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专题 15 圆
考点 1 圆
一、单选题
1．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，点A、B、C在 上， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理的含义可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题的关键．
2．（2023年云南省中考数学真题）如图， 是 的直径， 是 上一点．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在 中，点 在圆上， ，则
的半径 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求出 ，再求出 即可．
【详解】解：根据圆周角定理得： ，
，
，
， ，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，能求出 是直角三角形是解此题的关键．
4．（2023年河南省中考数学真题）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的度数为
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理即可得．
【详解】解：∵ ，
∴由圆周角定理得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
5．（2023年安徽中考数学真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
6．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如
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《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，
又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，
用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，
单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；
（3）连接 ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明 ，可得 ，结合 ，C为 的中点，可得
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，C为 的中点，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等
腰三角形的性质是解本题的关键．
7．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧 上．
若 ，则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 互相垂直可得 所对的圆心角为 ，根据圆周角定理可得
，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
半径 互相垂直，
，
所对的圆心角为 ，
所对的圆周角 ，
又 ，
，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周
角等于圆心角的一半．
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8．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ， ， ，则
的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求出∠D= ∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠D=180°，求出
∠ABC=∠AOC=120°，解直角三角形求出OA，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵ 对的圆周角是 ，对的圆心角是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
过O作 于E，则 ，
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∵OE过O， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，能综
合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧
的长度是 ．
9．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形， ， ，连接
， ，则 的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 于 ，根据垂径定理求出 ，根据圆周角定理求出 ，根据正弦的定义
求出 ，根据弧长公式计算求解．
【详解】解：过点 作 于 ，
则 ，
由圆周角定理得： ，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
10．（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割
圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率
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的近似值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面
积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得 ，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得
，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为
，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形 ，过点 作 交 于点于点 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故正十二边形的面积为 ，
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圆的面积为 ，
用圆内接正十二边形面积近似估计 的面积可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆
的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
二、填空题
11．（2022·海南·统考中考真题）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于
点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= ．
【答案】25
【分析】连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外
角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数．
【详解】解：连接OB，如图，
∵边AB与⊙O相切，切点为B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，
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∴∠C= ∠AOB=25°．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．
12．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图
中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到 ，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ 的面积为 ，矩形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为 ；
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【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
13．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ，
，垂足为E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接 ，利用圆周角定理及垂径定理易得 ，则 ，结合已知条件，利用
直角三角形中 角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得 是解题的关键．
14．（2019·江苏泰州·统考中考真题）如图， 的半径为5，点 在 上，点 在 内，且 ，
过点 作 的垂线交 于点 、 ．设 ， ，则 与 的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】连接 并延长交 于 ，连接 ，根据圆周角定理得到 ， ，求得
，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，连接 并延长交 于 ，连接 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 的半径为5， ， ， ，
∴ ，∴ ..
故答案为 ．
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【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则
OH的长度为 ．
【答案】3
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股
定理求出OH的长．
【详解】连接OC，
Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；
由勾股定理，得：OH= ；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16．（2023年河南省中考数学真题）如图， 与 相切于点A， 交 于点B，点C在 上，且
．若 ， ，则 的长为 ．
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【答案】
【分析】连接 ，证明 ，设 ，则 ，再证明 ，
列出比例式计算即可．
【详解】如图，连接 ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ；
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
故 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练
掌握性质是解题的关键．
17．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．
【答案】2
【分析】连接 ，首先证明出 是 的内接正三角形，然后证明出 ，
得到 ， ，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，
