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专题 01 实数及其运算
考点 01 正负数的意义
1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是 ，如果一只乒乓球的质量高于标准
质量 记作 ，那么低于标准质量 记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量 记作 ，
∴那么低于标准质量 记作 ．
故选：A．
2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键．
根据正数的定义判断各选项是否符合条件．
【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故本选不项符合题意；
C． 小于0，属于负数，故本选不项符合题意；
D． 小于0，属于负数，故本选不项符合题意．
故选：A．
3．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数
的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A. 是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D. 是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中： ，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解： ，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有 ， ， ，共3个．
故选：C．
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作 年，那么公元后2024年应记作
年．
【答案】
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行
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作答即可．
【详解】解：公元前121年记作 年，那么公元后2024年应记作 年；
故答案为： ．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，
要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
7．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技
成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填
补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高
度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作
“ 米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
【答案】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“ 米”，则海平面以下10907米记作 米，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理
解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
8．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况
的是（ ）
A． B． C．
D．
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【答案】A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为 得到 ， ， ，则气温变化为先下降，然后上升，
再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为 得到 ， ，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
考点 02 相反数、绝对值
1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为 ；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
2．（2025·浙江·中考真题） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解： 的相反数是
故选A．
3．（2022·山东临沂·中考真题） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
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【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可．
【详解】解： 的相反数是2，
故选D．
4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是 ，则 的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出 ， ，将
式子变形为 ，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B．2024和
C． 和2024 D． 和
【答案】A
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、 和 互为相反数，故A选项符合题意；
B、2024和 互为倒数，故B选项不符合题意；
C、 和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D、 和 不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
6．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
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A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是 ，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是 ，
的相反数是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
7．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．
【详解】解：A. 的相反数是 ，则 ，故该选项符合题意；
B. 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意；
C. 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意；
B. 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简 的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】B
【分析】 表示 的相反数，据此解答即可．
【详解】解： ，
故选：B
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【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
9．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点 分别对应实数 ，下列各式的值最小的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在 、 、 、 中最小的是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、
有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点A表示 ，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距
离相等．则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点B表示的数是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
11．（2018·辽宁抚顺·中考真题）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【分析】根据数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离进行解答即可得答案.
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【详解】解：数轴上表示﹣ 的点到原点的距离是 ，
所以﹣ 的绝对值是 ，
故选D.
【点睛】本题考查了绝对值，熟知绝对值的定义以及性质是解题的关键.
12．（2024·宁夏·中考真题）已知 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得 ，从而得
到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
13．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数
轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得 ，
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∴ ，
故选：D．
14．（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离
．特别的，当 时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当 时，表示数a的点
与原点的距离等于 ．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示 的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B
从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】(1)过4秒或6秒
(2)3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，根据“点A，B之间的距离等于3个单
位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为 ，然后分 ， ， 三种情况讨论，利
用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为 ，
当 时， ，
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∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
综上， ，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
15．（2025·安徽·中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于
加上这个数的相反数求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
16．（2025·山东烟台·中考真题） 的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵ ，
∴3的倒数是 ，
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∴ 的倒数是 ，
故选：B
17．（2024·四川乐山·中考真题）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
18．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到
， ，进而得到 ，进而得到关于 的一元一次方程，求出 的值，进而求出
的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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当 时，方程无解，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
考点 03 数轴
1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示 的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示 的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示 的点是M．
故选：A．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点 分别表示数 ，其中 ， ．若
，数 在数轴上用点 表示，则点 在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】B
【分析】先由 ， ， ，根据不等式性质得出 ，再分别判定即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由 ， ， 得出 是解
题的关键．
3．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023， ，则点B表示的数是
（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023， ，
∴ ，
∴点B表示的数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为 ，
2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
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(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求 的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算 ，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为 ，2，32，
∴ ， ， ，
∴ ；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
5．（2023·宁夏·中考真题）如图，点 ， ， 在数轴上，点 表示的数是 ，点 是 的中点，线段
，则点 表示的数是 ．
【答案】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点 是 的中点，线段 ，
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∴ ，
∴点 表示的数是： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间
的距离公式，是解题的关键．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a， ，b，那么下列运算结果
一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出 ， ，
， ，再根据整式的运算法则求解即可．
【详解】解：由数轴知： ， ，
∴ ， ，
∴原点在A、M之间， ，
∴ ， ， ，
∴运算结果一定是正数的是 ，
故选：A．
考点 0 4 科学记数法
1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发
射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点
距离的45倍，月球远地点距离约为 ，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的
45倍，月球远地点距离已知为 ，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可．
【详解】解：月球远地点距离为 ，小行星的距离是该值的45倍，即：
．
故选：C
2．（2025·天津·中考真题）据 年 月 日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员
流动量达到 人次．将数据 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成 的形式，其
中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小
数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 时， 是正整数；当原数的绝对值小于 时， 是负整数．
【详解】解：将数据 用科学记数法表示应为 ．
故选：B．
3．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记
数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的
绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，
n是负整数．
【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为 ；
故选C．
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4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽
车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口 万辆．将 万用科学记数
法表示为 ．则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解： 万 ，
则 ，
故选：B．
5．（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定 和 的值．科学记数法的表示
