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专题 01 代数计算问题（实数、整式、分式、二次根
式）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运
算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需
要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。
模型01 实数的计算
考｜向｜预｜测
1.实数的计算一般为解答题第1题：
2.涉及到的知识点有：零次幂、-1的奇偶次幂、数的乘方、负整数指数幂、绝对值、开方运算、特殊角的
三角函数值等，一般为3-5个知识点的组合：
3.乘方、负整数指数幂涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字.
答｜题｜技｜巧
1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可
以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
3.实数运算的“三个关键”
①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三
角函数值的计算以及绝对值的化简等．
②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，
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无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4.常见的公式及易错点：
（1）负整数指数幂： （ 为正整数）；
（2）零指数幂：
（3）特殊角的三角函数值：
， ， ，
， ， ，
， ， ．
（4）常见的易错点：
，
1
（2024•济南）计算：√9−(π−3.14) 0+( ) −1+|√3|−2cos30°．
4
【答案】6．
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数
运算法则进行计算即可
√3
【详解】解：原式＝3﹣1+4+√3−2×
2
＝3﹣1+4+√3−√3
＝6．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的
性质是解题的关键．
1 −1
1．（2024•乐山模拟）计算：(2024−π) 0+|√3−1|−( ) +√12．
2
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．
1 −1
【详解】解：(2024−π) 0+|√3−1|−( ) +√12
2
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=1+√3−1−2+2√3
=3√3−2．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟练掌握相关知识点
是关键．
1 −1
2．（2024•五华区校级模拟）计算：√9−2cos45°−(1−π) 0+( ) +|−√2|．
3
【答案】5．
【分析】先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运
算即可．
√2
【详解】解：原式=3−2× −1+3+√2
2
＝5．
【点睛】本题考查实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数的运算法则．
1
3．（2024•甘肃二模）计算：√9−( ) −1+cos60°−(π−2024) 0 ．
3
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加
减．
1
【详解】解：√9−( ) −1+cos60°−(π−2024) 0
3
1
＝3﹣3+ −1
2
1
=− ．
2
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
1 −1 √12
4．（2024•荷塘区校级模拟）计算：2tan60°+|√3−2|+( ) − ．
2022 2
【答案】2024．
【分析】利用特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂计算即可．
1 −1 √12
【详解】解：2tan60°+|√3−2|+( ) −
2022 2
2√3
=2×√3+2−√3+2022−
2
=2√3+2−√3+2022−√3
＝2+2022
＝2024．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂．根据 60度角的正切值、绝对值及负
整数指数幂的意义即可求得结果．
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5．计算：
（1）√27+√3−8−√12；
（2）(√3) 0 −√(−7) 2+(√3 9) 3 −
√1
．
4
【答案】（1）√3−2；
5
（2） ．
2
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根运算法则计算，再合并即可；
（2）先根据零指数幂、算术平方根、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【详解】解：（1）√27+√3−8−√12
=3√3+(−2)−2√3
=√3−2；
（2）(√3) 0 −√(−7) 2+(√3 9) 3 −
√1
4
1
＝1﹣7+9−
2
5
= ．
2
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．计算：
（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）；
2 1
（2）(−6) 2×( − )−√38．
3 2
【答案】（1）﹣2；
（2）4．
【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；
（2）先算括号里面的，再算乘方、开方，再算乘法，最后算减法即可．
【详解】解：（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）
＝5+5+（﹣12）
＝10+（﹣12）
＝﹣2；
2 1
（2）(−6) 2×( − )−√38
3 2
1
＝36× −2
6
＝6﹣2
＝4．
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【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
模型02 整式的混合运算与化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过
程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题：
2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母：
3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体
代人法
答｜题｜技｜巧
