物理量
1．圆周运动各物理量间的关系
2．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比。
当v一定时，ω与r成反比。3．对a＝＝ω2r的理解
n
在v一定时，a 与r成反比；在ω一定时，a 与r成正比。
n n
4．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v ＝v .
A B
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相
等，即v ＝v .
A B
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ω ＝ω ，由v＝ωr知v与r成正比。
A B
例1、(多选)甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，甲图线为双曲线的
一支，乙图线为直线。由图像可以知道( )
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
例2、(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A
点和大齿轮边缘的B点( )A．线速度大小之比为1∶1
B．角速度之比为1∶1
C．角速度之比为3∶1
D．向心加速度大小之比为1∶3
例3、(2021·高考全国卷甲，T15)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两
股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的
转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
课堂随练
训练1、如图所示，球体绕中心线OO′转动，则下列说法中正确的是( )
A．A、B两点的转动半径相等
B．A、B两点的线速度相等
C．A、B两点的转动周期相等
D．A、B两点的向心加速度相等
训练2、如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，
下列说法正确的是( )A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4
D．大齿轮边缘和小齿轮边缘的向心加速度大小之比为4∶1
训练3、(多选)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列哪种情况下甲的向心加速度比较大( )
A．它们的线速度相等，乙的半径小
B．它们的周期相等，甲的半径大
C．它们的角速度相等，乙的线速度小
D．它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大
考点二、水平面内的匀速圆周运动
1．运动模型
运动模型 向心力的来源示意图 运动模型 向心力的来源示意图
飞机水平转弯 火车转弯
圆锥摆 飞车走壁
水平转台
汽车在水平路面转弯
(光滑)
2．解题方法例1、(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两
端分别连接质量为m 和m 的小球A、B(m≠m)。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球
1 2 1 2
均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m∶m
2 1
D．球A、B到P的距离之比等于m∶m
1 2
例2、(多选)如图，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力f ＝6.0 N，绳
max
的一端系在木块上，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速
度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，木块、物体可看
成质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
例3、一竖直倒立的圆锥筒，筒侧壁的倾斜角度α不变。一小球在内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁间的
摩擦可忽略，小球距离地面的高度为H，则下列说法中正确的是( )A．H越小，小球对侧壁的压力越大
B．H越大，小球做圆周运动的线速度越大
C．H越小，小球做圆周运动的向心力越小
D．H越大，小球做圆周运动的周期越小
例4、（2013年全国2）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽
车行驶的速率为v 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ）
c
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v，车辆便会向内侧滑动
c
C．车速虽然高于v，但只要不超出某一高度限度，车辆便不会向外侧滑动
c
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v 的值变小
c
课堂随练
训练1、(多选)(2020·江苏如东县第一次检测)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火
车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，
两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
训练2、(圆锥摆模型的图象分析)如图所示，用一根质量不计、不可伸长的细绳，一端系一可视为质点的小
球，另一端固定在O点。当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，悬点O到轨迹圆心高度为
h，细绳拉力大小为F，小球的向心加速度大小为a，线速度大小为v，下列描述各物理量与角速度平方ω2
的关系图象正确的是( )训练3、(2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所
示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水
平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法
错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
训练4、(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质
量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为R ＝r，R ＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均
A B
为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的
是( )
A．绳子的张力为F ＝3μmg
TB．圆盘的角速度为ω＝
C．A所受摩擦力方向沿绳指向圆外
D．烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动
考点三 竖直面内的圆周运动
1．两种模型
轻“绳”模型 轻“杆”模型
情境图示
弹力可能向下，可能向上，也可能
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零
等于零
受力示意图
力学方程 mg＋F ＝m mg±F ＝m
T N
v＝0，即F＝0，
n
临界特征 F ＝0，即mg＝m，得v＝
T
此时F ＝mg
N
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉
(1)绳只能对小球施加向下的力 力，也可以是支持力
模型关键
(2)小球通过最高点的速度至少为 (2)小球通过最高点的速度最小可
以为0
例1、(多选)(2022·广东省百师联盟联考)如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端拴小磁铁，
小磁铁底部吸住一小铁块，两者均静止。现在让小磁铁和小铁块以的速度自最低点水平向左运动，两者恰
能通过最高点。已知绳长为l，重力加速度为g，小磁铁及小铁块的大小不计，质量均为m，磁铁对铁块的
吸引力大小恒等于7mg，且铁块始终未被甩落。下列说法正确的是( )
A．小铁块通过最低点时，绳对小磁铁的拉力大小为12mg
B．小铁块通过最低点时，绳对小磁铁的拉力大小为7mg
C．小铁块通过最高点时，所受磁铁的支持力大小为7mg
D．小铁块通过最高点时，所受磁铁的支持力小于mg
例2、一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点的最小速度是
B．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
例3、(竖直面内圆周运动的杆模型)(2022·河北省部分学校高三上第一次考试)(多选)如图所示，竖直平面内