形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多
少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时，
是负数．
【详解】解：489万 ．
故选：A．
6．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速
度大约只有 ，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为 ，
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其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
故选：C．
7．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验
室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度
提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（
）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先
得到400皮秒 秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒 秒，
∴400皮秒 秒．
∴ 秒．
故选：A．
8．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一
个氢原子的质量约为 ，一个氧原子的质量约为 ，一个水分子的质量大约是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记
数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记
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数法表示即可．
【详解】解：
∴一个水分子的质量大约是 ．
故选：C．
9．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为
研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是 秒，也就是十亿分
之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为
秒．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，解题的关键是熟知 ．根
据题意可知，43阿秒 秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】解：根据题意1阿秒是 秒可知，
43阿秒 秒，
故答案为： ．
考点 0 5 无理数的涵义
1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含
有π的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、 是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、 是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
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故选：B．
2．（2024·四川雅安·中考真题）将 ， ， ，0， ， 这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中
随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而
且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．先根据无理数的定
义得到取到有理数的有 ， ，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：将 ， ， ，0， ，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，
任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有 ， ，0，3.14这4种结果，
所以取到有理数的概率为 ，
故答案为： ．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、 是无理数，符合题意；
B、 是有理数，不符合题意；
C、 是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）从 ，3.1415926， ， ， ， ， 中随机抽取一个数，此数
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是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出 ， 是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，3.1415926， ， ， ， ， 中无理数有： ， ，
∴从 ，3.1415926， ， ， ， ， 中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是 ；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事
件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
5．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、 ，是有理数，则此项符合题意；
B、 是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、 是无理数，则此项不符合题意；
D、 是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
6．（2022·浙江台州·中考真题）估计 的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的
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平方．由 ，得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．（2023·江苏南京·中考真题）整数a满足 ，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即
可求出a的值．
【详解】解： ，
．
故选：C．
8．（2023·海南·中考真题）设 为正整数，若 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】先估算出 的范围，即可得到答案．
【详解】解： ，
，即 ，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，能估算出 的大小是解题的关键．
9．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示 的点是（ ）
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A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出 的范围，再找出符合条件的数轴上的点即
可．
【详解】解：∵ ，
∴数轴上表示 的点是点C，
故选：C．
10．（2024·重庆·中考真题）已知 ，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法
是解决此题的关键．先求出 ，即可求出m的范围．
【详解】解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点 表示的数为 ，根据点在数轴上的位置，判断出
的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
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【详解】解：设点 表示的数为 ，由图可知： ，
∵ ，即： ，故选项A不符合题意；
∵ ，即： ，故选项B不符合题意；
∵ ，即： ，故选项C符合题意；
∵ ，即： ，故选项D不符合题意；
故选C．
12．（2025·山东烟台·中考真题）实数 的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由 ， ，从
而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴实数 的整数部分为 ，
故答案为：
考点 0 6 实数的大小比较
1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 与 的大小关系是
b．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解
题的关键．
根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．
【详解】解：由数轴得： ，
∴ ，
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故答案为： ．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
3．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
【详解】解：1. 确定数的正负性：
D选项为 ，是负数；C选项为 ，非正非负；A选项 和B选项 均为正数，
负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然 ，
故A选项 大于B选项 ，
故选：A.
4．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据 即可推出 ．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
故答案为： ．
5．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1， ， 中最小的实数是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数 负数，负数绝对值大的反而小，即可比较．
【详解】解：∵ ，
∴最小的实数是 ，
故选：B．
6．（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ）
A． B．0.2 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了正数、负数的大小比较，正数大于一切负数和0，0大于一切负数．正数大于负数和
0，0大于负数，也就是负数小于0，据此即可求解．
【详解】解：因为小于0的数是负数，
所以 比0小，
故选：A．
7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式
的近似值为 ．比较大小： （填“>”或“<”）．
【答案】>
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
而 ，
∴ ，
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∴ ；
故答案为：
8．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.
【详解】解：∵ ， ， ， ，
而 ，
∴平方最大的数是3；
故选A
考点 0 7 实数的运算
1．（2025·上海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算
分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
2．（2025·湖南长沙·中考真题）计算： ．
【答案】
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【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
3．（2024·西藏·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算
乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
4．（2024·山东济南·中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性
质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进
行计算即可
【详解】解：原式 ．
5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：
若余数为0．则 ；若余数为1，则 ；若余数为2，则 ．这种得到m的过程称为对n进
行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数 ，
根据4除以3的余数为1，由 知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由
知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由 知，对4进行三次变换
得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
【答案】 2 11
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【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后
的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或 或 ，再验证这三个数是否可经过变换
后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证
符合题意的n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵ ，
∴15进行一次变换后得到的数为 ；
∵ ，
∴15进行二次变换后得到的数为 ；
∵ ，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为 ，
此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为 ，此时不符合
题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为 ，此时不
符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则 ，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则 ，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则 ，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为 ，
故答案为；11．
6．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这
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个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若 是一个
“友谊数”，且 ，则这个数为 ；若 是一个“友谊数”，设 ，
且 是整数，则满足条件的 的最大值是 ．
【答案】 3456
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到 ，再由 可求出a、b、c、d
的值，进而可得答案；先求出 ，进而得到 ，根据
是整数，得到 是整数，即 是整数，则 是13的倍数，
求出 ，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．
【详解】解：∵ 是一个“友谊数”，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个数为 ；
∵ 是一个“友谊数”，
∴
，
∴ ，
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∴
，
∵ 是整数，
∴ 是整数，即 是整数，
∴ 是13的倍数，
∵ 都是不为0的正整数，且 ，
∴ ，
∴当 时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；
当 时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；
当 时， ，此时可以满足 是13的倍数，即此时 ，则此时 ，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为 ；
故答案为：3456； ．
7．（2023·湖南娄底·中考真题）从n个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示， （ ，n、m为正
整数）；例如： ， ，则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
A选项， ，
B选项， ，
C选项， ，
D选项， ，
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
8．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“ ”，规定： ，则 的运算结果为
（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解： ，
∵
，
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
9．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
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……
则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
33
