文档内容
课时规范练 52 椭圆
基础巩固练
x2 y2 1
1.(2024·浙江绍兴二模)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,长轴长为4,则该椭圆的
a2 b2 2
短轴长为( )
A.√3 B.2√3
C.4√3 D.6√3
2.(2024·山东日照模拟)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足短半轴长为2√5的椭圆方
程是( )
y2 x2
A. + =1
20 25
y2 x2
B. + =1
25 20
y2 x2
C. + =1
45 20
y2 x2
D. + =1
85 80
x2 y2
3.(2024·河南开封模拟)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,短轴长为2√3,点M
a2 b2
在椭圆上,若|MF|的最大值是最小值的3倍,则椭圆的焦距为( )
A.3 B.4
C.1 D.2
4.(2024·江苏苏锡常镇二模)已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过E的右焦
点F且斜率为1的直线l交E于A,B两点,且原点O到直线l的距离等于E的短轴长,则
E的离心率为( )
2√2 √6
A. B.
3 3
√3 1
C. D.
3 3
y2
5.(2024·山东泰安模拟)已知点M在椭圆C:x2+ =1上,F ,F 是该椭圆的两个焦点,则
1 2
9
|M F |2+|M F |2的最小值为( )
1 2
A.9 B.12
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x2 y2
6.(2024·湖北襄阳模拟)已知椭圆 + =1(a>√2)的两焦点分别为F
1
,F
2
.若椭圆上有一点
a2 2
P,使∠F PF =120°,则△PF F 的面积为( )
1 2 1 2
√3 4√3
A. B.
2 3
C.√3 D.2√3
x2 y2 1
7.(2022·全国甲,文11)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A ,A 分别为C的左、
1 2
a2 b2 3
右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA ·⃗BA =-1,则C的方程为( )
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1 D. +y2=1
3 2 2
x2 y2
8.(多选题)(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C: + =1的焦点分别为F ,F ,P为C上一点,
1 2
9 4
则( )
A.C的焦距为2√5
√5
B.C的离心率为
3
C. F PF 的周长为3+√5
1 2
D. F PF 面积的最大值为2√5
△ 1 2
9.(多选题)(2024·浙江绍兴二模)已知复数z=x+yi(x,y∈R),其中i为虚数单位,若z满足|
△
z+1|+|z-1|=4,则下列说法中正确的是( )
A.|z|的最大值为2
B.y的最大值为1
C.存在两个z,使得z+z=-4成立
| 3 |
D.存在两个z,使得 z-(1+ i) =1成立
2
10.(2025·北京名校一轮复习)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和
x2 y2 sinA+sinC
C(4,0),顶点B在椭圆 + =1上,则 = .
25 9 sinB
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11.(2024·浙江杭州模拟)经过椭圆C: + =1(a>0,b>0)的右顶点与上顶点的直线斜率
a2 b2
5
为- ,则C的离心率为 .
3
x2 y2
12.(2021·全国甲,理15)已知F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标
1 2
16 4
原点对称的两点,且|PQ|=|F F |,则四边形PF QF 的面积为 .
1 2 1 2
综合提升练
x2 y2
13.(2024·江西抚州模拟)已知F(2,0)为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点,点A(2,3)为C
a2 b2
内一点,若在C上存在一点P,使得|PA|+|PF|=10,则a的取值范围是( )
A.(4,7] B.(5,7]
15 15
C.(5, ] D.(4, ]
2 2
14.(2025·上海交大附中段考)椭圆具有如下的声学性质:从一个焦点出发的声波经过椭圆
反射后会经过另外一个焦点.有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑,某人站在一个焦点处大
喊一声,声音向各个方向传播后经墙壁反射(不考虑能量损失),该人先后三次听到了回音,
其中第一、二次的回音较弱,第三次的回音较强;记第一、二次听到回音的时间间隔为x,
第二、三次听到回音的时间间隔为y,则椭圆的离心率为( )
x x
A. B.
2x+ y x+2y
y y
C. D.
2x+ y x+2y
x2 y2
15.(2022·新高考Ⅰ,16)已知椭圆C: + =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F ,F ,
1 2
a2 b2
1
离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2
2
.
