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课时规范练 51 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固练
1.(2024·河北石家庄三模)已知圆C :x2+y2=1和圆C :x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆公切线的条
1 2
数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024·福建厦门三模)圆x2+y2=1被直线y=√3x-1所截得劣弧的弧长为( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
3.(2024·贵州六盘水三模)已知直线ax-y+2=0与圆(x-1)2+y2=4相交于A,B两点,若|AB|=2
√3,则a=( )
4
A. B.1
3
3
C.- D.-2
4
4.(2024·河南郑州模拟)已知圆C:x2+y2+4x+6y+12=0,直线l过点P(-1,0),则“直线l的方
程为4x-3y+4=0”是“直线l与圆C相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2024·福建厦门模拟)在平面直角坐标系中,过点P(3,0)作圆M:(x-1)2+(y-2√3)2=4的两
条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.x-√3y+3=0
B.x+√3y+3=0
C.√3x-y+3=0
D.√3x+y+3=0
6.(2024·河南五市模拟)若圆C :x2+y2=1与圆C :(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则
1 2
直线AB的方程为( )
A.2ax+by-1=0
B.2ax+by-3=0
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D.2ax+2by-3=0
7.(多选题)(2021·新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
8.(2021·天津,12)若斜率为√3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|
= .
9.(2024·湖北武汉模拟)已知圆C :x2+y2=1,圆C 的半径为√11,过直线x+y-4=0上的动点
1 2
P作圆C ,C 的切线,切线长始终相等,则圆C 的标准方程为 .
1 2 2
10.(13分)(2024·河北衡水模拟)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l :x+2y+7=0相切,过
1
点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2√19时,求直线l的方程.
综合提升练
11.(2024·河北唐山二模)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过点M(0,4)的直线l与x轴交于点P,与圆
C交于A,B两点,则⃗CP·(⃗CA+⃗CB)的取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,2] D.[0,2)
12.(2024·广西河池模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个
结论:平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯
1 2 |PO| √5
圆.已知点O(0,0),A( , ),动点P(x,y)满足 = ,若点P的轨迹与圆
5 5 |PA| 2
C:x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)有且仅有三条公切线,则r=( )
1
A. B.1
2
C.2 D.3
13.(多选题)(2024·江苏连云港模拟)已知圆C :x2+y2=1,圆C :(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),P,Q分
1 2
别是圆C 与圆C 上的动点,( )
1 2
A.若圆C 与圆C 无公共点,则0r +r 或|C C |<|r-1|,即可得5>r+1或5<|r-1|,解得06,所以A错误;对于B,当r=5时,公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25,整理可
得6x-8y-1=0,所以B正确;对于C,当r=2时,|C C |>r+1=3,可知两圆外离,|PQ|∈[|C C |-3,|C C |
1 2 1 2 1 2
+3],即|PQ|∈[2,8],所以C正确;
π
对于D,若∠APB= ,可知四边形AC BP为正方形,如图,则可得|PC |=3 ,而|PC |∈[|C C |-1,|
2 2 √2 2 1 2
2
π
C C |+1],即|PC |∈[4,6],而3 [4,6],所以圆C 上存在点P满足∠APB= ,所以D错误.故选
1 2 2 √2∈ 1
2
BC.
14.解 (1)由C:x2-6x+y2-6y+3=0,可得圆心为C(3,3),半径r =√15,点C到l:x+y-2=0的距离为d =
1 1
|3+3-2|
=2√2,故|AB|=2√r2-d2=2√15-8=2√7,因为圆E的圆心在直线y=2x上,设圆心
√2 1 1
2a-3 2
E(a,2a),由题意得CE⊥l,所以 =1,解得a=0,即E(0,0),点E到l的距离d = =√2,所以圆E
2
a-3 √2
√ 1
的半径r
2
= 2+( |AB|) 2=√2+7=3,所以圆E的方程为x2+y2=9.
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)假设点O到MN的距离为m,到RF的距离为n,
1
则S= |MN||RF|=2√9-m2·√9-n2,因为MN⊥RF,所以m2+n2=4,所以S=2√9-m2√5+m2=2
2
√-(m2-2)2+49 (0≤m2≤4),所以S∈[6√5,14],所以四边形MRNF面积的最大值为14,最小值
为6√5.
15.解 由题意可设B(-m,0),C(m,0),m>0,则根据条件得|AC|=√|OC|2+|OA|2=√m2+22
=1+2=3 m=√5,所以两圆的圆心坐标分别为B(-√5,0),C(√5,0).
⇒ |√5k| 1 1
若选①:由题可设公切线l的方程为y=kx(k≠0),则 =1 k=± ,解得k=± ,故公切线l的方
√1+k2 2 2
⇒
|-2| 2 4
1 = = √5
程为y=± x,则点A到公切线l的距离为d= √ 1 √5 5 ,故l截圆A的弦长为2
2 (± ) 2+1
2 4
√ 4 4
22-( √5) 2= √5;
5 5
若选②:设直线l的方程为y=kx(k≠0),
|-√5k| |√5k| |2|
则三个圆心到该直线的距离分别为d = ,d = ,d = ,
1 2 3
√1+k2 √1+k2 √1+k2
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设l截圆A的弦长为m,则m2=4(1-d2)=4(1-d2)=4(4-d2),所以结合题意有1-( )2=4-(
1 2 3 √1+k2 √1+k2
4 4 32
)2,化简得8k2=1,即k2= 1 ,所以 d 3 2= 1+k2 = 1 = 9 ,故m2=4(4- 32 )= 16 ,即m= 4 ,即直线l截☉A
8 1+ 9 9 3
8
4
所得的弦长为
3
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