1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相
似．
2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此
时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
4.常用的乘法公式：
（1）完全平方公式： ；
（2）平方差公式： ．
（2024•甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
【答案】2a+b，3．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入 a＝
2，b＝﹣1，求出答案即可．
【详解】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×2﹣1＝3．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求
值是解题的关键．
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1．（2024•连州市二模）化简：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2．
【答案】6a﹣18．
【分析】先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项即可．
【详解】解：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2
＝a2﹣9﹣（a2﹣6a+9）
＝a2﹣9﹣a2+6a﹣9
＝6a﹣18．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
2．（2024•镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．
小明的解答如下：
解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答．
【答案】不正确，正确解答见解析．
【分析】根据题目中的解答过程可知，小明的解答不正确；根据乘法公式将题目中的式子展开，再去括
号合并同类项即可将正确的解答过程写出来．
【详解】解：由题目中的解答过程可知：小明的解答不正确，
正确解答：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2
＝m2﹣9﹣（m2+2m+1）
＝m2﹣9﹣m2﹣2m﹣1
＝﹣2m﹣10．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．（2024•北戴河区一模）已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．
（1）当x＝0时，求P的值；
（2）若x为整数，试说明多项式P能被5整除．
【答案】（1）﹣5；
（2）理由见解析．
【分析】（1）把x＝0代入多项式计算即可；
（2）先计算出P的值为5（x﹣1），然后判断即可．
【详解】解：（1）当x＝0时，P＝22﹣9＝4﹣9＝﹣5；
（2）P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9
＝x2+4x+4+x﹣x2﹣9
＝5x﹣5
＝5（x﹣1），
∵x为整数，
∴5（x﹣1）是5的倍数，
即多项式P能被5整除．
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【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2024•城中区校级三模）求代数式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|+√x+ y=0．
【答案】2y2﹣xy，原式＝27．
【分析】先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式
子进行计算，即可解答．
【详解】解：2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy
＝2（x2﹣2xy+y2）﹣2x2+3xy
＝2x2﹣4xy+2y2﹣2x2+3xy
＝2y2﹣xy，
∵|x﹣3|+√x+ y=0，
∴x﹣3＝0，x+y＝0，
解得：x＝3，y＝﹣3，
∴当x＝3，y＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）2﹣3×（﹣3）＝2×9+9＝18+9＝27．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算
是解题的关键．
5．（2024•城中区校级二模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，
y＝﹣1．
【答案】2xy+2y2，﹣2．
【分析】首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，然后
将x＝2，y＝﹣1代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y）
＝x2﹣4xy+4y2+2x2﹣2y2﹣3x2+6xy
＝（x2+2x2﹣3x2）+（﹣4xy+6xy）+（4y2﹣2y2）
＝0+2xy+2y2
＝2xy+2y2，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2×（﹣1）+2×（﹣1）2＝﹣2．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
6．（2024•北京模拟）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式化简，再将已知变形代入得出答案．
【详解】解：（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）
＝x2+2x+1+x2+4x+x2﹣9
＝3x2+6x﹣8，
∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
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∴原式＝3（x2+2x）﹣8
＝3×1﹣8
＝3﹣8
＝﹣5．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
模型03 分式的运算及化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找
解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解
2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2，字母的系数为10以
内的有理数：
3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还
会涉及因式分解。
答｜题｜技｜巧
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括
号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
