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第 34 讲 概率
目 录
题型01 事件的分类
题型02 判断事件发生可能性的大小
题型03 理解概率的意义
题型04 判断几个事件概率的大小关系
题型05 根据概率公式计算概率
题型06 根据概率作判断
题型07 已知概率求数量
题型08 几何概率列举法求概率
题型09 列举法求概率
题型10 画树状图法/列表法求概率
题型11 由频率估计概率
题型12 用频率估计概率的综合应用
题型13 放回实验概率计算方法
题型14 不放回实验概率计算方法
题型15 游戏公平性
题型16 概率的应用
题型17 概率与统计综合
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题型 01 事件的分类
1．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
2．（2022·福建福州·统考一模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．水滴石穿 D．百发百中
3．（2021·广东广州·执信中学校考三模）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨 B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号 D．没有水分，种子发芽
4．（2019·山东临沂·校联考一模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则
下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
题型 02 判断事件发生可能性的大小
5．（2023·贵州铜仁·统考一模）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，
它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．三角形的内角和是180°
C．明天会下雨 D．明天的数学测验，小明会得满分
7．（2023·江苏淮安·统考一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，下列事件中是不可能事件的是
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（ ）
A．朝上的点数之和为12 B．朝上的点数之和为13
C．朝上的点数之和为2 D．朝上的点数之和小于9
8．（2022·贵州遵义·统考三模）袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出
一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数是（ ）
A．2个 B．不足3个 C．4个 D．4个或4个以上
题型 03 理解概率的意义
9．（2019·江苏盐城·校联考二模）气象台预报“本市明天降水概率是90%”对此信息，下列说法正确的是
（ ）
A．本市明天将有90%的时间降水 B．本市明天降水的可能性比较大
C．本市明天肯定下雨 D．本市明天将有90%的地区降水
10．（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”，
对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
扬州市邗江区天气
12－16℃
日出06：43 日落17：18
体感温度 降水概率 降水量 空气质量
14℃ 85% 1.0mm 优
A．邗江区明天将有85%的时间下雨 B．邗江区明天将有85%的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大 D．邗江区明天下雨的可能性较小
11．（2019·江苏淮安·统考一模）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为
10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
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题型 04 判断几个事件概率的大小关系
12．（2023·山东东营·统考二模）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可
能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2
13．（2023·福建泉州·统考一模）一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都
相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大
14．（2023·江苏常州·统考一模）在4个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，任意摸出1个球，
摸到红球可能性最大的是（ ）
A．1个红球，9个白球 B．2个红球，8个白球
C．5个红球，5个白球 D．6个红球，4个白球
题型 05 根据概率公式计算概率
15．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，
4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ．
16．（2023·浙江台州·统考一模）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，
6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为 ．
17．（2023·福建福州·校考一模）端午节到了，小红煮好了10个粽子，其中有6个红枣粽子，4个绿豆粽
子．小红想从煮好的粽子中随机捞一个，若每个粽子形状完全相同，被捞到的机会相等，则她捞到红枣粽
子的概率是 ．
18．（2023·河北衡水·校考二模）从√2，−1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率
是 ．
题型 06 根据概率作判断
19．（2021·山东烟台·校联考模拟预测）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们
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除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概
1
率都是 ，则添加的球是（ ）
3
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
20．（2015·河北廊坊·统考二模）一只盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，
从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m+n=6 B．m+n=3 C．m=n=3 D．m=2，n=4
21．（2020·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若
1
要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要（ ）位．
999
A．3位 B．2位 C．9位 D．10位
22．（2020·福建厦门·校考模拟预测）不透明的袋子里装有红、黑、白三种颜色的小球，它们质地、形状
完全相同，从袋子中随机抽取一个小球，记事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到红球或黑球”，若
1
P(A)= ，则P(B)的取值范围是 ．
2
题型 07 已知概率求数量
23．（2018·吉林长春·校考一模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个
黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验
后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
24．（2023·山东济南·模拟预测）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、
吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩
1
的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是 ，则n的值是 ．
5
25．（2023·云南昆明·一模）在不透明的袋子里装有2个红球和1个蓝球，红球和蓝球除颜色外其余都完
全相同．
(1)从袋子中一次摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球是一红一蓝的概率；
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3
(2)若再向袋中放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为 ，求后来放入袋中
4
蓝球的个数．
26．（2023·江苏苏州·统考二模）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的
1
球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
3
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
1
(2)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率 若能，请写出如何调整白球数
4
量；若不能，请说明理由．
题型 08 几何概率
27．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内
投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
π π π π
A． B．1− C． D．1−
4 4 8 8
28．（2019·河南·统考一模）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，
210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )
1 1 1 7
A． B． C． D．
6 4 3 12
29．（2021·河南·统考模拟预测）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．
每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
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30．（2022·四川成都·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与
正方形EFGH．连结BD交AF、CH于点M、N．若DE平分∠ADB，现随机向该图形内掷一枚小针，则
针尖落在阴影区域的概率为 ．
31．（2022·四川达州·统考二模）正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1
为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为
.
