文档内容
第 2 节 运动的合成与分解
目录
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................1
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：一个平面运动的实例........................................................................................................................2
知识点2：运动的合成与分解............................................................................................................................6
知识点3：小船渡河模
型....................................................................................................................................15知识点4：关联速度
模型....................................................................................................................................21
【方法技巧】.............................................................................................................................................................31
方法技巧 小船渡河...........................................................................................................................................31
方法技巧 解决关联速度问题的思路...............................................................................................................31
【巩固训练】.............................................................................................................................................................31
【学习目标】
1．通过蜡块的运动理解合运动、分运动的概念，会分析互成角度的两个分运动的合运动的运动性质。
2．掌握运动的合成与分解的方法。
3．体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能运用这种思想分析解决实际问题。
重点：
1．通过对合运动与分运动的分析，知道合运动与分运动的关系。
2．能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移。
3．能利用运动的合成和分解知识分析关联速度问题，掌握绳关联和杆关联速度分解的方法。
难点：
1.学会判断合运动的轨迹和性质。
2.会解决小船渡河问题。
【思维导图】【知识梳理】
知识点 1：一个平面运动的实例
1．实验观察蜡块的运动规律
蜡块在竖直玻璃管内向上匀速直线运动，将玻璃管沿水平方向匀速直线运动，观察到蜡块做匀速直线运动。
2.蜡块的位移与位置
蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为v ，玻璃管向右匀速移动的速度设为v 。从蜡块开始运动
y x的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝v t，y＝v t。
x y
3．蜡块运动的轨迹
在x、y的表达式中消去t，得y=𝑣
𝑦𝑥，由于v 和v 均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。
x y
𝑣
𝑥
4．蜡块的速度
由勾股定理可得：v＝ v2+v2，v与x轴正方向间夹角的正切为𝑡𝑎𝑛𝜃= v y
x y
v
x
【典例1】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R（R视为质点）。将玻
璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R
在x、y方向的运动情况可能是（ ）
A．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀速直线运动
B．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
C．x方向上做匀减速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
D．x方向上做匀加速直线运动，y方向上做匀速直线运动
【答案】D
【解析】AB.由题图图像趋势可知，若x方向做匀速直线运动，则y方向应做减速直线运动，故AB错误；
C.若在x方向做匀减速直线运动，y方向做匀加速直线运动，则合力方向向左上方，图像应该向左上凹，
故C错误；
D.由图像趋势可知，若在y方向做匀速直线运动，则在x方向应做加速运动，故D正确。
故选D。
【变式1】如图所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将
玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿
水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（ ）A．速度不断增大 B．速度先增大后减小
C．运动的加速度保持不变 D．运动的加速度先水平向左后水平向右
【答案】B
【解析】AB．由图可知，在水平方向上，蜡块受到的合外力先指向右侧，故蜡块向右做匀加速直线运动；
之后，蜡块受到的合外力指向左侧，故蜡块向右做匀减速直线运动，故蜡块水平方向的速度先增大后减小
，而蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，故蜡块合速度先增大后减小，故A错误，B正确；
CD．由上分析，可知蜡块运动的加速度方向先向右再向左，故加速度发生变化，故CD错误。
