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专题 06 分式与分式方程
考点 1 分式与分式方程
一、单选题
1．（2023年天津市中考数学真题）计算 的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
2．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）化简 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：
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．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
3．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）已知关于x的分式方程 的解是非负数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】解分式方程求出 ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即
可．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
4．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）若分式方程 的解为负数，则a的取值范围是
（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是负数，
∴ ， ，即 ，
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解得： 且 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
5．（2023年山东省东营市中考数学真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学
针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学
校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提
高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程．
【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为 千克，根据题意，得
故选：A
【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键．
6．（2023年山东省济宁市中考数学真题）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得 且 ，
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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7．（2023年山东省日照市中考数学真题）若关于 的方程 解为正数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程解得 ，根据方程的解是正数，可得 ，即可求出 的
取值范围．
【详解】解：
∵方程 的解为正数，且分母不等于0
∴ ，
∴ ，且
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出
整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
8．（2023年山东省聊城市中考数学真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值
范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以 ，得： ，
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解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
又∵分式方程的解为非负数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
9．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知 ，计算 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把 代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= =1，
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故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
10．（2021·四川甘孜·统考中考真题）已知关于x的分式方程 ＝3的解是x＝3，则m的值为
（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】将x＝3代入分式方程中进行求解即可．
【详解】解：把x＝3代入关于x的分式方程 ＝3得： ，
解得：m＝﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，一般直接将解代入分式方程进行求解．
二、填空题
11．（2023年北京市中考数学真题）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
12．（2023年北京市中考数学真题）方程 的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以 化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
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13．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）方程 的解为 ．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
14．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）化简： ．
【答案】 /
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：
；
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
15．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】根据分式的性质，首先进行通分，再约分即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键．
16．（2019·新疆·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】按照同分母分式的减法法则计算即可.
【详解】原式= .
【点睛】此题考查同分母分式的减法法则和平方差公式，解题关键在于掌握运算法则
17．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）若关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且
关于y的分式方程 的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
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【答案】
【分析】先求出不等式组和分式方程的解，再根据解的情况确定a的范围，即可求解．
【详解】解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴ ，即 ，
解 得 ，
∵ 解为非正数，
∴ 且 ，即 且 ，
∴符合条件的整数a有 ，
∴符合条件的所有整数a的和为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解不等式组和解分式方程，根据不等式组的解的情况和分式方程的解的情况确定出a
的范围是解题的关键．
三、解答题
18．（2023年山西省中考数学真题）解方程： ．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
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检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
19．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）计算： ．
【答案】
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
20．（2023年福建省中考真题数学试题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将 代入计算即可解答．
【详解】解：
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．
当 时，
原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
21．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁： 小迪：
解：去分母，得 解：去分母，得
去括号，得 去括号得
合并同类项，得 合并同类项得
解得 解得
∴原方程的解是 经检验， 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的
解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
解得， ，
经检验： 是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
22．（2023年江西省中考数学真题）化简 ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
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解：原式
……
解：原式
……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求
解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法
分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
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原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
23．（2023年山东省东营市中考数学真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，化简后，从 的范围内选择一个你喜欢的整数作
为x的值代入求值．
【答案】（1）1；（2） ，当 时，原式= ．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质，分
别计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的
值代入求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
由题意可知： ， ， ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则，掌握特殊角的
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三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质进行求解．
24．（2023年山东省临沂市中考数学真题）（1）解不等式 ，并在数轴上表示解集．
（2）下面是某同学计算 的解题过程：
解：
①
②
③
④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】（1） （2）从第①步开始出错，过程见解析
【分析】（1）根据解不等式的步骤，解不等式即可；
（2）根据分式的运算法则，进行计算即可．
【详解】解：（1） ，
去分母，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ；
（2）从第①步开始出错，正确的解题过程如下：
．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，分式的加减运算．熟练掌握解不等式的步骤，分式的运算法则，是
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解题的关键．
25．（2023年山东省滨州市中考数学真题）先化简，再求值： ，其中 满足
．
【答案】 ；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数
指数幂，特殊角的三角函数值，求得 的值，最后将 代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵ ，
即 ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角
函数值进行求解．
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26．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）先化简，再求值： ，其中x，y满足
．
【答案】 ，6
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结
果，将 变形整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式
；
由 ，得到 ，
则原式 ．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．
27．（2022·江苏南京·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】利用分式的混合运算，化简原式，再把 ， 代入化简后的式子，计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
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．
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再进行约分，接着进行分式的
加减运算，得到最简分式或整式（若有括号，先把括号内通分，除法运算转化为乘法运算）；然后把满足
条件的字母的值代入进行计算得到对应分式的值．熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键．
28．（2019·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 棵，由于
青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 倍，结果提前 天完成任务，则原计划每天种树多少
棵？
【答案】原计划每天种树 棵．
【分析】设原计划每天种树 棵． 根据工作时间＝工作量÷工作效率列出方程，解答即可．
【详解】设原计划每天种树 棵．
由题意，得
解得，
经检验， 是原方程的解．
答：原计划每天种树 棵．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程类问题
主要用到：工作总量＝工作效率×工作时间．
29．（2021·山东青岛·统考中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液
每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 ．
销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超
市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少
元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40
瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总
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价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 ，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得
出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合
总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最
大整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为 元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为 元/瓶，
由题意可得， ，
解得 ，
经检验 是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为 元，购进甲品牌洗衣液 瓶，
则购进乙品牌洗衣液 瓶，
由题意可得， ，
解得 ，
由题意可得， ，
∵ ，∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取最大值， .
