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专题 16 作图与图形变换
考点 1 作图与图形变换
一、单选题
1．（2023年贵州省中考数学真题）如图，在四边形 中， ， ， ．按下列步骤
作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以
大于 的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接 并延长交 于点G．则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心，
长为半径作弧交 的延长线于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在 中，以点 为圆心，适当长为半径作
弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在 的内
部交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ， ，则 的长为( )
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A． B．1 C． D．2
4．（2023年天津市中考数学真题）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径
作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 分别与边 相交于点D，E，连
接 ．若 ，则 的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．（2023年河北省中考数学真题）综合实践课上，嘉嘉画出 ，利用尺规作图找一点C，使得四边
形 为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（2）连接 ，在 的延长线上 （3）连接 ， ，则四边形
（1）作 的垂直平分线交
截取 ； 即为所求．
于点O；
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
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A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
6．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
7．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）如图，在 中，
，以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ，分别以点
为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点 ，作射线 ，交 于点 ，
则 的长为（ ）
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A． B． C． D．
8．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据作图痕迹，下
列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，在平面直角坐标中，矩形 的边
，将矩形 沿直线 折叠到如图所示的位置，线段 恰好经过点 ，点 落
在 轴的点 位置，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进
行了如下操作：
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第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕 ，如图②．
根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
11．（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示， ， ， ，四边
形 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点 距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
12．（2022·山东德州·统考中考真题）在 中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断 与 大小关
系的是（ ）
A． B．
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C． D．
13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在 中， ，以B为圆心，适当长为半径画弧交 于点
M，交 于点N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线 交 于
点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则 的周长是（ ）
A．8 B． C． D．
14．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为
圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的
大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
15．（2020·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ，
，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延
长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是（ ）
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A．4 B． C．2 D．
16．（2019·河北·统考中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
17．（2023年山西省中考数学真题）如图，在 中， ．以点 为圆心，以 的长为半径
作弧交边 于点 ，连接 ．分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作
射线 交 于点 ，交边 于点 ，则 的值为 ．
18．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）如图，在三角形纸片 中，
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，点 是边 上的动点，将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当
时， 的度数为 ．
19．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折
痕为 ，展开后，再将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则
的大小为 度．
20．（2023年吉林省中考数学真题）如图，在 中， ，分别以点B和点C为圆心，大于
的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线 交 于点E．若 ，则 的大小为
度．
21．（2023年吉林省中考数学真题）如图，在 中， ．点 ， 分别在边 ，
上，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．若点 刚好落在边 上，
，则 的长为 ．
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22．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）在 中， ，点 是斜边 的中
点，把 绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接
， ，在旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
23．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）如图，在 中， ，点 在边
上．将 沿 折叠，使点 落在点 处，连接 ，则 的最小值为 ．
24．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形 中， ， ．①以点 为圆心，以不
大于 长为半径作弧，分别交边 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，以大于 长为半
