文档内容
第三讲 带电粒子在复合场中的运动
知识梳理
一、带电粒子在复合场中的运动
1．组合场与叠加场
(1)组合场：静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出
现。
(2)叠加场：静电场、磁场、重力场在同一区域共存，或其中某两场在同一区域共存。
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不
动能定理、能量守恒定律
运动 与洛伦兹力等大反向
二、质谱仪
1．构造：如图甲所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
2．原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2。
粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m。
由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷。
r＝，m＝，＝。
三、回旋加速器
1．构造：如图乙所示，D、D 是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。
1 22．原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过 D形盒
缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速。由 qvB＝，得E ＝，可见粒子获得
km
的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关。
四、电场、磁场同区域并存的实例
装置 原理图 规律
若qvB＝qE，即v＝，粒子做匀速直线
速度选择器 0 0
运动
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极
磁流体发电机 板带电，当q＝qvB时，两极板间能达到
0
最大电势差U＝Bvd
0
电磁流量计 当q＝qvB时，有v＝，流量Q＝Sv＝
在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导
体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体
霍尔元件
在与磁场、电流方向都垂直的两个面间出
现了电势差，这种现象称为霍尔效应
考点一、带电粒子在叠加场中的运动
例1、(多选)如图所示，一带电小球在一正交电场、磁场区域里做匀速圆周运动，电场方向竖直向下，磁场
方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是( )
A．小球一定带正电
B．小球一定带负电
C．小球的绕行方向为顺时针
D．改变小球的速度大小，小球将不做圆周运动例2、(2022·辽宁省模拟)在竖直平面内建立xOy坐标系，在坐标系的第Ⅰ象限的OyPQ范围内存在如图所
示正交的匀强电场和匀强磁场，PQ平行于y轴且到y轴的距离为(＋1)l。质量为m、电荷量为q的微粒从
第Ⅱ象限的a点沿xOy平面水平抛出，微粒进入电、磁场后做直线运动；若将匀强电场方向改为竖直向
上，微粒仍从a点以相同速度抛出，进入电、磁场后做圆周运动，且运动轨迹恰好与 x轴和直线PQ相
切，最后从y轴上射出。重力加速度为g。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)微粒抛出时的初速度大小v 及a点坐标。
0
课堂随练
训练1、如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，
电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里．一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点
出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到
A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴
穿出复合场．不计一切阻力，重力加速度为g，求：(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)微粒在复合场中的运动时间．
考点二、带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．常见粒子的运动及解题方法例1、如图所示，水平虚线AA′和CC′间距为L，中间存在着方向向右且与虚线平行的匀强电场，CC′的下侧
存在一半径为R的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向外(图中未画出)，圆形磁场与边界CC′相切于点
M。一质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子由电场上边界AA′上的S点以初速度v 垂直射入电场，一段时间
0
后从M点离开电场进入磁场，粒子进入磁场的速度大小为v ，且其运动轨迹恰好过圆形磁场的圆心O。粒
0
子所受重力忽略不计，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)圆形磁场区域磁感应强度B的大小。
例2、如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于
平面向里的匀强磁场。现有一质量为m、电荷量为＋q 的粒子(重力不计)从坐标原点O射入磁场，其入射
方向与x轴的正方向成 45°角。当粒子运动到电场中坐标为(3L，L)的 P 点处时速度大小为 v ，方向与 x
0
轴正方向相同。求：
(1)粒子从 O 点射入磁场时的速度v；(2)匀强电场的电场强度E 和匀强磁场的磁感应强度B；
0 0
(3)粒子从 O 点运动到 P 点所用的时间。
课堂随练
训练1、如图所示的xOy坐标系中，第一象限存在与xOy平面平行的匀强电场E，且与y轴负方向的夹角θ
＝30°，第二象限存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带正电粒子自O点射入第二象
限，速度v与x轴负方向的夹角θ＝30°，粒子经磁场偏转后从y轴上的P点进入第一象限，并由x轴上的
M点(未画出)离开电场．已知OM距离为3L，粒子的比荷为，不计粒子重力．
(1)求OP两点的距离；(2)求粒子在磁场中运动的时间；
(3)当该粒子经过P点的同时，在电场中的N点由静止释放另一个完全相同的带电粒子，若两粒子在离开电
场前相遇且所需时间最长，求N点的坐标．
训练2、(2018·全国卷Ⅰ·25)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0
的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的
动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原
点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：
(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．考点三、质谱仪的原理和应用
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素。
2．原理(如图所示)
(1)加速电场：qU＝mv2。
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝，m＝，＝。
例1、微观粒子研究在核能的开发和利用中具有重要意义。如图所示，质量为m、电荷量为q的离子从容
器A下方的小孔S 不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S 垂直于磁场方向进入磁感应强
1 2
度为B的匀强磁场中，做半径为R的匀速圆周运动，(1)求加速电场的电压U；
