文档内容
第二讲 磁场对运动电荷的作用
知识梳理
一、洛伦兹力的大小和方向
1．定义：运动电荷在磁场中受到的力。
2．大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin_θ。
3．方向
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v。即F垂直于B、v决定的平面。(注意B和v可以有任意夹角)
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
2．若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动。
3．做匀速圆周运动的基本公式
(1)向心力公式：qvB＝m；
(2)轨道半径公式：r＝；
(3)周期公式：T＝。
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。
考点一、洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度
的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。
2．洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力 静电力
产生条件 ≠0且v不与B平行 电荷处在静电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE力方向与
一定是F⊥B，F⊥v，且与电荷电性有 正电荷受力与电场强度方向相同，负
场方向的
关 电荷受力与电场强度方向相反
关系
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时
F为零，B不一定为零 F为零，E一定为零
场的情况
只改变电荷运动的速度方向，不改变 既可以改变电荷运动速度的大小，也
作用效果
速度大小 可以改变电荷运动的方向
例1、如图所示，M、N为两根垂直纸面的平行长直导线，O为M、N连线中点，一电子沿过O点垂直纸面
的直线向外射出，当两导线同时通有如图方向电流时，该电子将( )
A．向上偏转 B．向下偏转
C．向左偏转 D．向右偏转
例2、(2022·江西重点中学联考)如图，光滑绝缘的圆弧轨道MON固定在竖直平面内。O为其最低点，M、
N等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直。将一个带正电的小球自M点由静止释放，它在轨道上M、N间往
复运动。下列说法中正确的是( )
A．小球在M点和N点时均处于平衡状态
B．小球由M到O所用的时间小于由N到O所用的时间
C．小球每次经过O点时对轨道的压力均相等
D．小球每次经过O点时所受合外力均相等
课堂随练
训练1、下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是( )训练2、如图所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、磁感应强度为 B的匀强磁
场中。质量为m、电荷量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑。在滑块下滑的过程中，下列判断正确的
是( )
A．滑块受到的摩擦力不变
B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关
C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下
D．B很大时，滑块可能静止于斜面上
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．圆心、半径和时间的确定
基本思路 图例 说明
①与速度方向
垂直的直线过 P、M点速度方向垂线的交点
圆心
圆心的
确定
②弦的垂直平
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
分线过圆心③轨迹圆弧与
边界切点的法 某点的速度垂线与切点法线的交点
线过圆心
半径的 利用平面几何 常用解三角形法：左图中，R＝或由
确定 知识求半径 R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
利用轨迹对应 (1)速度的偏转角φ等于AB所对的圆心
圆心角θ或轨迹 角θ
运动时
长度L求时间
间的确 (2)偏转角φ与弦切角α的关系：
定 ①t＝T
φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°时，φ＝
②t＝ 360°－2α
2．运动轨迹
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。3．常用结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
例1、(多选) (2021·湖北卷，9)一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成
a、b和c三个微粒，a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c未在图中标出。仅
考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是( )
A．a带负电荷 B．b带正电荷
C．c带负电荷 D．a和b的动量大小一定相等
例2、(多选)(2022·山东省二模)如图，虚线上方空间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的
方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿
与PO成30°角的方向发射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为l
B．α粒子在磁场中运动的半径为l
C．质子在磁场中运动的时间为
D．质子和α粒子发射的时间间隔为
例3、(2021·北京高考)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴
正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP
＝a。不计重力。根据上述信息可以得出( )A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
例4、如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子
从O点沿纸面垂直PQ以速度v 进入磁场，若电子在磁场中运动的轨迹半径为2d，O′在MN上，且OO′与
0
MN垂直。下列判断正确的是( )
A．电子将向右偏转
B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
D．电子在磁场中运动的时间为
例5、(2021·全国乙卷，16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、电荷量为q(q>0)的
带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v ，离开磁场时速
1
度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为( )
2
A． B．
C． D．
课堂随练
训练1、一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段轨迹如图所示，轨迹上的每一小
段都可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变)，则从图中
情况可以确定( )
A．粒子从a到b，带正电B．粒子从a到b，带负电
C．粒子从b到a，带正电
D．粒子从b到a，带负电
训练2、如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和
电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场
中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是( )
A．粒子a带负电
B．粒子c的动能最大
C．粒子b在磁场中运动的时间最长
D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大
训练3、(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为 B，磁场的宽度
为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁
场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴的某点离开磁场。忽
略粒子重力。关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨迹半径为d
B．它进入磁场时的速度为
C．它在磁场中运动的时间为
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
训练4、如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同
的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v ，这些粒子在磁
1
场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不
2
计重力及带电粒子之间的相互作用。则v∶v 为( )
2 1A．∶2 B．∶1
C．∶1 D．3∶
训练5、(2019·全国卷Ⅲ·18)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为 B和B、方向
均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为 m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直
于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
A． B．
C． D．
考点三、带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
分析思路和方法
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解
的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
