文档内容
第二讲 动能定理
知识梳理
一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能．
2．公式：E＝mv2．
k
3．矢标性：动能是标量，只有正值，动能与速度方向无关．
4．状态量：动能是状态量，因为v是瞬时速度．
5．相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性．
6．动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE＝m －m ．动能的变化是过程量．
k
二、动能定理
1．内容：合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式
(1)W＝ΔE．
k
(2)W＝E －E ．
k2 k1
(3)W＝m －m ．
3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度．
4．适用范围广泛
(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．
知识训练
考点一、动能定理的理解和基本应用
1．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
2．解题流程3．注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理求解．
(3)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能．
例1、(2021·山东高考)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为 L的轻质细杆，一端可绕竖直
光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v 出发，恰好能完成一个完整的圆周
0
运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A． B．
C． D．
例2、随着高铁时代的到来，人们出行也是越来越方便，高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的
匀加速直线运动．在启动阶段，列车的动能( )
A．与它所经历的时间成正比
B．与它的位移成正比
C．与它的速度成正比
D．与它的加速度成正比
例3、(2018·全国卷Ⅱ·14)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一
速度．木箱获得的动能一定( )A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
例4、如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，
O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量m＝1 kg的小物块在9 N的水平恒力F的作用下，从A点由
静止开始做匀加速直线运动．已知x ＝5 m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为 μ＝0.1，当小物块运动
AB
到B点时撤去力F，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小物块到达B点时速度的大小；
(2)小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小．
课堂随练
训练1、(2021·高考河北卷，T6)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的
轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力
加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B．
C． D．2
训练2、(2022·北京东城区期末)如图所示，在高为h的粗糙平台上，有一个质量为m的小球，被一根细线
拴在墙上，球与墙间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时速度大小为 v。
对烧断细线到小球刚要落地的过程，下列说法正确的是( )
A．小球离开弹簧时的动能是mv2
B．弹簧弹力做的功等于mv2
C．弹簧弹力与重力做功的和等于mv2
D．弹簧弹力与摩擦力做功的和等于mv2－mgh
训练3、如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物
体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8)
训练4、如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R＝0.2 m的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特
殊材料，调节其初始长度为L＝1 m，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态．质量为m
＝1 kg的小物块A(可视为质点)从轨道右侧以初速度v ＝2 m/s冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后
0
压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块 A与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块A与弹簧刚接触时的速度大小v；
1
(2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h；
1
(3)调节PQ段的长度L，A仍以v 从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时．物块A能第一次返回圆形
0
轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道．
考点二、应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W ＋W ＝mv2
变 恒 2
－mv2，物体初、末速度已知，恒力做功 W 可根据功的公式求出，这样就可以得到 W ＝mv2－mv2－W
1 恒 变 2 1
，就可以求变力做的功了．
恒
例1、质量为m的物体以初速度v 沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示．
0
已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧
被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度大小为g)( )A．mv2－μmg(s＋x) B．mv2－μmgx
0 0
C．μmgs D．μmg(s＋x)
例2、如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为 m的质点自轨道端点P