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∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是 的内接正三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆和正六边形的性质可得， ，
由圆和正三角形的性质可得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知
识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题
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18．（2021·山东济南·统考中考真题）已知：如图， 是 的直径， ， 是 上两点，过点 的切
线交 的延长线于点 ， ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，已知条件可得 ，进而根据平行线的性质可得
，根据圆周角定理可得 ，等量代换即可得证；
（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，进而根据正切值以及已知条件可得 的长，
勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
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，
，
．
（2）连接
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题
意添加辅助线是解题的关键．
19．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在 中， ，D是 边上一点，以 为直径
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的 与 相切于点E，连接 并延长交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 直径．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)5
【分析】(1)连接OE，由AC是圆的切线得到∠AEO=90°=∠ACB，进而得到OE∥BC，得到∠F=∠DEO；再
由半径相等得到∠ODE=∠DEO，进而得到∠F=∠ODE即可证明BD=BF；
(2)连接OE，由 求出EC=2，证明∠CEB=∠F进而由 求出
BC=4，最后根据BD=BF=BC+CF=4+1=5．
【详解】（1）证明：连接OE，如下图所示：
∵AC为圆O的切线，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
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∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF．
（2）解：连接BE，如下图所示：
由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，
∴ ，代入数据： ，
∴EC=2，
又BD是圆O的直径，
∴∠BED=∠BEF=90°，
∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB，
∴∠F=∠CEB，
∴ ，代入数据： ，
∴BC=4，
由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5，
∴圆O的直径为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中切线的性质、三角函数求线段长度等，熟练掌握圆的切线的性质及
圆周角定理是解题的关键．
20．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图， 平分 ， 与 相切于点A，延长 交
于点C，过点O作 ，垂足为B．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为4， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据切线的性质得到 ，然后根据角平分线的性质定理得到 即可证明；
（2）首先根据勾股定理得到 ，然后求得 ，最后利用
，代入求解即可．
【详解】（1）∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）∵ 的半径为4，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
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【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识
点．
21．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图， 都是 的半径， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，即可得
出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明 ，
得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在 中，根据勾股定理得
出 ，求出 即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
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．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，
，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角
定理．
22．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线
的垂线，垂足为E．
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(1)求证： 是 切线；
(2)若 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有 的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）连接OC，证明 ，即可得到结论；
（2）连接AC，证明 ，从而可得 ，再代入求值即可；
（2）连接 ，证明 ，从而可得 ，，求出扇形 的面积即可得到阴影部分
的面积．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵点C是 的中点，，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴半径 ，
∴ 是 切线；
（2）连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 ，
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∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判
定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
23．（2023年江西省中考数学真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与 相
交于点D，E为 上一点，且 ．
(1)求 的长；
(2)若 ，求证： 为 的切线．
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到
，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可得
，再由 是 的直径，得到 ，进而求出 ，进一步推出
，由此即可证明 是 的切线．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∵E为 上一点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长 ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
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∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是
解题的关键
．
24．（2023年安徽中考数学真题）已知四边形 内接于 ，对角线 是 的直径．
(1)如图1，连接 ，若 ，求证； 平分 ；
(2)如图2， 为 内一点，满足 ，若 ， ，求弦 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
(2)证明四边形 平行四边形，后用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵对角线 是 的直径，
∴ ，
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∴ ，
∴ 平分 ．
（2）∵对角线 是 的直径，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴四边形 平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，
熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
25．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图， 是 的直径， 与 相交于点 ．过点 的圆
O的切线 ，交 的延长线于点 ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，根据 为 的切线，则 ，由 ，则 ，根据圆
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周角定理可得 ，又 ，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．
【详解】（1）如图，连接 ．
为 的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）如图，连接 ，
， ，
．
，
，且 ，
，
，即 ，
，
，即半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判
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定等知识．正确作出辅助线是解题关键．
26．（2019·河北·统考中考真题）如图1和2， 中，AB=3，BC=15， ．点 为 延
长线上一点，过点 作 切 于点 ，设 ．
（1）如图1， 为何值时，圆心 落在 上？若此时 交 于点 ，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当 时，如图2， 与 交于点 ，求 的度数，并通过计算比较弦 与劣弧 长度的
大小；
（3）当 与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）当x=9时，圆心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的长度＞劣弧 长度；
（3）x≥18．
