文档内容
第三讲 运动的图像
知识梳理
一、v－t图像
1.图像的意义：v－t图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它只能描述物体做直线运动
的情况。
2.图像的斜率：v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．
斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；
斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动。
3.v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移。
t轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的
“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点。
4.图线上的点（t，v）的含义：在t时刻物体的速度为v,
二、x－t图像
1.图像的意义：x－t图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。
图线的纵坐标含义不是位移而是位置。
2.x－t图像中的“交点”“斜率”“截距”的意义
(1)交点：两图线有交点，说明两物体相遇。
(2)斜率：表示速度的大小及方向。
(3)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置。
三、其他图像
1.a－t图像
由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示．
2.－t图像
由x＝vt＋at2可得＝v＋at，截距b为初速度v，图像的斜率k为a，如图乙所示．
0 0 0
3.v2－x图像
由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，截距b为v2，图像斜率k为2a，如图丙所示．
0 0 0 知识练习
考点一、运动图像的理解及应用
1.处理图像问题的基本思路
例1、(2022·广东深圳市实验中学月考)如图为一质点做直线运动的v－t图像，下列说法正确的是( )
A．BC段表示质点通过的位移大小为34 m
B．在18～22 s时间内，质点的位移为24 m
C．整个过程中，BC段的加速度最大
D．整个过程中，E点所对应的时刻离出发点最远
【答案】A
【解析】BC段，质点的位移为x＝×4 m＝34 m，选项A正确；在18～22 s时间内，质点的位移为x＝ m＋
(－) m＝0 m，选项B错误；由题图看出，CE段图线斜率的绝对值最大，则CE段对应过程的加速度最大，
选项C错误；由题图看出，在0～20 s时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在 20～22 s时间内速
度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D点对应时刻离出发点最远，选项D错误．
例2、(2021山东潍坊三县10月联考)a、b两质点在同一直线上运动，它们运动的位移x随时间t变化的关
系如图所示，其中a质点的x-t图像为抛物线的一部分，第7 s末图像处于最高点，b质点的图像为直线。
下列说法正确的是( )A．a质点的初速度大小为7 m/s
B．a质点的加速度大小为2 m/s2
C．a质点减速过程运动的位移大小为50 m
D．两质点相遇时,b质点的速度小于a质点的速度
【答案】BD
【解析】a质点的s-t图像为抛物线的一部分，说明a质点做匀减速直线运动，7 s末速度为零，则有
v+at =0，0~10 s内，a质点的位移为s=40 m，则有s=v t + ，联立解得v=14 m/s，a=-2 m/s2，所以
0 7 010 0
a质点的初速度大小为14 m/s，加速度大小为2 m/s2，故A错误，B正确；a质点在0~7 s内做匀减速运
动，通过的位移为s=v t+ =49 m，故C错误；根据s-t图像的斜率表示速度，知10 s末两质点相遇
07
时，a质点的速度较大，故D正确。
例3、(2022·潍坊二模)甲、乙两汽车沿同一平直公路同向行驶的v－t图像如图所示，t＝10 s时两车恰好相
遇。下列分析正确的是( )
A．甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B．t＝0时，乙在甲前方5 m处
C．t＝0时，甲在乙前方125 m处
D．甲追乙时，追上前甲、乙间最大距离为50 m
【答案】D
【解析】根据v－t图像的斜率表示加速度，可知，在10～20 s内，甲车的加速度大小为1 m/s2，故A错误；
t＝10 s时两车恰好相遇，0～10 s内，根据面积代表位移有Δx＝10×10 m－×10×5 m＝75 m，故甲在乙前方75 m处，故B、C错误；甲追乙时，t＝20 s时速度相等，间距最远，Δx′＝10×10 m－×10×10 m＝50 m，故
