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专题 01 实数及其运算
考点 1 实数及其运算
一、单选题
1．（2019·四川绵阳·统考中考真题）若 ，则 的值为( )
A．-4 B．4 C．-2 D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的概念可得答案．
【详解】解：若 ，则 .
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2．（2021·天津·统考中考真题）计算 的结果等于（ ）
A． B．2 C． D．15
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则运算即可求解．
【详解】解：由题意可知： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，属于基础题，运算过程中注意符号即可．
3．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
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4．（2023年广东省中考数学真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如
果把收入5元记作 元，那么支出5元记作（ ）
A． 元 B．0元 C． 元 D． 元
【答案】A
【分析】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作 元，可知支出5元记作 元；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
5．（2012年初中毕业升学考试（福建莆田卷）数学（带解析））下列各数中，最小的数是（ ）
A．－l B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数是-1．
故选：A
【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对
值大的反而小．
6．（2023年山东省聊城市中考数学真题） 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据零指数幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，计算即可得到答案
【详解】解：∵任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查零指数幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，熟练掌握零次幂法则是
解题的关键．
7．（2023年山东省临沂市中考数学真题）计算 的结果是（ ）
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A． B．12 C． D．2
【答案】C
【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解： ；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
8．（2023年山东省济宁市中考数学真题）实数 中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.5
【答案】A
【分析】根据无理数的概念求解．
【详解】解：实数 中， 是无理数，而 是有理数；
故选A．
【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
9．（[首发]河南省周口市西华县2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题）下列各数中比1大的数
是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．-3
【答案】A
【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可得题目选项中的各数中
比1大的数是2，故选A.
考点：有理数的大小比较.
10．（2023年江西省中考数学真题）下列各数中，正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解： 是正整数， 是小数，不是整数， 不是正数， 不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
11．（2023年福建省中考真题数学试题）下列实数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
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【答案】D
【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断
即可．
【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且 ，所以 中最大的实数是2．
故选：D
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．
12．（2023年浙江省温州市中考数学真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是 ，所以比 大3的数是 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
14．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）在 这四个数中，最小的数是( )
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴最小的数是 ；
故选A．
【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的
关键．
15．（2023年浙江省杭州市中考数学真题） （ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．
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【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．
16．（2023年天津市中考数学真题）计算（-1/2）*(-2)的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解： ；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键．
17．（2023年吉林省长春市中考数学真题）实数 、 、 、 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数
中绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.
【详解】解：由图可知， ， ， ， ，
比较四个数的绝对值排除 和 ，
根据绝对值的意义观察图形可知， 离原点的距离大于 离原点的距离，
，
这四个数中绝对值最小的是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上
所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.
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18．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）化简 的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】B
【分析】 表示 的相反数，据此解答即可．
【详解】解： ，
故选：B
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
19．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．
20．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算
法则逐项判断即可解答．
【详解】解： ，故此选项不合题意；
B. ，故此选项不合题意；
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C. ，故此选项符合题意；
D. ，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等
知识点，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题
21．（2019·江苏泰州·统考中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．
【详解】∵ ，∴ ，故答案为1.
