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专题 06 分式与分式方程
考点 1 分式与分式方程
一、单选题
1．（2023年天津市中考数学真题）计算 的结果等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）化简 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）已知关于x的分式方程 的解是非负数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
4．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）若分式方程 的解为负数，则a的取值范围是
（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
5．（2023年山东省东营市中考数学真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学
针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学
校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提
高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
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6．（2023年山东省济宁市中考数学真题）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
7．（2023年山东省日照市中考数学真题）若关于 的方程 解为正数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
8．（2023年山东省聊城市中考数学真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值
范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
9．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知 ，计算 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．（2021·四川甘孜·统考中考真题）已知关于x的分式方程 ＝3的解是x＝3，则m的值为
（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
二、填空题
11．（2023年北京市中考数学真题）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2023年北京市中考数学真题）方程 的解为 ．
13．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）方程 的解为 ．
14．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）化简： ．
15．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）计算： ．
16．（2019·新疆·统考中考真题）计算：
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17．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）若关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且
关于y的分式方程 的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题
18．（2023年山西省中考数学真题）解方程： ．
19．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）计算： ．
20．（2023年福建省中考真题数学试题）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁： 小迪：
解：去分母，得 解：去分母，得
去括号，得 去括号得
合并同类项，得 合并同类项得
解得 解得
∴原方程的解是 经检验， 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的
解答过程．
22．（2023年江西省中考数学真题）化简 ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式
……
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解：原式
……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
23．（2023年山东省东营市中考数学真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，化简后，从 的范围内选择一个你喜欢的整数作
为x的值代入求值．
24．（2023年山东省临沂市中考数学真题）（1）解不等式 ，并在数轴上表示解集．
（2）下面是某同学计算 的解题过程：
解：
①
②
③
④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
25．（2023年山东省滨州市中考数学真题）先化简，再求值： ，其中 满足
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．
26．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）先化简，再求值： ，其中x，y满足
．
27．（2022·江苏南京·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ， ．
28．（2019·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 棵，由于
青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 倍，结果提前 天完成任务，则原计划每天种树多少
棵？
29．（2021·山东青岛·统考中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液
每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 ．
销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超
市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少
元？
30．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商
进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
品
甲 7200
乙 3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
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请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
31．（2023·江西赣州·统考模拟预测）计算 的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
32．（2023·广西玉林·统考一模）化简： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
33.（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·山东青岛·统考三模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A
的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时
能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，
根据题意，可列分式方程 ．
35．（2023·甘肃平凉·校考三模）计算： ．
36．（2023·江苏连云港·校考三模）若分式 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
37．（2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使分式 有意义的x的取值范围是 ．
38．（2023·湖南湘西·统考三模）分式方程 的解为 ．
39．（2023·辽宁鞍山·统考二模）兄弟两人利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要
写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，兄弟两人每天各写多少字？
若设哥哥每天写 字，则可列方程为 .
40．（2023·广东揭阳·统考二模）计算： ．
41．（2023·湖南娄底·统考一模）先化简，再求值： ，其中 .
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42．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）计算： ．
43．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）若关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且
关于y的分式方程 的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
44．（江苏省苏州市工业园区金鸡湖中学2020-2021学年九年级下学期3月月考数学试卷）解方程：
．
45．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生
体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了
2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品
牌足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
(2)该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买
多少个A品牌足球？
46．（2023·广东佛山·校考二模）李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用： 每千米行驶费用： 元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为 元和 元．
问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用
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+年其它费用）
47．（2023·黑龙江绥化·统考三模）“七一”建党节前夕，某校决定购买 ， 两种奖品，用于表彰在
“童心向党”活动中表现突出的学生．已知 奖品比 奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元
购买 奖品，其余资金购买 奖品，且购买 奖品的数量是 奖品的3倍．
（1）求 ， 奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算
资金且购买 奖品的资金不少于720元， ， 两种奖品共100件．求购买 ， 两种奖品的数量，有哪
几种方案？
48．（2023·河南信阳·校考三模）某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价
少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍．请解答下列问题：
(1)A，B两款净水器每台进价各是多少元？
(2)若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水
器a台，则该商场有几种进货方案？
49．（2023·江苏连云港·校考三模）解分式方程：
50．（2023·河南濮阳·统考三模）某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需
求，后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用
60000元购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.
(1)问A，B型展台单价分别是多少元？
(2)该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的 .请设计一种购买方案，
使得花费最少，并计算最少花费为多少元.
51．（2023·吉林白城·校联考三模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．
某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿
意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计
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划多 ，结果提前4天完成任务．求原计划每天加工多少个冰墩墩．
52．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）先化简，再求值： ，然后从 、2、 、3
中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
53．（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）先化简，再求值： ，其中x＝4．
54．（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）某文具店销售笔记本和笔两款文具，本周销售笔记本的数量是笔的2
倍，其中笔记本的销售单价比笔多4元，笔记本的销售总额是240元，笔的销售总额是72元．
(1)求笔记本和笔的销售单价；
(2)已知笔记本和笔的成本分别为6元/个和4元/个．由于文具热销，文具店再购进了这两款文具共60个，
其中笔的数量不少于笔记本数量的2倍．文具店决定对笔记本降价10%后再销售，若购进的这两款文具全
部售出，则笔记本购进多少个时该文具店当周销售利润最大，并求出最大利润．
55．（2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如
图1、图2所示，花洒安装在离地面高度 厘米的A处，花洒 的长度为 厘米．
(1)已知花洒与墙面所成的角 ，求当花洒喷射出的水流 与花洒 成 的角时，水流喷射
到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）
(2)某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为 元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价
格比上个月便宜 0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了 元，求这个此款花洒的原价是
多少元？
56．（2023·江苏盐城·校考三模）解方程：
57．（2023·江苏盐城·校考三模）先化简，再求值： ，其中a满足 ．
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58．（2023·陕西咸阳·统考三模）解分式方程： ．
59．（2023·浙江金华·统考三模）先化简，再求值： ，其中 ．
60．（2023·湖北宜昌·统考二模）化简求值： ，其中 ．
61．（2023·江苏扬州·统考二模）数据发现：小琼步行 步与小刚步行 步消耗的能量相同，若每
消耗 千卡能量小琼行走的步数比小刚多 步，求小刚每消耗 千卡能量需要行走多少步？
62．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）每到春末夏初时节，哈尔滨街头就会出现各种共享单车，共享单车
解决了市民出行的“最后一公里”的难题，极大方便广大市民．“橙风单车”公司已投放A级、B级两种
单车，每辆B级车成本比每辆A级车成本少20%，公司投入150万元的B级车的数量比同样投入150万元
的A级车的数量多750辆．
(1)求每辆A级车、B级车的成本分别是多少元？
(2)2022年“橙风单车”公司继续投放共享单车，但随着原材料的上涨，A、B两种单车的成本都随之上涨
20%，同时政府为了鼓励单车的投放，每辆A、B级单车分别给予50元、40元的补贴，公司计划今年投放
B级车数量是A级车数量的1.5倍，总投入不超过484万元，求投放A级车最多多少辆？
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