D正确。
例4、甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，在t＝0到t＝t 的时间内，它们的v－t图像如图所示，在这
1
段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【答案】A
【解析】因为v－t图线与横坐标轴所围的面积是物体的位移，故在0～t 时间内，甲车的位移大于乙车，
1
根据＝可知，甲车的平均速度大于乙车，选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等
于，选项B错误；因为v－t图线的切线的斜率的绝对值等于物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度均
逐渐减小，选项D错误。
课堂随练
训练1、甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示，已知乙车做匀
变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则下列说法正确的是( )
A．甲车的初速度为零
B．乙车的初位置在x＝60 m处
0
C．乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D．5 s时两车相遇，此时甲车速度较大
【答案】C
【解析】由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v ＝＝ m/s＝4 m/s，故A错误；由题图可知乙车做末速
甲
度为零的匀减速直线运动，反方向可看做是初速度为零的匀加速直线运动，则有 x＝at2，由题图可知，当其反向运动5 s时，位移为20 m，则有20＝a·52，得加速度大小为a＝1.6 m/s2，因其共运动了10 s，可得x
0
＝×1.6×102 m＝80 m，故C正确，B错误；由题图可知5 s时两车相遇，此时乙车速度大小 v ＝at＝8
乙
m/s，甲车速度小于乙车速度，故D错误。
训练2、在大雾天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶。某时刻两车司
机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车。两辆车刹车时的v-t图像如图所示，则( )
A．若两车发生碰撞,开始刹车时两辆车的间距一定等于112.5 m
B．若两车发生碰撞,开始刹车时两辆车的间距一定小于90 m
C．若两车发生碰撞,则一定是在刹车后20 s之内的某时刻
D．若两车发生碰撞,则一定是在刹车后20 s以后的某时刻
【答案】C
【解析】由图可知，甲车的加速度a= m/s2=-1 m/s2,乙车的加速度a= m/s2=-0.5 m/s2,两车速
1 2
度相等经历的时间为20 s,此时甲车的位移s =v t+ at2=(25×20- ×1×202) m=300 m,乙车的位移s = v
甲 甲 1 乙 乙
t+ at2=(15×20- ×0.5×202) m=200 m,可知如果不相撞,则两车之间的最短距离Δs=300 m-200 m=100 m,若
2
两车发生碰撞,则开始刹车时两车的距离小于100 m,故A、B错误;因为速度相等后,若不相撞,乙车速度大于
甲车速度,两者的距离又逐渐增大,可知两辆车若发生碰撞,一定是在刹车后的20 s 之内的某时刻,故C正确,D
错误。
训练3、质点在某段时间内运动的v－t图像是一段抛物线，如图所示，关于0～t 和t ～t 两段时间内的运
1 1 2
动，下列说法正确的是( )A．两段时间内的速度方向相同
B．两段时间内的平均速度大小相等
C．两段时间内的加速度方向相同
D．0～t 内加速度逐渐减小，t～t 内加速度逐渐增大
1 1 2
【答案】C
【解析】0～t 时间内的速度为正值，t ～t 时间内的速度为负值，故A错误；若0～t 时间内做匀减速直线
1 1 2 1
运动，设运动的位移大小为x，则平均速度大小等于，根据速度－时间图像中图线与坐标轴所围“面积”
表示位移可知，0～t 时间内的位移大小大于x，所以0～t 时间内的平均速度大于，同理可知t ～t 时间内
1 1 1 2
的平均速度小于，故B错误；根据速度－时间图像的斜率表示加速度，在 0～t 时间内，图线的斜率为负
1
值，t ～t 时间内，图线的斜率也为负值，所以两段时间内的加速度方向相同，故 C正确；0～t 内、t ～t
1 2 1 1 2
内加速度均逐渐增大，故D错误．
训练4、(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中
甲、乙两条曲线所示。已知两车在t 时刻并排行驶，下列说法正确的是( )
2
A．两车在t 时刻也并排行驶
1
B．t 时刻甲车在后，乙车在前
1
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】BD
【答案】vt图象中图象与t轴所包围的面积代表运动的位移，由题图可知在 t ～t 时间内，甲车的位移大于
