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专题 01 实数【八大题型】
【题型1 无理数的识别】..........................................................................................................................................3
【题型2 实数与数轴】..............................................................................................................................................5
【题型3 无理数的估算】..........................................................................................................................................7
【题型4 用科学记数法表示数】..............................................................................................................................8
【题型5 实数的简单运算】....................................................................................................................................10
【题型6 数的简便运算】........................................................................................................................................11
【题型7 实数的混合运算】....................................................................................................................................13
【题型8 实数与数轴的综合运算】........................................................................................................................15
【知识点 实数】
1.实数的分类
分法一：
正有理数
有限小数或
有理数 0 无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
分法二：
实数 ¿{ 正实数 ¿{0 ¿¿¿
2.实数的相关概念
（1）数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。
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（3）绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a >0，那么|a|=a；
如果a =0，那么|a|=0；
如果a <0，那么|a|=-a。
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。
（4）倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。
3.科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数
方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。
用科学记数法表示一个绝对值大于 1 0 的数时， n 是原数的整数数位减 1 得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于 1 的数（ a×1 0 -n ）时， n 是从小数点后开始到第一个不是 0 的数为止
的数的个数。
4.近似数和精确度
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十
分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。
5.实数的大小比较
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
a a a
>1⇔a>b; =1⇔a=b; <1⇔a<b;
b b b
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
|a|>|b|⇔a<b
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则
a2 >b2 ⇔a<b
。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
6.实数的运算
（1）四则运算法则
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加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对
值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同0
相加，仍得这个数。
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即： 。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。
（2）实数的运算律
加法交换律
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
加法结合律
乘法交换律
ab=ba
(ab)c=a(bc)
乘法结合律
a(b+c)=ab+ac
乘法对加法的分配律
【题型1 无理数的识别】
36
【例1】（2023·湖南娄底·统考中考真题）从 ，3.1415926，3.3˙，√4，√5，−√38，√3 9中随机抽取一个
7
数，此数是无理数的概率是（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
【答案】A
【分析】先判断出√5，√3 9是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵√4=2，−√38=−2，
36
∴ ，3.1415926，3.3˙，√4，√5，−√38，√3 9中无理数有：√5，√3 9，
7
36 2
∴从 ，3.1415926，3.3˙，√4，√5，−√38，√3 9中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是 ；
7 7
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事
件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式1-1】（2023·四川德阳·统考中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
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1
A．−2023 B．√2023 C．0 D．
2023
【答案】B
【分析】根据无理数的定义判断即可．
1
【详解】解：0，−2023， 为有理数，√2023为无理数．
2023
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的概念即无限不循环小数为无理数，掌握其概念是解题的关键．初中范围内学
习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．
【变式1-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，
意思是一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形
的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比
表示的数”是指（ ）
A．质数 B．负数 C．无理数 D．有理数
【答案】C
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【详解】解：不能用整数或整数的比表示的数”是指无理数．
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．
【变式1-3】（2023·湖南常德·统考模拟预测）如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对
伙伴数，如√2与√8是一对伙伴数，√3+2与√3−2是一对伙伴数．若两个无理数a、b是一对伙伴数，则下
1 1 1
列四个结论：① 与 一定是一对伙伴数；②a2与b2一定是一对伙伴数；③a与 一定是一对伙伴数；④
a b b
a+1与b+1可能是一对伙伴数．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】根据两个无理数为一对伙伴数的概念对每个结论中的两个数先判断是否是无理数，然后再计算结
果，判断结果是否是有理数，即可得出答案．
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【详解】解：∵ a、b是两个无理数数，
1 1
∴ 与 是无理数，
a b
∵两个无理数a、b是一对伙伴数,
∴ab是一个有理数，
1 1 1
∴ ⋅ = 是一个有理数，
a b ab
1 1
与 一定是一对伙伴数，故①结论正确；
a b
∵两个无理数a、b是一对伙伴数，
∴ab是一个有理数
∴a2b2=(ab) 2是一个有理数，故②结论正确；
∵两个无理数a、b是一对伙伴数，
1 1 a
∴a与 一定是无理数，但a⋅ = 不一定是有理数，故③结论不正确；
b b b
∵两个无理数a、b是一对伙伴数，
∴a+1与b+1一定是无理数，
∴(a+1)⋅(b+1)=ab+a+b+1，
当a+b=0时，ab+a+b+1是有理数，故结论④正确，
∴其中正确结论的序号为①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了实数的概论和运算的应用，利用题目中给的新定义去推理计算是解题的关键．
【题型2 实数与数轴】
【例2】（2023·江苏·统考中考真题）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
（ ）．
A．a<−2 B．b<2 C．a>b D．−a<b
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，−2<a<0<2<b<3，|a|=−a<2<b，
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A、a<−2，错误；
B、b<2，错误；
C、a>b，错误；
D、−a<b，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解
题的关键．
【变式2-1】（2023·吉林长春·统考中考真题）实数a、b、c、d伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数
中绝对值最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.