故选B。
【变式2】如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐
标原点以速度𝑣
0
=3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，1s时小
圆柱体的速度为𝑣=5cm/s。下列说法正确的是（ ）
A．小圆柱体做匀加速直线运动
B．小圆柱体的加速度是4cm/s2C．0~1s内小圆柱体沿y轴方向的位移为2cm
D．该时刻小圆柱体到坐标原点的距离为5cm
【答案】B
【解析】A．小圆柱沿y轴方向做匀速直线运动，x轴方向上做初速度为0的匀加速直线运动，合运动为匀
变速曲线运动。故A错误；
B．由
𝑣= 𝑣2+𝑣2
𝑥 𝑦
可得1s时
𝑣 =4cm/s
𝑥
由
𝑣 =𝑎 𝑡
𝑥 𝑥
可得
𝑎=𝑎 =4cm/s2
𝑥
故B正确；
C．由𝑦=𝑣 𝑡
0
可得𝑦=3cm，故C错误；
1
D．1s内x轴上的位移为𝑥= 𝑣 𝑡=2cm
2 𝑥
小圆柱体到坐标原点的距离𝑠= 𝑦2+𝑥2 = 13cm，故D错误。故选B。
【变式3】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R（R视为
质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度𝑣
0
=3cm/s匀速
上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为(4cm,6cm)，
则此时（ ）A．R的加速度大小为2cm/s2 B．R的加速度大小为4cm/s2
C．R的速度大小为4cm/s D．R的速度大小为5cm/s
【答案】AD
【解析】AB．y轴方向上，R做匀速直线运动，x轴方向上，R做初速度为零的匀加速直线运动，则
𝑦=𝑣 𝑡=6cm
0
1
𝑥= 𝑎𝑡2 =4cm
2
解得
𝑡=2s，𝑎=2cm/s2
故A正确，B错误；
CD．x轴方向上，R的速度大小为
𝑣 =𝑎𝑡=4cm/s
𝑥
R的速度大小为
𝑣= 𝑣2+𝑣2 =5cm/s
0 𝑦
故C错误，D正确。
故选AD。
知识点 2：运动的合成与分解
1． 合运动与分运动
（1）一个物体同时参与几个运动，那么物体实际的运动叫做合运动，参与的那几个运动叫做分运动。（2）合运动与分运动的关系
（1） 等时性---合运动和分运动经历的时间相等；
（2）独立性---各分运动独立进行，互不影响；
（3）等效性---各分运动的规律叠加起来和合运动的规律效果相同；
（4）同体性---各分运动与合运动是同一物体的运动。
合运动与分运动
运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解，物体实际运动（合运动）的位移、速
度、加速度就是物体的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是物体的分位
移、分速度、分加速度。合运动的位移、速度、加速度可以比两个分运动的位移、速度、加速度都
大，也可以比两个分运动位移、速度、加速度都小，还可以等于其中一个分速度的位移、速度、加速
度。
2． 运动的合成与分解
（1）由分运动求合运动的过程叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程叫作运动的分解。运动的合成
与分解指的是对位移、速度、加速度这些描述运动的物理量进行合成与分解。
（2）运算法则：
①分解方法：可以根据运动的效果分解；也可以正交分解。
②位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循平行四边形定则。
3． 合运动的性质
（1）合运动性质的分析方法
①F(𝑎 )与v共线，物体做直线运动，若F(𝑎 )不变，为匀变速直线运动；若F(𝑎 )变化，为非匀变
合 合 合
速直线运动。
②F（𝑎 )与v不共线，物体做曲线运动，若F(𝑎 )不变，为匀变速曲线运动；若F(𝑎 )变化，为非匀
合 合 合
变速曲线运动。
（2）两个互成角度的直线运动合成
两个匀速直线运 一个匀速直线运动 两个初速度为0的匀加 两个初速度不为0的匀加速直线运
分运动 动 一个匀变速直线运 速直线运动 动
匀速直线运动 匀变速曲线运动 初速度为0的匀加速直 可能是匀变速直线运动
合运动 线运动 可能是匀变速曲线运动两个匀速直线运 一个匀速直线运动 两个初速度为0的匀加 两个初速度不为0的匀加速直线运
分运动 动 一个匀变速直线运 速直线运动 动
𝒂
𝒂
矢量图 𝟏
𝒂
𝟐
判断合运动的性质
判断互成角度的直线运动的合运动性质，关键是判断合初速度与合加速度是否共线、合加速度是否恒
定，
合成两个直线运动的初速度，得到合初速度；合成两个直线运动的加速度，得到合加速度。
【典例2】关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动
【答案】BC
【解析】AB．合运动的速度可以比两个分运动的速度都大，也可以比两个分运动的速度都小，还可以等于
其中一个分速度的大小，故A错误，B正确；
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，如果合初速度方向与合加速度方向不在同一直线上，则合
运动为曲线运动，故C正确；
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动，故D错误。
故选BC。
【变式1】如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔贴着细线的顶端水平向右匀速移动，运
动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。在铅笔未碰到橡皮前，关于橡皮的运动下列说法正确的是（
）A．橡皮做匀加速直线运动
B．橡皮做匀速直线运动
C．橡皮做匀变速曲线运动
D．橡皮做速率不变的曲线运动
【答案】B
【解析】运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直，可知橡皮一直处于铅笔正下方，则橡皮水平方向
做匀速直线运动，由于细线总长度保持不变，橡皮竖直方向的位移大小总是等于水平方向的位移大小，即
橡皮竖直方向的分速度总是等于水平方向的分速度，则竖直方向也是做匀速直线运动，故橡皮的合运动为
匀速直线运动。
故选B。
【变式2】无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右
、竖直向上为𝑥轴、𝑦轴的正方向，某架参演的无人机在𝑥、𝑦方向的𝑣−𝑡图像分别如图甲、乙所示，则在
0∼𝑡 时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
2A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，在0∼𝑡 时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，