由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程
中，克服摩擦力所做的功为( )
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
考点三、动能定理与图象结合问题
1．解决图像问题的基本步骤
(1)弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交
点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数
关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义例1、(2020·江苏高考)如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面和地
面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块的动能E 与水平位移
k
x关系的图象是( )
例2、(2019·全国卷Ⅲ·17)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不
变、方向始终与运动方向相反的外力作用．距地面高度 h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能E 随
k
h的变化如图所示．重力加速度取10 m/s2.该物体的质量为( )
A．2 kg B．1.5 kg
C．1 kg D．0.5 kg
例3、(多选)(2021·辽宁大连五校联考)在某一粗糙的水平面上，一质量为2 kg的物体在水平恒定拉力的作
用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图
中给出了拉力随位移变化的关系图像。已知重力加速度 g＝10 m/s2。根据以上信息能精确得出或估算得出
的物理量有( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数
B．合外力对物体所做的功C．物体做匀速运动时的速度
D．物体运动的时间
课堂随练
训练1、(2021·云南省曲靖市高三二模)某质量为m的质点在外力作用下沿直线从A点加速运动到B点，已
知质点通过A点时的速度为v ，加速度为a ，A、B两点之间的距离为L。在加速运动过程中，质点的加速
0 0
度a随位移x变化的关系如图所示，则外力对质点做的功和通过B点时的速度大小为( )
A．ma L,
0
B．m(aL＋)，v＋
0 0
C．ma L,
0
D．m(aL＋)，v＋
0 0
训练2、(2021·湖北高考)如图a所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦
力大小f恒定，物块动能E 与运动路程s的关系如图b所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所
k
受摩擦力大小f分别为( )
A．m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，f＝1.0 N考点四、动能定理在多过程问题中的应用
1．基本步骤
例1、(2021·全国甲卷)(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑
动时的动能为E ，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知
k
sin α＝0.6，重力加速度大小为g。则( )
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
例2、(2021·全国乙卷)一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h ＝1.8 m处由静止自由
1
落下，反弹高度为h ＝1.2 m。若使篮球从距地面h ＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下
2 3
拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为 t＝0.20 s；
该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
例3、(2021·广西桂林质检)如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O点为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高，质量m＝1 kg的滑块从
A点由静止开始下滑，恰能滑到与O点等高的D点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v 的最小值；
0
(3)若滑块离开C点的速度大小为4 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上所经历的时间t。
例4、 (2016·全国卷Ⅰ)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A
处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC
＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点
(未画出)。随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R。已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加
速度大小为g。(取sin 37°＝，cos 37°＝)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰
好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R。求P运动到D点时速度的大小和改变
后P的质量。课堂随练
训练1、(多选)(2022·河北选考模拟)如图，在O点用长为L的不可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球，O
点正下方的P点固定一细钉子，OP距离为d，C点和P点等高。小球处于O点右侧同一水平高度的A点
时，绳刚好拉直，将小球从A点由静止释放。以过最低点B的水平面为零势能面，重力加速度大小为g，
不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．若小球恰能绕钉子做圆周运动，则d应等于L
B．若d为L，小球到达C点时绳子拉力为3mg
C．若d为L，小球到达C点时的机械能为mgL
D．若d为L，小球到达C点时所受合力方向水平向右
训练2、(多选) (2022·广东新高考模拟)如图所示，斜面AB和水平面BC相交于B点，CED是竖直放置的半
径R＝0.1 m的光滑半圆轨道，CED与BC相切于C点，E点与圆心O点等高。质量为m的小球从离水平面
h处由静止释放，经过水平面后滑上半圆轨道，已知小球与水平地面及与斜面间的动摩擦因数都为 μ＝
0.2，斜面的倾角θ＝45°，BC长s＝4 m，g取10 m/s2，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h