16.“工艺折纸”起源于中国,它不仅是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动,也是一
种有益身心、开发智力的思维活动.折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成
物象,这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合学问的运用.为了让学生感
受数学之美,提升学生的综合素养,某学校开设了“折纸与数学”校本课,课上让每位学
生准备一张半径为8的圆形纸片,按如下步骤进行折纸、观察和测绘.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx步骤1:在圆内取一点F,使得F到圆心E的距离为6;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好经过点F(如图);
步骤3:把纸片展开,留下一道折痕;
步骤4:不停重复步骤2和步骤3,得到越来越多的折痕.
过点F作其中一道折痕的垂线,垂足为D,则|DE|2+|DF|2= ;经观察,学生发现
圆面上的所有折痕围成了一条优美的曲线C,若以EF所在直线为x轴,EF的中点O为原
点建立平面直角坐标系xOy,则C的方程为 .
创新应用练
17.(2024·重庆模拟)如图,已知圆柱的斜截面是一个椭圆,该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截
面对角线,短轴长等于圆柱的底面直径长.将圆柱侧面沿母线AB展开,则椭圆曲线在展开
图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y=√3sin ωx(ω>0)图象的一部
√3
分,且其对应的椭圆曲线的离心率为 ,则ω的值为( )
2
√3
A. B.1
2
C.√3 D.2
答案：
c 1
1.B 解析 由 = 可得a2=4c2=4(a2-b2),因为2a=4,即a=2,代入上式解得b= √3 ,故短轴长为2
a 2
√3.
y2 x2
2.B 解析 椭圆9x2+4y2=36化成标准方程为 + =1,焦点在y轴上,设所求椭圆方程为
9 4
y2 x2 { b=2√5, {a2=25, y2 x2
+ =1(a>b>0),依题意有 解得 所求椭圆方程为 + =1.
a2 b2 a2-b2=9-4=5, b2=20, 25 20
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3.D 解析 依题意,椭圆短轴长为2√3,得b=√3,则a2-c2=b2=3,又|MF|的最大值是最小值的3倍,
即a+c=3(a-c),所以a=2c,所以a=2,c=1,则焦距为2c=2.
x2 y2
4.A 解析 设椭圆E的方程为 + =1(a>b>0),所以F(c,0),所以直线l的方程为y=x-c.因为原
a2 b2
c
点O到直线l的距离等于E的短轴长,即 =2b,得c2=8b2,又a2=b2+c2,所以c2=8(a2-c2) 8a2=9c2,
√2
⇒
c 2√2
所以e= = .
a 3
5.D 解析 由题知,a=3,b=1,则|MF |+|MF |=2a=6.因为|MF |+|MF |≥2√|M F |·|M F |(当
1 2 1 2 1 2
且仅当|MF |=|MF |时,等号成立),所以|MF |·|MF |≤9,所以|M F |2+|M F |2=(|MF |+|MF |)2-
1 2 1 2 1 2 1 2
2|MF |·|MF |≥62-2×9=18(当且仅当|MF |=|MF |=3时,等号成立).
1 2 1 2
6.D 解析 如图,不妨设|PF |=m,|PF |=n,由点P在椭圆上可得,m+n=2a,①
1 2
在△PF F 中,由余弦定理可得,m2+n2-2mncos 120°=4c2,化简得m2+n2+mn=4c2,②
1 2
由①式两边平方再减去②式,得mn=4a2-4c2=4b2=8,
1 1 √3
于是△PF
1
F
2
的面积为 mnsin 120°= ×8× =2√3.
2 2 2
7.B 解析 由题意知,A (-a,0),A (a,0),B(0,b),则⃗BA ·⃗BA =(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①
1 2 1 2
1 1 a2-b2 b2
由e= ,得e2= = =1- ,
3 9 a2 a2
8
即b2= a2.②
9
联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.