1
可知在0∼𝑡 时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知0∼𝑡 时间内无人
1 1
机运动的轨迹向左弯曲；在𝑡 ∼𝑡 时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运
1 2
动，可知在𝑡 ∼𝑡 时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在𝑡 ∼𝑡 时间内无人
1 2 1 2
机运动的轨迹向下弯曲。
故选A。
【变式3】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，
在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．运动员着地时的速度方向竖直向下
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关【答案】C
【解析】AC．运动员下落时间只与竖直方向上的运动有关，与风力的大小无关，故A错误，C正确；
BD．运动员在水平方向上受到风力的作用会有速度，风力越大，则水平方向的速度越大，运动员着地时的
速度不是竖直向下的，且速度的大小与风力有关，故BD错误。
故选C。
【典例3】我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无
人机配送质量为2kg的物件时，物件水平𝑥轴方向和竖直𝑦轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示，以竖
直向上为正方向。重力加速度𝑔取10m/s2
，下列说法正确的是（ ）
A．物件在1∼3s内做变减速曲线运动
B．物件在水平方向加速度大小为4m/s2
C．物件在1s时的速度大小为3m/s
D．物件在0∼3s提升的高度为4.5m
【答案】D
【解析】A．根据物件在水平𝑥轴方向的𝑥−𝑡图像可知，x方向做匀速直线运动，有
𝑣 =4m/s，𝑎 =0
𝑥 𝑥
以竖直向上为正方向，竖直𝑦轴方向的运动的𝑣−𝑡图像可知，物件先沿正向做匀加速直线运动，再做匀减速
直线运动，有
𝑎 =3m/s2 ，𝑎 =− 3 m/s2
𝑦1 𝑦2 2
则物件在0∼1s做匀变速曲线运动，速度增大，在 1∼3s内做匀变速曲线运动，速度减小，故A错误；
B．物件在水平方向做匀速直线运动，加速度大小为零，故B错误；
C．物件在1s时的速度大小为𝑣= 𝑣2+(𝑎 𝑡)2 = 42+32m/s=5m/s
𝑥 𝑦1
故C错误；
D．物件在0∼3s提升的高度即为𝑦方向的位移，也是𝑣−𝑡图像的面积，有
3×3
ℎ= m=4.5m
2
故D正确。
故选D。
【变式1】某快递公司用无人机配送快递，某次配送质量为1kg的快递，在无人机飞行过程中，0~10s内快
递在水平方向的速度—时间图像如图甲所示，竖直方向（初速度为零）的加速度—时间图像如图乙所示，
下列说法正确的是（ ）
A．快递做匀变速曲线运动
B．快递在0~10s内的位移大小为75m
C．10s末快递的速度为10 26m/s
D．1s末快递受到合力大小为4 2N
【答案】C
【解析】A．0~5s时间内，快递在水平方向上的分运动为初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上的
分运动是加速度不断增大的变加速直线运动，则其合运动变加速曲线运动，同理，5s~10s时间内，快递在
水平方向上的分运动为匀速直线运动，在竖直方向上的分运动是加速度不断减小的变加速直线运动，则其
合运动变加速曲线运动，故A错误；
B．在𝑣−𝑡图像中图线与时间轴所围的面积表示水平位移，则0～10s内快递的水平位移为
1
𝑥= ×5×10m+5×10m=75m
2而竖直方向的位移不为零，所以快递在0~10s内的位移大小肯定大于75m，故B错误；
C．依据𝑎−𝑡图像与时间所围成的面积为速度的变化量，则10s末快递的竖直分速度为
1
𝑣 = ×10×10m/s=50m/s
𝑦 2
而10s末快递的水平分速度𝑣
𝑥
为10m/s，所以10s末快递的速度为
𝑣= 𝑣2+𝑣2 =10 26m/s
𝑥 𝑦
故C正确；
D．在1s末，快递水平方向加速度为
Δ𝑣 10−0
𝑎 = = m/s2 =2m/s2
𝑥 Δ𝑡 5−0
竖直方向加速度为
10
𝑎 = ×1m/s2 =2m/s2
𝑦 5
根据加速度合成可知，1s末快递的加速度为
𝑎= 𝑎2+𝑎2 =2 2m/s
𝑥 𝑦
由牛顿第二定律，则有，1s末快递受到合力大小为
𝐹=𝑚𝑎=2 2N
故D错误。
故选C。
【变式2】某物体的运动分解为相互垂直的x方向和y方向的𝑣−𝑡图像如图所示。在0~1s内，下列判断正
确的是（ ）A．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为10m/s2
，做匀变速直线运动
B．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为10m/s2
，做匀变速曲线运动
C．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为14m/s2
，做匀变速直线运动
D．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为14m/s2
，做匀变速曲线运动
【答案】A
【解析】在0~1s内，由速度—时间图像可知，x方向初速度为𝑣
0𝑥
=6m/s，加速度为𝑎
𝑥
=6m/s2 ，y方向
初速度为𝑣 =8m/s，加速度为𝑎 =8m/s2 ，根据平行四边形定则可以得到合初速度为
0𝑦 𝑦
𝑣 = 𝑣2 +𝑣2 =10m/s
0 0𝑥 0𝑦
合加速度为
𝑎= 𝑎2+𝑎2 =10m/s2
𝑥 𝑦
而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动。
故选A。
【变式3】某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、
乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（ ）
A．质点的运动轨迹是直线
B．𝑡=2s时，质点的合速度方向与水平方向成45°
C．𝑡=3s时，质点的合速度大小为 13m/s
D．𝑡=4s时，质点的合位移大小为16m【答案】BC
【解析】A．由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点速度方向和受力方向
不在同一直线上，物体做曲线运动，A错误；
B．𝑡=2s时，质点竖直方向上的速度𝑣
𝑦
=𝑎𝑡=2m/s
𝑣
质点的合速度方向与水平方向的夹角tan𝜃= 𝑦 =1
𝑣
𝑥
质点的合速度方向与水平方向成45°，B正确；
C．𝑡=3s时，竖直方向上的速度𝑣
