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专题 17 几何压轴题
考点 1 几何压轴题
一、单选题
1．（2023年北京市中考数学真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直
线AC同侧， ， ， ，连接DE，设 ， ， ，给出
下面三个结论：① ；② ；③ ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023年天津市中考数学真题）如图，把 以点A为中心逆时针旋转得到 ，点B，C的对应
点分别是点D，E，且点E在 的延长线上，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年河北省中考数学真题）如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F
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分别在 ， 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房
的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 均为正六
边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆，
，垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为
21，则 的长为（ ）
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A．8 B．4 C．3.5 D．3
6．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据作图痕迹，下
列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从
点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．
设点M运动的路程为 ， 的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年上海市中考数学真题）已知在梯形 中，连接 ，且 ，设
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．下列两个说法：
① ；②
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图 中， ， 为
中点，若点 为直线 下方一点，且 与 相似，则下列结论：①若 ， 与 相
交于 ，则点 不一定是 的重心；②若 ，则 的最大值为 ；③若
，则 的长为 ；④若 ，则当 时， 取得最大值．
其中正确的为（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在 中， 是边 上的点（不与点 ， 重合）．
过点 作 交 于点 ；过点 作 交 于点 ． 是线段 上的点， ；
是线段 上的点， ．若已知 的面积，则一定能求出（ ）
A． 的面积 B． 的面积
C． 的面积 D． 的面积
11．（2023年安徽中考数学真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个
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等边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
12.（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示， ， ， ，四边形
是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点 距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
13.（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，直线 ，直线 、 与 、 、 分别交于点 、 、
和点 、 、 ，若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′
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与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为
（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
15．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点 是线段 的三等分点，且靠近点 ， 的两边与线段 分别交于点 、 ，连
接 分别交 、 于点 、 ．若 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023年北京市中考数学真题）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D， 是
的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为 ．
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17．（2023年天津市中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形 内接
于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段 的长为 ；
（2）若点D在圆上， 与 相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使
为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
18．（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六
边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图
2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
19．（2023年山西省中考数学真题）如图，在四边形 中， ，对角线 相交于点 ．
若 ，则 的长为 ．
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20．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相
交于点 ．下列结论：
① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
21．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，延长 至 ，使 ，
连接 ， 平分 交 于 ，连接 ，则 的长为 ．
22．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折
痕为 ，展开后，再将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则
的大小为 度．
23．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在
轴上， ，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作
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于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
24．（2023年上海市中考数学真题）在 中 ，点D在边 上，点E在 延
长线上，且 ，如果 过点A， 过点D，若 与 有公共点，那么 半径r的取值范围是
．
25．（2023年安徽中考数学真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出
的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出
了一个结论：如图， 是锐角 的高，则 ．当 ， 时，
．
26．（2023年江西省中考数学真题）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋
转角 （ ）得到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，旋转角 的度数为 ．
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27．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 ， ，
的度数之比为 ，则 ．
28．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图， ， ， 是 上的三个点， ，则 的度数