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
30．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商
进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
品
甲 7200
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乙 3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量
乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【详解】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（ +40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（ +40）=7200
4800+60x=7200
60x=2400
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，
所以乙的进价为40元/件．
答：乙商品的进价为40元/件．
， +40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 60 120 7200
乙 40 80 3200
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货价，
通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相关量，
找出等量关系，列出方程．
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31．（2023·江西赣州·统考模拟预测）计算 的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】直接进行同分母的加减运算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了同分母的分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
32．（2023·广西玉林·统考一模）化简： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分母相同，分母不变，分子相加减，再约分即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
33．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可.
【详解】解： ，
通分得： ，
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去分母得： ，
解得：x=-8，
经检验x=-8是方程的解，
故选： D．
【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，
最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．
34．（2023·山东青岛·统考三模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A
的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时
能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，
根据题意，可列分式方程 ．
【答案】
【分析】设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，根
据时间＝路程÷速度结合走路线B的全程能比走路线A少用15分钟（即 小时），即可得出关于x的分式
方程，此题得解.
【详解】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，
依题意，得： ．
故答案为： .
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
35．（2023·甘肃平凉·校考三模）计算： ．
【答案】1．
【分析】根据”同分母分式的加法法则”计算即可．
【详解】解： ．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的加减，熟记”同分母分式的加法法则”是解答本题的关键．
36．（2023·江苏连云港·校考三模）若分式 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
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【答案】x≠2
【详解】试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0
即：x≠2
37．（2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使分式 有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≠1
【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1．
38．（2023·湖南湘西·统考三模）分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】分式方程去分母化为整式方程求解，注意验根．
【详解】解：由原方程，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程根，
∴分式方程的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式方程的求解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后要对分式方
程解进行检验．
39．（2023·辽宁鞍山·统考二模）兄弟两人利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要
写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，兄弟两人每天各写多少字？
若设哥哥每天写 字，则可列方程为 .
【答案】
【分析】设哥哥每天写 字，则弟弟每天写 字，根据：哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，即
可列出分式方程.
【详解】解：设哥哥每天写 字，则弟弟每天写 字，
根据题意，可列方程为 ；
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故答案为： .
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.
