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专题 01 实数【八大题型】
【题型1 无理数的识别】..........................................................................................................................................3
【题型2 实数与数轴】..............................................................................................................................................5
【题型3 无理数的估算】..........................................................................................................................................7
【题型4 用科学记数法表示数】..............................................................................................................................8
【题型5 实数的简单运算】....................................................................................................................................10
【题型6 数的简便运算】........................................................................................................................................11
【题型7 实数的混合运算】....................................................................................................................................13
【题型8 实数与数轴的综合运算】........................................................................................................................15
【知识点 实数】
1.实数的分类
分法一：
正有理数
有限小数或
有理数 0 无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
分法二：
实数 ¿{ 正实数 ¿{0 ¿¿¿
2.实数的相关概念
（1）数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。
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（3）绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a >0，那么|a|=a；
如果a =0，那么|a|=0；
如果a <0，那么|a|=-a。
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。
（4）倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。
3.科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数
方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。
用科学记数法表示一个绝对值大于 1 0 的数时， n 是原数的整数数位减 1 得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于 1 的数（ a×1 0 -n ）时， n 是从小数点后开始到第一个不是 0 的数为止
的数的个数。
4.近似数和精确度
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十
分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。
5.实数的大小比较
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
a a a
>1⇔a>b; =1⇔a=b; <1⇔a|b|⇔ab2 ⇔ab D．−ab，错误；
D、−a3，0<|b|<1，0<|c|<1，2<|d|<3，
比较四个数的绝对值排除a和d，
根据绝对值的意义观察图形可知，c离原点的距离大于b离原点的距离，
∴|b|<|c|，
∴这四个数中绝对值最小的是b.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上
所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.
【变式2-2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，数轴上表示实数√7的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【答案】B
【分析】根据先估算√7的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵4<7<9
∴√4<√7<√9，即2<√7<3，
∴数轴上表示实数√7的点可能是Q，
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故选：B．
【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出√7介于哪两个整数之间是解题的关键．
【变式2-3】（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直
线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的
横坐标为 ．
【答案】1+√5/√5+1
【分析】根据勾股定理求得AB，根据题意可得BC=AB=√5，进而即可求解．
【详解】解：∵l⊥OB，OB=1，OA=2，
在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√12+22=√5，
∴BC=AB=√5，
∴OC=OB+BC=1+√5，
O为原点，OC为正方向，则C点的横坐标为1+√5；
故答案为：1+√5．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【题型3 无理数的估算】
【规律方法】无理数的估算既不是估计，也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方
法来确定一个数的大小或范围。估算常用的方法偶平方（开方）法、作商法、作差法、倒数法等。
【例3】（2023·宁夏·统考中考真题）估计√23的值应在（ ）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间
C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
【答案】C
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵16<23<25，
∴4<√23<5，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴√23更接近5，
∴√23在4.5和5之间，
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故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，
“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【变式3-1】（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．√7 B．2√2 C．√13 D．√17
【答案】C
【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵3=√9，4=√16，而2√2=√8，9<13<16，
∴大小在3与4之间的是√13，
故选：C．
【变式3-2】（2023·湖南·统考中考真题）数轴上到原点的距离小于√5的点所表示的整数有 ．
（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于√5，且为整数，再利用无理数的估算即可
求解．
【详解】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于√5，则|a|<√5，且为整数，
则−√5