【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．
22．（2021·天津·统考中考真题）计算 的结果等于 ．
【答案】9
【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．
【详解】 ．
故答案为9．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
23．（2022·江苏镇江·统考中考真题）计算：3+（﹣2）＝ ．
【答案】1
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】3+(﹣2)
＝+(3﹣2)
＝1，
故答案为1
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键．
24．（2022·西藏·统考中考真题）已知 ， 都是实数，若 ，则 ．
【答案】
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【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出 ， ，再代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出 ， 的值是解本题的关键．
三、解答题
25．（2020·广西贺州·统考中考真题）计算： ．
【答案】 ．
【分析】直接利用零指幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
26．（2021·北京·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：原式= ．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及
二次根式的运算是解题的关键．
27．（2022·西藏·统考中考真题）计算： ．
【答案】
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【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键．
28．（2012年初中毕业升学考试（福建莆田卷）数学（带解析））下列各数中，最小的数是（ ）
A．－l B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数是-1．
故选：A
【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对
值大的反而小．
29．（2023·贵州遵义·统考二模）在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数大小的比较法则：正数大于0，0大于一切负数，即可进行比较．
【详解】解：由题意知，选项所给的四个数中只有一个负数，其余是非负数，则 最小；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，掌握负数小于一切非负数是解题的关键．
30．（2023·湖北孝感·统考三模）5的倒数是( )
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据倒数的意义可直接进行求解．
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【详解】解：5的倒数是 ；
故选A．
【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键．
31．（2023·山东临沂·统考二模）估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【分析】根据 得到 ，问题得解．
【详解】解： ，
，即在5和6之间．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定 的整数部分是解本题的关键．
32．（2023·湖北咸宁·统考一模）下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判定即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴最小的数为 ．
故选A．
【点睛】本题考查实数比较大小．熟练掌握负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，是解题的关键．
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33．（2023·贵州遵义·统考二模）祖冲之发现的圆周率的分数近似值 ，称为密率，比 的
值只大0.0000003，0.0000003这个数用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整
数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
34．（2022·四川达州·统考中考真题）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金亚机场位于达州高新
区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解：26.62亿 ．
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
35．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）在 ， ， ， 这四个数中，整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解．
【详解】解：选项A： 是无理数，不符合题意；
选项B： 是分数，不符合题意；
选项C： 是负整数，符合题意；
选项D： 是分数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．
36．（江苏省无锡市侨谊教育集团2022-2023学年七年级下学期期末数学试题） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．
37．（[首发]河南省周口市西华县2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题）下列各数中比1大的数
是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．-3
【答案】A
【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可得题目选项中的各数中
比1大的数是2，故选A.
考点：有理数的大小比较.
38．（2023·安徽蚌埠·统考三模）据安徽统计局公布， 年 月份，全省进出口总额 亿元，用科
学记数法表示 亿，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： 亿
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确
定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
39．（2023·河北保定·统考模拟预测）下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的加减乘除，以及负整数数指数幂逐个计算即可解答．
【详解】 ，故A不正确，不符合题意；
，故B不正确，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D不正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及负整数指数幂，解决本题的关键是熟记有理数的运算法则．
40．（2023·吉林四平·校联考三模）如果 ，那么下面各式计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出每个选项的结果，然后比较大小即可．
【详解】解：A．
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B．
C．
D．
∵
∴
∴计算结果最大的是D．
故选D．
【点睛】此题考查的是分数的乘除法运算和分数比较大小，掌握分数的乘除法法则和分数比较大小的方法
是解决此题的关键．
41．（2023·广东江门·校考三模）下列算式中，计算结果是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的加法，求一个数的绝对值，有理数的乘方，有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，不是负数，故该选项不符合题意；