【分析】（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中， tan∠PBC=tan∠DAB ，设CP=4k，BP=3k，由勾
股定理可求得BC，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；
（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣
弧 长度，再比较它与AP长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一
点，此时，BP有最小值，即x≥18．
【详解】（1）如图1，AP经过圆心O．
∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴ tan∠PBC=tan∠DAB ，设CP=4k，BP=3k，由
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CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k=﹣3（舍去），k=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆
1 2
心O落在AP上；
∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴ tan∠CBG=tan∠DAB ，设CG=4m，BG=3m，由勾股
定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，
AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP 1，∴∠CAP=45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PH AP ．
在Rt△CPG中， 13．
∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，
∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴ ，即PH×CP=CG×OP， 13=12OP，∴OP ，∴
劣弧 长度 ．
∵ 2π＜7，∴弦AP的长度＞劣弧 长度．
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一
点，此时圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，即⊙O与DA切于
点A时，BP取得最小值，如图3，过点C作CM⊥AB于M．
∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB ，设CM=4k，BM=3k，由
CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k=﹣3（舍去），k=3，∴x=BM=3×3=9．
1 2
∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．
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【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，解直角三角形，勾股定理，弧长计
算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．
27．（2023年云南省中考数学真题）如图， 是 的直径， 是 上异于 的点． 外的点
在射线 上，直线 与 垂直，垂足为 ，且 ．设 的面积为 的面积
为 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 ，求常数 的值．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析
(2)
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【分析】（1） 与 相切，理由如下： 连接 ，先证 得 ，又证
，进而有 ，于是即可得 与 相切；
（2）先求得 ，再证 ，得 ，从而有 ，又 ，即
可得解．
【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
连接 ，
∵ 是 的直径，直线 与 垂直，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 相切；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾
股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾
股定理等知识是解题的关键．
28．（2023年广东省中考数学真题）综合探究
如图1，在矩形 中 ，对角线 相交于点 ，点 关于 的对称点为 ，连接
交 于点 ，连接 ．
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(1)求证： ；
(2)以点 为圆心， 为半径作圆．
①如图2， 与 相切，求证： ；
②如图3， 与 相切， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）由点 关于 的对称点为 可知点E是 的中点， ，从而得到 是
的中位线，继而得到 ，从而证明 ；
（2）①过点O作 于点F，延长 交 于点G，先证明 得到 ，由
与 相切，得到 ，继而得到 ，从而证明 是 的角平分线，即
， ，求得 ，利用直角三角形两锐角互余得到
，从而得到 ，即 ，最后利用含 度角的直角三角形的性质
得出 ；
②先证明四边形 是正方形，得到 ，再利用 是 的中位线得到 ，
从而得到 ， ，再利用平行线的性质得到 ，从而证明 是等腰直角
三角形， ，设 ，求得 ，在 中， 即
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，解得 ，从而得到 的面积为 ．
【详解】（1）∵点 关于 的对称点为 ，
∴点E是 的中点， ，
又∵四边形 是矩形，
∴O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴ ，
∴
（2）①过点O作 于点F，延长 交 于点G，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 与 相切， 为半径， ，
∴ ，
∴
又∵ 即 ， ，
∴ 是 的角平分线，即 ，
设 ，则 ，
又∵
∴
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∴
又∵ ，即 是直角三角形，
∴ ，即
解得： ，
∴ ，即 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
②过点O作 于点H，
∵ 与 相切，
∴ ，
∵
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ 是 的中位线，
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
又∵ ，
∴
又∵ ，
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∴ 是等腰直角三角形， ，
设 ，则
∴
在 中， ，
即
∴
∴ 的面积为：
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质
与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
29．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在 上运动，满足 ，延
长 至点D，使得 ，点E是弦 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 的垂
线，交 于点F，交 的延长线于点N，交 于点M（点M在劣弧 上）．
(1) 是 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记 的面积分别为 ，若 ，求 的值；
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(3)若 的半径为1，设 ， ，试求y关于x的函数解析式，并写出
自变量x的取值范围．
【答案】(1) 是 的切线，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出 ，从而 ，然后根据
，可以得解；
（2）由题意，据 得 ，再由 ，进而进行变形
利用方程的思想可以得解；
（3）依据题意，连接 ，分别在 中，找出边之间的关系，进而由
，可以得解．
【详解】（1）解： 是 的切线．
证明：如图，在 中， ，
∴ ．
又点A，B，C在 上，
∴ 是 的直径．
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是 的切线．
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（2）由题意得， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
由题意，设 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
∴ ．
（3）设 ，
∵ ，
∴ ．
如图，连接 ．
∴在 中， ．
∴ ， ．
∴在 中， ， ．
在 中， ．（∵ ，∴ ）
．
在 中， ， ．
∴
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．
即 ．
∵ ，
∴ 最大值为F与O重合时，即为1．
∴ ．
综上， ．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．
30．（2023·山东济宁·校联考三模）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当
时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交
C．内切或外切 D．内含
【答案】B
【分析】根据圆与圆的位置关系可进行求解
【详解】∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当 时，
∴两圆的位置关系是相交．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握圆与圆的位置关系是解题的关键
31．（2023·山东济宁·校联考三模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝
90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
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A． B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，
AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= =
．故选C．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．
32．（2023·湖南湘西·统考三模）如图， ， 是 的两条半径，点 在 上，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
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【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键．