1 2
乙车，而已知两车在t 时刻并排行驶，则在t 时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；vt图象的斜
2 1
率表示加速度，所以甲车的加速度先减小后增大，乙车的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。
故选B、D。
考点二、用函数法解决非常规图像问题例1、一物体由静止开始，在粗糙的水平面内沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a－t图像如图所示．
若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是( )
A．在0～2 s的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动
B．在2 s时物体的位移最大
C．在2～3 s的时间内，物体速度的变化量为－1 m/s
D．在0～4 s的时间内，物体的位移为零
【答案】C
【解析】0～1 s，加速度不变，物体做匀加速运动，1～2 s加速度数值减小，物体做加速度减小的变加速
运动，A错误；2 s时，加速度为0，速度最大，B错误；a－t图像中图线与横轴所围的面积表示速度的变
化量，2～3 s的时间内，速度变化量为Δv＝×1×(－2) m/s＝－1 m/s，C正确；0～4 s内，物体的速度变化量
为0，即物体在4 s时停止运动，位移不为0，D错误．
例2、(2022·安徽省六校第二次联考)一个运动物体的－t图像如图所示，根据图像，下列说法正确的是(
)
A．物体初速度大小为b
B．物体的加速度大小为
C．a时刻物体的速度大小为0
D．0～a时间内物体的位移大小为
【答案】A
【解析】根据匀变速直线运动位移时间公式x＝vt＋at2，有＝v ＋a′t。根据数学知识可得v ＝b，a′＝－，
0 0 0
所以a′＝－，故A正确，B错误；由以上分析可知，a时刻物体的速度大小为v＝v＋a′t＝b＋ t＝－
0
b，故C错误；0～a时间内物体的位移大小为x＝vt＋a′t2＝b·a＋ ·a2＝0，故D错误。
0例3、(2021湖南岳阳第一中学高三二模)某品牌的一款无人驾驶汽车在直线测试时，速度的二次方与位移
的关系图像如图所示。自经过x=0位置时开始计时，该车在2 s内的位移大小为( )
A．2.0 m B．2.6 m
C．3.0 m D．3.6 m
【答案】D
【解析】根据图像由 ，得 ，故图像的斜率k=2a，所以该车运动的加速度大小
a= 5 m/s2，初速度大小v=6 m/s,由t= =1.2 s可知,该车1.2 s后停止运动,所以2 s内的位移大小为x=
0
=3.6 m，故选D。
课堂随练
训练1、一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图像如图所示．下列说
法正确的是( )
A．物体运动的最大速度是4 m/s
B．t＝4 s时物体回到出发点
C．t＝4 s时物体开始反向运动
D．t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同
【答案】D
【解析】a－t图像中图线与时间轴所围“面积”表示速度变化量，由题图可知，物体运动的最大速度为
v ＝×2×2 m/s＝2 m/s，A错误；0～1 s物体做加速度增大的加速运动，1～2 s物体做加速度减小的加速运
max
动，2～3 s物体做加速度增大的减速运动，3～4 s物体做加速度减小的减速运动，根据对称性可知，物体
在4 s末时速度减为零，4 s后物体又重复前面的运动，故B、C错误；由B、C项分析可知，t＝1 s时和t＝
3 s时物体的瞬时速度相同，故D正确．训练2、(多选)一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其t的图象如图所示，则( )
A．质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2
C．质点在2 s末的速度为2.5 m/s
D．质点在第2 s内的位移为2 m
【答案】CD
【解析】根据图象，结合数学知识得图线的斜率为：k＝＝，则图线的函数关系为：＝t＋，整理得：x＝t2
＋t，由匀变速直线运动的位移与时间的关系式 x＝vt＋at2得，质点做初速度为0.5 m/s、加速度为1 m/s2的
0
匀加速直线运动，故A、B错误；根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式得，质点在2 s末的速度为：
v ＝v ＋at ＝0.5 m/s＋1×2 m/s＝2.5 m/s，故C正确；根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式得，质点
2 0 2
在第1 s内的位移为：x ＝vt ＋at＝0.5×1 m＋×1×12 m＝1 m，在前2 s内的位移为：x ＝vt ＋at＝0.5×2 m