【详解】解：由图可知，|a|>3，0<|b|<1，0<|c|<1，2<|d|<3，
比较四个数的绝对值排除a和d，
根据绝对值的意义观察图形可知，c离原点的距离大于b离原点的距离，
∴|b|<|c|，
∴这四个数中绝对值最小的是b.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上
所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.
【变式2-2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，数轴上表示实数√7的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【答案】B
【分析】根据先估算√7的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵4<7<9
∴√4<√7<√9，即2<√7<3，
∴数轴上表示实数√7的点可能是Q，
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故选：B．
【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出√7介于哪两个整数之间是解题的关键．
【变式2-3】（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直
线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的
横坐标为 ．
【答案】1+√5/√5+1
【分析】根据勾股定理求得AB，根据题意可得BC=AB=√5，进而即可求解．
【详解】解：∵l⊥OB，OB=1，OA=2，
在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√12+22=√5，
∴BC=AB=√5，
∴OC=OB+BC=1+√5，
O为原点，OC为正方向，则C点的横坐标为1+√5；
故答案为：1+√5．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【题型3 无理数的估算】
【规律方法】无理数的估算既不是估计，也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方
法来确定一个数的大小或范围。估算常用的方法偶平方（开方）法、作商法、作差法、倒数法等。
【例3】（2023·宁夏·统考中考真题）估计√23的值应在（ ）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间
C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
【答案】C
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵16<23<25，
∴4<√23<5，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴√23更接近5，
∴√23在4.5和5之间，
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故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，
“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【变式3-1】（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．√7 B．2√2 C．√13 D．√17
【答案】C
【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵3=√9，4=√16，而2√2=√8，9<13<16，
∴大小在3与4之间的是√13，
故选：C．
【变式3-2】（2023·湖南·统考中考真题）数轴上到原点的距离小于√5的点所表示的整数有 ．
（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于√5，且为整数，再利用无理数的估算即可
求解．
【详解】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于√5，则|a|<√5，且为整数，
则−√5<a<√5，
∵√4<√5<√9，即2<√5<3，
∴a可以是±2或±1或0．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键．
【变式3-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）若a,b为两个连续整数，且a<√3<b，则a+b= ．
【答案】3
【分析】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵1<3<22，即12<(√3) 2<22，
∴1<√3<2，
∴a=1,b=2，
∴a+b=3．
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
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【题型4 用科学记数法表示数】
【例4】（2023·四川甘孜·统考中考真题）“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放
牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿29.47万亩，使得湿地生态环境状况持续
向好．其中数据29.47万用科学记数法表示为（ ）
A．0.2947×106 B．2.947×104 C．2.947×105 D．29.47×104
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：29.47万=294700=2.947×105，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式4-1】（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更
低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极
的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10−8 B．14×10−7 C．0.14×10−6 D．1.4×10−9
【答案】A
【分析】科学计数法的记数形式为：a×10n，其中1≤|a|<10，当数值绝对值大于1时，n是小数点向右
移动的位数；当数值绝对值小于1时，n是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解：0.000000014=1.4×10−8，
故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
【变式4-2】（2023·四川达州·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰
兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学
记数法表示）
【答案】2×1016
【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成
a×10n的形式即可．
【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万=2×104×104×104×104=2×1016，
故答案为：2×1016．
【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数
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法的表示方法．
【变式4-3】（2023·四川凉山·统考中考真题）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这
个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字
B．精确到百分位，有5个有效数字
C．精确到百位，有3个有效数字
D．精确到百位，有5个有效数字
【答案】C
【分析】将用科学记数法表示的近似数还原，看8所在的位置，即可求解．
【详解】解：5.08×104=50800，精确到了百位，有三个有效数字，
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字，掌握求解的方法是关键．
【题型5 实数的简单运算】
【例5】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）计算|−5|+20的结果是（ ）
A．−3 B．7 C．−4 D．6
【答案】D
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：|−5|+20 =5+1=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．
【变式5-1】（2023·山东临沂·统考中考真题）计算(−7)−(−5)的结果是（ ）
A．−12 B．12 C．−2 D．2
【答案】C
【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：(−7)−(−5)=(−7)+5=−2；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
【变式5-2】（2015·四川乐山·统考一模）计算(−3)×2，正确的结果是（ ）
A．6 B．5 C．−5 D．−6
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
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【详解】解：(−3)×2 =−6，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
【变式5-3】（2023·湖北·统考中考真题）计算：√4﹣1＝ ．
【答案】1
【分析】先计算算术平方根，然后计算减法．
【详解】解：原式=2-1=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x
叫做a的算术平方根．
【题型6 数的简便运算】
【例6】（2023·河北·中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（-15）；
4 1 3
（2）999×118 +999×（− ）-999×18 .