1 2 x−1
（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式( − )÷ 的值，其中 x＝2cos30°﹣
x+1 x2+2x+1 x+1
tan45°．
√3
【答案】 ．
3
【分析】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解．
1 x+1 2 x+1
【详解】解：由题意，原式= • − •
x+1 x−1 (x+1) 2 x−1
1 2
= −
x−1 x2−1
x+1−2
=
(x+1)(x−1)
x−1
=
(x+1)(x−1)
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1
= ．
x+1
又x＝2cos30°﹣tan45°
√3
＝2× −1
2
=√3−1，
1 √3
∴原式= = ．
√3−1+1 3
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关
键．
2x 1 x−1
1．（2025•泗洪县一模）先简化，再求值：( − )÷ ，其中x=√3+1．
x2−4 x+2 x−2
【答案】见试题解答内容
【分析】先对x2﹣4分解因式，再通分、约分，进行化简求值．
2x 1 x−1
【详解】解：原式 =[ − ]÷
(x+2)(x−2) x+2 x−2
2x−(x−2) x−2
= ×
(x+2)(x−2) x−1
1
= ，
x−1
当x=√3+1时，
√3
原式= ．
3
【点睛】考查分式的化简求值，比较简单．
2 x2−6x+9
2．（2024•西城区校级模拟）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝5．
x−1 x2−x
x 5
【答案】 ， ．
x−3 2
【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可．
2 x2−6x+9
【详解】解：（1− ）÷
x−1 x2−x
x−3 (x−3) 2
= ÷
x−1 x(x−1)
x−3 x(x−1)
= ⋅
x−1 (x−3) 2
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x
= ，
x−3
当x＝5时，
5 5
原式= = ．
5−3 2
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2a a2−4a+4
3．（2024•深圳模拟）先化简，再求值：( −1)÷ ，其中a＝1．
a+2 a+2
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
2a a+2 a+2
【详解】解：原式＝（ − ）•
a+2 a+2 (a−2) 2
a−2 a+2
= •
a+2 (a−2) 2
1
= ，
a−2
1
当a＝1时，原式= =−1．
1−2
【点睛】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
2 1 x2−x
4．（2024•平江县二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求( − )÷ 的值．
x+1 x x2+2x+1
【答案】1．
2 1 x2−x x+1
【分析】利用分式的混合运算法则将( − )÷ 化简为 ，再根据题意得到x2＝x+1，
x+1 x x2+2x+1 x2
将x2＝x+1代入化简后的式子求解．
2 1 x2−x
【详解】解：( − )÷
x+1 x x2+2x+1
x−1 (x+1) 2
= ×
x(x+1) x(x−1)
x+1
=
，
x2
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
x2
∴上式= =1．
x2
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
4 y2 2x
5．（2024•朝阳区一模）已知x+2y+2＝0，求代数式（x− ）• 的值．
x x−2y
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【答案】见试题解答内容
【分析】先化简所求式子，再根据 x+2y+2＝0，可以得到x+2y＝﹣2，再将x+2y＝﹣2代入化简后的式
子计算即可．
4 y2 2x
【详解】解：（x− ）•
x x−2y
x2−4 y2 2x
= •
x x−2y
(x+2y)(x−2y) 2x
= •
x x−2y
＝2（x+2y）
＝2x+4y，
∵x+2y+2＝0，
∴x+2y＝﹣2，
∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2024•大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，
选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
3x x2 x2−1
计算：( − )⋅
x−1 x+1 2x
甲同学 乙同学
解：原式 3x x (x+1)(x−1)
解：原式=[ − ]⋅
3x(x+1) x(x−1) x2−1 x−1 x+1 2x
=[ − ]⋅ ．
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1) 2x
我选择： 甲 / 乙 同学
【答案】甲/乙．
【分析】甲同学：先通分，然后根据分式的乘法法则计算即可；
乙同学：根据乘法的分配律计算即可．
3x(x+1) x(x−1) x2−1
【详解】解：甲同学：原式=[ − ]⋅
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1) 2x
3x2+3x−x2+x (x−1)(x+1)
= ⋅
(x−1)(x+1) 2x
2x2+4x
=
2x
＝x+2；
3x x (x+1)(x−1)
乙同学：原式=[ − ]⋅
x−1 x+1 2x
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3x(x+1) x(x−1)
= −
2x 2x
3x2+3x−x2+x
=
2x
2x2+4x
=
2x
＝x+2．
故答案为：甲/乙．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
x x x2−1
7．（2024•开封二模）化简：( + )⋅ ，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
x+1 x−1 x
解：原式＝[
x(x−1) x(x+1) x2−1
+ ]• ⋯
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x
x x2−1 x x2−1
解：原式= • + • ⋯
x+1 x x−1 x
（1）甲同学解法的依据是 ② ，乙同学解法的依据是 ③ ；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）③；②；
（2）2x．
【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选
择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法：
x x x2−1
