课时规范练 51 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固练
1.(2024·河北石家庄三模)已知圆C :x2+y2=1和圆C :x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆公切线的条
1 2
数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024·福建厦门三模)圆x2+y2=1被直线y=√3x-1所截得劣弧的弧长为( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
3.(2024·贵州六盘水三模)已知直线ax-y+2=0与圆(x-1)2+y2=4相交于A,B两点,若|AB|=2
√3,则a=( )
4
A. B.1
3
3
C.- D.-2
4
4.(2024·河南郑州模拟)已知圆C:x2+y2+4x+6y+12=0,直线l过点P(-1,0),则“直线l的方
程为4x-3y+4=0”是“直线l与圆C相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2024·福建厦门模拟)在平面直角坐标系中,过点P(3,0)作圆M:(x-1)2+(y-2√3)2=4的两
条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.x-√3y+3=0
B.x+√3y+3=0
C.√3x-y+3=0
D.√3x+y+3=0
6.(2024·河南五市模拟)若圆C :x2+y2=1与圆C :(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则
1 2
直线AB的方程为( )
A.2ax+by-1=0
B.2ax+by-3=0
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D.2ax+2by-3=0
7.(多选题)(2021·新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
8.(2021·天津,12)若斜率为√3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|
= .
9.(2024·湖北武汉模拟)已知圆C :x2+y2=1,圆C 的半径为√11,过直线x+y-4=0上的动点
1 2
P作圆C ,C 的切线,切线长始终相等,则圆C 的标准方程为 .
1 2 2
10.(13分)(2024·河北衡水模拟)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l :x+2y+7=0相切,过
1
点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2√19时,求直线l的方程.
综合提升练
11.(2024·河北唐山二模)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过点M(0,4)的直线l与x轴交于点P,与圆
C交于A,B两点,则⃗CP·(⃗CA+⃗CB)的取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,2] D.[0,2)
12.(2024·广西河池模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个
结论:平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯
1 2 |PO| √5
圆.已知点O(0,0),A( , ),动点P(x,y)满足 = ,若点P的轨迹与圆
5 5 |PA| 2
C:x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)有且仅有三条公切线,则r=( )
1
A. B.1
2
C.2 D.3
13.(多选题)(2024·江苏连云港模拟)已知圆C :x2+y2=1,圆C :(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),P,Q分
1 2
别是圆C 与圆C 上的动点,( )
1 2
A.若圆C 与圆C 无公共点,则0<r<4
1 2
B.当r=5时,两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxC.当r=2时,|PQ|的取值范围为[2,8]
π
D.当r=3时,过点P作圆C 的两条切线,切点分别为A,B,则∠APB不可能等于
2
2
14.(15分)(2025·江西南昌模拟)已知圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,直线l:x+y-2=0是圆E与圆C
的公共弦AB所在直线方程,且圆E的圆心在直线y=2x上.
(1)求圆E的方程;
(2)过点Q(-2,0)分别作直线MN,RF,交圆E于M,N,R,F四点,且MN⊥RF,求四边形MRNF
面积的最大值与最小值.
创新应用练
15.(17分)(2025·山东潍坊模拟)在①直线l与☉B,☉C均相切,②直线l截☉A,☉B,☉C所得
的弦长均相等,这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解该问题.
问题:现用3个圆构成“卡通鼠”的头像.如图,A(0,-2)是☉A的圆心,且☉A过原点;点B,C
在x轴上,☉B,☉C的半径均为1,☉B,☉C均与☉A外切,直线l过原点.若 ,求直线
l截☉A所得的弦长.
答案：
1.C 解析 圆C :x2+y2=1的圆心为C (0,0),半径r =1,圆C :(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C (3,4),半径
1 1 1 2 2
r =4,则|C C |=√32+42=5=r +r ,故两圆外切,则两圆公切线的条数为3.
2 1 2 1 2
2.C 解析 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,圆心到直线y=√3x-1的距离d=
|-1| 1 1
= ,设直线与圆的交点为A,B,AB的中点为C,则OC= ,所以cos∠AOC=
√(√3)2+(-1)2 2 2
OC 1 π 2π 2π 2π
= ,所以∠AOC= ,则∠AOB=2∠AOC= ,所以劣弧 的弧长为 ×1= .
AB
OA 2 3 3 3 3
⏜
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3.C 解析 圆(x-1)2+y2=4与直线ax-y+2=0相交于A,B两点,且|AB|=2√3,则圆心(1,0)到直线ax-
|a+2| |a+2| 3
y+2=0的距离d= <2=r,所以|AB|=2√r2-d2,所以 =1,解得a=- .
