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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题33 新定义型（含高中知识衔接）问题
一、选择题
1. （2024四川眉山）定义运算： ，例如 ，则函数
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最
值即可．
【详解】解：由题意得， ，
即 ，
当 时，函数 的最小值为 ．
故选：B．
2.（ 2024四川宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完
美数．例如：6的真因数是1、2、3，且 ，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8 B. 18 C. 28 D. 32
【答案】C
【解析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案．
∵ ， ，
∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵ ， ，
∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵ ， ，
∴28是完美数，故选项C符合题意；
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∵ ， ，
∴32不 是完美数，故选项D不符合题意；
故选：C
3. （2024山东威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）．平
移 个单位长度，再沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）平移 个单位长度．例如，动点从原
点出发，沿着 轴负方向平移 个单位长度，再沿着 轴正方向平移 个单位长度，记作 ．
②加法运算法则： ，其中 ， ， ， 为实数．
若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出 ，即可求解．
∵ ，
∴
解得： ，
故选：B．
4.（ 2024湖南省）在平面直角坐标系 中，对于点 ，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．
特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点 在第
二象限，下列说法正确的是（ ）
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A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的
距离之和大于10
【答案】C
【解析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求
出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断
选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ，故选项A错误；
∵点 为“整点”， ，
∴整数a为 ， ，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为 ， ， ， ，
∵ ， ， ，
∴“超整点”P为 ，故选项C正确；
∵点 为“超整点”，
∴点P坐标为 ，
∴点P到两坐标轴的距离之和 ，故选项D错误，
故选：C．
5. （2024 四川遂宁）如图 1， 与 满足 ， ， ，
，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在 中， ，点
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在线段 上，且 ，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】D
【解析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，
一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
在 中， ，
在中， ，
在 中，
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
二、填空题
1.（ 2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且 ）．
例： ，则 ________．
【答案】8
【解析】根据定义，得 ，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得 ，
故答案为：8．
2. （2024上海市）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得
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，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开
口大小”为__________．
【答案】4
【解析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理
解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到 ，
按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知 中存在一点 ，使得
，则 ，
，
中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ，
抛物线 “开口大小”为 ，
故答案为： ．
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3.（ 2024山东枣庄）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反
复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直
角坐标系 中，将点 中的 ， 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐
标，其中 ， 均为正整数．例如，点 经过第1次运算得到点 ，经过第2次运算得到点
，以此类推．则点 经过2024次运算后得到点________．
【答案】
【解析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规
律求解即可．
【详解】点 经过1次运算后得到点为 ，即为 ，
经过2次运算后得到点为 ，即为 ，
经过3次运算后得到点为 ，即为 ，
……，
发现规律：点 经过3次运算后还是 ，
∵ ，
∴点 经过2024次运算后得到点 ，
故答案为： ．
4. （2024四川广元）若点 满足 ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的
坐标______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以 后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，
以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键
【详解】等式两边都乘以 ，得 ，
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令 ，则 ，
∴“美好点”的坐标为 ，
故答案为 （答案不唯一）
5. （2024重庆市A）我们规定：若一个正整数 能写成 ，其中 与 都是两位数，且 与 的
十位数字相同，个位数字之和为 ，则称 为“方减数”，并把 分解成 的过程，称为“方减
分解”．例如：因为 ， 与 的十位数字相同，个位数字 与 的和为 ，所以 是
“方减数”， 分解成 的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减
数”是______．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即 ，将 放在 的左边组成一个
新的四位数 ，若 除以 余数为 ，且 （ 为整数），则满足条件的正整数 为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】本题考查了新定义，设 ，则 （ ， ）根据最小的
“方减数”可得 ，代入，即可求解；根据 除以 余数为 ，且 （ 为整数），
得出 为整数， 是完全平方数，在 ， ，逐个检验计算，即可求
解．
【详解】 设 ，则 （ ， ）
由题意得： ，
∵ ，“方减数”最小，
∴ ，
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则 ， ，
∴ ，
则当 时， 最小，为 ，
故答案为： ；
设 ，则 （ ， ）
∴
∵ 除以 余数为 ，
∴ 能被 整除
∴ 为整数，
又 （ 为整数）
∴ 是完全平方数，
∵ ，
∴ 最小为 ，最大为
即
设 ， 为正整数，
则
当 时， ，则 ，则 是完全平方数，又
， ，无整数解，
当 时， ，则 ,则 是完全平方数，又
， ，无整数解，
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当 时， ，则 ，则 是完全平方数，
经检验，当 时， ， ，
，
∴ ，
∴
故答案为： ， ．
6.（ 2024四川泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移 个单位，再绕原点按
逆时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的 变换．如：点 按照 变换
后得到点 的坐标为 ，则点 按照 变换后得到点 的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点 向上平移2个单位，得到点
，再根据题意将点 绕原点按逆时针方向旋转 ，得到 ，
，据此求解即可．
【详解】根据题意，点 向上平移2个单位，得到点 ，
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∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
根据题意，将点 绕原点按逆时针方向旋转 ，
∴ ，
作 轴于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
7. （2024重庆市B）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这
个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若 是一个
“友谊数”，且 ，则这个数为________；若 是一个“友谊数”，设
，且 是整数，则满足条件的 的最大值是________．
【答案】 ①. 3456 ②.