𝑦
=𝑎𝑡=3m/s
质点合速度的大小为𝑣= 𝑣2+𝑣2 = 13m/s
𝑥 𝑦
C正确；
D．𝑡=4s时，质点水平方向位移为𝑥=𝑣 𝑡=8m
𝑥
质点竖直方向上的位移𝑦= 1 𝑎𝑡2 =8m
2
故质点的合位移大小为𝑠= 𝑥2+𝑦2 =8 2m
D错误。
故选BC。
知识点 3：小船渡河模型
1. 模型特点
(1)船的实际运动是船随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三个速度v (船在静水中的速度)、v (水流速度)、v (船的实际速度)（如图甲所示）。船头指向是
船 水 合
船在静水中的速度方向，船的实际运动方向是合运动的方向。
2. 分析方法将船的运动分解为船随水流的运动和船在静水中的运动，如图乙所示。v 表示水流速度，v 表示船
水 船
在静水中的速度，θ表示船头与河岸间的夹角，将船的速度v船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分
解，则v －v cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v ＝v sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。两
水 船 ⊥ 船
个方向的运动情况相互独立、互不影响。
3.最短渡河时间与最短渡河位移
情况 图示 说明
渡河
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝
min
时间 d
v
最短 船
如果v ＞v ，当船头方向与上游夹角θ满足v cos θ＝v
船 水 船 水
时，合速度方向垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河
位移
最短
如果v ＜v ，当船头方向(即v 方向)与合速度方向垂直
船 水 船
dv
时，渡河位移最短，等于 水
v
船
【典例4】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是
瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（ ）
𝑏
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为𝑡=
𝑣
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短
𝑎𝑣
C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为𝑣 min = 𝑏
𝑎𝑣
D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为𝑣 min =
𝑎2+𝑏2
【答案】D【解析】A．当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为
𝑎
𝑡 =
min 𝑣
船
且𝑡 必须小于或等于
min
𝑏
𝑡=
𝑣
故A错误；
B．小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度小于船在静水中速度，渡
河时间不是最短，故B错误；
CD．小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得
𝑎𝑣
𝑣 =
min
𝑎2+𝑏2
故C错误，D正确。
故选D。
【变式1】假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300m的水域
的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关
系如图乙所示，则关于小船渡过这段水域的运动，下列说法正确的是（ ）
A．最短时间为100s B．最小位移大于300m
C．最大速度为3.5m/s D．运动轨迹为直线
【答案】B
【解析】A．垂直河岸渡河时时间最短，则
𝑑 300
𝑡 = = s=200s
min 𝑣 1.5
静
故A错误；B．由于水流速度不断变化，当水流速度大于船在静水中的速度时，船将不能垂直河岸渡河，所以最小位
移大于河宽，即最小位移大于300m，故B正确；
C．由图可知，最大速度为
𝑣 = 1.52+2.02m/s=2.5m/s
m
故C错误；
D．船在沿河岸方向做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，
故D错误。
故选B。
【变式2】如图，小船以大小为𝑣 1＝5m/s、船头与上游河岸成𝜃＝60°角的速度（在静水中的速度）从A处
渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽𝑑＝180m，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为2.5 3m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 3s
C．小船渡河的最短时间为24s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是85 5m
【答案】B
【解析】A．由速度矢量关系知，河中水流速度为
𝑣 ＝𝑣 cos60°
2 1
代入得
𝑣 ＝2.5m/s
2
A错误；
B．小船以最短位移渡河时的时间为𝑑
𝑡=
𝑣 sin60°
1
代入得
180
𝑡= s=24 3s
3
5×
2
B正确；
C．当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为
𝑑
𝑡 =
min 𝑣
1
代入得
180
𝑡 = s=36s
min 5
C错误；
D．小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小为
𝑥＝𝑣 ⋅𝑡
2 min
代入得
𝑥=2.5×36m=90m
则由矢量关系知，总位移大小为
𝑠= 𝑑2+𝑥2
代入得
𝑠=90 5m
D错误；
故选B。
【变式3】如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 𝑣 =5m/s的河流中进行水上救援演练，
1
可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v ，则（ ）
2A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安
全到达对岸
B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v 不得小于3m/s
2
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 𝑣 =10m/s匀速航行，则恰能到达正对岸
2