( + )⋅
x+1 x−1 x
x(x−1) x(x+1) x2−1
＝[ + ]•
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x
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x2−x+x2+x (x+1)(x−1)
= •
(x+1)(x−1) x
2x2 (x+1)(x−1)
= •
(x+1)(x−1) x
＝2x；
若选择乙同学的解法：
x x x2−1
( + )⋅
x+1 x−1 x
x x2−1 x x2−1
= • + •
x+1 x x−1 x
x (x+1)(x−1) x (x+1)(x−1)
= • + •
x+1 x x−1 x
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
模型04 二次根式的计算
考｜向｜预｜测
二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角的三角
函数进行综合考查。
答｜题｜技｜巧
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注
意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往
能事半功倍．
√3
（2024•甘肃）计算：√18−√12× ．
2
【答案】见试题解答内容
【分析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可．
【详解】解：原式＝3√2−3√2
＝0．
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【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和化为最简二次根式，合并
同类二次根式．
1 1
1．（2024•甘州区二模）计算：4√2× √3−（√3+√2）2+ ．
2 √3−2
【答案】﹣7−√3．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．
2+√3
【详解】解：原式＝2√6−（3+2+2√6）+
(√3−2)(√3+2)
＝2√6−5﹣2√6−（2+√3）
＝2√6−5﹣2√6−2−√3
＝﹣7−√3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
√1
2．（2024•临渭区三模）计算：√27− ×√6+√45÷√5．
2
【答案】2√3+3．
【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可．
√1
【详解】解：原式＝3√3− ×6+√45÷5
2
＝3√3−√3+3
＝2√3+3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则
是解决问题的关键．
3．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：2(a+√5)(a−√5)−a(a−4)+14，其中a=√6−2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把a的值代入计算
即可．
【详解】解：原式＝2（a2﹣5）﹣（a2﹣4a）+14
＝2a2﹣10﹣a2+4a+14
＝a2+4a+4
＝（a+2）2，
当a=√6−2时，原式＝（√6−2+2）2＝6．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关
键．
1 √3 2
4．（2024•青神县模拟）计算：|√3−2|+(− ) −2−(2022− ) 0+ ．
2 2 √3+1
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【答案】见试题解答内容
【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可．
2(√3−1)
【详解】解：原式＝2−√3+4﹣1+
(√3+1)(√3−1)
＝2−√3+4﹣1+√3−1
＝4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零
指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
5．计算：(√5−1) 2−(√3+√2)(√3−√2)．
【答案】5﹣2√5．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式计算即可．
【详解】解：原式＝5−2√5+1﹣（3﹣2）
＝5−2√5+1﹣3+2
＝5﹣2√5
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则，
学会用代入法解方程组．
6．计算：
（1）(3√3−1)(3√3+1)−(2√3−1) 2；
√1 √27+√12
（2）(2√12− )×√6− ．
3 √3
【答案】（1）13+4√3；
（2）11√2−5．
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【详解】解：（1）原式＝（3√3）2﹣1﹣（12﹣4√3+1）
＝27﹣1﹣12+4√3−1
＝13+4√3；
√1
（2）原式＝2√12×√6− ×√6−√27÷√3−√12÷√3
3
＝12√2−√2−3﹣2
＝11√2−5．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混
合运算法则．
一．解答题（共14小题）
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1．（2024•北京）计算：(π−5) 0+√8−2sin30°+|−√2|．
【答案】3√2．
【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可．
【详解】解：(π−5) 0+√8−2sin30°+|−√2|
1
＝1+2√2−2× +√2
2
=3√2．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识．
2．（2024•青海）计算：√18−tan45°+π0﹣|−√2|．
【答案】2√2．
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质和如何化简二次根式，进行计算即
可．
【详解】解：原式=3√2−1+1−√2
=3√2−√2+1−1
=2√2．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、
绝对值的性质和如何化简二次根式．
3．（2024•吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中a=√3．
【答案】6．
【分析】先将原式化简，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1
＝a2﹣1+a2+1
＝2a2
∵a=√3，
∴原式＝2×（√3）2＝6．
【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，正确进行计算是解题关键．