为 ．
29．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
， ，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则 的最小值为 ．
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图， 、 都是等腰直角三角形， ， ，
， ．将 绕点 逆时针方向旋转后得 ，当点 恰好落在线段 上时，则
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．
三、解答题
31．（2023年北京市中考数学真题）在 中、 ， 于点M，D是线
段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．
(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，直接写出
的大小，并证明．
32．（2023年北京市中考数学真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
33．（2023年天津市中考数学真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 的顶点
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，矩形 的顶点 ．
(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(2)将矩形 沿水平方向向右平移，得到矩形 ，点E，F，G，H的对应点分别为 ， ， ，
．设 ，矩形 与菱形 重叠部分的面积为S．
①如图②，当边 与 相交于点M、边 与 相交于点N，且矩形 与菱形 重叠部
分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
34．（2023年河北省中考数学真题）如图1和图2，平面上，四边形 中，
，点 在 边上，且 ．将线段 绕点 顺时针旋
转 到 的平分线 所在直线交折线 于点 ，设点 在该折线上运动的
路径长为 ，连接 ．
(1)若点 在 上，求证： ；
(2)如图2．连接 ．
①求 的度数，并直接写出当 时， 的值；
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②若点 到 的距离为 ，求 的值；
(3)当 时，请直接写出点 到直线 的距离．（用含 的式子表示）．
35．（2023年山西省中考数学真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩
形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和 ，其中
．将 和 按图2所示方式摆放，其中点 与点 重合（标记为
点 ）．当 时，延长 交 于点 ．试判断四边形 的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的 绕点 逆时针方向旋转，使点 落在 内部，并让同学们提出新
的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点 作 交 的延长线于点
与 交于点 ．试猜想线段 和 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
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②“智慧小组”提出问题：如图4，当 时，过点 作 于点 ，若 ，
求 的长．请你思考此问题，直接写出结果．
36．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，点
分别是边 ，线段 上的点，连接 与 相交于点 ．
(1)如图1，连接 ．当 时，试判断点 是否在线段 的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若 ，且 ，
①求证： ；
②当 时，设 ，求 的长（用含 的代数式表示）．
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37．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下
探究：
独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．”
小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰 中， 由 翻折得到．
（1）如图1，当点 落在 上时，求证： ；
（2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以将问题进一
步拓展．
问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ，则求 的长．
38．（2023年北京市中考数学真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
39．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图①．在矩形 ． ，点 在边 上，
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且 ．动点 从点 出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度运动，作 ，
交边 或边 于点 ，连续 ．当点 与点 重合时，点 停止运动．设点 的运动时间为 秒．
（ ）
(1)当点 和点 重合时，线段 的长为__________；
(2)当点 和点 重合时，求 ；
(3)当点 在边 上运动时， 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，当四边形 和矩形 重叠部分图形为轴对称
四边形时，直接写出 的取值范围．
40．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，
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延长 交 于点 ．则 与 的数量关系：______， ______ ；
(2)类比探究：如图2，在 和 中， ， ， ，连接 ，
，延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，且点
， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则 ， ， 之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，则 ______．
41．（2023年上海市中考数学真题）如图（1）所示，已知在 中， ， 在边 上，点
为边 中点，为以 为圆心， 为半径的圆分别交 ， 于点 ， ，联结 交 于点 ．
(1)如果 ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结 ，如果 ，求边 的长；
(3)联结 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，且 ，求 的值．
42．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，四边形 是边长为 的菱形， ，点 为
的中点， 为线段 上的动点，现将四边形 沿 翻折得到四边形 ．
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(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)当点 在线段 上移动时，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的函数表达式．
43．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向排列），
为锐角，且 ．
(1)如图1，求 边上的高 的长．
(2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ．
①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长．
②当 是直角三角形时，求 的长．
44．（2023年安徽中考数学真题）在 中， 是斜边 的中点，将线段 绕点 旋转至 位
置，点 在直线 外，连接 ．
(1)如图1，求 的大小；
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(2)已知点 和边 上的点 满足 ．
（ⅰ）如图2，连接 ，求证： ；
（ⅱ）如图3，连接 ，若 ，求 的值．
45．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上
一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
(1)求证： CBF≌△CDF；
(2)如图2，△过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE ，ON＝1，直接写出CG的长．