(2)离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为 I。不考虑离子重力及离子间
的相互作用，求出在离子被收集的过程中任意时间t内收集到离子的质量m 。
总
例2、(2022·北京西城区期末)某一质谱仪原理如图所示，区域Ⅰ为粒子加速器，加速电压为 U ；区域Ⅱ为
1
速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为 B ，板间距离为d；区域Ⅲ为偏转分离器，磁感应强度为
1
B 。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，初速度为0，经粒子加速器加速后，该粒子恰能沿直线通过速度选
2
择器，由O点沿垂直于边界MN的方向进入分离器后做匀速圆周运动，打在 P点上。忽略粒子所受重力，
求：
(1)粒子进入速度选择器的速度v；
(2)速度选择器的两极板电压U；
2
(3)OP之间的距离。课堂随练
训练1、(2022·宁德高三第一次质检)如图所示，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)，经电
压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子在磁场中转半个圆周后打在P点，测出OP距离为
x，下列x－U图像可能正确的是( )
考点四、回旋加速器
1．构造
如图所示，D、D 是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
1 2
2．原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子就被加速一次。
3．最大动能
由qv B＝、E ＝mv得E ＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
m km km
4．总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总
时间t＝T＝·＝。
例1、(2022·桂林、崇左联合调研)回旋加速器在科学研究中得到了广泛应用，其原理如图甲所示。D 和D
1 2
是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，两个 D形盒接在如图乙所示的电压为U、周期为T的交流电源上，D形盒两直径BB′和CC′之间的区域只有电场，交流电源用来提供加速电场。位于
D 的圆心处的质子源A在t＝0时产生的质子(初速度可以忽略)在两盒之间被电压为U的电场加速，第一次
1
加速后进入D形盒D ，在D形盒的磁场中运动，运动半周时交流电源电压刚好改变方向对质子继续进行
2
加速，已知质子质量为m，电荷量为q。半圆形D形盒所在空间只有磁场，其中磁场的磁感应强度为B，D
形盒的半径为R，当质子被加速到最大动能后，沿D形盒边缘运动半周再将它们引出，加速过程如图丙所
示，质子的重力不计，求：
(1)质子第一次被电场加速后进入磁场的轨道半径；
(2)质子在磁场中运行的时间。
课堂随练
训练1、 (多选)劳伦斯和利文斯设计的回旋加速器如图所示，真空中的两个 D形金属盒间留有平行的狭
缝，粒子通过狭缝的时间可忽略。匀强磁场与盒面垂直，加速器接在交流电源上，若A处粒子源产生的质子可在盒间被正常加速。下列说法正确的是( )
A．虽然逐渐被加速，质子每运动半周的时间不变
B．只增大交流电压，质子在盒中运行总时间变短
C．只增大磁感应强度，仍可能使质子被正常加速
D．只增大交流电压，质子可获得更大的出口速度
考点五、带电粒子在叠加场中运动的应用
1．速度选择器(如图甲所示)
若qvB＝Eq，即v＝，粒子做匀速直线运动。
0 0
2．磁流体发电机(如图乙所示)
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板分别带正、负电荷，两极板间电压为U时稳定，q＝qvB，U＝
0
vBd。
0
3．电磁流量计(如图丙所示)
当q＝qvB时，有v＝，流量Q＝Sv＝π＝。
4．霍尔元件(如图丁所示)
在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都
垂直的方向上出现了电势差。这个现象称为霍尔效应。
例1、在如图所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。一带电粒子(重力不计)从左端以
速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子( )A．一定带正电
B．速度v＝
C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出
D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动
例2、(2021·高考河北卷，T5)如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为
B ，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平
1
面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连，质
2
量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为 g，不计导轨电阻、板间电阻和等
离子体中的粒子重力，下列说法正确的是( )
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
例3、(多选)如图，电磁流量计的测量管横截面直径为 D，在测量管的上下两个位置固定两金属电极 a、
b，整个测量管处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左
向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q(单位时间内流过的液体体积)，下列说
法正确的是( )
A．a极电势高于b极电势
B．液体流过测量管的速度大小为C．a、b两极之间的电压为
D．若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
例4、(2022·重庆巴蜀中学高考适应性考试)如图所示， 厚度为h，宽度为d的金属导体，当磁场方向与电
流方向垂直时，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。下列说法正确的是( )
A．上表面的电势高于下表面电势
B．仅增大h时，上下表面的电势差增大
C．仅增大d时，上下表面的电势差减小
D．仅增大电流I时，上下表面的电势差减小
课堂随练
训练1、(2019·浙江选考)磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体垂直于磁场方向喷入磁
感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板
和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为 ρ。
忽略边缘效应，下列判断正确的是( )
A．上板为正极，电流I＝
B．上板为负极，电流I＝
C．下板为正极，电流I＝
D．下板为负极，电流I＝
训练2、为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的长方体流量计。
该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下底面方向加一匀强
磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，接在 M、N两
端间的电压表将显示两个电极间的电压U，若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法
中正确的是( )A．M端的电势比N端的高
B．电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关
