文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 12 三角形综合问题
考点 1 三角形综合问题
一、单选题
1．（2020·福建·统考中考真题）如图， 是等腰三角形 的顶角平分线， ，则 等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
2．（2020·福建·统考中考真题）如图，面积为1的等边三角形 中， 分别是 ， ， 的
中点，则 的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若
， ， ，则 的长度是（ ）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
4．（2020·湖北宜昌·中考真题）能说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，
C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
6．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在 中，以点 为圆心，适当长为半径作
弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在 的内
部交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ， ，则 的长为( )
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．1 C． D．2
7．（2019·贵州·统考中考真题）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt ACB）上截取一个正方
形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：△3，则这块木板截取正
方形CDEF后，剩余部分的面积为( )
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
8．（2020·湖南湘西·中考真题）已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分别
以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交 于
G．那么， 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
9．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔
敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连接
， ， ，则 ．
11．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，在 中， ， ，点D为
上一点，连接 ．过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ，
，则 的长度为 ．
12．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在 中，若 ， ，
，则 ．
13．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全
等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角
三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
14．（2019·贵州·统考中考真题）如图，以 ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交 于点 ，连
△
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 度．
15．（2020·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，
联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为 ．
16．（2020·上海·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立
一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果
测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．
17．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，点E在
线段 上，且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形
，当点G恰好落在线段 上时， ．
18．（2023·辽宁营口·校考三模）如图所示， ，点 在边 上， ， 为边 上一动
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点，连接 ， 和 关于 所在直线对称， 分别为 、 的中点，连接 并延长交
所在直线于点 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的长为 ．
19．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形 中， 分别是 的中点，连
接 和 交于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）如图，在 中， ．以 为直角边作
，且 ，连接 ，则 的最大值是 ．
21．（2023·辽宁营口·校考三模）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点
D是 边上的动点（不与点B、C重合）， 与 交于点 ，连结 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④在 内存在唯一一点P，使得 的值最
小，若点D在 的延长线上，且 的长为2，则 ．其中含所有正确结论的选项是 ．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
三、解答题
22．（2021·广东·统考中考真题）如图，在 中， ，作 的垂直平分线交 于点D，延
长 至点E，使 ．
（1）若 ，求 的周长；
（2）若 ，求 的值．
23．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在 中，内角 所对的边分别为 ．
（1）若 ，请直接写出 与 的和与 的大小关系；
（2）求证： 的内角和等于 ；
（3）若 ，求证： 是直角三角形．
24．（2020·上海·统考中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，
CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
25．（2021·广东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E、F
分别在线段 、 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证：以 为直径的圆与 相切；
（3）若 ，求 的面积．
26．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在 和 中， 分别是 和 边上的高线，且 ，则 和
是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ，
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②，D是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ， ，则
__________， _________；
(3)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点，若 ， ， ，
则 __________．
27．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；
尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相
交于点 ．点 在 边上， ，求 的值；
拓展创新：如图（3）， 是 内一点， ， ， ， ，
直接写出 的长．
28．（2022·山东烟台·统考中考真题）
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
接BD，CE．
①求 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
29．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）【建立模型】(1)如图 ，点 是线段 上的一点，
， ， ，垂足分别为 ， ， ， ．求证： ；
【类比迁移】(2)如图 ，一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到 、直线 交 轴于点 ．
①求点 的坐标；
②求直线 的解析式；
【拓展延伸】(3)如图 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点 点 在点 的左侧 ，与 轴交于
点，已知点 ， ，连接 ．抛物线上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的横
坐标．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
30．（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC
于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
31．（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个
三角形．如图，当 时，折痕是三角形的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
32．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上
斜钉一根木条，这样做的数学道理是（ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
33．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在 中，作边 的垂直平分线，交边 于点 ，连接 ．
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·辽宁营口·校考三模）已知 为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在 边上取一点D，以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，连接 ．