【解析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到 ，再由 可求出a、b、
c 、 d 的 值 ， 进 而 可 得 答 案 ； 先 求 出 ， 进 而 得 到
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，根据 是整数，得到 是
整数，即 是整数，则 是13的倍数，求出 ，再按照a从大到小的范围讨论求
解即可．
【详解】解：∵ 是一个“友谊数”，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个数为 ；
∵ 是一个“友谊数”，
∴
，
∴ ，
∴
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，
∵ 是整数，
∴ 是整数，即 是整数，
∴ 是13的倍数，
∵ 都是不为0的正整数，且 ，
∴ ，
∴当 时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；
当 时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；
当 时， ，此时可以满足 是13的倍数，即此时 ，则此时
，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为 ；
故答案为：3456； ．
8. （2024四川乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的
“近轴点”．例如，点 是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
.
【答案】 ① ③ ②. 或
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【解析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二
次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
（1）① 中，取 ，不存在“近轴点”；
② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；
③ ，取 时， ，得到 是 的“近轴点”；
（2） 图象恒过点 ，当直线过 时， ，得到 ；当直
线过 时， ，得到 ．
【详解】（1）① 中，
时， ，
不存在“近轴点”；
② ，
由对称性，当 时， ，
不存在“近轴点”；
③ ，
时， ，
∴ 是 的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；
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（2） 中，
时， ，
∴图象恒过点 ，
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
∴m的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
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三、解答题
1.（ 2024北京市）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和不在直线 上的
点 ，给出如下定义：若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点
是弦 的“ 可及点”．
（1）如图，点 ， ．
①在点 ， ， 中，点___________是弦 的“ 可及点”，其中
____________ ；
②若点 是弦 的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为__________；
（2）已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“ 可及
点”．记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ，45；②
（2） 或
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【解析】（1）由相对运动理解，作出 关于 的对称圆 ，若点 关于直线 的对称点 在
上或其内部，且 ，则称点 是弦 的“ 可及点”，则点C应在 的圆内或圆上，
先求得 ，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出 在 上，故符合题意，根
据圆周角定理即可求解 ；
②取 中点为H，连接 ，可确定点D在以H为圆心， 为半径的 上方半圆上运动（不包括
端点A、B），当点 轴时，点D横坐标最大，可求 ，故点 的横坐标的
最大值为 ；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆 ，故点P需要在 的圆内或圆上，
作出 的外接圆 ，连接 ，则点P在以 为圆心， 为半径的 上运动
（不包括端点M、N），可求 ，随着 的增大， 会越来越靠近 ，当点
与点 重合时，点P在 上，即为临界状态，此时 最大， ，由
，故当 最大， 时，此时 为等边三角形，此时
，故当 ， 的最大值为2，设 ，则
，解得： ，可求直线与 交于点 ，
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，故t的取值范围是 或 ．
【小问1详解】
解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆 ，
∵若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦 的“ 可
及点”，
∴点C应在 的圆内或圆上，
∵点 ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ,
由对称得： ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ,
设 半径为 ，
则 ,故 在 外，不符合题意；
，故 在 上，符合题意；
，故 在 外，不符合题意，
∴点 是弦 的“ 可及点”，
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可知 三点共线，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ，45；
②取 中点为H，连接 ，
∵则 ，
∴ ，
∴点D在以H为圆心， 为半径的 上方半圆上运动（不包括端点A、B），
∴当点 轴时，点D横坐标最大，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， ，
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∴ ，
∴此时 ，
∴点 的横坐标的最大值为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆 ，
∵若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦 的“ 可
及点”，
∴点C应在 的圆内或圆上，
故点P需要在 的圆内或圆上，
作出 的外接圆 ，连接 ，
∴点P在以 为圆心， 为半径的 上运动（不包括端点M、N），
∴ ，
∴ ，
由对称得点 在 的垂直平分线上，
∵ 的外接圆为 ，
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∴点 也在 的垂直平分线上，记 与 交于点Q，
∴ ，
∴ ，
随着 的增大， 会越来越靠近 ，当点 与点 重合时，点P在 上，即为临界状态，此
时 最大， ，
连接 ，
∵ ，
∴当 最大, 时，此时 为等边三角形，
由上述过程知
∴ ，
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∴当 ， 的最大值为2，
设 ，则 ，
解得： ，
而记直线 与 交于 ，与y轴交于点K，过点S作 轴，
当 ，当 时， ，
解得 ，
∴与x轴交于点 ，
∴ ，而
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴t的取值范围是 或 ．
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【点睛】考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标
轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．
2.（ 2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的
对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边
形”．
（1）如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ________；
________；
（2）如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理
由；
（3）①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以
为边的垂中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点
，连接 ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ，
（2） ，理由见解析
（3）①见解析；② 或 ．
【解析】【分析】（1）根据题意可推出 ，得到 ，从而推出 ，再根据勾股定
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理可求得 ，再求得 ；
（2）根据题意可推出 ，得到 ，设 ，则 ，
，再利用勾股定理得到 ，从而推出 、 ，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作 的平行线 ，使 ，连接 ，延长 交 于点
