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第 33 讲 统计
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 数据的收集、整理与描述
题型01 调查收集数据的过程与方法
题型02 判断全面调查与抽样调查
题型03 总体、个体、样本、样本容量
题型04 抽样调查的可靠性
题型05 用样本估计总体
题型06 统计表
类型一 条形统计图
类型二 扇形统计图
类型三 折线统计图
类型四 频数分布直方图
类型五 频数分布折线图
题型07 频数与频率
题型08 借助调查结果做决策
考点二 数据分析
题型01 与算术平均数有关的计算
题型02 与加权平均数有关的计算
题型03 与中位数有关的计算
题型04 与众数有关的计算
题型05 与方差有关的计算
题型06 与极差有关的计算
题型07 与标准差有关的计算
题型08 根据已知数据，判断统计量是否正确
题型09 利用合适的统计量做决策
题型10 根据方差判断稳定性
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考点要
新课标要求 命题预测
求
统计是中考数学中的必拿分考
体会抽样的必要性，通过实例认识简单随机抽样.
点，虽然这个考点中所含概念较多，
进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动，了 像中位数、众数、平均数、方差等概
数据的 解数据处理的过程;能用计算器处理较为复杂的数据. 念，以及条形统计图、折线统计图、
收集、 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数 扇形统计图等，都需要理解其定义与
整理与 据. 意义，年年都会考查，但是这个考点
描述 理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、 整体的难度并不大，计算方式也比较
众数加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述. 固定，是广大考生的得分点，分值为
通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直 10分左右，预计2024年各地中考还
方图能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息. 将出现．所以，只要记住各个统计
体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计 量，各个图表的定义与计算方法，都
总体平均数，用样本方差估计总体方差. 能很好的拿到这个考点所占的分值.
数据分
能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断
析
和预测，并能进行交流.
考点一 数据的收集、整理与描述
1. 全面调查与抽样调查
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概念 优缺点
全面调查 为特定的目的对全部考察对象 优点：收集到的数据全面、准确
（普查）
进行的调查，叫做全面调查. 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长
抽取一部分对象进行调查，根 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时.
据调查样本数据推断全体对象 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计
抽样调查
的情况叫抽样调查. 的准确程度.
【使用抽象调查时的注意事项】抽样时注意样本的代表性和广泛性．
【小技巧】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．所以要根据调查目的、调查对象等因素，合理
选择调查方法，不能凭主观臆想随意选择．
2. 总体、个体、样本及样本容量
分类 概念 注意事项
总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这
个班学生身高的全体，不能错误地理解为学
生的全体为总体.
个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体.
样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许
多样本，样本能够在一定程度上反映总体.
样本容 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估
量 计越精确.
3. 几种常见的统计图
统计 图形 优点 缺点 常见结论
图
条形 1）能清楚地表示出每 对于条形统计图，人们习惯 各组数量之和=总
统计 个项目中的具体数目. 于由条形柱的高度看相应的 数
图 2）易于比较数目之间 数据，即条形柱的高度与相
的差别. 应的数据成正比，若条形柱
的高度与数据不成正比，就
容易给人造成错觉.
扇形 能清楚地表示出各部分 在两个扇形统计图中，若一 各部分百分比之和
统计 在总体中所占的百分 个统计图中的某一个量所占 =100%；
图 比. 的百分比比另一个统计图中
的某个量所占的百分比多， 各部分圆心角的度
这样容易造成第一个统计量 数=相应百分比
比第二个统计量大的错误理 ×360°
解.
折线 能清楚的反映各数据的 在折线图中，若横坐标被 各种数量之和=样
统计 变化趋势. “压缩”，纵坐标被“放 本容量
图 大”，此时的折线统计图中
的统计量变化量变化明显，
反之，统计量变化缓慢.
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频数 直观显示各组频数的分 各组数量之和=样
分布 布情况，易于显示各组 本容量;
直方 之间频数的差别
图 各组频率之和=1;
步骤：
①计算数据的最大值与 数据总数×相应的
最小值的差. 频率=相应的频数
②选取组距，确定组
数.
③确定各组的分点.
④列频数分布表.
⑤画出频数直方图.
1. 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个
数（频数）之比.
2. 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数
值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少.
3. 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同
一单位长度所表示的意义应该一致.
4. 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个
组；不漏，即不能漏掉某一个数据.