径作弧，两弧交于点 ，作射线 分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，以大于
长为半径作弧，两弧交于点 ， ，作直线 交 于点 ，则 长为 ．
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25．（2020·西藏·统考中考真题）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别
交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交
于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝ ．
三、解答题
26．（2023年江西省中考数学真题）如图是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作锐角 ，使点C在格点上；
(2)在图2中的线段 上作点Q，使 最短．
27．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们
展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个
图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
28．（2023年河南省中考数学真题）如图， 中，点D在边 上，且 ．
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(1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边 交于点E，连接 ．求证： ．
29．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
正方形 四个顶点都是格点， 是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过
程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段 绕点 顺时针旋转 ，画对应线段 ，再在 上画点 ，并连接 ，
使 ；
(2)在图（2）中， 是 与网格线的交点，先画点 关于 的对称点 ，再在 上画点 ，并连接
，使 ．
30．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，在 中， ， ．
(1)在斜边 上求作线段 ，使 ，连接 ；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若 ，求 的长．
31．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：
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只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作
《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 的圆周四等分．
32．（2023年山西省中考数学真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相
应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形 中，点 分别是边 ， 的中点，顺次连接
，得到的四边形 是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
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证明：如图2，连接 ，分别交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
∵ 分别为 的中点，∴ ．（依据1）
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形 是瓦里尼翁平行四边形，∴ ，即 ．
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．（依据2）∴ ．
∵ ，∴ ．同理，…
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形 ，使得四边形
为矩形；（要求同时画出四边形 的对角线）
(3)在图1中，分别连接 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 的周长与对角线 长度
的关系，并证明你的结论．
33．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）已知：如图，点M在 的边 上．
求作：射线 ，使 ．且点N在 的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
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③画射线 ．
④以点M为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点N．
⑤画射线 ．
射线 即为所求．
(1)用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵ 平分 ．
∴ ① ，
∵ ，
∴ ② ，( ③ )．(括号内填写推理依据)
∴ ．
∴ ．( ④ )．(填写推理依据)
34．（2023年吉林省长春市中考数学真题）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边
长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中
按下列要求作 ，点C在格点上．
(1)在图①中， 的面积为 ；
(2)在图②中， 的面积为5
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(3)在图③中， 是面积为 的钝角三角形．
35．（2023年吉林省中考数学真题）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点，线段 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以 为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐
角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
36．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分
别是 ， ．
(1)将 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 ，请画出 ．
(2)请画出 关于 轴对称的 ．
(3)将 着原点 顺时针旋转 ，得到 ，求线段 在旋转过程中扫过的面积（结果保留
）．
37．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）已知：点 是 外一点．
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(1)尺规作图：如图，过点 作出 的两条切线 ， ，切点分别为点 、点 ．（保留作图痕迹，不
要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ．求 的度数．
38．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）在 中， ， ， ，D为 的
中点，以 为直角边作含 角的 ， ，且点E与点A在 的同侧，请用尺规或三
角板作出符合条件的图形，并直接写出线段 的长．
39．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，已知 ，点M是 上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作 ，使得 与射线 相切于点M，同时与 相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若 ，则所作的 的劣弧 与 所围成图形的面积是
_________．
40．（2022·江苏南京·统考中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩
小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位
似轴对称．
例如：如图①，先将 以点 为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点 的直线 翻折，得