33．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．140°
【答案】D
【分析】在优弧 上取点D，连接 ， ，先由圆内接四边形的性质求出 的度数，再由圆周角定
理求出 的度数即可．
【详解】试题分析：在优弧 上取点D，连接 ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴
∵ 与 是同弧所对的圆周角与圆心角
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理等，解题的关键是做出辅助线，构建圆内接四边形．
34．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A
与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
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A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
35．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图， ， 是 的弦，连接 ， ， ，延长 交 于点
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E，连接 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据圆心角、弧、弦之间的关系可得 ，根据圆周角定理可得
，即可求得．
【详解】如图
由题可知， 为直径，故
∵
∴
∵ ，
所以
故选：C．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等，解题的关键是要掌握在同圆或等圆中，如
果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
36．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，BD是 的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若
， ，则 的度数为（ ）
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A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【分析】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出
∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴ ，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵ ，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的
性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
37．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图， 内接于 ， 是 的直径，若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】连接 ，根据 是 的直径，求出 ，根据 ，得出 ，
即可求出结果．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握基础知识，求出 ， ．
38．（2023·安徽六安·校考模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作
OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（ ）
A． B． C． D．3cm
【答案】A
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
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∴BE＝ BD＝6，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝ ，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝ ＝3 ，
∵OF⊥BC，
∴CF＝ BC＝ ，
∴OF＝ ＝ （cm），
故选A．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
39．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图， 是 的直径， 是 上两点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据邻补角互补得到 ，然后利用圆周角定理求解即可．
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【详解】∵
∴
∵
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，邻补角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
40．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图， 与 相切于点 ，交直径 的延长线于点
， 为圆上一点， ．若 的长度为3，则 的长度为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】连接 ，根据 ，可得 ，进而有 ，结合 与 相切于点
，可得 ，即可得 ， ，在 中，利用 ，可得
，解方程即可求解．
【详解】连接 ，如图，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， 的长度为3，
∴ ，
∴ （负值舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握圆
周角定理，切线的性质，是解答本题的关键．
41．（2023·四川成都·校考三模）如图， 是 的直径，弦 ， ， ，则阴
影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂径定理求得 ，然后由圆周角定理知 ，通过解直角三角形求得线段
、 的长度；最后将相关线段的长度代入 ．
【详解】解：如图，设线段 、 交于点 ，
∵ 是 的直径，弦 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
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．
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形， 角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面
积的计算，运用了割补法求阴影部分的面积．掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键．
42．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条
弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这
个圆的半径为 ．
【答案】 /
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接
OE，DK，再证明 经过圆心， ，分别求解AC，BC，CF， 设 的半径为 再分别表示
再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，
连接OE，DK，
过圆心O， ，
设 的半径为
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∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的
关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
43．（2023·四川成都·统考二模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝
8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是 ．
【答案】3cm
【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴ ，
在Rt OCB中，由勾股定理得： cm，
△
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故答案为：3cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．
44．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，正六边形 和正五边形 内接于 ，且有公共
顶点A，则 的度数为 度．
【答案】12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
45．（2023·福建福州·校考二模）如图， 是 的直径， 上的点C，D在直径 的两侧，连接
，若 ， ，则 的长等于 ．
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【答案】
【分析】连接 ， ，根据特殊角锐角三角函数值可得 ，再由 是 的直径，可得
，从而得到 ，进而得到 ， ，再由
，可得 ，然后由弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ 的长等于 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握弧长公式，圆周角定理，
特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
46．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知正方形 的边长为 ，以 为直径作两个半圆，
分别取 ， 的中点 ，连接 ．则阴影部分的周长为 ．
【答案】 /
【分析】取 的中点 ，设 交点 于点 ，根据相似三角形的判定得到 ，再根据相
似三角形的性质及勾股定理得到 ，最后利用弧长的和即可解答．
【详解】解：如图，取 的中点 ，设 、 交于点 ，
∵ 是弧 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形的边长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 ， 的中点，
∴弧 的长为 ，
∴弧 ，弧 的长度之和为 ，
∴图中阴影部分的周长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，勾股定理，弧长公式，掌握相似三角形的性质及判定是解
题的关键．
47．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是
CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出
下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝ ；④CD平分∠ADE；⑤S DEF＝4 ．
△
其中正确的是 ．（填序号）