4．（2024•重庆）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
2 x2−4
（2）（1+ ）÷ ．
x−2 x2−4x+4
【答案】（1）4a﹣2；
x
（2） ．
x+2
【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减；
（2）先计算括号里面的分式加减，再进行因式分解、约分．
【详解】解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
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＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
2 x2−4
（2）（1+ ）÷
x−2 x2−4x+4
x−2+2 (x−2) 2
= •
x−2 (x+2)(x−2)
x (x−2) 2
= ⋅
x−2 (x+2)(x−2)
x
= ．
x+2
【点睛】此题考查了代数式的混合运算能力，关键是能准确确定计算方法和顺序，并能进行正确地计算．
1 −2
5．（2024•潍坊）（1）计算：√3−8+( ) −|−3|；
2
3 a+2
（2）先化简，再求值：(a+1− )÷ ，其中a=√3+2．
a−1 a−1
【答案】（1）﹣1；（2）a﹣2，√3．
【分析】（1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减；
（2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得．
1 −2
【详解】解：（1）√3−8+( ) −|−3|
2
＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1；
3 a+2
（2）(a+1− )÷
a−1 a−1
a2−1−3 a+2
= ÷
a−1 a−1
(a+2)(a−2) a−1
= ⋅
a−1 a+2
＝a﹣2；
当a=√3+2时，
原式=√3+2−2=√3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混
合运算，是解决问题的关键．
6．（2024•西宁）先化简，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a满足a2﹣4a+3＝0．
【答案】a2﹣4a+1，﹣2．
【分析】根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到a2﹣4a+1，由所给条件得到a2﹣4a
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＝﹣3，整体代入，即可得到结果．
【详解】解：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1）
＝（9a2﹣6a+1）﹣8a2+2a
＝（9a2﹣8a2）+（﹣6a+2a）+1
＝a2﹣4a+1
∵a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝a2﹣4a+1＝﹣3+1＝﹣2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
1 1
7．（2024•山西）（1）计算：（﹣6）× −（ ）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
3 2
1 1 x+2
（2）化简（ + ）÷ ．
x−1 x+1 x2−1
【答案】（1）﹣10；
2x
（2） ．
x+2
【分析】（1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；
（2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可．
1 1
【详解】解：（1）（﹣6）× −（ ）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]
3 2
1 1
＝（﹣6）× −（ ）﹣2+（﹣3﹣1）
3 2
1 1
＝（﹣6）× −（ ）﹣2﹣4
3 2
＝﹣2﹣4﹣4
＝﹣10；
1 1 x+2
（2）（ + ）÷
x−1 x+1 x2−1
x+1+x−1 (x+1)(x−1)
= ⋅
(x+1)(x−1) x+2
2x (x+1)(x−1)
=
•
(x+1)(x−1) x+2
2x
= ．
x+2
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关
键．
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3 a2+4a+4
8．（2024•广安）先化简（a+1− ）÷ ，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
a−1 a−1
a−2
【答案】 ，当a＝0时，原式＝﹣1，当a＝2时，原式＝0．
a+2
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即
可．
a2−1 3 a−1
【详解】解：原式＝（ − ）•
a−1 a−1 a2+4a+4
(a+2)(a−2) a−1
= •
a−1 (a+2) 2
a−2
= ，
a+2
由题意得：a≠1且a≠﹣2，
0−2
当a＝0时，原式= =−1，
0+2
2−2
当a＝2时，原式= =0．
2+2
【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
x2+4x+4 x2−4 4
9．（2024•甘南州）先化简，再求值： ⋅ ÷( +1)，且x满足﹣2≤x≤2，取一个
x2+2x x2−4x+4 x−2
值即可．
x+2 1+2
【答案】 ，当x＝1时，原式= =3（答案不唯一）．
x 1
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可．
(x+2) 2 (x+2)(x−2) x+2
【详解】解：原式= ⋅ ÷
x(x+2) (x−2) 2 x−2
x+2 x+2 x−2
= . ⋅
x x−2 x+2
x+2
= ，
x
∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2，
∴整数x＝1或﹣1，
1+2
∴当x＝1时，原式= =3（答案不唯一）．
1
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
10．（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ，若m是其显示
m 7m−4 4−2m
结果的平方根，先化简：（ + ）÷ ，再求值．
m−3 9−m2 m+3
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m−2 2
【答案】 ，− ．
6−2m 5
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出m的值，代入运算即可．
m 7m−4 4−2m
【详解】解：（ + ）÷
m−3 9−m2 m+3
m2+3m 7m−4 m+3
＝（ − ）•
m2−9 m2−9 4−2m
(m−2) 2 m+3
= •
(m+3)(m−3) −2(m−2)
m−2
= ，