题型01 调查收集数据的过程与方法
【例1】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，
请你运用数学的统计知识将统计的主要步骤进行排序：
①得出结论，提出建议；
②分析数据；
③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示．
合理的排序是（ ）
A．③②④① B．③④②① C．③④①② D．②③④①
【变式1-1】（2023·四川南充·统考一模）垃圾分类利国利民，某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种
颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是( )
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
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【变式1-2】（2023·云南昆明·云大附中校考三模）每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解
本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动，
(1)有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是________；（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生
进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．
抽取的学生视力状况统计表
类
A B C D
别
视 视力 4．6≤视力
4.9 视力≤4.5
力 ≥5.0 ≤4.8
健 视力 轻度视力 中度视力 重度视力
康状况 正常 不良 不良 不良
人
160 m 56
数
三、分析数据，解答问题：
(2)表中m=______，n=_______，调查视力数据的中位数所在类别为_____类；
(3)该校共有学生1600人，请估计该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的一共有多少人?
题型02 判断全面调查与抽样调查
【例2】（2023·浙江嘉兴·统考一模）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D．检测一批家用汽车的抗撞击能力
【变式2-1】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
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A．调查某班学生的身高情况
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量
【变式2-2】（2022·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）下列说法中正确的是（ ）
A．对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式
B．为调查某品牌方便面的色素含量是否符合国家标准，采用普查的方式
C．为了解全市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
D．了解小米手机的使用寿命，采用抽样调查的方式
题型03 总体、个体、样本、样本容量
【例3】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下
列说法错误的是（ ）
A．总体是该校4000名学生的体重 B．个体是每一个学生
C．样本是抽取的400名学生的体重 D．样本容量是400
【变式3-1】（2023·江苏无锡·统考二模）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随
机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是300
C．2000名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体
【变式3-2】（2023·福建龙岩·统考一模）某市有3万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽
样调查了2000名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．3万名考生是总体 B．每名考生的数学成绩是个体
C．2000名考生是总体的一个样本 D．2000名是样本容量
题型04 抽样调查的可靠性
【例4】（2022·河南南阳·统考一模）为了解游客在开封、洛阳和安阳这三个城市旅游的满意度，数学小组
的同学商议了几个收集数据的方案．方案一：在多家旅游公司调查1000名导游；方案二：在洛阳调查
1000名游客；方案三：在开封调查1000名游客；方案四：在三个城市各调查1000名游客．其中最合理的
是（ ）．
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．方案四
【变式4-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）抽样调查放学时段，学校附近某路口车流量情况的样本中，下列
最合适的是（ ）
A．抽取一月份第一周为样本 B．抽取任意一天为样本
C．选取每周日为样本 D．每个季节各选两周作为样本
【变式4-2】（2022·河南新乡·统考二模）小明、小红、小亮三名同学想要了解本市老年人的健康状况，他
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们各自进行了如下调查．
小明；周末去医院随机询问了100个老年人的健康状况．
小红：放学之后去广场上随机询问了100名跳广场舞的老年人的健康状况．
小亮：放学后在本市区随机询问了100名老年人的健康状况．
他们三个的调查结果， 同学的更可靠．（填“小明”“小红”或“小亮”）
题型05 用样本估计总体
【例5】（2023·河北·模拟预测）嘉淇调查了本班学生最喜欢的体育项目情况，并绘制成如图所示的扇形统
计图和条形统计图，其中条形统计图被撕坏了一部分，则m与n的和为（ ）
A．24 B．26 C．52 D．54
【变式5-1】（2023·北京朝阳·统考一模）某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随
机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有2000名学生，估计喜欢木工
的人数为（ ）
A．64 B．380 C．640 D．720
【变式5-2】（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段
时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
3
鞋号 35 36 37 38 40 41 42 43
9
1
销售量/双 2 4 5 5 6 3 2 1
2
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．
【变式5-3】（2023·广东梅州·校考模拟预测）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条
件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么则该工厂1200人中符合选拔
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条件的人数为 ．
题型06 统计表
类型一 条形统计图
【例6】（2021·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）某校饭堂随机抽取了100名学生，
对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，
学生最喜欢的套餐种类是（ ）
A．套餐一 B．套餐二 C．套餐三 D．套餐四
【变式6-1】（2022·云南·统考一模）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家
统计局发布的数据，2012−2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列
说法错误的是（ ）
A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
【变式6-2】（2021·广东中山·校联考一模）民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，
围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问
题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统
计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
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(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
【变式6-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根
据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），
数据如下：10，4，7，5，4，10，5，4，4，18，8，3，5，10，8
(1)补全月销售额数据的条形统计图．
(2)月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）
是多少？
(3)根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？
类型二 扇形统计图
【例7】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如
图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（ ）
A．75人 B．90人 C．108人 D．150人
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【变式7-1】（2023·河南濮阳·统考一模）如图，文博学校对学生上学方式进行抽样调查的结果，绘制了一
个不完整的扇形统计图，已知文博学校共有4000名学生，被调查的学
生中乘车的有18人，则下列四种说法中，正确的是（）
A．扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为45°
B．被调查的学生中，步行的有27人
C．估计全校骑车上学的学生有700人
D．被调查的学生有120人
【变式7-2】（2023·江苏苏州·统考二模）如图是某饰品店甲，乙，丙，丁四种饰品出售情况的扇形统计图，