32．（2022·湖北随州·统考二模）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，
N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
题型 09 列举法求概率
33．（2022·北京朝阳·统考二模）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
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1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
34．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱
形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片
上正面的图形都是中心对称图形的概率为 ．
35．（2022·北京·一模）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级
的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6
则田忌能赢得比赛的概率为 ．
马匹 中等
下等马 上等马
姓名 马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
36．（2019·河南濮阳·统考二模）如图，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能够让灯泡发亮的概率是
1 2 3
．
题型 10 画树状图法/列表法求概率
37．（2023·安徽芜湖·统考一模）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高
铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
38．（2022·河南南阳·模拟预测）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设
置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从
以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
39．（2023·安徽滁州·统考三模）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座
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位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
40．（2023·陕西·模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方
法，求2次都摸到红球的概率．
题型 11 由频率估计概率
41．（2023·广西南宁·统考二模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．
小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15
42．（2023·北京东城·统考二模）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数
89 134 179 226 271 451 904
m
m
合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
n
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） ．
44．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装
有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，
再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的
关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）．
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题型 12 用频率估计概率的综合应用
44．（2022·山东威海·统考一模）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除
颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大
量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球
颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
45．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种
球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经
过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．
(1)估计摸到红球的概率是__________________________；
(2)如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
(3)在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，求
n的值．
46．（2022·浙江温州·校考一模）根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地
后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 10000
“正面朝上”的次数
265 512 793 1306 1558 2083 2598 5204
n
“正面朝上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.522 0.519 0.521 0.520 0.520
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n
m
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计
“正面朝上”的概率是0.520；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558
次；
其中推断合理的序号是________．
47．（2022·福建厦门·统考模拟预测）某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．销售人员先从所
有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中．
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/
5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
kg
m
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
n
(1)根据表中的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是______；（结果保留小数点后一位）
(2)在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑
橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
48．（2023·福建福州·福建省福州华侨中学校考模拟预测）某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2
台大型自动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自动灌溉．统计了过去50年的年均降雨量资料，得到
如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本．
(1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率．
(2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制．并有如下关系：
年均降雨量X 900≤X≤1300 1300≤X≤1700 1700≤X≤2100
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喷水机需要运行台数 3 2 1
若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费
用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元．欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均值
达到最大，需安装几台喷水机？
题型 13 放回实验概率计算方法
49．（2021·内蒙古包头·统考二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相
同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这
个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常
数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状
图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
50．（2023·山西晋城·模拟预测）在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，3的小球，它们的
形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再
由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
(1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果；
3
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y= 的图象上的概率．
x
51．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，
2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．
小明摸取了60次，结果统计如下：
标号 1 2 3 4
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1
次数 14 20 10
6
(1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 ；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的
概率是 ；
(2)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
52．（2023·江苏盐城·校考二模）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从
中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100
次，结果统计如下：
牌面数字 2 3 4 4
次数 26 24 30 20
(1)上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 ；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 ；
(2)若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
53．（2023·陕西宝鸡·校考一模）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分
别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记
下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概
率．
54．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外，其他都