8.ABD 解析 由题知a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=√5,所以C的焦距为2√5,故A正确;
c √5
C的离心率为 = ,故B正确;
a 3
F PF 的周长为|PF |+|PF |+|F F |=2a+2c=6+2√5,故C错误;
1 2 1 2 1 2
△
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当点P位于椭圆的上顶点或下顶点时, F
1
PF
2
的面积最大,最大值为 ×2×2
√5
=2
√5
,故D正确.
2
△
故选ABD.
x2 y2
9.AD 解析 由|z+1|+|z-1|=4,可知z的轨迹方程为 + =1.所以|z|的最大值为2,故A正确;由
4 3
椭圆方程中y的取值范围可知,-√3≤y≤√3,则y的最大值为√3,故B错误;由z+z=-4,得x=-2,由椭
| 3 |
圆方程中x的取值范围可知,-2≤x≤2,故仅存在一个z满足x=-2,故C错误;因为 z-(1+ i) =1
2
3 3
表示复平面内z对应的点到点(1, )的距离为1,而复平面内到点(1, )距离为1的点的轨迹为圆,
2 2
3 | 3 |
方程为(x-1)2+(y- )2=1,因为圆与椭圆有2个交点,所以存在两个z,使得 z-(1+ i) =1成立,故D
2 2
正确.故选AD.
5 x2 y2
10. 解析 由椭圆方程可知A(-4,0)和C(4,0)为其焦点,又△ABC的顶点B在椭圆 + =1上,
4 25 9
则|BA|+|BC|=2×5=10,|AC|=8,则对于△ABC,有a+c=10,b=8,在△ABC中,由正弦定理得
sin A+sinC a+c 10 5
= = = .
sinB b 8 4
4 x2 y2 5
11. 解析 因为经过椭圆C: + =1(a>0,b>0)的右顶点(a,0)与上顶点(0,b)的直线斜率为- ,
5 a2 b2 3
所以- b =- 5 ,即 b = 5 ,可知其焦点在y轴上,则C的离心率为e= c = √ 1-( a ) 2= √ 1-( 3 ) 2= 4 .
a 3 a 3 b b 5 5
12.8 解析 由题意得a=4,b=2,c=2√3,
则|PQ|=|F F |=4√3.
1 2
∵|OQ|=|OF |=|OF |=2√3,
1 2
∴QF ⊥QF ,即四边形PF QF 为矩形.
1 2 1 2
1
∵|QF |+|QF |=2a=8,|QF |2+|QF |2=|F F |2=48,∴|QF |·|QF |= [(|QF |+|QF |)2-(|QF |2+|QF |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2)]=8,即四边形PF QF 的面积为8.
1 2
13.D 解析 依题意,a2-b2=4,设C的左焦点为F',则F'(-2,0).因为|PA|+|PF|=10,且|PF|+|PF'|=2a,
5 15
则|PA|+2a-|PF'|=10,即|PA|-|PF'|=10-2a,于是|10-2a|≤|AF'|=5,解得 ≤a≤ . 因为点A(3,2)为椭
2 2
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圆C内一点,所以 + <1,又因为b2=a2-4,所以有 + <1,整理得a4-17a2+16>0,又a2-4>0,
a2 b2 a2 a2-4
15
即a>2,解得a>4,所以a的取值范围是4|EF|
=6,根据椭圆的定义可知,动点P的轨迹为以E,F为焦点的椭圆,2a=8,2c=6,b2=a2-c2=16-9=7,所以
x2 y2
C的方程为 + =1.
16 7
图2
17.B 解析 由题意,椭圆曲线在展开图中恰好为函数y=√3sin ωx(ω>0)图象的一部分,可得
2π 1
AB=2 √3. 设圆柱底面半径为r,则T= =2πr,所以ω= . 设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,因为离
ω r
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心率为 ,得e= = ,则a2=b2+c2=b2+( a)2,即a2=4b2,所以 = = ,得AC=4r,又由勾股
2 a 2 2 a AC 2
定理得AC2-BC2=16r2-4r2=(2√3)2,解得r=1,故ω=1
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永不过期
19.
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