1 01 2 02
＋×1×22 m＝3 m，则质点在第2 s内的位移为：Δx＝x－x＝2 m，故D正确。
2 2 1
训练3、(多选)近年来，我国的高速铁路网建设取得巨大成就，高铁技术正走出国门．在一次高铁技术测试
中，机车由静止开始做直线运动．测试段内机车速度的二次方v2与对应位移x的关系图像如图所示．在该
测试段内，下列说法正确的是( )
A．机车的加速度越来越大
B．机车的加速度越来越小
C．机车的平均速度大于
D．机车的平均速度小于
【答案】BC
【解析】由v2＝2ax结合题图可知，机车的加速度逐渐减小，故A错误，B正确；由于机车做加速度减小
的变加速直线运动，故在该测试段内，其v－t图像如图所示，可知机车的平均速度大于匀加速直线运动的
平均速度，故C正确，D错误． 同步训练
1、（多选）（2018全国3）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线
运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在t 时刻两车速度相等
1
B．从0到t 时间内，两车走过的路程相等
1
C．从t 到t 时间内，两车走过的路程相等
1 2
D．从t 到t 时间内的某时刻，两车速度相等
1 2
【答案】CD
【解析】：A选项：x-t图像的斜率代表物体的速度，t 时刻甲车图线对应的斜率更大，因此甲车的速度更
1
大；
B选项：乙车的起始点与甲车的起始点不同，相对于甲车更靠前，在t 时刻处于同一位置，只能说明乙车
1
的路程小于甲车的路程；
C选项：t 时刻甲乙两车所处的位置相同，t 时刻两车两车所处的位置也相同，两车向同一方向运动，可知
1 2
两车的路程相等；故C正确
D选项：根据x-t图像的斜率代表着物体的速度，由图像可知在t 到t 时间内，某时刻图线的斜率相同；故
1 2
D正确
2、（多选）（2021广东）赛龙舟是端午节的传统活动。下列 和 图像描述了五条相同的龙舟从同
一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现
船头并齐的有（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】A此图是速度图像，由图可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以中途不可能出现甲乙船头并齐，
故A错误；
B．此图是速度图像，由图可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，速度图像中图像与横轴围成的面积
表示位移，由图可以判断在中途甲、丙位移会相同，所以在中途甲丙船头会并齐，故B正确；
C．此图是位移图像，由图可知，丁一直运动在甲的前面，所以中途不可能出现甲丁船头并齐，故C错误；
D．此图是位移图像，交点表示相遇，所以甲戊在中途船头会齐，故D正确。
故选BD。
3、甲、乙两物体分别在水平面上做直线运动，取向右为正方向，它们运动的相关图像分别如图甲、乙所
示．已知乙的初速度为0，下列说法正确的是( )
A．甲物体2 s时的运动方向发生变化
B．乙物体2 s时的运动方向发生变化
C．甲物体0～2 s内的平均速度与2～4 s内的平均速度相同
D．乙物体4 s时的位置与0时刻的位置相同
【答案】A
【解析】甲物体2 s时速度从负值变为正值，即运动方向发生变化，故 A正确；已知乙的初速度为0，因a
－t图像与时间轴围成的面积等于速度的变化量，可知乙物体在 0～2 s时间内速度为负值，在2～4 s内速
度变化量为正值，在t＝4 s时速度减为零，但是在2～4 s内速度仍为负值，则2 s时的运动方向没有发生
变化，故B错误；甲物体0～2 s内的平均速度与2～4 s内的平均速度大小相同，但是方向相反，故 C错
误；乙物体从0～4 s速度一直为负，则4 s时的位置与0时刻的位置不相同，故D错误．
4、(2022·马鞍山一模)a、b两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动。图甲是 a做匀加速直线运动的x
－t图像，图乙是b做匀减速直线运动的x－v2图像。则下列说法正确的是( )A．t＝1.25 s时两物体速度相等
B．前2 s内两物体间距离一直在变大
C．t＝0时刻，a的速度为2 m/s，b的速度为12.5 m/s
D．a的加速度大小为4 m/s2，b的加速度大小为8 m/s2
【答案】A
【解析】题图甲可看出a做初速度为零的匀加速直线运动，则有x ＝at2，将题图甲的(1，2)、(2，8)两点
a 1
代入，解得a ＝4 m/s2，则v ＝at＝4t；题图乙中b做初速度为10 m/s的匀减速直线运动，根据 0－v2＝
1 a 1
2ax ，解得a ＝－4 m/s2，则v ＝v ＋at＝10－4t，由此分析，t＝1.25 s时v ＝5 m/s，v ＝5 m/s，故A正
2 b 2 b 0 2 a b
确；a做初速度为零的匀加速直线运动，b做初速度为10 m/s的匀减速直线运动，因此一开始b在a前，v
a