6−2m
根据计算器可得m＝±√9−5=±√4=±2，
∵4﹣2m≠0，
∴m≠2，
当m＝﹣2时，
−2−2 2
原式= =− ．
6+4 5
【点睛】本题主要考查分式的化简求值和计算器—数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
1
11．（2024•绵阳）（1）计算：π0+ √8+2|1−cos45°|−(−√3) 2 ；
2
1 x2−1
（2）先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中x=√2+1．
x x
【答案】（1）0；
1 √2
（2） ， ．
x−1 2
【分析】（1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数
再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
1
【详解】解：（1）π0+ √8+2|1−cos45°|−(−√3) 2
2
√2
＝1+√2+2|1− |﹣3
2
√2
＝1+√2+2（1− ）﹣3
2
＝1+√2+2−√2−3
＝0；
1 x2−1
（2）(1+ )÷
x x
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x+1 x
= •
x (x+1)(x−1)
1
= ，
x−1
1 1 √2
当x=√2+1时，原式= = = ．
√2+1−1 √2 2
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知
以上知识是解题的关键．
3(a−2b)+3b
12．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式 的值．
a2−2ab+b2
【答案】见试题解答内容
【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．
【详解】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
3(a−2b)+3b
a2−2ab+b2
3a−6b+3b
=
(a−b) 2
3a−3b
=
(a−b) 2
3(a−b)
=
(a−b) 2
3
=
a−b
3
=
1
＝3．
3
【点睛】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为 是解题的关键．
a−b
a2−b2 1−a−b
13．（2024•淄博）化简分式： + ，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定 a，b的
a2−2ab+b2 a−b
值）
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1 1
【答案】 ；− ．
a−b 5
【分析】根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，
(a+b)(a−b) 1−a−b
= +
原式
(a−b) 2 a−b
a+b 1−a−b
= +
a−b a−b
1
= ，
a−b
当a＝﹣3，b＝2时，
1 1
原式= =− ．
−3−2 5
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
1
14．（2024•泰安）（1）计算：2tan60°+( ) −2−|−√12|+√(−3) 2 ；
2
2x−1 x2−1
（2）化简：(x− )÷ ．
x x
【答案】（1）7；
x−1
（2） ．
x+1
【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
1
【详解】解：（1）2tan60°+( ) −2−|−√12|+√(−3) 2 ；
2
=2√3+4−2√3+3
＝7；
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2x−1 x2−1
（2）(x− )÷
x x
x2−2x+1 x
= ⋅
x x2−1
(x−1) 2 x
= ⋅
x (x+1)(x−1)
x−1
= ．
x+1
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
一．解答题（共14小题）
1 −1
1．（2024•茂南区校级一模）计算：(−2) 2−√9+(√2−1) 0+( ) ．
3
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算平方、零次幂、负整数指数幂，再计算加减．
1 −1
【详解】解：(−2) 2−√9+(√2−1) 0+( )
3
＝4﹣3+1+3
＝5．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
2．（2024•罗湖区校级模拟）计算：2cos30°−(π−2024) 0+|√3−2|．
【答案】1．
【分析】先计算零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减
【详解】解：2cos30°−(π−2024) 0+|√3−2|
√3
＝2× −1+2−√3
2
=√3−1+2−√3
＝1．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
1
3．（2024•湘阴县二模）计算：|−√3|−2sin60°+( ) −1+(2023−π) 0 ．
4
【答案】5．
【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
√3
【详解】解：原式=√3−2× +4+1
2
=√3−√3+4+1
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＝4+1
＝5．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零
指数幂是解题的关键．
1 −2
4．（2024•渭源县模拟）计算：|1−√2|+( ) −2sin45°+(π−3.14) 0．
2
【答案】4．
【分析】先代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可．
√2
【详解】解：原式=√2−1+4−2× +1
2
=√2−1+4−√2+1
＝4．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，掌握相应的运算
法则是关键．
1
5．（2024•郸城县四模）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（− ）﹣1；
3
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【答案】（1）6；
（2）10﹣4x．
【分析】（1）根据绝对值的定义、零指数幂的意义以及负整数指数幂的运算法则即可求出答案．
（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【详解】解：（1）原式＝2+1+3
＝6；
（2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+9
＝10﹣4x．
【点睛】此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
