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10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（提升版）
题组一 平面向量的基本定理
1．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在 中， 为边 的延长线上一点，且 ，记
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，则P点（ ）
A．在线段BC上，且 B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且 D．在线段BC上，且
【答案】B
【解析】由题设， ，则 ，
所以 共线且 在 延长线上， .
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）在△ 中，点D满足 = ，直线 与 交于点 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ,
则 ,
，且 ， 共线，则 ，
所以
所以 ，解得 ，
此时 ，所以 ，故 .
故选：C
4．（2022高一下·长沙期末）如图所示，在平行四边形 中， ， 为
的中点，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
。
故答案为：B
5．（2022广东）已知D，E为 所在平面内的点，且 ， ，若
，则 （ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
故 。
故答案为：A.
6．（2022·吕梁模拟）在△ 中，D为BC的中点， ， ，EF与AD交于G，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设， ，又因为 ， 且
，所以 ，即 ，解得 。
故答案为：B.
7．（2022·上饶模拟）如图，在 中， ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以 ， ，
故答案为：D
题组二 平面向量中的共线问题
1．（2021高三上·洮南月考）设 为基底向量，已知向量 ， ，
，若 三点共线，则实数 的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴
∵ABD三点共线，所以存在实数入，使得 ，即则1=λ且-k=-2λ， 解得k=2. 故答案为：A
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点 的直线与
所在直线分别交于点 ， ，满足 ，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因平行四边形 的对角线相交于点 ，则 ，
而 ，于是得 ，又点M，O，N共线，
因此， ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
故选：B
3．（2022·淮北模拟）在平面四边形 中，已知 的面积是 的面积的2倍.若存在正实
数 使得 成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】如图，设 与 交于点 ，由 的面积是 的面积的2倍，可得 ，
所以 ，
又 三点共线，即 共线，
所以存在实数 使得 ，
因为 ，
所以 ，消去k，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 的最小值为1．
故答案为：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中， ， ， ， ， 三点共线且向量 与向量 共线，若 ，则 等于（ ）
A． B．3
C．1 D．
【答案】D
【解析】设 ，向量 与向量 共线，
所以x＋y＝0，所以 ，
若 ，
则 ，
即 ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
故A，B，C错误.
故选：D.
5．（2022·潍坊模拟）已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， ，
，则 ， ， 三点共线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ， 三点共线的充要条件是 且 ，
所以 ，故 .故答案为：C
题组三 最值
1．（2022·滨州二模）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（ ， ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，设 ， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ；
当 时，因为 （ ， ），
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .故答案为：C.
2．（2022·湖南模拟）已知直线 与圆 ： 相交于不同两点 ， ，点 为线段 的中点，
若平面上一动点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， ， 三点共线，
且点 在线段 外，因为点 为线段 的中点，所以 ，即 是直角三角形，
所以 ，由数量积的定义可得：
，
因为 ，所以 ，即 ，
故答案为：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 与 为单位向量，且 ⊥ ，向量 满足 ，则| |的可
能取值有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】根据题意，设 ， ， ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴的正方向建立坐标系，
则 ， ，设 ，则 ，
若 ，则有 ，
则 在以 为圆心，半径为2的圆上，
设 为点 ，则 ，则有 ，即 ，
则 的取值范围为 ；
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，∴
∴
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知 ， ， 在 方向上的投
影为 ，P为线段 上的一点，且 .则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【解析】因为 ， 在 方向上的投影为 ，所以 ，解得：
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
解得： .
因为P为线段 上的一点，且 ，所以 ，即 .
所以 （当且仅当 时取等号）.
所以 的最小值为4.
故选：B
6．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， 为两个定点，动点 在直线
上，动点 满足 ，则 的最小值为__．【答案】5
【解析】设点 ，由 得： ，
即 ，即 ，
在以 为直径的圆上，不妨设 ， ，
则 ， ，
，
，其中 为辅助角，
令 ， ，则 ， ．
，
令 ， ， ，
在 ， 上单调递增，
故当 时， 取得最小值 ，
再令 ， ，
显然 在 ， 上单调递增，
故 时， 取得最小值 ，
综上，当 ， 时， 取得最小值25．
故 的最小值为5,
故答案为：5．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 满足 ， ，则 的最大值为______．
【答案】4【解析】因为 ， ，如图，
圆O的半径为 ，点A，B在圆上，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
设 ， ，则 ， ．
设 ，
则 ，
当 时， 有最大值，最大值为4，
此时， 的最大值为4．
故答案为：4.
8．（2022·天津市第九十五中学益中学校高三开学考试）如图，在 中， ，D为 中点，
P为 上一点，且满足 ， 的面积为 ，则 ___________； 的最小值为
___________.【答案】 ； .
【解析】设 ，由
而 ，
所以有 ，即 ；
因为 的面积为 ， ，
所以有 ，
因为 ，
所以有
，
当有仅当 时取等号，
故答案为： ； .
题组四 平面向量与其他知识综合
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】A【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形 中， 的面积是 面积的 倍，又数列
满足 ，当 时，恒有 ，设 的前 项和为 ，则所有正
确结论的序号是___________.
① 为等比数列；② 为递减数列；③ 为等差数列；④
【答案】②③④
【解析】设 与 交于点 ， ，
，
， ， 共线，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， ， ， 不是等比数列，①错；
因为 ，所以 ，即 ，所以 是等差数列，③正确；
又因为 ，则 ，即 ， ，所以当 时， ，即 ，
所以 是递减数列，②正确；
因为 ，
，
所以两式相减得
，
所以 ，④正确.
故答案为：②③④.
3．（2022·湘赣皖模拟）如图，在 中，D是AC边上一点，且 ， 为直线AB
上一点列，满足： ，且 ，则数列 的前n项和
．
【答案】
【解析】由于D是AC边上一点，且 ，
则 ，由于 为直线AB上一点列，则 ．
因为 ，则 ，故 ，
整理 ，即 ，
故 ，令 ，则 ，即 ，
因此 ， ，
所以 为等比数列， ，则 ，
故 ．
故答案为