②以 为圆心， 长为半径画弧 ，交 于点 ，连接 ，此时有 ．则 的度数
为( )
A． B． C． D．
35．（2023·山东德州·统考三模）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O．点E为 的
中点，连接 并延长交 于点F， ， ．下列结论：① ；② ；
③四边形 是菱形；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．4 B．3 C．2 D．1
36．（2023·河北承德·统考二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：
如图， 中， ， ， ．D，E分别是 ， 边上的动点， ，
以 为直径的 交 于点P，Q两点，求线段 的最大值．
嘉嘉：当点D，E分别在 ， 上移动时，点О到点A的距离为定值；
淇淇：当 为圆О的直径时，线段 的长最大．
关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（ ）
A．两人的说法都正确，线段 的最大值为52
B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段 长度的最大值为48
C．淇淇的说法有问题，当 时，线段 的长度最大
D．这道题目有问题， 的长度只有最小值，没有最大值
37．（2023·四川宜宾·统考三模）如图1是第七届国际数学教育大会（ ）的会徽，在其主体图案中
选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ，
，则 的值为（ ）
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．1
38．（2023·安徽六安·校考模拟预测）如图， ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端
点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（
）
A．10﹣ B． ﹣3 C．2 ﹣6 D．3
39．（2023·河北石家庄·校联考二模）平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边
形（如图），x可能是 （ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
40．（2023·辽宁营口·校考三模）如图所示， ，点 在边 上， ， 为边 上一动
点，连接 ， 和 关于 所在直线对称， 分别为 、 的中点，连接 并延长交
所在直线于点 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的长为 ．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
41．（2023·广西南宁·南宁市第二十六中学校考二模）如图，在 中， ， ，
，点E是 的中点，点F是斜边 上任意一点，连接 ，将 沿 对折得到 ，连
接 ，则 周长的最小值是 ．
42．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在 中，点A、点 在 上， ，
，点 在 上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最
小值为 ．
43．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形 中， 分别是 的中点，连
接 和 交于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
44．（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图， 内接于半径为 的半圆 中， 为直径，
点 是 的中点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点 ， 为 的中点，可得
（ ）
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
① ② ③ ④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
45．（2023·天津西青·统考二模）如图，将 绕点 逆时针旋转后得到 ，点 ， 的对应点分
别为 ， ，点 恰好在 边上，且点 在 的延长线上，连接 ，若 ，则下列结论一
定正确的是（ ）
A． B． C．旋转角是 D．
46．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y
x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则
OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．6
47．（2023·湖南永州·校考三模）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点
E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S AOD＝4S OCF；
△ △
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
③AC：BD＝ ：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
48．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在 中， 平分 若 ，则
．
49.（2023·山东菏泽·统考二模）如图，将 沿 边上的中线 平移到△ 的位置，已知
的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若 ，则 ．
50．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）如图，在 中， ．以 为直角边作
，且 ，连接 ，则 的最大值是 ．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
51．（2023·辽宁营口·校考三模）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点
D是 边上的动点（不与点B、C重合）， 与 交于点 ，连结 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④在 内存在唯一一点P，使得 的值最
小，若点D在 的延长线上，且 的长为2，则 ．其中含所有正确结论的选项是 ．
52．（2023·辽宁营口·校考三模）如图，点D是等边 的边 上一点，连接 ，以 为边作等边
， 与 交于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长
53．（2023·山东德州·统考三模）问题探究
（1）在 中， ， 分别是 与 的平分线．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①若 ， ，如图，试证明 ；
②将①中的条件“ ”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形 是圆的内接四边形，且 ， ，如图，试探究线段 ，
， 之间的等量关系，并证明．
54．（2023·河北石家庄·校联考二模）数学课上大家研究图形的性质．
要求：每位同学画一个 ， ， ， ，将线段 绕点B逆时针旋转
得到线段 ．
以下为同学们的发现：
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小明：“我们组同学旋转某一相同角度 ，连接 ，都能得到 平分 ．”
小丽：“ 时，点D落在 上．”
(1)小明说的可以实现吗？如果可以，请求出这个 的值，如果不可以请说明理由；
(2)求小丽画出的 底角的余弦值；
(3)若 ，旋转线段 得到 时，则C、D两点的距离为________．
55．（2023·江苏无锡·校考二模）平面直角坐标系中， 、 ，连接 、 ，则
；点C在y轴上，作点C关于直线 、 的对称点D、E，则 的最小值为 ．
56．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）【课本再现】
(1)如图1，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形
的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点O转动，则下列结论正确的是
_______（填序号即可）．① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，
总有 ．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与边 相交
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在 中， ，直角 的顶点D在边 的中点处，它的
两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当 时，求线段
的长度．
57.（2023·湖北恩施·统考二模）如图1，在 中， ，O为斜边 上一点，以 为圆心
为半径的圆与 交于另一点 ，与 ， 分别交于点 ， ．连接 ，已知 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)如图2，过点 作 的垂线交 于点 ，直线 与 交于点 ，请探究 的形状，并证明你
的结论；
(3)如图2，连接 ，若 ， ，求 ．
58．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）将两个等腰直角三角形纸片 OAB和 OCD放在
△ △
平面直角坐标系中，已知点 坐标为 并将 绕点 顺时针
旋转．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当旋转至如图①的位置时， 此时点 的坐标是_________；
(2)如图②，连接 当 旋转到 轴的右侧，且点 三点在一条直线上时，
①求证：
②求 的长；
(3)当旋转到使得 的度数最大时，直接写出 的面积．
59.（2023·浙江·校联考三模）在 中， 平分 交 于点D，点E是射线 上的动点（不与
点D重合），过点E作 交直线 于点F， 的角平分线所在的直线与射线 交于点G．
(1)如图1，点E在线段 上运动．
①若 ， ，则 __________°；
②若 ，求 的度数；
(2)若点E在射线 上运动时，探究 与 之间的数量关系．
60.（2023·山东菏泽·统考三模）（1）①如图1，等腰 （ 为底）与等腰 （ 为底），
，则 与 的数量关系为______；
②如图2，矩形 中， ， ，则 _______；
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）如图3，在（1）②的条件下，点 在线段 上运动，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使
，连接 ．当 时，求 的长度；
（3）如图4，矩形 中，若 ， ，点 在线段 上运动，将 绕点 顺时针旋转得
到 ，旋转角等于 ，连结 中点为 中点为 ，若 ，直接写出 的长．
23