5 5 5
【答案】(1)-14985；(2)99900.
【分析】（1）根据题目中所给的规律，运用凑整法求解即可；
（2）根据题目中所给的规律，运用提同数法解决即可．
【详解】解：（1）999×（-15）
=（1000-1）×（-15）
=15-15000
=-14985;
4 1 3
（2）999×118 +999×（− ）-999×118
5 5 5
4 1 3
=999×[118 +（− ）-18 ]
5 5 5
=999×100
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=99900．
2 1 1 1
【变式6-1】（2023·山东·统考中考真题）嘉琪同学在计算4 −2 + +3 时，运算过程正确且比较简便
3 2 2 3
的是（ ）
2 1 1 1 2 1 1 1
A．(4 +3 )−(2 + ) B．(4 −2 )+( +3 )
3 3 2 2 3 2 2 3
2 1 1 1 2 1 1 1
C．(4 +3 )−(2 − ) D．(4 −3 )−( −2 )
3 3 2 2 3 3 2 2
【答案】C
【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．
2 1 1 1 2 1 1 1
【详解】解：嘉琪同学在计算4 −2 + +3 时，运算过程正确且比较简便的是(4 +3 )−(2 − )．
3 2 2 3 3 3 2 2
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．
( 47)
【变式6-2】（2022·河北·二模）在简便运算时，把24× −99 变形成最合适的形式是（ ）
48
( 1 ) ( 1 ) ( 47)
A．24× −100+ B．24× −100− C．24× −99− D．
48 48 48
( 47)
24× −99+
48
【答案】A
【分析】根据乘法分配律即可求解．
( 47) ( 1 )
【详解】24× −99 =24× −100+ 计算起来最简便，
48 48
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．
【变式6-3】（2023·山东临沂·中考真题）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连
100
续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑❑n，这里“∑”是求
n=1
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2012
1
和符号通过对以上材料的阅读，计算∑❑ = ．
n(n+1)
n=1
2012
【答案】
2013
1 1 1
【分析】先根据求和公式列出算式，再依据 = − 裂项求和即可．
n(n+1) n n+1
1 1 1
【详解】解：∵ = − ，
n(n+1) n n+1
2012
1 ( 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 1 )
∴∑❑ = 1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
n(n+1) 2 2 3 3 4 2012 2013
n=1
1
=1−
2013
2012
= ，
2013
2012
故答案为： ．
2013
1 1 1
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式，并熟练掌握 = − ，
n(n+1) n n+1
是解题的关键．
【题型7 实数的混合运算】
【例7】（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
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50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖南郴州·统考中考真题）计算：
(1) −1
−√3tan30°+(π−2023) 0+|−2|．
2
【答案】4
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
√3
【详解】解：原式=2−√3× +1+2
3
=2−1+1+2
=4．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是
解题的关键．
【变式7-2】（2023·湖南娄底·统考中考真题）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm表示，Cm=
（
n n m(m−1)⋅⋅⋅1
5×4 8×7×6
n≥m，n、m为正整数）；例如：C2= ，C3= ，则C4+C5=（ ）
5 2×1 8 3×2×1 9 9
A．C6 B．C4 C．C5 D．C6
9 10 10 10
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)
【详解】解：∵Cm=
，
n m(m−1)⋅⋅⋅1
9×8×7×6 9×8×7×6×5
∴C4+C5= + =126+126=252，
9 9 4×3×2×1 5×4×3×2×1
9×8×7×6×5×4
A选项，C6= =84，
9 6×5×4×3×2×1
10×9×8×7
B选项，C4 = =210，
10 4×3×2×1
10×9×8×7×6
C选项，C5 = =252，
10 5×4×3×2×1
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10×9×8×7×6×5
D选项，C6 = =210，
10 6×5×4×3×2×1
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求实数混合运算．正确理解新定义是解题的关键．
【变式7-3】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．
决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分
赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支
球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不
1 1
再抽签，然后进行 决赛， 决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚
8 4
军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵
表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
【答案】(1)C组分组积分赛对阵表见解答过程；
(2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
(3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可；
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案；
8 4
1 1
（3）分组积分赛48场， 决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各
8 4
1场，相加即可．
【详解】（1）C组分组积分赛对阵表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波兰
阿根 阿根廷：沙
阿根廷：墨西哥 阿根廷：波兰
廷 特
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波兰
墨西 墨西哥：阿根廷 墨西哥：沙 墨西哥：波兰
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哥 特
波兰 波兰：阿根廷 波兰：沙特 波兰：墨西哥
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，
8 4
∴一共踢了3+4=7（场），
∴本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
（3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共8×6=48（场）；
1 1
决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；
8 4
∴一共踢了48+8+4+2+1+1=64（场）；
∴本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则．
【题型8 实数与数轴的综合运算】
【例8】（2023·河北唐山·统考二模）如图，数轴上从左到右依次有六个点A，B，C，D，E，F，相邻两点
之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为−4，设这六个点表示的数之和为n．
(1)点F表示的数为__________（用含m的代数式表示）；
(2)已知点F表示的数是8，求n的值．
【答案】(1)﹣4+4m
(2)3
【分析】（1）根据相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为−4，即可得到答案；
（2）根据点B表示的数为−4，点F表示的数是8，求出m的值，分别得到点A，B，C，D，E，F分别对
应的数，求和即可得到n的值．
【详解】（1）解：∵相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为−4，
∴点F表示的数为﹣4+4m，
故答案为：﹣4+4m
（2）∵BF=8−(−4)=12，
4m=12，
解得m=3；
∴点A，B，C，D，E，F分别对应的数为：−7，−4，−1，2，5，8，
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∴n=−7+(−4)+(−1)+2+5+8=3.