D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s
【答案】A
【解析】A．冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，有
1
𝑑= 𝑎𝑡2
2
解得
20 5
𝑡= s
3
沿水流方向的位移为
100 5
𝑥 =𝑣 𝑡= m<𝑥
水 1 3
能安全到达对岸。故A正确；
BD．冲锋舟沿OP方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图所示设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为𝜃，则冲锋舟在静水中的速度至少应为
𝑣 =𝑣 sin𝜃
min 1
由几何知识，可得
𝑑
tan𝜃 =
𝑥
联立，解得
𝑣 =4m s
min
由图可知
𝑂𝑃= 𝑑2+𝑥2
冲锋舟以最小速度匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间为
𝑂𝑃 125
𝑡 = = s
2 𝑣 cos𝜃 3
1
故BD错误；
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 𝑣 =10m/s匀速航行，则有
2
𝑣 cos30° =5 3m s >5m s
2
可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸。故C错误。
故选A。
知识点 4：关联速度模型
1. 模型特点
关联速度问题一般是由绳(或杆)相牵连的物体或直接接触的两物体问题（高中阶段研究的绳都是不可伸长
的，杆都是不可伸长且不可压缩的），在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳、沿杆或
垂直于接触面方向的速度大小相等，称为关联速度。
2. 分析方法
物体的实际运动就是合运动。把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分
量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。
3. 常见模型速度关系 图例
𝑣 =𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
物
绳模型
𝑣 =𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐵 物
𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝐵 𝐴
杆模型 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑣 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝐴 𝐵
【典例4】如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量
，当绳子与水平面夹角为𝜃时，下面说法正确的是（ ）
𝑣
A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为𝑣cos𝜃
cos𝜃
C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力
【答案】B
【解析】AB．将小车的速度沿绳和垂直绳方向分解，则物体A的速度与小车的速度沿绳方向的分速度大小
相等，即
𝑣 =𝑣cos𝜃
A故A错误，B正确；
CD．小车向右匀速运动，v不变，𝜃减小，cos𝜃增大，所以𝑣
A
增大，物体A加速上升，加速度向上，合外
力向上，绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故C、D错误。
故选B。
【变式1】如图，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。轻环
A在外力作用下沿杆匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置过程中（ ）
A．重物B匀速下降 B．重物B加速下降
C．绳对B的拉力小于B的重力 D．绳对B的拉力大于B的重力
【答案】D
【解析】AB．设轻环A在外力作用下沿杆𝑣匀速上升时绳与竖直方向的夹角为𝜃，由绳关联的速度关系有
𝑣cos𝜃=𝑣
B
因𝜃逐渐增大，则cos𝜃减小，可知𝑣
B
减小，即重物B减速下降，故AB错误；
CD．因重物B减速下降，由牛顿第二定律可知所受合外力向上，即绳对B的拉力大于B的重力，故C错误
，D正确。
故选D。
【变式2】如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与
放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为夹角为37°、53°，两物体的
20 3 4
速率分别为𝑣 、𝑣 ，且此时𝑣 +𝑣 = m/s，sin37°= 、cos37°= ，则𝑣 的大小为（ ）
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 3 5 5 𝐴10 4
A． m/s B． m/s C．2m/s D．4m/s
3 3
【答案】A
【解析】设此时绳子的速率为v，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解如图所示
可得
𝑣=𝑣 sin37°
A
𝑣=𝑣 cos53°
B
结合
20
𝑣 +𝑣 = m/s
𝐴 𝐵 3
解得
10
𝑣 = m/s
A 3
故选A。
【变式3】如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角
为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么（ ）A．5 s时绳与水面的夹角为60°
B．5 s时小船前进了15 m
C．5 s时小船的速率为5 m/s
D．5 s时小船到岸边距离为10 m
【答案】C
【解析】A．几何关系可知，开始时船与滑轮间的绳长为40m，故5 s时船与滑轮间的绳长为
𝐿= (40−3×5)m=25m
设此时绳与水面的夹角为𝜃，则有
20
sin𝜃= =0.8
25
故绳与水面的夹角为53°，故A错误；
B．结合以上分析，5 s时小船前进的距离为
20 20
Δ𝑥= − m= (20 3−15)m
tan30° tan53°
故B错误；
C．设5 s时小船的速率为𝑣 ，把其沿绳方向和垂直于绳方向分解，则有
船
𝑣=𝑣 cos53°
船
代入题中数据，解得
𝑣 =5m/s
船
故C正确；
D．5 s时小船到岸边距离为
20
Δ𝑥 = m=15m
1 tan53°故D错误。
故选 C。
