文档内容
第二讲 抛体运动
知识梳理
一、平抛运动的规律
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，且只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.特点：(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4.基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v 方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
0
二、斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v 沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
0
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.特点：(1)水平方向：匀速直线运动
(2)竖直方向：竖直上抛或竖直下抛
4.基本规律(以斜向上抛为例，如图所示)
(1)水平方向:v ＝vcosθ，x＝vt cos θ。
0x 0 0
(2)竖直方向
v ＝vsinθ，y＝vt sin θ－gt2。
0y 0 0
知识训练
考点一、平抛运动
1.平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 Δt内的速度改
变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
2.两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α(如图所示)
推导：
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即x ＝.
B
推导：
例1、如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方。不计空气阻力，为
了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以( )A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
【答案】B
【解析】设小球做平抛运动的初速度为v ，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，则平抛运动的时间t＝
0
，水平位移x＝vt＝v ，由上式分析可知，要减小水平位移x，可保持抛出点高度h不变，减小初速度v ，
0 0 0
或保持初速度v 大小不变，减小抛出点高度h，或减小抛出点高度，同时减小初速度，故B正确，A、C、
0
D错误。
例2、一小球被水平抛出，做平抛运动。若从小球被抛出开始计时，则小球在运动过程中( )
A．加速度大小与时间成正比
B．速度大小与时间成正比
C．速度的增量大小与时间成正比
D．位移大小与时间的二次方成正比
【答案】C
【解析】小球做平抛运动，加速度为重力加速度，不随时间改变，故A错误；设小球从抛出到某一位置经
过的时间为t，竖直分速度为：v＝gt，水平分速度为v ，则速度为：v＝ ，可知速度大小与时
y 0 t
间不成正比，故B错误；平抛运动的加速度不变，则速度的增量为：Δv＝gt，与时间成正比，故C正确；
时间 t 内，小球的竖直位移为：y＝gt2，水平位移为：x＝vt，所以小球的位移为：s＝＝
0
，可知位移大小与时间的二次方不成正比，故D错误。
例3、将一个物体以10 m/s的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)，下列说法正确
的是( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/sC．落地时速度方向与地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
【答案】A
【解析】由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度v＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝ ＝10 m/s，
y
故B错误；落地时速度方向与地面夹角的正切值tan θ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝vt＝20 m，
0
位移为20 m，故D错误。
例4、如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的
水平速度v 抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程( )
0
A．飞行的时间之比为1∶3
B．水平位移大小之比为1∶9
C．竖直下落高度之比为1∶3
D．落至斜面时速度大小之比为1∶3
【答案】A
【解析】对于A球，tan 30°＝＝，解得t ＝，对于B球，tan 60°＝＝，解得t ＝，所以＝＝，由x＝vt可知
A B 0
水平位移大小之比为1∶3，由y＝gt2，可知竖直下落高度之比为1∶9，故A正确，B、C错误；落在斜面上的
竖直分速度v ＝gt ＝2vtan 30°，v ＝gt ＝2vtan 60°，v 2＝v 2＋v2，v 2＝v 2＋v2，则落至斜面时v ＝v，
yA A 0 yB B 0 A yA 0 B yB 0 A 0
v ＝v，速度大小之比为∶，故D错误．
B 0
例5、(2021·广西桂林、崇左市高三下联合调研考试)如图所示，倾斜角为θ的斜面AB，在A点的正上方高
度为H的P点以水平初速度v ，抛出一个物体M，物体M恰好垂直落到斜面上，现在A点正上方2H的Q
0
点水平抛出另一个物体N，这个物体N也能垂直落在斜面上，那么物体N的初速度为( )
A．2v B．v
0 0
C．v D．v
0 0
【答案】D
【解析】因M、N末速度方向相同，由平抛运动推论(末速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角的正切值的2倍)可知，M、N落在斜面时的位移方向平行，由几何关系可知，＝，＝；根据h＝gt2可
得＝，则由初速度v＝，可知＝，即v＝v，故选D。
x 0
例6、如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心 O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左
侧的A点以速度v 平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则
0
A、B之间的水平距离为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α.