C．电压表的示数U与污水的流量Q成正比
D．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0
训练3、(2019·天津高考)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体
远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图
所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向
向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场
中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的( )
A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与v无关
C．前、后表面间的电压U与c成正比
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为
同步训练
1、(多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强
电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到
A，下列说法中正确的是(重力加速度为g)( )
A．该微粒一定带负电荷
B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的电场强度大小为
2、医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极 a和b以
及一对磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极 a、b均与血管壁接触，两触点的连
线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正、负离子随血流一起在磁场中运动，
电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看为是匀强电场，血液中的离子所受的
电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为 3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间
的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
3、(2017·全国卷Ⅰ·16)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁
场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为m 、m 、m，已知在该区域
a b c
内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列
选项正确的是( )
A．m＞m＞m B．m＞m＞m
a b c b a c
C．m＞m＞m D．m＞m＞m
c a b c b a
4、如图所示，一块长方体金属板材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B。
当通以从左到右的恒定电流I时，金属材料上、下表面电势分别为φ 、φ 。该金属材料垂直电流方向的截
1 2
面为长方形，其与磁场垂直的边长为a、与磁场平行的边长为b，金属材料单位体积内自由电子数为n，元
电荷为e。那么( )
A．φ－φ＝ B．φ－φ＝－
1 2 1 2C．φ－φ＝ D．φ－φ＝－
1 2 1 2
5、如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为 R，已
知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，不计空气阻
力，设重力加速度为g，则( )
A．液滴带正电
B．液滴比荷＝
C．液滴沿顺时针方向运动
D．液滴运动速度大小v＝
6、(2022·北京通州区一模)回旋加速器的工作原理如图所示。D 和D 是两个中空的半圆金属盒，处于与盒
1 2
面垂直的匀强磁场中，它们之间有一定的电势差U。A处的粒子源产生的带电粒子在加速器中被加速。下
列说法正确的是( )
A．带电粒子在D形盒内被磁场不断地加速
B．交流电源的周期等于带电粒子做圆周运动的周期
C．两D形盒间电势差U越大，带电粒子离开D形盒时的动能越大
D．加速次数越多，带电粒子离开D形盒时的动能越大
7、(2021·河南郑州市质检)如图所示，质谱仪的工作原理如下：一个质量为m、电荷量为q的离子，从容器
A下方的小孔S 飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S 沿着与磁场垂直的方向，进
1 3
入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，最后打到照相的底片D上。不计离子重力。则( )
A．离子进入磁场时的速率为v＝B．离子在磁场中运动的轨道半径为r＝
C．离子在磁场中运动的轨道半径为r＝
D．若a、b是两种同位素的原子核，从底片上获知 a、b在磁场中运动轨迹的直径之比是1.08∶1，则a、b
的质量之比为1.08∶1
8、速度相同的一束粒子由左端射入质谱仪后分成甲、乙两束，其运动轨迹如图 6所示，其中SA＝SC，
0 0
不计粒子重力，则下列说法中正确的是( )
图6
A．甲束粒子带正电，乙束粒子带负电
B．甲束粒子的比荷大于乙束粒子的比荷
C．能通过狭缝S 的带电粒子的速率等于
0
D．若甲、乙两束粒子的电荷量相等，则甲、乙两束粒子的质量之比为3∶2
9、(2021·北京卷，18)如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的
匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、
电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重
力。
(1)求粒子加速器M的加速电压U；
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的
距离为d，求该粒子离开N时的动能E。
k10、如图所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在
匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以初速度
v 从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又
0
经过一段时间T，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变．不计重力．
0
(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需时间；
(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值．
11、(2022·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ
两区域存在匀强磁场，L 、L 、L 是磁场的边界(BC与L 重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感
1 2 3 1
应强度大小为B.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v 沿水平向右方向进入
1 0
电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的倍．
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B 的最小值．
2