到 ，则 与 成自位似轴对称．
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(1)如图②，在 中， ， ， ，垂足为 ，下列3对三角形：① 与
；② 与 ；③ 与 ．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条
件的序号）；
(2)如图③，已知 经过自位似轴对称变换得到 ， 是 上一点，用直尺和圆规作点 ，使
与 是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(3)如图④，在 中， 是 的中点， 是 内一点， ， ，连接 ，
求证： ．
41．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）在 中， ， ， ，将
绕点 顺时针旋转，角的两边分别交射线 于 ， 两点， 为 上一点，连接 ，且
（当点 ， 重合时，点 ， 也重合）．设 ， 两点间的距离为 ， ， 两点间的距
离为 ．
小刚根据学习函数的经验，对因变量 随着自变量 的变化而变化的规律进行了探究．
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下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据 ， 两点间的距离 进行取点，画图，测量分别得到了 与 的几组
对应值；
0 1 2 3 4 5 6 7 8
请你通过计算补全表格： ______；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数 关于
的图像；
（3）探究性质：随着自变量 的不断增大，函数 的变化趋势；
（4）解决问题：当 时， 的长度大约是______ ．（结果保留两位小数）
42．（2020·广西贵港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，
4)，B(4，1)，C(4，3)．
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（1）画出将△ABC向左平移5个单位得到的△AB C ；
1 1 1
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△AB C ．
2 2 2
43．（2020·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单
位长度的正方形，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，先以原点 为位似中心在第三象
限内画一个 ，使它与 位似，且相似比为2：1，然后再把 绕原点 逆时针旋转90°得到
．
（1）画出 ，并直接写出点 的坐标；
（2）画出 ，直接写出在旋转过程中，点 到点 所经过的路径长．
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44．（2019·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ， ．
（1）用直尺和圆规作 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交 于点 ，求 的长．
45．（2023·福建福州·校考二模）如图，在 中， ，将 绕点C顺
时针旋转得到 ，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点．若点 恰好落在 边上，则
点A到直线 的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
46．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，点 为线段 的中
点， 为 上一点，连接 ，将 沿 折叠得到 ．当 时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
47．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图， 的顶点 ， ，点 在 轴的正半轴
上，延长 交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转得到 ，当点 的对应点 落在 上时，
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的延长线恰好经过点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
48．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在 中，将 沿 折叠后，点D恰好落在 的延
长线上的点E处．若 ，则 为（ ）
A．42° B．38° C．32° D．58°
49．（2023·山东济南·统考三模）如图，在 中， ，分别以B，C为圆心，以大于 的
长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线 交 于E，交 于D，连接 ．若 ，
，则 （ ）
A． B．2 C． D．
50．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，适当长为半
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径画弧，交 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相
交于点 ，射线 交 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
51．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，将矩形纸片 折叠，折痕为 ，点 ， 分别在边 ，
上，点 ， 的对应点分别在 ， ，且点 在矩形内部， 的延长线交边 于点 ， 交边
于点 ． ， ，当点 为 三等分点时， 的长为 ．
52．（2023·山东济南·统考三模）如图，折叠矩形纸片 ，使点D落在 边的点M处， 为折痕，
， ．则四边形 面积的最小值是 ．
53．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形 沿 折叠，使顶点C恰好落在 边的中点 上，
点D落在 处， 交 于点M．若 ，则 的长为
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54．（2023·广东梅州·统考一模）在 中， ， ，以顶点A为圆心，适当长为半径
画弧，分别交 ， 于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点
P，作射线 交 于点D．则 与 的数量关系是 ．
55．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上
一个动点，把 BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A 恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为
1
． △
56．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形 中， ， ．连接 ，按下列方法作图；
以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交 于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于 的长为
半径画弧，两弧交于点G；连接 交 于点H，则 的面积是（ ）
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A． B． C．1 D．
57．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，
∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△DCE （如图乙），此时AB
1 1
与CD 交于点O，则线段AD 的长度为（ ）
1 1
A． B．5 C．4 D．
58．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，在 中， ，按如下步骤操作：①以点A为圆心，
任意长为半径作弧，分别交 ， 于D，E两点；②以点C为圆心， 长为半径作弧，交 的延长
线于点F；③以点F为圆心， 长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线 ，若 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
59．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，在 中， ，分别以点 和 为圆心，