√a2+1 √a2+1 4
4.A 解析 圆C:x2+y2+4x+6y+12=0可化为(x+2)2+(y+3)2=1,圆心坐标是C(-2,-3),半径为1.当直
线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=-1,满足直线l与圆C相切;当直线l的斜率存在时,设直线
l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则圆心C(-2,-3)到直线l的距离等于圆C的半径,得
|-2k+3+k| 4
=1,解得k= ,故直线l的方程是4x-3y+4=0.综上,当直线l的方程是x=-1或
√k2+1 3
4x-3y+4=0时,直线l与圆C相切,所以“直线l的方程为4x-3y+4=0”是“直线l与圆C相切”的
充分不必要条件.
5.A 解析 圆M:(x-1)2+(y-2√3)2=4的圆心为M(1,2√3),半径为2,以线段PM为直径,PM的中点
坐标为N(2,√3),|PM|=√(3-1)2+(2√3-0)2=4,所以以N为圆心,PM为直径的圆的方程为
(x-2)2+(y-√3)2=4.因为过点P(3,0)作圆M:(x-1)2+(y-2√3)2=4的两条切线的切点分别为A,B,所以
AB是两圆的公共弦,将两圆的方程相减,可得公共弦AB所在直线的方程为x-√3y+3=0.
6.D 解析 将两圆方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0.因为圆C 的圆心为(0,0),半
1
√ 1 √3
径为1,且公共弦AB的长为1,所以C
1
(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为 12-(
)
2= ,所以
2 2
|-a2-b2| √3
= ,解得a2+b2=3,所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0.
√4a2+4b2 2
7.ACD 解析 如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.
x y
由条件得,直线AB的方程为 + =1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,
4 2
|5+2×5-4| 11
直线MN与圆M分别交于点P ,P ,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|= = ,于是
1 2
√12+22 √5
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点P到直线AB的距离最小值为|P N|=|MN|-r= -4,最大值为|P N|=|MN|+r= +4.又 -4<2,
2 1
√5 √5 √5
11
+4<10,故A正确,B错误;
√5
过点B分别作圆的两条切线BP ,BP ,切点分别为点P ,P ,则当点P在P 处时∠PBA最大,在P 处
3 4 3 4 3 4
时∠PBA最小.
又|BP |=|BP |=√|BM|2-r2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D正确.故选ACD.
3 4
8.√3 解析 设直线AB的方程为y=√3x+b,则点A(0,b).由于直线AB与圆x2+(y-1)2=1相切,且圆
|b-1|
心为C(0,1),半径为1,则 =1,解得b=-1或b=3,所以|AC|=2.因为|BC|=1,故|AB|=
2
√|AC|2-|BC|2=√3.
9.(x-5)2+(y-5)2=11或(x+1)2+(y+1)2=11 解析 设C (a,b),P(x,y),切线长为l,由题知两圆的半径分
2
别为1,√11,所以|C P|2=l2+11,|C P|2=l2+1 |C P|2-|C P|2=10=(x-a)2+(y-b)2-(x2+y2),化简得
2 1 2 1
2ax+2by-a2-b2+10=0, ⇒
2a 2b -a2-b2+10 {a2-4a-5=0,
由题意知,上式恒成立.又点P在直线x+y-4=0上,所以 = = ⇒
1 1 -4 a=b,
解得a=b=5或a=b=-1,则圆C 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=11或(x+1)2+(y+1)2=11.
2
10.解 (1)易知点A到直线x+2y+7=0的距离为圆A的半径r,
|-1×1+2×2+7|
所以r= =2√5,则圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
√12+22
(2)过点A作AQ⊥MN,则∠MQA=90°,且|MQ|=√19,
在Rt AMQ中,|AQ|=√|AM|2-|MQ|2=√20-(√19)2=1.
当动直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,经检验圆心到直线l的距离为1,可得|MN|=2√19,
△
显然x=-2符合题意.
当动直线l斜率存在时,由l过点B(-2,0),设l方程为y=k(x+2),由点A到直线l的距离为1知
|-k+2k-2| 3 3
=1得k= ,即直线l的方程为y= (x+2),整理得3x-4y+6=0.
√1+k2 4 4
综上,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2.
11.D 解析 如图,取线段AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx由⃗CP·(⃗CA+⃗CB)=2⃗CP·⃗CD=2(⃗CD+⃗DP)·⃗CD=2|⃗CD|2,因为直线l经过点M(0,4),考虑临界情况,
当线段AB的中点D与点M重合时(此时CM⊥AB),弦长AB最小,此时CD最长,|CD| =|CM|=4-
max
3=1,但此时直线l与x轴平行,点P不存在;
当线段AB的中点D与点C重合时,点P与点O重合,CD最短,值为0(此时符合题意).