若想销量更大，获利更多，该店进货时，应多进的饰品是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式7-3】（2022·浙江温州·统考一模）如图是某班证明勾股定理的学生人数统计图．若会三种证法的人
有6人，则会两种证法的人数有（ ）
A．4人 B．6人 C．14人 D．16人
【变式7-4】（2022·黑龙江大庆·统考二模）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是
根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中
分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
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【变式7-5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，
疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援，某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号
的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
类型三 折线统计图
【例8】（2022·福建·统考模拟预测）2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建
省10个地区环境空气质量综合指数统计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）
A．F B．F C．F D．F
1 6 7 10
【变式8-1】（2023·湖南株洲·模拟预测）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错
误的是（ ）
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A．平均数是9环 B．中位数是9环 C．众数是9环 D．方差是0.8
【变式8-2】（2023·福建三明·统考一模）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线
图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【变式8-3】（2022·云南文山·统考三模）随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识
模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四
个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
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类型四 频数分布直方图
【例9】（2023·广西·模拟预测）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各
500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数
据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征
平均数 众数 中位数 方差
数
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）；
(2)统计表中，x＝ ，y＝ ；
(3)补全频数分布直方图；
(4)在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 学校（选填“A”或“B”）；
(5)按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分
钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 人．
【变式9-1】（2023·湖南湘西·统考一模）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆
祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行
整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良
好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
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请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
(1)x=________，y=________，并将直方图补充完整；
(2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是
________，众数是________；
(3)若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
(4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团
史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【变式9-2】（2023·山东聊城·统考一模）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育
运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min 频数 频率
30≤t<60 4 0.1
60≤t<90 7 0.175
90≤t<120 a 0.35
120≤t<150 9 0.225
150≤t<180 6 b
合计 n 1
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a=________，b=________，n=________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人
数．
【变式9-3】（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）2022年3月22日至28日是第三十五届
“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超 采
综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了 了
解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了
150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计 图
表．
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成绩x/分 频数 频率
60≤x<70 15 0.1
70≤x<80 a 0.2
80≤x<90 45 b
90≤x<100 60 c
(1)表中a=___________，b=___________，c=___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请
用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
类型五 频数分布折线图
【例10】（2023·宁夏银川·校考一模）为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，学校团委在八、九年级
各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图
所示：
众
平均数 中位数 方差
数
八年级竞赛成绩 8 7 b 1.88
九年级竞赛成绩 8 a 8 1.56
根据以上信息，回答下列问题．
(1)填空a=______，b=______；
(2)现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？
(3)若规定成绩8分及以上同学获奖，则哪个年级的获奖率高？
【变式10-1】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行
了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图．
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(1)填写下列表格
平均数/分 中位数/分 众数/分
甲 90 ① 93
乙 ② 87.5 ③
133
(2)已求得甲同学6次成绩的方差为 （分2），求出乙同学6次成绩的方差；
6
(3)你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．
【变式10-2】（2022·辽宁沈阳·统考一模）为了了解某射击队中各队员的射击水平，从中随机抽取甲、乙
两名队员10次射击训练成绩，将获得的数据整理绘制成不完整的统计图．
教练又根据甲、乙两名队员射击成绩绘制了数据分析表：
选手 平均数/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 8 8 8 c
乙 7.5 a b 2.65
根据图表中提供的信息，请解答下列问题：
(1)在答题卡上直接补全条形统计图；
(2)请直接写出a=______，b=______，c=______．
题型07 频数与频率
【例11】（2023·上海浦东新·统考二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，
那么30−40元这个小组的组频率是（ ）
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1 2 5 7
A． B． C． D．
4 5 6 8
【变式11-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的
频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是 ．
【变式11-2】（2023·江西南昌·统考二模）体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如
下：
距离x(m) 1.2<x≤1.4 1.4<x≤1.6 1.6<x≤1.8 1.8<x≤2.0 2.0<x≤2.2
频数 1 4 8 10 2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生获得优秀的频率为 ．
题型08 借助调查结果做决策
【例12】（2022·广西·统考二模）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地
铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷
调查表如表所示）并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信
息，解答下列问题：
如何看待数字化阅读问卷调查表
您好！这是一份关于您如何看待数字化阅读问卷调查表，请在表格中选择一项您最认同的观点，在其后空
格内打“√”，非常感谢您的合作．
代
观点
码
A 获取信息方便，可以随时随地观看
B 价格便宜易得
使得人们成为“低头族”，不利于人际
C
交往
D 内容丰富，比纸质书涉猎更广
E 其他
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(1)本次接受调查的总人数是______人．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在扇形统计图中，观点E的百分比是______，表示观点B的扇形的圆心角度数为______度．
(4)假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
【变式12-1】（2022·河南洛阳·统考二模）短视频因其交互性强、地域不受限制、受众可划分等特点而广
受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：
非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居
民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答：
(1)本次参加抽样调查的居民有_____________人；
(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统图中A所对圆心角的度数为_____________．
(3)请根据统计情况，对短视频的去留提出合理化建议．
【变式12-2】（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的
情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是_________h，如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问
题；
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_________（单选）．
A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它
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中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0⩽x<0.5），第二组（0.5⩽x<1），第三
组（1⩽x<1.5），第四组（1.5⩽x<2），第五组（x⩾2）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学
生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【变式12-3】（2023·内蒙古包头·校考三模）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进
行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团
成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进
行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表：
睡眠时间 频数 频率
t<7 3 0.06
7≤t<8 a 0.16
8≤t<9 10 0.20
9≤t<10 24 b
t≥10 5 0.10
请根据统计表中的信息回答下列问题．
(1)a=______，b=______；
(2)请估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
(3)研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提
出一条合理化的建议．
考点二 数据分析
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n个数的和 x +x +⋅⋅⋅+x
平均数
定义：一般地，如果有n个数x 1，x 2，…，x n，那么x =
数的个数
= 1 2
n
n ，读作“
拔”.
优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数.
缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
x w +x w +⋅⋅⋅+x w
定义：若n个数x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，…，w ，则 1 1 2 2 n n ，叫做这n个
加权平均数 1 2 n 1 2 n w +w +⋅⋅⋅+w
1 2 n
数的加
权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数.
中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来
描述数据的集中趋势.
缺点：不能充分地利用各数据的信息.
定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
众数 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复
出现时，众数往往更能反映问题.
缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
定义：在一组数据x ，x ，…，x 中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，
1 2 n
1
记作 s2 .计算公式是： s2= [(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2 ].
方差 n
意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，
数据的波动性越小.
定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差.
极差 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体
数据的实际波动情况.
√[(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2
定义：方差的算术平方根,即s=
标准差 n
【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
【小技巧】
x x
1）数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,则x1±a,x2±a,…,xn±a的平均数为 +a；kx1,kx2,…,kxn的平均数为
kx.（其中a，k为常数）
2）一组数据x1,x2,…,xn的方差为s2 ,则x1±b,x2±b,…,xn±b的方差为s2
；ax1±b,ax2±b,…,axn±b的
方差为a2s2.
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题型01 与算术平均数有关的计算
【例1】（2022·江苏·统考模拟预测）已知两组数据x，x，…，xn和y，y，…，yn的平均数分别为2和
2 1 2
－2，则x＋3y，x＋3y，…，xn＋3yn的平均数为（ ）
1 1 2 2
A．－4 B．－2 C．0 D．2
题型02 与加权平均数有关的计算
【例2】（2023·浙江温州·统考三模）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均
每组植树 株．
【变式2-1】（2022·河南郑州·一模）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项
候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
项目
甲 乙 丙 丁
作品
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式2-2】（2022·河南郑州·统考一模）小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合
知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ）
A．87分 B．87.5分 C．88.5分 D．89分
【变式2-3】（2020·安徽滁州·统考二模）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、
3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
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A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
题型03 与中位数有关的计算
【例3】（2023·内蒙古·一模）为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，
展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
9.9 9.7 9.6 10 9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
【变式3-1】（2022·江苏南京·统考二模）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据
的中位数小于4，则a的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-2】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其
中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．
1
年龄 14 15 16
3
频数 28 22 23
题型04 与众数有关的计算
【例4】（2023·新疆·统考一模）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分
5分），则所打分数的众数为（ ）
A．5分 B．4分 C．3分 D．45%
【变式4-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，
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随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量 1
12 13 18
（本） 5
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