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以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接
CD，若 ，则 的度数为 ．
60．（2023·四川成都·统考二模）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线 交 于点D，连接 ．若 ，则
的度数为 ．
61．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在等边 中， ，点D在边 上，点E是 边上一动
点，将∠B沿 折叠，点B的对应点 在AC边上，当 为直角三角形时， 的长为 ．
62．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）在三角形纸片 中， ， ， ，将该
纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在斜边 上的一点 处，折痕记为 （如图1），剪去 后得
到双层 （如图2），再沿着过 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有
一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 ．
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63．（2023·浙江温州·校联考二模）如图在 的方格纸中，点 均在格点上，请按要求画出相应
格点图形．
(1)在图1中画出 关于点 成中心对称的格点三角形 （点 的对应点分别为 ）．
(2)在图2中画出 ，使得 ．
64．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在 中， ， ，请用尺规作图法在 边
上求作一点D，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
65．（2023·广西玉林·统考一模）如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长均为 个单位．
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(1)画出将 向下平移 个单位后得到的 ；
(2)画出将 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；并求由点 旋转到点 所经过的路径长．
66．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在 的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，
按要求作图：
(1)在图中找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图中作 中平行于BC边的中位线 ．（保留画图痕迹，不写画法）
67．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，在 中， ，点D为边 上一
点．
(1)尺规作图：在边 上找一点E，使得 ．
(2)在（1）的条件下以点E为圆心， 为半径的圆分别与 ， 交于M，N点，且 ．求
证： 与 相切．
68．（2023·福建福州·校考二模）如图1， 中， ， 的大小保持不变，点 在斜边
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上， ，垂足为点 ．如图2，把 绕着点 顺时针旋转，旋转角为 ，点 的
对应点为点 ．
(1)求作点 的对应点 （要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接 ， ， ，直线 ， 相交于点 ，试探究在整个旋转过程中，直线 ， 所相交成
的锐角是否保持不变？若不变，请证明：若有变化，说明理由．
69．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知 ，B为边 上一点．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①过点B作 交 边于点C；
②以 为边作 ，且交 于点D．
(2)若AD5，BD3，请利用（1）中所作的图形求sinA的值．
70．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的
三点A，B，C．
(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
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ABC AO BC OB AB AC 10cm,BC 16cm
(2)在 中，连接 交 于点E，连接 ，当 时，求图片的半径R；
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(3)若直线l到圆心的距离等于 ，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
3
71．（2023·江苏泰州·统考二模）如图， 是 的高，点 是边 的中点．
(1)只用无刻度的直尺和圆规各1次，作 的高 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
72．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段 及射线 ．
求作：等腰 ，使得点C在射线 上．
作法一：如图1，以点B为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点C（不与点A重合），连接 ．
作法二：如图2．
①在 上取一点D，以点A为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点E，连接 ；
②以点B为圆心， 长为半径作弧，交线段 于点F；
③以点F为圆心， 长为半径作弧，交前弧于点G；
④作射线 交射线 于点C．
作法三：如图3，
①分别以点A，B为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；
②作直线 ，交射线 于点C，连接 ．根据以上三种作法，填空：
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由作法一可知：______ ，
∴ 是等腰三角形．
由作法二可知： ______ ，
∴ （__________________）（填推理依据）．
∴ 是等腰三角形．
由作法三可知； 是线段 的______．
∴ （__________________）（填推理依据）．
∴ 是等腰三角形．
73．（2023·江苏无锡·统考三模）在 中， ．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到 两边的距离相等，设直线l
与 边交于点D，在 上找一点E，使 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ，则 的长为 ．（在备用图中分析）
74．（2023·广西柳州·统考二模）如图，已知四边形 是平行四边形．
(1)尺规作图：作 的平分线交 于点 ；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)在（1）中，若 ， ，求 的长．
75．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，在矩形 中，已知 ．
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(1)如图①，将矩形 沿对角线 折叠，使得点C落在点 处， 与 相交于点E，则 与
的数量关系是 ___________；
(2)如图②，点E，F分别是 边上的点，将 折叠，使得点B正好落在 边上的 点，过
作 ，交 于点G．若 ，求 的长．
(3)如图③，点E，F分别是 边上的点，将 折叠，使得点B正好落在 边上的 点，当点
E，F分别在 上移动时，点 也在边 上随之移动，请直接写出 的取值范围．
76．（2023·河南新乡·校联考二模）综合与实践
在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．
引入：
如图，在 中， ， ，点 在边 上运动，点 在边 上运动．
(1)如图 ，当沿 折叠，点 落在边 的点 处，且 时， ______；四边形
的形状是______；
拓广：
(2)如图 ，奇异小组同学的折叠方法是沿 折叠，点 落在点 处，延长 交 于点 ， ，
点 在边 上运动，沿 折叠使点 落在线段 的中点 处，求线段 的长；
应用：
(3)沿 折叠，点 的对应点 恰好落在边 的三等分点处，请借助图 探究，并直接写出 的长．
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