相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结
果如表．
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
白球频率 0.702 0.724 0.731 0.746 0.749 0.751 0.750
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到0.01）左右，从箱子中摸一次球，估
计摸到蓝球的概率是______．
(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球．用列举法求摸到1个蓝球、1个白球的概率．
题型 14 不放回实验概率计算方法
55．（2023·广东清远·统考三模）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应
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用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活
条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，
公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快
充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，
其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．
请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
56．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人
民群众喜闻乐见的运动方式．为让青少年以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展
了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、九年级各抽取了20名学生的成绩（百分制），部分过程如下：
收集数据：八年级20名学生的成绩如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85
整理数据：八年级20名学生成绩频数分布表：
等级 D C B A
成绩x
60<x≤70 70<x≤80 80<x≤90 90<x≤100
（分）
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人数（人） 5 9 a 2
分析数据：八、九年级20名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：
中位
年级 平均数 众数 优秀率
数
八年
78.25 b 75 10%
级
九年
82.75 82.5 80 25%
级
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a=___________，b=___________；
(2)估计该校九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数；
(3)在收集九年级20我学生成绩的过程中，误将一个数据“80”写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，
不会影响该校学生户外运动知识一般水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由；
(4)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增长，露营、钓鱼、骑行、爬山
等户外运动项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一、为近一步了解户外运动的参与群体，小宇和小
强收集了印有这四种户外运动项目的图案的卡片（依次记为L，D，Q，P，除正面编号和内容外，其余完
全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，
请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是Q（骑行）和P（爬山）的概率．
57．（2023·河北沧州·校考模拟预测）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”“力”“石”“门”
的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“石”的概率为________；
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求甲取出的两个球上的汉字
恰好能组成“魅力”或“石门”的概率P ；
1
(3)乙从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅
力”或“石门”的概率为P ，则P ________P （填“＞”“＜”或“＝”）．
2 1 2
58．（2023·吉林长春·统考二模）如图，有四张不透明且背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分
别印有净月潭、长春世界雕塑公园、长影世纪城、伪满皇宫博物院（这些卡片除图案不同外，其余均相
同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，任意抽出一张不放回，然后再从余下的卡片中任意抽出一张．请用
树状图或列表法，求抽出两张卡片的图案恰好是“净月潭”和“长影世纪城”的概率．
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题型 15 游戏公平性
59．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在
每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，
将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
(1)试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的
倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，
使游戏对双方公平．
60．（2022·广东佛山·统考一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院
办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调
查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．
基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
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(1)若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？
(2)根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一
个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们
除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用
树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
61．（2022·江苏盐城·统考一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一
个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除
正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是______；
(2)小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作
A棋，吉祥物冰敦敦邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出
第2颗棋子，若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新
进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
62．（2023·云南·一模）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的
3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）
（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 ；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，
若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对
甲、乙两人是否公平．
题型 16 概率的应用
63．（2023·福建三明·统考一模）某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通A，B，C
三个人口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其有某个入口进场.
(1)小明领取入场券后，从A入口进场的概率是多少？
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(2)某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会.小明和小亮
同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖.商家让小明执锤先砸，
小亮认为商家这种做法对他不公平.请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理.
64．（2021·福建厦门·大同中学校考二模）为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部
进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地
理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解
决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元
四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
提货券每张面额（元） 300 500 800 1000
销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12%
表二
30 50
日均销售量（张） 450 650
0 0
天数 25 30 35 10
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算）
65．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注−2，−1，1，3这四个数字．把标注
后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作P （如：P
k 3
是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求P ；
1
(2)张亮认为：P 的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
k
(3)能否找到概率P，P ，P （i< j<m），使P +P +P =0.5．若能找到，请举例说明；若不能找到，请
i j m i j m
说明理由．
66．（2022·福建三明·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖
励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球
数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位： 5 10 20
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元）
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利?
