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专题 15 圆
考点 1 圆
一、单选题
1．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，点A、B、C在 上， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年云南省中考数学真题）如图， 是 的直径， 是 上一点．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在 中，点 在圆上， ，则
的半径 的长是（ ）
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A． B． C． D．
4．（2023年河南省中考数学真题）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年安徽中考数学真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如
《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，
又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，
用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，
单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；
（3）连接 ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，
则 （ ）
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A． B． C． D．
7．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧 上．
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ， ， ，则
的长度是（ ）
A． B． C． D．
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9．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形， ， ，连接
， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割
圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率
的近似值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面
积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
11．（2022·海南·统考中考真题）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于
点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= ．
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12．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图
中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
13．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ，
，垂足为E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．
14．（2019·江苏泰州·统考中考真题）如图， 的半径为5，点 在 上，点 在 内，且 ，
过点 作 的垂线交 于点 、 ．设 ， ，则 与 的函数表达式为 ．
15．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则
OH的长度为 ．
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16．（2023年河南省中考数学真题）如图， 与 相切于点A， 交 于点B，点C在 上，且
．若 ， ，则 的长为 ．
17．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．
三、解答题
18．（2021·山东济南·统考中考真题）已知：如图， 是 的直径， ， 是 上两点，过点 的切
线交 的延长线于点 ， ，连接 ， ．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
19．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在 中， ，D是 边上一点，以 为直径
的 与 相切于点E，连接 并延长交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 直径．
20．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图， 平分 ， 与 相切于点A，延长 交
于点C，过点O作 ，垂足为B．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为4， ，求 的长．
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21．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图， 都是 的半径， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
22．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线
的垂线，垂足为E．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有 的式子表示）．
23．（2023年江西省中考数学真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与 相
交于点D，E为 上一点，且 ．
(1)求 的长；
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(2)若 ，求证： 为 的切线．
24．（2023年安徽中考数学真题）已知四边形 内接于 ，对角线 是 的直径．
(1)如图1，连接 ，若 ，求证； 平分 ；
(2)如图2， 为 内一点，满足 ，若 ， ，求弦 的长．
25．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图， 是 的直径， 与 相交于点 ．过点 的圆
O的切线 ，交 的延长线于点 ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的半径．
26．（2019·河北·统考中考真题）如图1和2， 中，AB=3，BC=15， ．点 为 延
长线上一点，过点 作 切 于点 ，设 ．
（1）如图1， 为何值时，圆心 落在 上？若此时 交 于点 ，直接指出PE与BC的位置关系；
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（2）当 时，如图2， 与 交于点 ，求 的度数，并通过计算比较弦 与劣弧 长度的
大小；
（3）当 与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围．
27．（2023年云南省中考数学真题）如图， 是 的直径， 是 上异于 的点． 外的点
在射线 上，直线 与 垂直，垂足为 ，且 ．设 的面积为 的面积
为 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 ，求常数 的值．
28．（2023年广东省中考数学真题）综合探究
如图1，在矩形 中 ，对角线 相交于点 ，点 关于 的对称点为 ，连接
交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)以点 为圆心， 为半径作圆．
①如图2， 与 相切，求证： ；
②如图3， 与 相切， ，求 的面积．
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29．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在 上运动，满足 ，延
长 至点D，使得 ，点E是弦 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 的垂
线，交 于点F，交 的延长线于点N，交 于点M（点M在劣弧 上）．
(1) 是 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记 的面积分别为 ，若 ，求 的值；
(3)若 的半径为1，设 ， ，试求y关于x的函数解析式，并写出
自变量x的取值范围．
30．（2023·山东济宁·校联考三模）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当
时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交
C．内切或外切 D．内含
31．（2023·山东济宁·校联考三模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝
90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
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A． B．2 C． D．3
32．（2023·湖南湘西·统考三模）如图， ， 是 的两条半径，点 在 上，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．140°
34．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A
与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
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35．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图， ， 是 的弦，连接 ， ， ，延长 交 于点
E，连接 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
36．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，BD是 的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若
， ，则 的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
37．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图， 内接于 ， 是 的直径，若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
38．（2023·安徽六安·校考模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作
OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（ ）
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A． B． C． D．3cm
39．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图， 是 的直径， 是 上两点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
40．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图， 与 相切于点 ，交直径 的延长线于点
， 为圆上一点， ．若 的长度为3，则 的长度为（ ）．
A． B． C． D．2
41．（2023·四川成都·校考三模）如图， 是 的直径，弦 ， ， ，则阴
影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
42．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条
弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这
个圆的半径为 ．
43．（2023·四川成都·统考二模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝
8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是 ．
44．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，正六边形 和正五边形 内接于 ，且有公共
顶点A，则 的度数为 度．
45．（2023·福建福州·校考二模）如图， 是 的直径， 上的点C，D在直径 的两侧，连接
，若 ， ，则 的长等于 ．
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46．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知正方形 的边长为 ，以 为直径作两个半圆，
分别取 ， 的中点 ，连接 ．则阴影部分的周长为 ．
47．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是
CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出
下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝ ；④CD平分∠ADE；⑤S DEF＝4 ．
△
其中正确的是 ．（填序号）
48．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，点P是 上一点， 是一条弦，点C是
上一点，与点D关于 对称， 交 于点E， 与 交于点F，且 ．给出下面四个
结论：① 平分 ； ② ； ③ ； ④ 为 的切线．其中所有正确结论
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的序号是 ．
49．（2023·广西·统考三模）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，
大圆的弦 交小圆于点C，D．若 ，则 的长为 ．
50．（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为
．
51．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图， 为⊙O的直径，弦 于点E，若 ，
则 ．
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52．（2023·山东济宁·校联考三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，
过点C作
⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9， ，求BF的长．
53.（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知 的半径为 ，四边形 内接于 ，连结 ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求证： 平分 的外角 ．
54．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆
的直径AB在线段AE上．
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（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当 CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径
AB的长．
55．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知：如图，在 中， 为 延长线上一点，连接
交 的外接圆于点 ，连接
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 的长．
56．（2023·广西南宁·南宁市第二十六中学校考二模）如图， 是 的直径，C为 延长线上一点．
为 切线，D为切点， 于点H，交 于点E．
(1)求证： ；
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(2)若 ， ，求 的长．
57．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的
三点A，B，C．
(1)用尺规作图法，找出弧 所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在 中，连接 交 于点E，连接 ，当 时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于 ，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
58．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图， 是 的直径，点C是弧 的中点，过点C作 于点
E，连接 ．
(1)判断 与 的位置关系，并证明；
(2)若 ， ，求 的半径．
59．（2023·四川成都·校考三模）如图， 是以 为直径的 上的点，且 ，弦 交
于点 平分 于点 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
60．（2023·河南信阳·校考三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，
并写出证明过程．已知：如图①，弦 ， 交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知 是 的直径， 与弦 交于点P，且 于点P，过D作 的切线，交
的延长线于E，D为切点，若 ， 的半径为5，求 的长．
61．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图1， 内接于 中， 为直径，点 在弧 上，连接
．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 ，求证： ；
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(3)在（2）的条件下，如图3，点 在线段 上，连接 交 于点 ，若 ，
， ，求线段 的长．
22