故⃗CP·(⃗CA+⃗CB)的取值范围为[0,2).
√x2+ y2 √5
=
12.D 解析 由题意可得 √ 1 2 2 ,化简得x2+y2-2x-4y+1=0,即(x-1)2+(y-2)2=4,即
(x- ) 2+(y- ) 2
5 5
动点P(x,y)的轨迹为以(1,2)为圆心,2为半径的圆,圆C的方程可化为(x+3)2+(y+1)2=r2,故圆C以
(-3,-1)为圆心,r为半径.因为点P的轨迹与圆C有且仅有三条公切线,故两圆外切,即有r+2=
√(1+3)2+(2+1)2=5,即r=3.
13.BC 解析 如图,易知圆C :x2+y2=1的圆心为C (0,0),半径r =1;
1 1 1
圆C :(x-3)2+(y+4)2=r2的圆心为C (3,-4),半径为r,圆心距|C C |=5.
2 2 1 2
对于A,圆C 与圆C 无公共点,则|C C |>r +r 或|C C |<|r-1|,即可得5>r+1或5<|r-1|,解得0<r<4
1 2 1 2 1 2 1 2
或r>6,所以A错误;对于B,当r=5时,公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25,整理可
得6x-8y-1=0,所以B正确;对于C,当r=2时,|C C |>r+1=3,可知两圆外离,|PQ|∈[|C C |-3,|C C |
1 2 1 2 1 2
+3],即|PQ|∈[2,8],所以C正确;
π
对于D,若∠APB= ,可知四边形AC BP为正方形,如图,则可得|PC |=3 ,而|PC |∈[|C C |-1,|
2 2 √2 2 1 2
2
π
C C |+1],即|PC |∈[4,6],而3 [4,6],所以圆C 上存在点P满足∠APB= ,所以D错误.故选
1 2 2 √2∈ 1
2
BC.
14.解 (1)由C:x2-6x+y2-6y+3=0,可得圆心为C(3,3),半径r =√15,点C到l:x+y-2=0的距离为d =
1 1
|3+3-2|
=2√2,故|AB|=2√r2-d2=2√15-8=2√7,因为圆E的圆心在直线y=2x上,设圆心
√2 1 1
2a-3 2
E(a,2a),由题意得CE⊥l,所以 =1,解得a=0,即E(0,0),点E到l的距离d = =√2,所以圆E
2
a-3 √2
√ 1
的半径r
2
= 2+( |AB|) 2=√2+7=3,所以圆E的方程为x2+y2=9.
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)假设点O到MN的距离为m,到RF的距离为n,
1
则S= |MN||RF|=2√9-m2·√9-n2,因为MN⊥RF,所以m2+n2=4,所以S=2√9-m2√5+m2=2
2
√-(m2-2)2+49 (0≤m2≤4),所以S∈[6√5,14],所以四边形MRNF面积的最大值为14,最小值
为6√5.
15.解 由题意可设B(-m,0),C(m,0),m>0,则根据条件得|AC|=√|OC|2+|OA|2=√m2+22
=1+2=3 m=√5,所以两圆的圆心坐标分别为B(-√5,0),C(√5,0).
⇒ |√5k| 1 1
若选①:由题可设公切线l的方程为y=kx(k≠0),则 =1 k=± ,解得k=± ,故公切线l的方
√1+k2 2 2
⇒
|-2| 2 4
1 = = √5
程为y=± x,则点A到公切线l的距离为d= √ 1 √5 5 ,故l截圆A的弦长为2
2 (± ) 2+1
2 4
√ 4 4
22-( √5) 2= √5;
5 5
若选②:设直线l的方程为y=kx(k≠0),
|-√5k| |√5k| |2|
则三个圆心到该直线的距离分别为d = ,d = ,d = ,
1 2 3
√1+k2 √1+k2 √1+k2
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设l截圆A的弦长为m,则m2=4(1-d2)=4(1-d2)=4(4-d2),所以结合题意有1-( )2=4-(
1 2 3 √1+k2 √1+k2
4 4 32
)2,化简得8k2=1,即k2= 1 ,所以 d 3 2= 1+k2 = 1 = 9 ,故m2=4(4- 32 )= 16 ,即m= 4 ,即直线l截☉A
8 1+ 9 9 3
8
4
所得的弦长为
3
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