＜v，此时a、b间距离变大，当v＝v 时，即t＝1.25 s时a、b间距离达到最大，之后v＞v 时，a、b间距
b a b a b
离将变小，故B错误；t＝0时刻，a的速度为0，b的速度为10 m/s，故C错误；由上分析可知a和b的加
速度大小都为4 m/s2，故D错误。
5、(2022·梅州第一次质检)如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的 v－t图
像。驾驶员的反应时间为0.5 s(从发现问题到制动的时间)，下列说法正确的是( )
A．从t＝0到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小
B．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移是干燥路面的2倍
C．从t＝0.5 s到停下，汽车在湿滑路面和干燥路面的平均速度大小相等
D．从t＝0.5 s到停下，汽车在湿滑路面和干燥路面的加速度之比为1∶2
【答案】C
【解析】根据v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，知从t＝0到停下，汽车在干燥路面通过的位移为x
1
＝×40 m＝60 m，平均速度为v＝＝24 m/s，汽车在湿滑路面通过的位移为x＝×40 m＝110 m，平均速度为
1 2
v ＝＝22 m/s，则＝≈1.8，故A、B错误；从t＝0.5 s到停下，汽车做匀减速直线运动，根据平均速度公式
2
v＝可知汽车在湿滑路面和干燥路面的平均速度相等，故 C正确；根据v－t图像的斜率大小表示加速度大小，知汽车在湿滑路面减速的加速度大小为a ＝ m/s2，汽车在干燥路面减速的加速度大小为a ＝20 m/s2，
1 2
则a∶a＝4∶9，故D错误。
1 2
6、(2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图所示。已知两车在t＝3 s时并
排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
【答案】 BD
【解析】由题中vt图象得a ＝10 m/s2，a ＝5 m/s2，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x ＝a t2＝×10×32
甲 乙 甲 甲
m＝45 m，x ＝vt＋a t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x －x
乙 0 乙 乙
＝7.5 m，B正确；t＝1 s时，x ′＝a t′2＝5 m，x ′＝vt′＋a t′2＝12.5 m，此时x ′＝x ′＋L＝
甲 甲 甲 乙 0 乙 乙 甲
12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1 s，故A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置沿公路方向
的距离为L′＝x －x ′＝40 m，故D正确。
乙 乙
7、(2021·四川省绵阳市高三(上)一诊)(多选)甲、乙两个物体沿同一直线运动，甲做匀速运动，乙做初速度
为零的匀加速运动，它们的位置x随时间t的变化如图所示，当t ＝2 s时，甲、乙相距最远，AB是乙的图
1
线与t轴交点的切线。则( )
A．甲、乙相距的最远距离是18 m
B．乙的加速度大小是2 m/s2
C．在t＝5 s时，甲、乙相遇
2
D．x＝40 m
0
【答案】AC【解析】由题可知，甲物体的位置为x ＝vt＋2 m，乙物体的位置为x ＝－8 m＋at2。当t ＝2 s时，甲、乙
1 1 2 1
相距最远，此时甲和乙的速度相等，即甲物体的图线与 AB直线的斜率相等，由图可得，AB直线的斜率为
k＝ m/s＝8 m/s，所以甲做匀速运动的速度为8 m/s，即v ＝8 m/s，乙的加速度大小为a＝＝4 m/s2，B错
1
误；当t ＝2 s时，甲、乙相距最远，此时甲的位置为x ＝18 m，乙的位置为x ＝0，所以甲、乙相距的最
1 1 2
远距离是18 m，A正确；当两物体相遇时，有 x ＝vt ＋2 m，x ＝－8 m＋at，联立解得t ＝5 s，x ＝42
0 12 0 2 0
m，C正确，D错误。
8、一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示．取物体开始运动的方向为正方
向，则下列关于物体运动的v－t图像正确的是( )
【答案】C
【解析】根据加速度随时间变化的图像可得，0～1 s内为匀加速直线运动，速度v＝at，速度为正方向，选
项D错误；第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s内加速度变为负值，而速度为正方向，因此为匀减速运动，到 2
s末，速度减小为0，选项B错误；2～3 s，加速度为正方向，初速度为0，物体做正方向的匀加速直线运
动，即从第2 s开始重复前面的运动，选项C正确，A错误．