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【答案】①②⑤
【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得： ，DG=CG，继而证得
△ADF∽△AED；从而判断①；由 ，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得
FG=2，从而判断②；由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠AED= ，从
而判断③；通过判定△AFD∽△CFE，然后结合相似三角形的性质求得EF的长，从而判断④；首先求得
△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得S DEF=4
△
，从而判断⑤
【详解】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正确；
②∵ ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= ，
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∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= ，
∴tan∠AED= ；故③错误；
④∵∠AFD=∠CFE，∠ADC=∠AEC
∴△AFD∽△CFE
∴ ，即 ，解得：
∴EF≠DF
则∠AED≠∠CDE，而∠ADC=∠AED
∴∠ADC≠∠CDE
∴CD并不平分∠ADE，故④错误
⑤∵DF=DG+FG=6，AD=
∴S ADF= DF•AG= ×6× =3 ，
△
∵△ADF∽△AED，
∴
∴ ，
∴S AED=7 ，
△
∴S DEF=S AED-S ADF=4 ；故⑤正确．
△ △ △
故答案为：①②⑤．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．
此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
48．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，点P是 上一点， 是一条弦，点C是
上一点，与点D关于 对称， 交 于点E， 与 交于点F，且 ．给出下面四个
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结论：① 平分 ； ② ； ③ ； ④ 为 的切线．其中所有正确结论
的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据点AB为CD的垂直平分线，得出BD=BC，AD=AC，根据等边对等角得出∠BDC=∠BCD，
利用平行线性质可判断①正确；利用 ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圆周角弧与弦关系
可判断②正确；根据等弧所对的圆周△角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得 AEF与 ABE不相似，即可判
断③；连结OB，利用垂径定理得出OB⊥CE，利用平行线性质得出OB⊥B△D，即可△判断④正确．
【详解】解：∵点C是 上一点，与点D关于 对称，
∴AB为CD的垂直平分线，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵ ，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
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∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴ ，
∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，
∴ ≠ ，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，
∵ ，CE为弦，
∴OB⊥CE，
∵ ，
∴OB⊥BD，
∴BD为 的切线．故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④．
故答案为①②④．
．
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【点睛】本题考查轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，
切线判断，掌握轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，
切线判断是解题关键．
49．（2023·广西·统考三模）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，
大圆的弦 交小圆于点C，D．若 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】根据勾股定理得 ，利用这个关系列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点O作 垂足为点 ，连接 ， ，
，
，
根据勾股定理列方程可得， ，
， ，
，
解得 ，
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，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，适当添加辅助线构造直角三角形，并列方程求解是解题关键．
50．（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为
．
【答案】6
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
求解．
【详解】解：连接OB,OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
51．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图， 为⊙O的直径，弦 于点E，若 ，
则 ．
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【答案】
【分析】连接 ，根据勾股定理求出 的长，再根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得： ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键，属于基础题．
52．（2023·山东济宁·校联考三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，
过点C作
⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
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（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9， ，求BF的长．
【答案】（1）见解析（2）FB=
【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．
（2）过点D作DH⊥AB，根据解直角三角形的知识可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由
△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
【详解】证明：（1）连接OC，
∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）．
∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD．
在△OCE和△OBE中，
∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，
∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，
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∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴ ．
又∵ ，OB=9，∴OD=6．
∴OH=4，HB=5，DH=2 ．
又∵△ADH∽△AFB，∴ ，即 ，解得FB= ．
垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义．
53.（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知 的半径为 ，四边形 内接于 ，连结 ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求证： 平分 的外角 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理，弧长计算公式即可求解；
（2）根据 ，可得 ，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，运用等量代换即可
求证．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
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∵ ， 的半径为 ，
∴ ，
根据弧长公式得， ．
（2）解：根据题意， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 的外角 ．
【点睛】本题主要考查圆与四边形，等腰三角形的综合，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等量代换
的方法是解题的关键．
54．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆
的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
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（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当 CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径
AB的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB= ；（3） ．
【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，
如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°= OC，∴OC= = ，
∴AB=2OC= ；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
如图3，则∠AOF=∠COF= ∠AOC= （180°﹣60°）=60°，
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，
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∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC，
∴ CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，此时