两种思路
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求
出临界值
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；
物理方法
(3)利用矢量图求极值
两种方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极
数学方法
值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图像法等
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”
从关键词找
“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特
突破口
定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件
例1、(多选) 如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中
心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度
大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是( )A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
例2、（2020全国3）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方
向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为
m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小
为（ ）
A． B．
C． D．
例3、如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电
的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v 射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已
0
知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v 的取值范围。
0课堂随练
训练1、如图所示，平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，两边界
间距为d。边界MN上A点有一粒子源，可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m、电荷量为q的带正
电的粒子，粒子射出的速度大小均为v＝。若不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射
出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为( )
A．1 B．2∶3
C．∶2 D．2∶7
训练2、如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ac＝L，一个粒子源在a点将质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小和
方向不同的速度射入磁场，不计重力，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是( )A． B．
C． D．
训练3、(2022·苏锡常镇四市5月调研)如图，直角坐标系xOy中，y轴上P点处有一个粒子源，可沿－x到
＋x方向向上180°范围内发射带正电的粒子，粒子的比荷均为＝5.0×106 C/kg，速度大小介于0～3.0×105
m/s。MN是一块置于x轴上的粒子收集薄金属板，各点坐标如图，其中a＝0.3 m。可以通过施加电场或磁
场的方式进行粒子的收集。
(1)若平面内存在电场，且P和MN间电势差U＝7.0×103 V，求到达板上的粒子的速度最大值；
(2)若在平面内加一垂直于纸面向外的足够大匀强磁场，磁感应强度为B＝0.1 T，求能够被板MN收集到的
粒子的最小速度；
(3)在第(2)问的条件下，求能够被板MN收集到的粒子的最长运动时间。 同步训练
1、(2022·浙江高三模拟)一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向如图所示，现有一电子从
直导线下方以水平向右的初速度v开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动，下列说法正确的
是( )
A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大
B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小
C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大
D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小
2、云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄
的照片。云室中加了垂直于纸面向里的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的
径迹。有关a、b、c三条径迹以下判断正确的是( )A．a、b、c都是正电子的径迹
B．a径迹对应的粒子动量最大
C．c径迹对应的粒子动能最大
D．c径迹对应的粒子运动时间最长
3、某带电粒子以速度v沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中．粒子做半径为R的匀速圆周运动，若粒子的速
度为2v，则下列说法正确的是( )
A．粒子运动的周期变为原来的
B．粒子运动的半径仍为R
C．粒子运动的加速度变为原来的4倍
D．粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍
4、(多选) (2019·海南卷，9)如图，虚线MN的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的粒
子P、Q从磁场边界的M点先后射入磁场，在纸面内运动。射入磁场时，P的速度v 垂直于磁场边界，Q
P
的速度v 与磁场边界的夹角为45°。已知两粒子均从N点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则(
Q
)
A．P和Q的质量之比为1∶2 B．P和Q的质量之比为∶1
C．P和Q速度大小之比为∶1 D．P和Q速度大小之比为2∶1
5、(2019·全国Ⅱ卷，17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于
纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知
电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )A．kBl，kBl B．kBl，kBl
C．kBl，kBl D．kBl，kBl
6、(多选)如图所示，在直角坐标系xOy中x＞0空间内充满方向垂直纸面向里的匀强磁场(其他区域无磁
场)，在y轴上有到原点O的距离均为L的C、D两点。带电粒子P(不计重力)从C点以速率v沿x轴正向射
入磁场，并恰好从O点射出磁场；与粒子P相同的粒子Q从C点以速率4v沿纸面射入磁场，并恰好从D
点射出磁场，则( )
A．粒子P带正电
B．粒子P在磁场中运动的时间为
C．粒子Q在磁场中运动的时间可能为
D．粒子Q在磁场中运动的路程可能为
7、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点
有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，
已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A． B．
C． D．
8、(2022·丹东一模)如图所示，坐标平面内有边界过P(0，L)点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，方向垂
直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子(不计重力)，从P点以初速度v 平行于x轴正方向射入磁场
0
区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x轴正方向的夹角为60°，下列说法正确的是( )A．磁场方向垂直于坐标平面向外
B．磁场的磁感应强度B＝
C．圆形磁场区域的半径为2L
D．圆形磁场的圆心坐标为
9、如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速
度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出
磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是(
)
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．圆形磁场区域的半径为tan θ
10、(2019·全国Ⅰ卷，24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直
于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，
该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角
为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。11、(2022·浙江百校3月联考)一简易的速度筛选器如图所示，形状为一等腰直角三角形，直角边长为 2a。
在该区域里，有一垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场。一束速度大小不同，质量为m、电荷量
为q的带正电粒子从中点O垂直AB射入该磁场区域，在BC边放置一粒子收集器，长度与BC等长，粒子
打到收集器上会被收集，从而把这些粒子筛选出来。其中粒子重力不计，也不计粒子间相互作用。
(1)求能被收集粒子的最小速度；
(2)求能被收集粒子的速度范围；
(3)讨论能被收集粒子在磁场中运动的时间与速度的关系；
(4)如果入射点稍向下移，能被收集粒子的速度范围会增大还是减小？(不需要写出推导过程)