的取值可能为( )A．1.4 m B．1.2 m
C．1.1 m D．0.9 m
训练3、(2021·湖南十校联考)如图所示，质量m＝3 kg的小物块以初速度v ＝4 m/s水平向右抛出，恰好从
0
A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径为R＝3.75 m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨
道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角。MN是一段粗糙的水平轨道，小物块
与MN间的动摩擦因数μ＝0.1，轨道其他部分光滑。最右侧是一个半径为r＝0.4 m的半圆弧轨道，C点是
半圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求小物块经过B点时对轨道的压力大小；
(2)若MN的长度为L＝6 m，求小物块通过C点时对轨道的压力大小；
(3)若小物块恰好能通过C点，求MN的长度L′。
同步训练1、(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平
宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E，它会落到坑内c点，c与
1
a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于( )
2
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
2、长为L的木块静止在光滑水平面上。质量为 m的子弹以水平速度v 射入木块并从中射出，且出射速度
0
为v。已知从子弹射入到射出，木块移动的距离为s，子弹在木块中受到的平均阻力大小为( )
1
A． B．
C． D．
3、如图，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定，一物块在沿斜面向上的恒定外力 F作用下，由静止开始从斜面
的底端向上做匀加速直线运动，经时间t物块至斜面B点(图中未标出)，外力F做的功为W，此后撤去外力
F，再经过时间后物块运动至最高点，则撤去外力F时物块的动能为( )
A．W B．W
C．W D．W
4、(2018·江苏高考)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位
置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达 B点。在从A到B的过程中，物
块( )
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大C．所受弹簧弹力始终做正功
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
5、(2014全国2） 一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 的水平拉力拉动物体，经过一段时间后
1
其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F ，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过
2
程，用W 、W 分别表示拉力F 、F 所做的功，W 、W 分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则(
F1 F2 1 2 f1 f2
)
A．W ＞4W ，W ＞2W
F2 F1 f2 f1
B．W ＞4W ，W ＝2W
F2 F1 f2 f1
C．W ＜4W ，W ＝2W
F2 F1 f2 f1
D．W ＜4W ，W ＜2W
F2 F1 f2 f1
6、(多选)一只半径为R的半球形碗固定不动，碗的内壁光滑，碗口水平，O点为球心，A、B均为碗内壁
上的点，且A点是最低点，B点与圆心等高，C点是圆弧AB的中点(点O、A、B、C在同一竖直平面内)，
重力加速度大小为g。有一只质量为m的小球静止在碗底部，现对小球施加一水平恒力F，则( )
A．若F＝mg，小球将有可能到达B点
B．若F＝mg，小球将一定到达B点
C．若F＝mg，小球经过C点时，合力功率最大
D．若F＝2mg，小球从最低点到其轨迹最高点过程中机械能的增量为6mgR
7、(2022·南京质量调研)某城市广场喷泉的喷嘴横截面积为S，喷泉喷出的水柱超过了高度h。已知水的密
度为ρ，重力加速度为g，则用于给喷管喷水的电动机输出功率至少为( )
A．ρghS B．ρghS
C． D．
8、(2022·江苏高考模拟)汽车在平直的公路上以额定功率行驶，行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车
动能E 与位移x的关系图像如图所示。已知汽车的质量为 1×103 kg，汽车运动过程中所受地面的阻力恒
k
定，空气的阻力不计。则下列说法正确的是( )A．汽车受到地面的阻力大小为200 N
B．汽车的额定功率为8 000 W
C．汽车加速运动的时间为16.25 s
D．汽车加速过程中牵引力做的功为8×105 J
9、如图所示，斜面ABC竖直固定放置，斜边AC与一光滑的圆弧轨道DEG相切，切点为D，AD长为L
＝，圆弧轨道圆心为O，半径为R，∠DOE＝θ，∠EOG＝90°，OG水平。现有一质量为m、可视为质点的
滑块从A点由静止下滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则关于滑块的运动，下列说法
正确的是( )
A．滑块经过E点时对轨道的最小压力为mg
B．滑块下滑后将会从G点飞出
C．滑块第二次经过E点时对轨道的压力大小为3mg
D．滑块在斜面上经过的总路程为
10、泥石流是在雨季由于暴雨、洪水将含有沙石且松软的土质山体经饱和稀释后形成的洪流。泥石流流动
的全过程虽然只有很短时间，但由于其高速前进，具有强大的能量，因而破坏性极大。某课题小组对泥石
流的威力进行了模拟研究，他们设计了如图甲所示的模型：在水平地面上放置一个质量为 m＝4 kg的物
体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移变化如图乙所示，已知物体与地面间的
动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s2。则：
(1)物体在运动过程中的最大加速度为多少？
(2)在距出发点多远处，物体的速度达到最大？
(3)物体在水平面上运动的最大位移是多少？11、(2022·西安高考模拟)学校科技小组设计了“e”字形轨道竖直放置在水平面上，该轨道由两个光滑半圆
形轨道ABC、CDE和粗糙的水平直轨道EF组成，EF末端与竖直的弹性挡板OF连接，轨道CDE半径r＝
0.1 m，轨道ABC半径为2r，A端与地面相切。现将质量m＝0.2 kg的小滑块从水平地面P点以速度v ＝2
0
m/s沿轨道上滑，运动到F点与挡板发生完全弹性碰撞。已知直线轨道 EF长为L＝0.5 m，小滑块与轨道
EF间的动摩擦因数μ＝0.5，其余阻力均不计，小滑块可视为质点。
(1)求小滑块在ABC圆轨道运动时对轨道C点的压力；
(2)求小滑块最终停止的位置到F点的距离；
(3)若改变小滑块的初速度，使小滑块能停在EF轨道上，且运动过程中不脱离轨道，则小滑块的初速度应
满足什么条件？