【典例5】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆𝐿 、𝐿 ，两杆不接触，间距可忽略不计。两个小
1 2
球a、b均视为质点，a球套在竖直杆𝐿 上，b球套在水平杆𝐿 上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，当轻杆
1 2
与竖直方向的夹角为𝛼时，小球a的速度大小为𝑣 ，则此时小球b的速度大小为（ ）
0
𝑣
A．𝑣
𝑎
sin𝛼 B．𝑣
𝑎
cos𝛼 C．𝑣
𝑎
tan𝛼 D．
tan
𝑎
𝛼
【答案】D
【解析】设小球b的速度为𝑣 ，先将两小球的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，再根据小a球沿杆方向的
𝑏
分速度等于小球b沿杆方向的分速度，可得
𝑣 cos𝛼=𝑣 cos(90∘−𝛼)
𝑎 𝑏
解得
𝑣
𝑎
𝑣 =
𝑏 tan𝛼
故选D。
【变式1】如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v ，半圆柱体上有一根能沿竖
0
直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角
为θ，下列说法正确的是（ ）A．竖直杆向下做加速直线运动
B．竖直杆向下做减速直线运动
C．v ：v =tanθ：1
0 杆
D．v ：v =1：tanθ
0 杆
【答案】AD
【解析】AB．杆受半圆柱体的作用力如图所示
因两接触运动物体沿接触弹力方向的分速度相等，所以有
v sinθ=v cosθ
0 杆
杆向下运动，θ变大，tanθ变大，则
v =v tanθ
杆 0
变大，杆做加速直线运动，A正确，B错误；
CD．根据
v =v tanθ
杆 0
得v ：v =1：tanθ
0 杆
C错误，D正确。
故选AD。
【变式2】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖
直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑
侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【解析】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力F ，如图1所示，
N
在水平方向由牛顿第二定律得
𝐹cos𝜃= (𝑀+𝑚)𝑎
𝑥分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度
与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而cos𝜃逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当
恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。
故选D。
【变式3】曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，
从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴
上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速n=1800r/min,OA=20cm,AB=60cm，
下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为8 2πm/s
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为12πm/s
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为4 10πm/s
【答案】D【解析】A．根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，故A错误；
B．由公式
v=2pnr
可得，A点线速度为
v =12pm/s
A
将A点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示，
由几何关系可得
v =v =12pm/s
B1 A
故B错误；
C．同理可知，当OA与AB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故C错误；
D．同理可知，当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，则
v cosa=v
B1 A
由几何关系
AB 3 10
cosa= =
AB2+OA2 10
联立，解得
v =4 10πm/s
B2
故D正确。故选D。
【方法技巧】
方法技巧 1 小船渡河
1. 求最短渡河位移时，要先判断船速与水速的大小关系，如果船速小于水速，船不能垂直到达河岸，当
船速与合速度垂直时，有最短渡河位移，但此时渡河时间不是最短。
2. 渡河时间与水速无关，只要船头垂直于河岸，渡河时间就最短。
方法技巧 2 解决关联速度问题的思路
【巩固训练】
1．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在一端封闭的细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做的小圆
柱体A，玻璃管的开口用橡皮塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块A从坐标原点以速度v 匀速上浮，在蜡块匀速
0
上升的同时，将玻璃管沿ⅹ轴正方向由静止开始做匀加速直线运动。蜡块A的运动轨迹为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】蜡烛在竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则合运动为曲线运动，加速度沿水平方向
，合外力沿水平方向，则轨迹的凹向指向x轴正向。
故选B。
2.（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）关于运动，以下说法正确的是（ ）
A．物体受变力作用不可能做直线运动
B．物体受恒力作用不可能做曲线运动
C．两个初速度为0，加速度不同的匀变速直线运动的合运动有可能是曲线运动
D．分运动一是匀速直线运动，分运动二是匀加速直线运动，若这两个运动的方向不在一条直线上，
则其合运动一定是曲线运动
【答案】D
【解析】A．物体受变力作用，如果力与速度在同一直线上，则物体做直线运动，故A错误；
B．物体受恒力作用，如果力与速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，故B错误；