67．（2021·江苏盐城·校考二模）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．
现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每
天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
题型 17 概率与统计综合
68．（2022·安徽·模拟预测）为加强学生的疫情防范意识，某校举行了“预防新冠，从我做起”疫情防控
知识竞赛，竞赛试卷共20道单选题，每题5分，满分100分．为了解竞赛成绩，从该校七、八年级学生中
各随机抽取20名学生的分数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
①七年级20名学生的测试成绩为：
50，60，75，70，75，80，90，95，95，80，
80，85，80，85，90，75，70，85，95，80．
②八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示．
③两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级 平均 众数 中位数
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数
七年级 79.75 b 80
八年级 a 75 c
请你根据上面提供的信息，解答下列问题：
(1)上表中a=______，b=______，c=______．
(2)根据样本统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握疫情防控知识较好？并说明理由．
（写出两条理由即可）
(3)从样本中测试成绩为95分的七、八年级的学生中，随机抽取两名学生参加区里组织的疫情防控知识竞
赛，求两人同为七年级学生的概率．
69．（2022·安徽宿州·校考模拟预测）某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一
班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值
分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？
(2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数；
(3)已知一班成绩A等的4人中有2个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A
等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生
的概率．
70．（2022·河北沧州·校考二模）某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知
识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成
绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，
6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
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七八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 8 a
中位数 b 8
优秀率 80% 60%
(1)填空：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好？请说明理由（写出一
条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，求
出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
71．（2023·海南三亚·统考二模）某市初中开放性科学实践活动是通过网络平台进行活动选课，活动项目
包括六个领域，A：自然与环境，B：健康与安全，C：结构与机械，D：电子与控制，E：数据与信息，
F：能源与材料．为了了解某区学生自主选课情况，随机抽取了一部分初三学生进行调查，并将调查结果
绘制成了如图两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)本次调查活动采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
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(2)本次调查抽取的学生有 人，扇形统计图中m的值是 ；
(3)已知选择“A：自然与环境”的20名学生中有12名男生和8名女生，若从这20名学生中随机抽取一名，
且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ；
(4)若该区初三共有学生3000人，则该区初三学生中选择D：电子与控制的约有 人．
一、单选题
1．（2023·广东·统考中考真题）某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”
“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 6 4 2
2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转
盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
3．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，
在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）
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5 13 13 5
A． B． C． D．
8 50 32 16
4．（2023·河北·统考中考真题）1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从
中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正
方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P ，停在空白部分的概率为P ，则P 与P 的大小关系
1 2 1 2
为（ ）
A．P <P B．P =P C．P >P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
6．（2023·浙江杭州·统考中考真题）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，
6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数
字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2 D．平均数是3，众数是2
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏
树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数
100 300 600 1000 7000 15000
a
成活的棵数 84 279 505 847 6337 13581
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b
成活的频率
b 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
a
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
8．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，
则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n．若点A
6
的坐标记作(m,n)，则点A在双曲线y= 上的概率是（ ）
x
1 1 2 5
A． B． C． D．
3 2 3 6
10．（2023·四川自贡·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是S 2=4,S 2=14，则乙的成绩更稳定
甲 乙
1
B．某奖券的中奖率为 ，买100张奖券，一定会中奖1次
100
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．x=3是不等式2(x−1)>3的解，这是一个必然事件
36
11．（2023·湖南娄底·统考中考真题）从 ，3.1415926，3.3˙，√4，√5，−√38，√3 9中随机抽取一个数，
7
此数是无理数的概率是（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
二、填空题
12．（2023·浙江杭州·统考中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不
2
同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，则n= ．
5
13．（2023·山东济南·统考中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个
1
黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，
4
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则盒子中棋子的总个数是 ．
14．（2023·江苏扬州·统考中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
m
发芽的频率 （精确到
n 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
0.001）
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都
相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
三、解答题
17．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期
间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如
下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红
球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，
并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，
记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．
现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的
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理由
18．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”
活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一
般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m=______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全
知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞
赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B
（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
(1)本次抽样调查的学生共有___________名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这
4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女
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的概率．
20．（2023·山东枣庄·统考中考真题）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》
正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整
理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进
行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有
___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名．
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请
用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．（2023·山东·统考中考真题）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．
学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统
计图．
等级 劳动积分 人数
A x≥90 4
B 80≤x<90 m
C 70≤x<80 20
D 60≤x<70 8
E x<60 3
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中m=_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳
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动之星”大约有多少人；
(3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树
状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
22．（2023·吉林长春·统考中考真题）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规
则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、
红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新
打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一
等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内
容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用A，B，C依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有A，
B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随
机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，
求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
24．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘
A上的数字分别是−6，−1，5，转盘B上的数字分别是6，−7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完
全相同）．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转
一次）．
(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b>0，则小
聪获胜；若a+b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
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