；第二种情况，作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长 交 的延
长线于点 ，在射线 上取 ，连接 ；第三种情况，作 ，交 的延长线于点
，连接 ，作 的垂直平分线；
在 延长线上取点F，使 ，连接 ；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得 是等腰三角形，作 ，则 ，可推出
，从而推出 ，计算可得 ，最后利用勾股定理即可求得 ；
第二种情况，延长 、 交于点 ，同理可得 是等腰三角形，连接 ，可由
，结合三线合一推出 ，从而推出 ，同第一种情况即可求得
；
第三种情况无交点，不符合题意．
【小问1详解】
解： ， 为 的中点， ， ， ，
， ，
，即 ，解得 ，
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，
；
故答案为：1； ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
根据题意，在垂中四边形 中， ，且 为 的中点，
， ；
又 ，
，
；
设 ，则 ，
，
，
， ，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：①第一种情况：
作 的平行线 ，使 ，连接 ，
则四边形 为平行四边形；
延长 交 于点 ，
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，
，
，
， ，
，即 ，
为 的中点；
故如图1所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，在
射线 上取 ，连接 ，
故 为 的中点；
同理可证明： ，
则 ，
则四边形 是平行四边形；
故如图2所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
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第三种情况：
作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作 的垂直平分线；
在 延长线上取点F，使 ，连接 ，
则 为 的中点，
同理可证明 ，从而 ，
故四边形 是平行四边形；
故如图3所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
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过P作 于H，则 ，
， ，
， ，
，
；
, ，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长 、 交于点 ，
同理可得： 是等腰三角形，
连接 ，
，
，
，
，
；
同理， ，
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， ， ，
，即 ，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾
股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线
是解题的关键．
3.（ 2024内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足
时，称点 是点 的等和点．
（1）已知点 ，在 ， ， 中，是点 等和点的有_____；
（2）若点 的等和点 在直线 上，求 的值；
（3）已知，双曲线 和直线 ，满足 的 取值范围是 或 ．若点
在双曲线 上，点 的等和点 在直线 上，求点 的坐标．
【答案】（1） 和 ；
（2） ；
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（3） 或 ．
【解析】【分析】（ ）根据等和点的定义判断即可求解；
（ ）设点 的横坐标为 ，根据等和点的定义得点 的纵坐标为 ，即可得点
的坐标为 ，把点 的坐标代入 即可求解；
（ ）由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由
时 的取值范围是 或 ，可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，即得
，得到反比例函数解析式为 ，设 ，点 的横坐标为 ，根据等和点的定义得
，代入 得 ，解方程得 ， ，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解
等和点的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：由 ， 得， ，
∴点 是点 的等和点；
由 ， 得， ， ，
∵ ，
∴ 不是点 的等和点；
由 ， 得， ，
∴ 是点 的等和点；
故答案为： 和 ；
【小问2详解】
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解：设点 的横坐标为 ，
∵点 是点 的等和点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由
时 的取值范围是 或 ，可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
设 ，点 的横坐标为 ，
∵点 是点 的等和点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
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∵点 在直线 上，
∴ ，
整理得， ，
去分母得， ，
解得 ， ，
经检验， 是原方程的解，
∴点 的坐标为 或 ．
4. （2024山东威海）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离
．特别的，当 时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当 时，表示数a
的点与原点的距离等于 ．
应用
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如图，在数轴上，动点A从表示 的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点
B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】（1）过4秒或6秒 （2）3
【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，根据“点A，B之间的距离等于3个
单位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为 ，然后分 ， ， 三种情况讨论，
利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
【小问2详解】
解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
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当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
综上， ，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
5.（ 2024四川乐山）在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛
物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．
（1）若 ，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段 （含端点）上 的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完
美点”，求a的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解
题的关键．
（1）把 代入后再将抛物线化成顶点式为 ，即可求顶点坐标；
（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；
（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【小问1详解】
解：当 时，抛物线 ．
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∴顶点坐标 ．
【小问2详解】
令 ，则 ，
∴ ，
∵线段 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵ ，
∴当“完美点”个数 为4个时，分别为 ， ， ， ；
当“完美点”个数为5个时，分别为 ， ， ， ， ．
∴ ．
∴a的取值范围是 ．
【小问3详解】
根据 ，
得抛物线的顶点坐标为 ，过点 ， ， ．
∵抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美
点”，
显然，“完美点” ， ， 符合题意．
下面讨论抛物线经过 ， 的两种情况：
①当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．
如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ，共4个．
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②当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．
如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ， ， ，共6个．
∴a的取值范围是 ．
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