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专题 32 与圆有关的位置关系【十六大题型】
【题型1 点和圆的位置关系】..................................................................................................................................5
【题型2 直线与圆的位置关系】..............................................................................................................................8
【题型3 求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】...................................................................................14
【题型4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】...............................................................................................22
【题型5 判断或补全使直线成为切线的条件】...................................................................................................27
【题型6 利用切线的性质求值】............................................................................................................................31
【题型7 证明某条直线是圆的切线】....................................................................................................................36
【题型8 利用切线的性质定理证明】....................................................................................................................44
【题型9 切线的性质与判定的综合运用】...........................................................................................................54
【题型10 作圆的切线】............................................................................................................................................62
【题型11 应用切线长定理求解或证明】................................................................................................................68
【题型12 由外心的位置判断三角形形状】...........................................................................................................79
【题型13 求三角形外接圆的半径、外心坐标】...................................................................................................81
【题型14 由三角形的内切圆求值】........................................................................................................................87
【题型15 与三角形内心有关的应用】....................................................................................................................95
【题型16 三角形外接圆与内切圆综合】..............................................................................................................101
【知识点 与圆有关的位置关系】
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r ；
点P在圆上 d=r ；
点P在圆内 d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
2.直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
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直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：
直线l和⊙O相交 d＜r ；
直线l和⊙O相切 d=r ；
直线l和⊙O相离 d＞r 。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形
的内心。
【题型1 点和圆的位置关系】
【例1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=3√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内
【答案】C
【分析】由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD=7，在
Rt△PBC中计算出PC=9，则PC>PD>PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3√5，
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∵AB=8，BP=3AP，
∴AP=2，BP=6，
在Rt△ADP中，AP=2，AD=3√5，
∴PD=√AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB=6，BC=3√5，
∴PC=√PB2+BC2=9，
∴PC>PD>PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外
⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d5时，点B、C、D在⊙A内，
5
∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是 r．
【变式2-1】（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD
上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若
⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是
．
15
【答案】 0)
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(1)求BD的长（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？
(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
6
【答案】(1)BD= t
5
(2)t=3时，线段PQ与半圆O相切
(3)0AB
图1 图2
(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB=OB，求证：AD=2AB；
(2)如图2，点E，F分别在AD，BC边上，若点D，点C关于直线EF对称的点分别为点B和点P，判断
直线DP与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由
【答案】(1)见解析；
(2)相交，理由见解析
【分析】（1）先证明 ⊙O 是 △ABD 的外接圆，再证明 BD 是 ⊙O 的直径， 再证明 △OAB 为等
120°π×OA 60°π×OA
边三角形，得
∠AOD=120°，得A´D= ，A´B=
，便可得出结论；
180° 180°
（2）设过 A,E,F 三点的圆为 ⊙O，连接 FD,FB,OF，过点 O 作 OH⊥PD 于点 H，由对称性
质得 DP 过点 E， 再由 OHd>1
【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分
别求解，即可得到答案．
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【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离d的取值范围是10)交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线l
3 3
为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的AC的长．
【答案】(1)①B C ；② 1或3
1 1
(2)m的最大值为8√3，AC=2√13；m的最小值为4√3，AC=2√7．
【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断B C ⊥直线l ，⊙O的最长的弦即直径为4，
1 1 2
可排除B C ，B C ，所以B C 成为⊙O的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论；
1 1 2 2 3 3
（2）画⊙O与⊙T关于直线l ：y=−√3x+m(m>0)对称，以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与
3
⊙T至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，通过勾股定理即可求
出AC．
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【详解】（1）解：①如图所示：
∴以直线l ：y=x+4为轴的⊙O的“关联线段”是 B C ；
1 1 1
② ∵直线l ：y=−x+b与x轴夹角为45°，
2
∴线段B C ⊥直线l ，
1 1 2
∴线段B C 关于直线l 的对称线段还在直线B C 上，不可能是⊙O的弦，
1 1 2 1 1
∵⊙O的最长的弦即直径为4，
B C =√20>4，
2 2
∴线段B C 的对称线段不可能是⊙O的弦；
2 2
∵线段B C ∥直线l ，且B C = 2√2，
3 3 2 3 3
∴线段B C 的对称线段可以是⊙O的弦．
3 3
线段B C 的对称线段B C ∥B' C' ，
3 3 3 3 3 3
且B' C' = 2√2．
3 3
如图，平移线段B C 使之成为⊙O的弦，有两种情况：
3 3
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(ⅰ)
B'，C'的坐标分别为(0,2)，(2,0)，此时b=3；
3 3
(ⅱ)
B''，C''的坐标分别为(−2,0)，(0,−2)，此时b=1．
3 3
综上所述，b=1或3．
（2）解：画⊙O与⊙T关于直线l ：y=−√3x+m(m>0)对称，
3
∵AB=6，
以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与⊙T至少有一个交点，才能满足题目条件，
∵⊙O与⊙T关于直线l 对称，
3
则⊙A与⊙O至少有一个交点，如图所示，
此时m取得最小值；
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此时m取得最大值；
√3
把y=0代入直线l ：y=−√3x+m(m>0)得：x= m，
3 3
(√3 )
∴点A的坐标为A m,0 ，
3
∵⊙A与⊙O至少有一个交点，
√3
∴−2+6≤ m≤2+6，
3
√3
解得：4√3≤ m≤8√3，
3
∴m的最大值为8√3，m的最小值为4√3；
连接AC、BC、OC，过点C作CE⊥OA，如图所示，
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∵BC=2，⊙O的半径为2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=2，OE=BE=1，
∴CE=√OC2−OE2=√22−11=√3，
∵AB=6，
∴AE=AB+BE=7，
∴AC=√CE2+AE2=√(√3) 2+72=2√13；
连接AC、BC、OC，过点C作CF⊥AB如图所示，
∵BC=2，⊙O的半径为2，
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∴△OBC是等边三角形，
∴OC=2，OF=BF=1，
∴CF=√OC2−OF2=√22−11=√3，
∵AB=6，
∴AF=AB−BF=5，
∴AC=√CF2+AF2=√(√3) 2+52=2√7；
【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画⊙A，
则⊙A与⊙T至少有一个交点，才能满足题目条件，是关键．
【题型4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】
【例4】（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以
点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答
12
案，甲答：r=4．乙答：3