【点睛】本题考查了有理数的加减法、数轴，根据BF的长度求m的值是解题的关键．
2
【变式8-1】（2023·河北邯郸·校考一模）如图，直径为 个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重
π
合．
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录
如下：+2，−1，+3，−4，−3．
①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？
②在滚动过程中，共经过 次数轴上2表示的点；第 次滚动后，点A距离原点最远．
【答案】(1)−2
(2)±4或0
(3)①−6；②4，3
【分析】（1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数；
（2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数；
（3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动1周，
点A在数轴上是2个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的
周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：+2，−1，+3，−4，−3，分别得出滚动过程，即可得出答案．
2
【详解】（1）解：∵π× =2，
π
∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是−2，
故答案为：−2；
2
（2）解：∵π× ×2=4，
π
①把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是±4，
②把圆片沿数轴向左滚动一周然后再向右滚动一周，或把圆片沿数轴向右滚动一周然后再左右滚动一周，
点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是0，
故答案为：±4或0；
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（3）解：①+2−1+3−4−3=−3，即向左滚动了3周，
2
∵π× ×3=6，
π
∴圆片结束滚动时，点A对应的数是−6；
②∵第1次：从0滚动到了4，经过数轴上2表示的点；
第2次：从4滚动到了2，经过数轴上2表示的点；
第3次：从2滚动到了8，经过数轴上2表示的点；
第4次：从8滚动到了0，经过数轴上2表示的点；
第5次：从0滚动到了−6，不经过数轴上2表示的点；
∴共有4次经过数轴上2表示的点，第3次滚动后，点A距离原点最远．
故答案为：4，3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
【变式8-2】（2023·浙江·一模）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点A,B,C，其中
AB=2,BC=1，设点A,B,C所对应数的和是p．
(1)若以B为原点，写出点A,C所对应的数，并求出p的值；
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p的值．
【答案】(1)点C表示1，点A表示−2，−1
(2)−88
【分析】（1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题；
（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，分别求出A，B，C三对应的数即可．
【详解】（1）解：∵ B是原点，AB=2,BC=1，
∴点C表示1，点A表示−2，
∴p=−2+0+1=−1；
（2）解：∵原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，
∴点C表示−28，点B表示−29，点A表示−31，
∴p=−28+(−29)+(−31)=−88．
【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属
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于中考常考题型．
【变式8-3】（2023·四川·统考中考真题）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B
点对应的数为90．
(1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ___________；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A
点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是
___________；
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当P点到达A点时，立即返回向右运动，
到达B点停止．同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达B点停止，直
接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？
【答案】(1)40；
(2)30；
1
(3)9秒或11秒或15秒或18 秒．
3
【分析】（1）先求-10与90和的一半，进一步可得M点对应的数；
（2）先求出AB的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相
遇时点Q移动的距离，进而可得出C点对应的数；
（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距10个单位长度和相遇后相距10个单位长度；追上前相距10个单位长
度和追上后相距10个单位长度，依此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵AM=[90-(-10)]÷2=50，
∴点M表示的数为-10+50=40．
故答案为：40；
（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90，
∴AB=90+10=100，
设t秒后P、Q相遇，
∴3t+2t=100，解得t=20；
∴此时点Q走过的路程=2×20=40，
∴此时C点表示的数为-10+40=30．
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答：C点对应的数是30．
故答案为：30；
（3）相遇前：(100-10)÷(2+8)=9（秒)，
相遇后：(10+100)÷(2+3)=11（秒)，
追上前：100÷8+(100÷8×2-10)÷(8-2)=15（秒)，
1
追上后：100÷8+(100÷8×2+10)÷(8-2)=18 （秒)．
3
1
故经过9秒或11秒或15秒或18 秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度．
3
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系以及数轴直观性是解决问题的关键．
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