C．两个初速度为0，加速度不同的匀变速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动，故C错误；
D．分运动一是匀速直线运动，分运动二是匀加速直线运动，若这两个运动的方向不在一条直线上，则合
力方向与合速度方向一定不在同一直线上，其合运动一定是曲线运动，故D正确。
故选D。3.（25-26高三上·山东烟台·期中）某质点在Oxy平面上运动，其沿x轴方向运动的加速度一时间图像如图
甲所示，沿y轴方向运动的位移一时间图像如图乙所示。已知t=0时，质点位于y轴上，它沿x轴方向速
度为1m/s。则t=3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为（ ）
A． 5 2m B． 61m C． 74m D． 89m
【答案】B
【解析】由图可得，物体运动在1~3s时间内，沿y轴方向的位移Δy=7.5-2.5m=5m
x轴方向匀加速直线运动，t=1s时的速度v =v +at =2m/s
1 0 1
1 1
1~3s时间内的位移Dx=vt + at 2=(2´2+ ´1´22)m=6m
12 2 2 2
则t =3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为 s= Δx2 +Δy2 = 52+62m= 61m
故选B。
4.（24-25高一下·广东肇庆·期末）小船横渡一条两岸平直的河流，水流速度方向与河岸平行，船相对于静
水的速度大小不变，且船头始终垂直指向河岸，小船由P到Q的运动轨迹如图所示。关于小船渡河的过程
，下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河的时间与水流的速度无关
B．小船做匀变速曲线运动C．河水各处的流速均相等
D．小船的实际速度一直在变大
【答案】A
d
【解析】A．小船的船头垂直河岸渡河时，由运动的独立性知，渡河时间t = ，与水流的速度无关，故
v
船
A正确；
CD．如图，
小船在静水中的速度大小和方向均不变，由轨迹的切线可知，小船的实际速度v与船在静水中的速度v 的
船
夹角先变大后变小，故水流的速度v 先变大后变小，小船的实际速度先变大后变小，故CD错误；
水
B．小船的实际速度先增大后减小，做非匀变速曲线运动，故B错误。
故选A。
5.（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓
意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者
B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为q，则（ ）
A．A匀速运动时，B加速上升
B．A匀速运动时，B也匀速上升
C．当q=30o时，A与B的速度大小之比为 3:2D．当q=30o时，A与B的速度大小之比为2: 3
【答案】AD
【解析】AB．由运动的合成和分解可得v =v cosq
B A
A匀速向左运动过程中θ变小，v 增大，因此A匀速运动时，B加速上升，选项A正确，B错误；
B
CD．根据v =v cosq
B A
1 v
可得 = A
cosq v
B
可知当q=30o时，A与B的速度大小之比为2: 3，选项D正确，C错误。
故选AD。
6.（24-25高一下·云南文山·期中）关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于分运动的速度
B．运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解
C．合运动的时间等于各分运动的时间之和
D．分运动是变速直线运动，则合运动必是曲线运动
【答案】B
【解析】A．合速度的大小由分速度的矢量和决定，可能小于分速度（如分速度方向相反时），故A错误
；
B．运动的合成与分解本质是对位移、速度、加速度等矢量的合成与分解，符合矢量叠加法则，故B正确
；
C．分运动与合运动是同时发生的，时间必然相等，而非相加，故C错误；
D．若两个分运动的合加速度方向与合速度方向共线，即使分运动是变速直线运动，合运动仍为直线运动
，故D错误。
故选B。7.火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一
根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v 匀速运动，被救助的人员紧抱在
0
M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当BN =2h时，被救人员向B点运动的速率是（ ）
3 1
A．v B．2v C． v D． v
0 0 2 0 2 0
【答案】C
【解析】设杆与水平面CD的夹角为q，由几何关系可知
h 1
sinq= =
2h 2
即
q=30°
将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v 和垂直杆转动的速度v ，由矢量三角形可知
1 2
3
v =v cosq= v
1 0 2 0
3
而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 v 。
2 0
故选C。
8.一质点在直角坐标系𝑥𝑂𝑦所在平面内由𝑂点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化如图所示
。则（ ）A．3s末质点速度的大小为7m/s
B．前3s质点做匀变速直线运动，加速度大小为1m/s2
C．3−4s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5m/s2
D．3−4s内质点的位移大小为7.5m
【答案】D
【解析】A．3s末质点x轴方向和y轴方向的速度分别为3m/s、4m/s，根据矢量的合成可知
𝑣= 𝑣2+𝑣2 =5m/s
𝑥 𝑦
故A错误；
B．初始质点y轴方向有速度，x轴方向有加速度，二者不共线，则质点做曲线运动，加速度为
Δ𝑣
𝑎= =1m/s2
Δ𝑡
故B错误；
C．3−4s内质点x轴和y轴方向的加速度分别为
Δ𝑣 6−3
𝑎 = 𝑥 = m/s2 =3m/s2
𝑥 Δ𝑡 4−3
𝑥
Δ𝑣 8−4
𝑦
𝑎 = = m/s2 =4m/s2
𝑦 Δ𝑡 4−3
𝑦
合加速度为
𝑎′ = 𝑎 2+𝑎 2 =5m/s2
𝑥 𝑦
与x轴方向的夹角为
𝑎 4
𝑦
tan𝜃= =
𝑎 3
𝑥
3s末，速度与x轴方向夹角为
𝑣 4
𝑦
tan𝛼= =
𝑣 3
𝑥
可知3−4s内质点做匀变速直线运动，加速度大小为5m/s2
，故C错误；D．3s末质点的速度为5m/s，加速度为5m/s2
，做匀变速直线运动，则3s~4s的位移为
𝑥=𝑣𝑡+
1 𝑎′𝑡2
=7.5m
2
故D正确；
故选D。
9.如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数𝜇=0.2，杆的竖直部分光滑