1
6．（2024•娄星区校级二模）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=− ．
2
1
【答案】4xy﹣2y2，3 ．
2
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x、y的值代
入计算即可得．
【详解】解：原式＝4x2﹣y2﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4xy﹣2y2；
1
将x＝﹣2，y=− 代入得：
2
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1 1 2
原式=4×(−2)×(− )−2×(− )
2 2
1
=4−
2
1
=3 ．
2
【点睛】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算
法则．
7．（2024•南充模拟）化简并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1．
【答案】2b2，2．
【分析】先根据多项式除以单项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣3ab+ab﹣3b2）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+3ab﹣ab+3b2
＝2b2，
当b＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2＝2×1＝2．
【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运
算顺序．
4
8．（2025•闵行区一模）计算： −(cos30°) −1+|−tan45°|+π0 ．
1+√3
4√3
【答案】 ．
3
【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，
再合并即可．
4
【详解】解： −(cos30°) −1+|−tan45°|+π0
1+√3
4(√3−1) √3
= −( ) −1+|−1|+1
(√3+1)(√3−1) 2
4(√3−1) 2
= − +1+1
2 √3
2√3
=2(√3−1)− +2
3
2√3
=2√3−2− +2
3
4√3
= ．
3
【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握
相关运算法则是解题的关键．
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1 1
9．（2024•甘州区二模）计算：4√2× √3−（√3+√2）2+ ．
2 √3−2
【答案】﹣7−√3．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．
2+√3
【详解】解：原式＝2√6−（3+2+2√6）+
(√3−2)(√3+2)
＝2√6−5﹣2√6−（2+√3）
＝2√6−5﹣2√6−2−√3
＝﹣7−√3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
a 1
10．（2024•工业园区校级二模）先化简，再求值： ÷(1+ )，其中a=√2+1．
a2−2a+1 a−1
【答案】见试题解答内容
【分析】先将括号内部分通分合并再约分，最后代入求值即可．
a 1
【详解】解： ÷(1+ )
a2−2a+1 a−1
a a
= ÷（ ）
(a−1) 2 a−1
a a−1
= ⋅
(a−1) 2 a
1
= ，
a−1
√2
当a=√2+1时，原式= ．
2
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1+x2 x−1
11．（2024•庐阳区校级模拟）先化简再求值：（2x− ）÷ ，其中x=√2．
x x
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，把x的值代入计算即可求出值．
2x2−x2−1 x (x+1)(x−1) x
【详解】解：原式= • = • =x+1，
x x−1 x x−1
当x=√2时，原式=√2+1．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 x2−x
12．（2024•武冈市校级模拟）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝5．
x+1 x2−2x+1
x−1 2
【答案】 ， ．
x+1 3
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【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
x+1 1 (x−1) 2
【详解】解：原式＝（ − ）•
x+1 x+1 x(x−1)
x x−1
= •
x+1 x
x−1
= ，
x+1
5−1 2
当x＝5时，原式= = ．
5+1 3
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
a2−6a+9 5
13．（2024•龙华区三模）先化简，再求值： ÷(a+2+ )，其中a2﹣a﹣2＝0．
a−2 2−a
a−3
【答案】 ，﹣2．
a+3
a−3
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，则约分得到原式= ，接着解方程得到a ＝
a+3 1
﹣1，a ＝2，然后根据分式有意义的条件得到a＝﹣1，最后把a的值代入计算即可．
2
(a−3) 2 (a+2)(a−2) 5
【详解】解：原式= ÷[ − ]
a−2 a−2 a−2
(a−3) 2 a2−4−5
= ÷
a−2 a−2
(a−3) 2 a−2
= •
a−2 (a+3)(a−3)
a−3
= ，
a+3
解方程a2﹣a﹣2＝0得a ＝﹣1，a ＝2，
1 2
∵a﹣2≠0且a﹣3≠0且a+3≠0，
∴a＝﹣1，
−1−3
当a＝﹣1时，原式= =−2．
−1+3
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没
有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4 a2−2a+1
14．（2024•南岗区一模）先化简，再求代数式(1− )÷ 的值，其中a＝2cos30°+1．
a+3 3a+9
3
【答案】 ，√3．
a−1
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将a的值代入计算即可．
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a+3−4 3(a+3)
【详解】解：原式= •
a+3 (a−1) 2
a−1 3(a+3)
= •
a+3 (a−1) 2
3
= ，
a−1
√3
当a＝2cos30°+1＝2× +1=√3+1时，
2
3
原式=
√3+1−1
3
=
√3
=√3．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质把所求式子化简．
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