B. ，不是负数，故该选项不符合题意；
C. ，不是负数，故该选项不符合题意；
D. ，是负数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加法，求一个数的绝对值，有理数的乘方，有理数的乘法，熟练掌握以上运
算法则是解题的关键．
42．（2023·福建福州·校考二模）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的
结果为1．
43．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算
法则逐项判断即可解答．
【详解】解： ，故此选项不合题意；
B. ，故此选项不合题意；
C. ，故此选项符合题意；
D. ，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等
知识点，正确掌握相关运算法则是解题关键．
44．（2023·湖北鄂州·统考二模）写出一个小于2的正无理数是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
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【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
45．（2023·湖北孝感·统考三模）计算： 的值为 ．
【答案】6
【分析】根据零次幂可进行求解．
【详解】解：原式 ；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．
46．（2023·湖北咸宁·统考一模）﹣1的倒数是 ．
【答案】-1
【分析】根据倒数的定义可直接解答．﹣1的倒数还是它本身．
【详解】解：因为（﹣1）×（﹣1）＝1，
所以﹣1的倒数是﹣1．
【点睛】本题主要考查了根据互为倒数的两个数的乘积是1求出一个数的倒数的能力
47．（2023·湖北咸宁·统考一模） 比 小 ．
【答案】7
【分析】 减去 ，即可得出结论．
【详解】解： ；
故答案为：7．
【点睛】本题考查有理数的减法．熟练掌握减去一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
48．（2023·江苏连云港·统考二模）比较大小： （填“ ”、“ ”、“ ”）．
【答案】＜
【分析】把2化成根号的形式比较即可；
【详解】∵ ，
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∴ ．
故答案是＜．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，准确分析判断是解题的关键．
49．（2023·福建福州·校考二模）已知 ， ，则代数式 的值等于 ．
【答案】
【分析】先求出 ， ，再由 进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，正确得到 ， 是解题的关
键．
50．（2023·甘肃平凉·校考三模）计算：．
【答案】5
【分析】先化简二次根式以及计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，然后根据实数的运算法
则求解即可．
【详解】解：
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．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值
的计算法则是解题的关键．
51．（2023·湖南郴州·校考三模）计算： ．
【答案】2
【分析】根据有理数的乘法，二次根式的性质，零指数的计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，求算术平方根，零指数，熟知相关计算法则是解题的关键．
52．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）计算：
【答案】
【分析】先计算负整数指数幂、化简二次根式、去绝对值，再进行加减计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及负整数指数幂、化简二次根式和去绝对值．掌握二次根式的
混合运算法则是解题关键．
53．（2023·浙江金华·统考一模）计算： ．
【答案】
【分析】直接利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、有理数的乘方、二次根式的化简，分别化简即可
得出答案．
【详解】解：
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．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简二次根式，特殊角三角函数值，正确技算是解题的关键．
54．（2023·陕西宝鸡·统考三模）计算： ．
【答案】
【分析】先根据负整数指数幂，算术平方根的性质，绝对值的性质化简，再计算，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，算术平方根的性质，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解
题的关键．
55．（2023·山东临沂·统考二模）（1）计算：
（2）解不等式：
【答案】x≤3
【分析】（1）按照实数的运算顺序进行运算即可.
（2）根据解不等式的步骤解不等式即可.
【详解】解：（1）原式
（2）3（1+x）﹣6≤2x，
3+3x﹣6≤2x，
3x﹣2x≤6﹣3，
x≤3.
【点睛】考查实数的混合运算以及解一元一次不等式，比较基础，难度不大.
56．（2023·湖北咸宁·统考一模）计算： ．
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【答案】
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，求一个数的立方根，实数的混合运算．熟练掌握相关
运算法则，是解题的关键．
57．（2022·四川达州·统考中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】先计算乘方和去绝对值符号，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】解：原式=1+2-1-2×1
=1+2-1-2
=0．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂的运算、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
58．（2023·贵州遵义·统考二模）（1）计算： ．
（2）解不等式组 ．
【答案】（1）1；（2） ．
【分析】（1）利用负整数指数幂的性质、算术平方根的性质计算求解；
（2）利用一元一次不等式的解法分别求出两个不等式的解，来利用一元一次不等式方程组解的确定方法
来确定出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
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（2）在 中，
由①得 ，
由②得 ，
∴不等式组的解集是 ．
【点睛】本题考查了实数的运算，一元一次不等式组的解法，理解负整数指数幂的性质、算术平方根的性
质，一元一次不等式组的解法是解答关键．
59．（2023·湖南长沙·校联考二模）计算： ．
【答案】
【分析】先将负整数幂，绝对值，锐角三角函数以及0次幂化简，再进行计算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握负整数幂，绝对值，锐
角三角函数以及0次幂的化简方法．
60．（2023·黑龙江绥化·统考三模）计算；
【答案】
【分析】利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、代入特殊角的三角函数值分别化
简计算即可得答案．
【详解】
=2+1-2× +
= ．
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【点睛】本题考查了实数的计算，包含负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌
握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
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