。两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连，已知：𝑂𝐴=6m，𝑂𝐵=8m，若A球
在水平外力作用下向右移动的速度为3m/s时，则B球的速度为（ ）
A．1.5m/s B．2.25m/s C．3m/s D．4m/s
【答案】B
【解析】将A球速度沿着绳和垂直于绳分解，平行分量为
𝑣 =𝑣 cos𝜃
∥ A
其中
𝑂𝐵 4
tan𝜃= =
𝑂𝐴 3
即
𝜃=53∘
A球和B球沿着绳的分速度相等，则B球沿着绳的速度分量为
𝑣 ′ =𝑣
∥ ∥
则B球的速度为
𝑣 ′
∥
𝑣 = =2.25m/s
B sin𝜃
故选B。10.（24-25高一下·河南开封·期末）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的
速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ ）
A．船渡河的最短时间是60s
B．船在行驶过程中，船头必须始终偏向河岸上游
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
【答案】D
d 300
【解析】A．当船头的指向与河岸垂直时，渡河时间最短，t = = s=100s，故A错误；
min v 3
静
BC．当静水速（即船头的指向）与河岸垂直时，渡河时间最短，由于水流速在变化，所以合运动不是直线
运动，故BC错误；
D．当水流速最大时，合速度最大，最大速度为v= v2 +v2 = 32+42m/s=5m/s，故D正确。
静 水
故选D。
11.（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图甲，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为
3m/s.假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（ ）
A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为150mB．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s
C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为150m
100 100
D．如图乙，若出发点 3m以下均为危险区，小船过河的最短时间为 3s
3 3
【答案】D
【解析】ABC．河宽200m，小船无论如何过河，小船过河的位移不可能小于200m，若以最小位移过河，
d
此时满足v cosq=v ，t =
c s v sinq
c
200
解得t = s
7
故ABC错误；
D．图乙中，设小船与岸成a角，则有d =v sinat¢，x=(v -v cosa)t¢
c s c
100
解得a=60°，t¢= 3s
3
故D正确；
故选D。
12.（24-25高一上·重庆·期末）曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转化的主要运动零件。如图
所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲
轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v =12m/s的匀速圆周运动，已知OP=6m，PQ=8m，则下列说法正
0
确的是（ ）A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于12m/s
B．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度为零
C．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为10m/s
D．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为15m/s
【答案】ABD
【解析】A．对P和Q的运动分解，如图所示
由关联速度可知v cosa=v cosb
P Q
cosa
则v = v
Q cosb P当OP与OQ垂直时，α=β，P的速度大小为v ，此时杆PQ整体运动的方向是相同的，方向沿OQ的平行
0
的方向，所以活塞运动的速度等于P的速度，都是v =12m/s，故A正确；
0
B．当O、P、Q在同一直线时，P的速度方向与OQ方向垂直，沿OQ方向的分速度为0，Q的瞬时速度
为0，所以活塞运动的速度等于0，故B正确；
v
CD．当PQ垂直于OP时，即杆与圆相切v = 0
Q cosb
4
根据几何关系可得cosb=
5
解得v =15m/s
Q
故C错误，D正确。
故选ABD。
13.2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种
特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在
静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为𝑑=200m，水流速度
为3m/s，方向与河岸平行，求：
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6m/s，小船在静水中的速度为4m/s不变，此种情况下渡河最短位移及
渡河时间分别为多少？
【答案】(1)50s，250m
200 7
(2) s
7
(3)300m，30 5s
【解析】（1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示最短时间为
𝑑 200
𝑡 = = s=50s
𝑚𝑖𝑛 𝑣 4
船
这时小船的合速度为
𝑣= 𝑣船2 +𝑣水2 = 42+32m/s=5m/s
此种情况下小船过河的位移为
𝑙=𝑣𝑡 =5×50m=250m
𝑚𝑖𝑛
（2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示
这种情况下，小船的合速度为
𝑣′ = 𝑣船2 −𝑣水2 = 42−32m/s= 7m/s
当过河位移最短时过河的时间为
𝑑 200 200 7
𝑡'= = s= s
𝑣' 7 7
（3）若水流速度为
𝑣 ' =6m/s
水
则𝑣 <𝑣 '
船 水
此种情况下过河如图所示
当船头方向（即𝑣
船
方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为
水'
𝑑𝑣 200×6
𝑙' = = m=300m
𝑣 4
船
这种情况下，小船的合速度为
𝑣'' = 𝑣' 2−𝑣船2 = 62−42m/s=2 5m/s
水
过河时间为
𝑙' 300
𝑡''= = s=30 5s
𝑣'' 2 5