46．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 延长线上的一点，点 在 上，
交 的延长线于点 ， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的直径．
47．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，在以点 为中心的正方形 中， ，连接 ，动
点 从点 出发沿 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 停止．在运动过程中， 的
外接圆交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，将 沿 翻折，得到 ．
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(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)当点 恰好落在线段 上时，求 的长；
(3)设点 运动的时间为 秒， 的面积为 ，求 关于时间 的关系式．
48．（2023·福建福州·校考二模）如图，在 中， ，将 绕点C顺
时针旋转得到 ，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点．若点 恰好落在 边上，则
点A到直线 的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
49．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图， 的顶点 ， ，点 在 轴的正半轴
上，延长 交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转得到 ，当点 的对应点 落在 上时，
的延长线恰好经过点 ，则点 的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
50．（2023·福建福州·校考二模）如图， 是 的直径， 上的点C，D在直径 的两侧，连接
，若 ， ，则 的长等于 ．
51．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，已知菱形 的边长为 ， 是 的中点， 平
分 交 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的长是 ．
52．（2023·河南商丘·一模）如图，在 中， ， ， ．点 为
的中点，点 在 上，且 ，将 绕点 在平面内旋转，点 的对应点为点 ，连接 ， ，
．当 时， 的长为 ．
53．（2023·福建福州·校考二模）在 中， ， ，以 为直径作 ， 交
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于点D，点P是 上的一个点．
(1)如图1，若点P是 的中点， ，垂足为E，求证：直线 是 的切线；
(2)如图2，连接 ，若 ，求 的度数．
54．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点
E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当 时，求 的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF= OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG= BG．
55．（2023·河南商丘·一模）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
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(1)【操作发现】对折 ，使点C落在边 上的点E处，得到折痕 ，把纸片展平，如图
1．小明根据以上操作发现：四边形 满足 ， ．查阅相关资料得知，像这样的有两
组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形 的一条性质____．
(2)【探究证明】如图2，连接EC，设筝形 的面积为 ．若 ，求S的最大值；
(3)【迁移应用】在 中， ，点D，E分别在 ， 上，当四边形
是筝形时，请直接写出四边形 的面积．
56．（2023·河南南阳·校联考三模）问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰
直角三角形，如图1所示，把 和 摆在一起，其中直角顶点 重合，延长 至点 ，满
足 ，然后连接 ．
(1)实践猜想：图1中的 与 的数量关系为___________，位置关系为___________；
(2)拓展探究：当 绕着点 旋转一定角度 时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立？若成立，
请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：当 ， ， 旋转得到 三点共线时，直接写出线段 的长．
57．（2022·江苏南京·统考中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩
小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位
似轴对称．
例如：如图①，先将 以点 为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点 的直线 翻折，得
到 ，则 与 成自位似轴对称．
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(1)如图②，在 中， ， ， ，垂足为 ，下列3对三角形：① 与
；② 与 ；③ 与 ．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条
件的序号）；
(2)如图③，已知 经过自位似轴对称变换得到 ， 是 上一点，用直尺和圆规作点 ，使
与 是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(3)如图④，在 中， 是 的中点， 是 内一点， ， ，连接 ，
求证： ．
58．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB= ，AD=3，点E
是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF．
(1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；
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(2)如图②，点M在CB的延长线上，且 ，连接AM，当点E在BC上运动时， 的面积的值是
否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．
(3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．
59．（2023·江苏无锡·统考二模）已知，在矩形 中， ， ， 为矩形的中心，在
中， ， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转一周，
(1)如图1，当直角边 ， 分别在 ， 边上时，连接 ， ，求 的面积；
(2)设斜边 与矩形 的交点为 ，当 ， ， 三点在一条直线时，求 的值；
(3)如图2，连接 ，取 中点 ，连接 ，请直接写出 的取值范围．
60．（2023·山东菏泽·统考二模）如图， 和 的顶点 重合， ，
， ， ．
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(1)如图1，当点 ， 分别在 ， 上时，得出结论： ；直线 与直线 的位置关系是 ；
(2)如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转一周的过程中，连接 ， ，其所在直线相交于点 ．
①（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由．
②当 的长度最大时，求线段 的长度．
61．（2023·山东济南·统考三模）某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．
专题探究：已知 中， ， ，点M是线段 上的一点，N是线段
上的点， ，交 于点Q，将线段 绕点M顺时针旋转 度，得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，直接写出线段 与 的数量关系______；
(2)如图2，当 时，判断线段 与 的数量关系，并给出证明；
(3)变式应用：如图3，在 中， ， ， ，M是 上的任意一点，
连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ．求线段 的最小值．
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