【变式4-2】（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，
则这组数据的中位数为 ．
【变式4-3】（2021·江苏泰州·校考一模）若一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，
则这组数据的平均数为 ．
题型05 与方差有关的计算
【例5】（2022·安徽亳州·统考二模）在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：
1
s2= [(8−x) 2+2(6−x) 2+(9−x) 2+(11−x) 2 ]，根据公式不能得到的是（ ）
5
A．众数是6 B．方差是6 C．平均数是8 D．中位数是8
【变式5-1】（2022·安徽铜陵·统考模拟预测）一组数据：2，0，4，-2，这组数据的方差是（ ）
A．0 B．1 C．5 D．20
【变式5-2】（2021·河北石家庄·校考一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式
(2−x) 2+(3−x) 2+(3−x) 2+(4−x) 2
s2= ，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
n
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
2(2−x) 2+3(3−x) 2+2(5−x) 2
【变式5-3】（2023·贵州遵义·统考一模）某组数据的方差计算公式为S2= ，
n
10
由公式提供的信息如下：①样本容量为3；②样本中位数为3；③样本众数为3；④样本平均数为 ；其
3
说法正确的有（ ）
A．①②④ B．②④ C．②③ D．③④
题型06 与极差有关的计算
【例6】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）已知一组数据：3,−2,4,−3,0,−4,2，
这组数据的平均数和极差分别是( )
A．0，8 B．−1，7 C．0，7 D．−1，8
【变式6-1】（2023·陕西西安·统考一模）如图，曲线表示一只蝴蝶某次飞行高度(h/m)与飞行时间(t/s)的
关系图，那么本次飞行的高度极差为（ ）
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2m 4m 8m 6m
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021·山东临沂·统考二模）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米
的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y （ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y 表
1 2
示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 与t的函数关系大致是
2
（ ）
A． B． C． D．
题型07 与标准差有关的计算
【例7】（2021·湖北黄石·模拟预测）已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是3，则这个样本的标准
差为（ ）A．0 B．1 C．√2 D．2
【变式7-1】（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，
90，75，75，80，80.下列表述错误的是( )
A．平均数是80 B．极差是15 C．中位数是80 D．标准差是25
题型08 根据已知数据，判断统计量是否正确
【例8】（2023·山东泰安·校考模拟预测）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元
的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数
【变式8-1】（2023·广东广州·广州市第一中学校考二模）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干
户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．众数是5 B．平均数是7 C．中位数是5 D．方差是1
【变式8-2】（2021·云南·统考一模）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的
个数为：11,10,11,13,11, 13,15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
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18
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
7
【变式8-3】（2023·山东德州·统考三模）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中
错误的是（ ）
A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
【变式8-4】（2021·四川广元·统考一模）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（
）
A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变
【变式8-5】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）酸雨是指雨、雪等在形成和降落过程中，吸收并溶解了空
气中的二氧化硫、氮氧化合物等物质，形成了PH值低于5.6的酸性降水．某学校化学课外活动小组的同学
在降雨后用PH计对雨水的PH值进行了测试，测试结果如下：
出现的频
5 8 7 13 7
数
PH 4.8 4.9 5.0 5.2 5.3
下列说法错误的是（ ）
A．众数是5.2 B．中位数是5.1 C．极差是0.5 D．平均数是5.1
题型09 利用合适的统计量做决策
【例9】（2023·辽宁·模拟预测）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名
队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【变式9-1】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对
200名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【变式9-2】（2022·浙江台州·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击
成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环❑ 2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
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x 9 8 9 9
S2 1.6 0.8 3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式9-3】（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船
“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，
按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表：
候选
心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力
人
甲 86 85 88 90
乙 90 82 81 90
选择1名学员，最后应选 ．
【变式9-4】（2023·吉林松原·统考一模）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、
经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．
(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，
并判断是否会改变（1）的录用结果．
【变式9-5】（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在
东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为
了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其
中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x<85；B．85≤x<90；C．90≤x<95；D．95≤x<100）其中，八年级20名学生的成绩是：
96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
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九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九
年级学生人数．
题型10 根据方差判断稳定性
【例10】（2023·辽宁营口·统考二模）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成
绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）A．x >x 且s2 >s2．B．x >x 且
A B A B A B
s2 <s2
．
A B
C．x <x 且s2 >s2 D．x <x 且s2 <s2．
A B A B A B A B
【变式10-1】（2023·福建三明·统考模拟预测）在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，
每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为s2 =0.24，s2 =0.42，s2 =0.56，s2 =0.75，成绩最稳定的
甲 乙 丙 丁
是（ ）
A．甲． B．乙 C．丙 D．丁
【变式10-2】（2019·河北·模拟预测）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机
抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：x =x =13，x =x =15：s 2=s 2=3.6，s
甲 丙 乙 丁 甲 丁 乙
2=s 2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
丙
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
27