FH=OF•sin∠FOH= OF=6，则OF= ，AB=2OF= ，
∴当 CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为 ．
考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的判定与性质；4．菱形的判定与性质；
5．锐角三角函数的定义；6．特殊角的三角函数值．
55．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知：如图，在 中， 为 延长线上一点，连接
交 的外接圆于点 ，连接
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 的长．
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【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到∠EDA=∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠ABC，
等量代换得到∠ADB=∠EDA，于是得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠E，求得∠BCE=90°，解直角三角形即可得到结
论．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠EDA=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠EDA=∠ACB，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠EDA，
∴AD平分∠BDE；
（2）∵AE=AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠E，
∵∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠E=180°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°，
∵∠BDC=∠BAC=30°，BC=2，
,
∴CD =2 ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理以及锐角三
角函数的应用，正确的识别图形是解题的关键．
56．（2023·广西南宁·南宁市第二十六中学校考二模）如图， 是 的直径，C为 延长线上一点．
为 切线，D为切点， 于点H，交 于点E．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据平行线的判定与性质得到
，根据切线的性质得到 ，通过等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到 ，设 ， ，证明
，根据相似三角形的性质，可求得 的长，即可求得 的长；再根据相似三角形的判定，
可证得 ，利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得半径的长．
【详解】（1）证明：如图：连 ，
，
为直径，
，
，
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，
，
为 切线，
， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
点H是 的中点，
，点O是 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
， ，
为 的中点，
，
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在 中， ．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，
圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
57．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的
三点A，B，C．
(1)用尺规作图法，找出弧 所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在 中，连接 交 于点E，连接 ，当 时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于 ，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)相切
【分析】（1）分别作 的垂直平分线，二者的交点O即为圆心；
（2）根据题意可得 ，则 ，利用勾股定理求出 ，进而利用勾股定理求出半
径R即可；
（3）根据直线到圆的距离等于半径，即可知直线l与圆相切．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；
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（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴所求圆的半径为 ；
（3）解：∵直线l到圆心的距离等于 ，且圆的半径为 ，
∴直线l与圆相切，
故答案为：相切．
【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等等，灵活运用所
学知识是解题的关键．
58．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图， 是 的直径，点C是弧 的中点，过点C作 于点
E，连接 ．
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(1)判断 与 的位置关系，并证明；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1) 与 相切，证明见详解
(2)5
【分析】（1）连接 ，由题意易得 ， ，则有 ，然后可得
，进而问题可求证；
（2）连接 ，由题意易得 ，然后设 ，进而问题可求解．
【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
连接 ，如图所示：
∵点C是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
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∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 与 相切；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
设 ，则有： ，
解得： （负根舍去），
∴ ，
∴ 的半径为5．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定及三角函数，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函
数是解题的关键．
59．（2023·四川成都·校考三模）如图， 是以 为直径的 上的点，且 ，弦 交
于点 平分 于点 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由角平分线定义，等腰三角形的性质得出 ，进而得出 ，
由 ，得出 ，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ， ，由 是直径， ，得出 是等腰直角三角形，结合已知求出 、
的长度，进而证明 ，得出 ，代入计算即可求出 的值．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 是 的切线；
（2）如图2，连接 ， ，
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∵ ， 是直径，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和通过证明
来求解．
60．（2023·河南信阳·校考三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
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(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，
并写出证明过程．已知：如图①，弦 ， 交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知 是 的直径， 与弦 交于点P，且 于点P，过D作 的切线，交
的延长线于E，D为切点，若 ， 的半径为5，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明 ，再利用相似的性质即可；
（2）利用（1）可知 ，求出 ，再证明 ，利用相似的性质求出 ，求
差即可得到 的长．
【详解】（1）求证： ．
证明：连接AC、BD．如图①．
∵ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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（2）解：∵ ， ， ．由（1）可知 ．
∴ ．
∵ ， 是 的直径， ， ．
连接OD．如图②．
∵ 为切线．
∴ ．
∵ ． ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
又∵ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的相关性质，三角形相似的判定与性质，严格的逻辑思维和严密的书写过程是解题
的关键．
61．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图1， 内接于 中， 为直径，点 在弧 上，连接
．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，如图3，点 在线段 上，连接 交 于点 ，若 ，
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， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理可得 ， ，由三角形内角和定理可得 ，
从而可得 ；
（2）设 ，可得 ，从而得到 ，由等腰三角形的性质可得
，即可得到 ，即 ，从而即可得证；
（3）连接 ，由（2）可得： 垂直平分 ，可得 ，根据等腰三角形的性质及三角
形外角的定义可得 ，设 ，则 ， ，过点
作 交 的延长线于点 ，根据三角形的的的中位线定理可得 ，过点 作
于点 ，则 ，设 ，根据同角的余角相等可得 ，从而可得
，因此 ，即 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明： 为直径，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 ，
，
由（2）可得： 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
为直径，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形外角的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
三角形的中位线定理，正弦的应用，熟练掌握圆周角定理、三角形外角的定义、等腰三角形的判定与性质、
三角形内角和定理、三角形的中位线定理，添加适当的辅助线，是解题的关键．
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