有一半径为R的圆形管道，管道内有一质量为m的小钢球，小钢球的直径稍小于圆管的内径，小钢球的直
径远小于R。在最低点给小钢球一大小为v 、方向水平向右的初速度，小钢球到达最高点的速度大小为(g
0
为重力加速度大小)。圆管内壁光滑，水平线ab过管道圆心。下列说法正确的是( )
A．小钢球到达最高点时，受到管壁的作用力大小为mg
B．稍微减小v，小钢球无法通过最高点
0
C．稍微增大v，小钢球通过最高点时，对圆管外侧管壁有压力
0
D．小钢球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小钢球一定有作用力
课堂随练
训练1、如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点
时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的
一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是( )
A．管道的半径为
B．小球的质量为C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
训练2、如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B
两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，
若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力
大小为( )
A．mg B．mg
C．3mg D．2mg
训练3、(2021·“皖赣联考”高三上学期第三次考试)如图所示，为一辆越野车在比赛时经过一段起伏路段，
M、N分别为该路段的最高点和最低点，已知在最高点M附近汽车所走过的那一小段圆弧可认为是圆周运
动的一部分，其对应半径为R，在最低点N附近对应圆周运动的半径为R，假设汽车整个运动可近似认为
速率不变，汽车经过最高点M时对轨道的压力为汽车自重的0.9倍，那么汽车经过最低点N时对轨道的压
力为自重的( )
A．1.1倍 B．1.15倍
C．1.2倍 D．1.25倍
同步训练
1、(2020·高考全国卷Ⅰ，T16)如图所示，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋
千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8 m/s，
此时每根绳子平均承受的拉力约为( )A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
2、(多选)(2022·天津河西区期末)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静
摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.0×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
3、(2021·山东烟台期末)质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示，经过最高点而
不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是( )
A．0 B．mg
C．3mg D．5mg
4、如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m 、m 的
1 2
A、B小球。两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等。则 A、B小球到Q的距离l 、l 的
1 2
比值为( )A． B．
C． D．
5、(多选)如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，它们的边缘有三个点
A、B、C。关于这三点的线速度、角速度、周期和向心加速度的说法中正确的是( )
A．A、B两点的线速度大小相等
B．B、C两点的角速度大小相等
C．A、C两点的周期大小相等
D．A、B两点的向心加速度大小相等
6、如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装
置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是( )
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小不可能相等
7、(2022·山东省潍坊市五县市高三上第一次联考)如图所示，原长为L、劲度系数为k＝的弹簧一端固定在
光滑的圆锥体顶端，另一端悬挂一质量为m的小球。圆锥体轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 θ＝
37°。小球随圆锥体绕轴线做匀速圆周运动，弹簧处于弹性限度内，重力加速度大小为 g。若小球不离开圆
锥体，则旋转角速度不大于( )A． B．
C． D．
8、(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆
周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如
图乙所示。则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
9、(2020·安徽省示范高中名校联考)(多选)如图所示，在从静止开始绕圆心O缓慢加速转动的水平圆盘上，
沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离
分别为R ＝r，R ＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加
A B
快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是( )
A．此时细线张力为T＝3μmg
B．此时圆盘的角速度为ω＝
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心
D．此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
10、(2022·新疆喀什疏附县第一中学高三上期中)如图所示，处于竖直平面内的光滑细金属圆环半径为R，
A、B、C、D为圆环上的四个点，AC水平、BD竖直，A、D间固定有光滑细直杆。质量为m的带孔小球P穿于杆上，与P相同的小球Q穿在环上，并通过长为R的结实细绳固定在D点。在圆环以BD为轴转动
时，若小球P位于AD杆的中点，圆环转动的角速度为ω，则( )
0
A．圆环的角速度ω＝
0
B．角速度为零时细绳的弹力不为零
C．当圆环的角速度由ω 增大少许时，P球将上升到DA中点偏上一点与杆相对静止
0
D．若P与D的距离为R，细绳的弹力为mg
11、(2021·吉林省长春市高三4月质量监测三)如图甲所示，两个完全相同的物块A和B(均可视为质点)放在
水平圆盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连。两物块质量均为1 kg，与圆心距离分别为R 和
A
R ，其中R ＜R 且R ＝1 m。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO′匀速转动时，绳中弹力F 与ω2的变化关系如
B A B A T
图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.1
B．物块B与圆心距离R ＝2 m
B
C．当ω＝1 rad/s时，圆盘对A的静摩擦力的方向指向圆心
D．当ω＝ rad/s时，A恰好要相对圆盘发生滑动
12、(2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速
度控制而设计，如图a所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图b所示是飞球调速器模型，它由两个
质量为m的小球通过4根长为l的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为
M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为 g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动
时(飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同)：(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角θ的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制(即将蒸汽机的转速控制在一定范围内)，由于扰动，当套筒下移时，传动机
构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