由tan α＝，x＝vt，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确．
0
例7、如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x
＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度v 的大小范围；
0
(2)小球落在空地上的最小速度。
【答案】(1)5 m/s≤v≤13 m/s (2)v ＝5 m/s
0 min
【解析】(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v，则小球的水平位移：
1
L＋x＝vt
11
小球的竖直位移：H＝g
解以上两式得：v＝(L＋x)＝13 m/s
1
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v，则此过程中小球的水平位移：L＝vt
2 22
小球的竖直位移：H－h＝g解以上两式得：v＝L ＝5 m/s
2
小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v≤13 m/s
0
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上
时，落地速度最小。竖直方向： ＝2gH
又有：v ＝
min
解得：v ＝5 m/s
min
课堂随练
训练1、(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向
水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)
处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．b和c运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
【答案】ACD
【解析】b、c抛出时的高度相同，小于a抛出时的高度，根据h＝gt2得t＝，知b、c的运动时间相同，a的
运动时间是b的运动时间的倍，B错误，A正确；由于a和b都做平抛运动，竖直方向只受重力，故a和b
加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初
速度的两倍，D正确．
训练2、(2021·东北三省四市教研联合体高三下3月高考模拟)(多选)如图所示，两小球a、b分别从斜面顶
端和斜面中点沿水平方向抛出，均落在斜面底端。不计空气阻力，关于两小球在平抛过程中的判断正确的
是( )
A．小球a、b到达斜面底端时的速度方向相同B．小球a、b在空中飞行时间之比为2∶1
C．小球a、b抛出时的初速度之比为1∶1
D．小球a、b离斜面的最大距离之比为2∶1
【答案】AD
【解析】设斜面倾角为θ，小球落在斜面底端时，有＝＝tan θ，可得＝＝2tan θ，根据平抛运动规律有v
x
＝v，v＝gt，则＝＝2tan θ，可知两球末速度与水平方向的夹角的正切值相等，故小球a、b到达斜面底端
0 y
时的速度方向相同，故A正确；由图可知＝2，＝2，由h＝gt2，可得＝，由x＝vt，可得＝，故B、C错
0
误；将初速度和加速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向进行正交分解，小球沿垂直斜面方向的速度减为0
时，小球离斜面的距离最大，沿垂直斜面方向有a ＝g cos θ，v ＝vsin θ，设小球沿垂直斜面方向运动的
⊥ ⊥ 0
最大距离为l，则有2a l＝ ，则l＝∝ ，可得小球a、b离斜面的最大距离之比为2∶1，故D正确。
⊥
训练3、横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示。它们的竖直边长
都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点
分别是a、b、c。下列判断正确的是( )
A．落在a点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行
B．三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．三小球比较，落在b点的小球飞行过程速度变化最快
D．无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
【答案】D
【解析】设落在a点的小球落在斜面上的速度方向与水平方向夹角为θ，位移方向与水平方向夹角为α，根
据平抛运动的推论可知，tan θ＝2tan α，即落在a点的小球落在斜面上的速度方向不可能与斜面平行，A
错误；根据平抛运动规律可知，三小球飞行时间 t＝，落在a点的小球竖直方向下落距离最大，所以落在a
点的小球飞行时间最长，B错误；三小球都做平抛运动，速度变化快慢(加速度)均相同，C错误；通过A
项的分析可知，落在a点的小球不可能与斜面垂直，对于落在b、c点的小球而言，落在斜面上时竖直方向
分速度为gt，水平速度为v ，假设落到斜面上的瞬时速度能与斜面垂直，则＝tan α＝，对应的竖直方向的
0
位移为y＝gt2，水平方向的位移为x＝vt＝ t＝y，由题给条件及几何关系可知这是不可能满足的，因
0此D正确。
训练4、如图，两小球P、Q从同一高度分别以v 和v 的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上
1 2
的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.则v、v 大小之比为( )
1 2
A．2∶1 B．3∶2
C．9∶16 D．32∶9
【答案】D
【解析】两小球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，两小球在竖直方向上的位移相
等，小球在竖直方向上都做自由落体运动，由 t＝可知，两球的运动时间相等，对Q球，tan 53°＝＝＝，
解得v＝，球P垂直打在斜面上，则有v＝vtan 53°＝gttan 53°＝，所以＝，A、B、C错误，D正确．
2 1 y
训练5、(多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点 M、N与圆心O等高且在同一竖直平面内．现
甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v 、v 的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚
1 2
好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法中正确的是( )
A．两球抛出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v，则两球将在落在坑壁之前相撞
1
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
【答案】AB
【解析】由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x ＝vt，x ＝vt，由几何关系可知x ＝3x ，所以两
1 1 2 2 2 1
球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R＝(v＋v)t可知，若仅增大v，时间减小，所以两球将在落在坑
1 2 1
壁之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v 与v 之和与时间的乘积等于半球形坑
1 2
的直径，即(v ＋v)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定
1 2
值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从 M点水平抛出小球，改变小
球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误．
训练6、如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为( )
A．R B．
C． D．
【答案】D
【解析】设小球平抛运动的初速度为v ，由题意知小球通过D点时的速度与圆柱体相切，则有＝tan 60°，
0
即＝；小球平抛运动的水平位移：x＝Rsin 60°＝vt，联立解得：v2＝，v2＝，设平抛运动的竖直位移为
0 0 y
y，v2＝2gy，解得：y＝，则CB＝y－R(1－cos 60°)＝，故D正确，A、B、C错误．
y
训练7、一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为 L 和L ，中间球网高度为h.
1 2
发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为
3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能
使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A．< v 3v
0 0 0
【答案】A
【解析】根据平抛运动的规律可知，若小球落在b点，有x＝vt ，t ＝，若落在c点，则2x＝vt，而t＝，
0b b c c
若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于t>t，所以v