40．（2023·广东揭阳·统考二模）计算： ．
【答案】2
【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分．
【详解】解：
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
41．（2023·湖南娄底·统考一模）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 ，
【分析】原式进行整理为完全平方公式，然后利用乘法法则计算，约分得到最简结果，将 代入计算即
可求出值．
【详解】解：原式=
当 时，原式= .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】根据分式的性质，首先进行通分，再约分即可．
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【详解】解：原式=
=
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键．
43．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）若关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且
关于y的分式方程 的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】先求出不等式组和分式方程的解，再根据解的情况确定a的范围，即可求解．
【详解】解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴ ，即 ，
解 得 ，
∵ 解为非正数，
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∴ 且 ，即 且 ，
∴符合条件的整数a有 ，
∴符合条件的所有整数a的和为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解不等式组和解分式方程，根据不等式组的解的情况和分式方程的解的情况确定出a
的范围是解题的关键．
44．（江苏省苏州市工业园区金鸡湖中学2020-2021学年九年级下学期3月月考数学试卷）解方程：
．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
45．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生
体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了
2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品
牌足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
(2)该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买
多少个A品牌足球？
【答案】(1)购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元
(2)20个
【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购
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买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球
数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（40-m）个B品牌足球，由题意：该中学决定
再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x＋30）元，
依题意得： 2 ，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x＋30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元；
（2）设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（50﹣m）个B品牌足球，
依题意得：50 m＋80（40﹣m）≤2600，
解得：m≥20．
答：该中学此次至少可购买20个A品牌足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出相应
方程及不等式．
46．（2023·广东佛山·校考二模）李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：
每千米行驶费用： 元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为 元和 元．
问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用
+年其它费用）
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【答案】(1)
(2)①燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；②大于
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然
后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为： （元），
即新能源车的每千米行驶费用为 元；
故答案为： ；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 元，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解且符合题意，
∴ ， ，
答：燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；
②设每年行驶里程为 ，
由题意得： ，
解得 ，
答：当每年行驶里程大于 时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】此题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出不等式和分式方程是
解题的关键．
47．（2023·黑龙江绥化·统考三模）“七一”建党节前夕，某校决定购买 ， 两种奖品，用于表彰在
“童心向党”活动中表现突出的学生．已知 奖品比 奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元
购买 奖品，其余资金购买 奖品，且购买 奖品的数量是 奖品的3倍．
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（1）求 ， 奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算
资金且购买 奖品的资金不少于720元， ， 两种奖品共100件．求购买 ， 两种奖品的数量，有哪
几种方案？
【答案】（1）A， 奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品
24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【分析】（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买 奖品的数量是 奖品的
3倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，
由题意得： ，
解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
15+25=40，
答：A， 奖品的单价分别是40元，15元；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，
由题意得： ，
解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整数，
∴a=23，24，25，
答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，
是解题的关键．
48．（2023·河南信阳·校考三模）某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价
少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍．请解答下列问题：
(1)A，B两款净水器每台进价各是多少元？
(2)若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水
器a台，则该商场有几种进货方案？
【答案】(1)A款净水器每台进价是1200元，B款净水器每台进价是1800元
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(2)4种
【分析】（1）设A款净水器每台进价是x元，则B款净水器每台进价是 元，根据题意，得：
；分式方程要注意验根；
（2）购进A款净水器a台，根据“购进B款净水器不超过8台”可得 ，求正整数解即可．
【详解】（1）设A款净水器每台进价是x元，则B款净水器每台进价是 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
∴ ．
答：A款净水器每台进价是1200元，B款净水器每台进价是1800元．
（2）∵购进A款净水器a台，
∴购进B款净水器 台，
根据题意，得： ，
解得： .
∵ 都是正整数，
∴ 、44、41、38，
∴ ，
∴该商场有4种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程应用和不等式应用，分析理解题目中的相等关系和不等关系是关键．
49．（2023·江苏连云港·校考三模）解分式方程：
【答案】
【分析】将分式方程去分母，化为整式方程求解，再检验即可．
【详解】解： ，
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等号两边同时乘 ，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
经检验 是原分式方程的解，
∴该方程的解为 ．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意验算．
50．（2023·河南濮阳·统考三模）某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需
求，后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用
60000元购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.
(1)问A，B型展台单价分别是多少元？
(2)该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的 .请设计一种购买方案，
使得花费最少，并计算最少花费为多少元.
【答案】(1)每台B型展台的价格为1200元，每台A型展台的价格为1500元；
(2)购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元．
【分析】（1）设出未知数，列出分式方程即可解决；
（2）设出未知数，列出一次函数，根据条件得到自变量取值范围，最后依据一次函数的性质求得最值．
【详解】（1）设每台B型展台的价格为x元，则每台A型展台的价格为 元.
根据题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解且符合题意.
.
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答：每台B型展台的价格为1200元，每台A型展台的价格为1500元．
（2）设购买A型展台a台，则购买B型展台 台，总花费为W，依题意，
得 .
，解得 .
又 ，
随a的增大而增大，
∴当 时，W的值最小，最小值为 （元），
（台）.
答：购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元．
【点睛】本题综合考查了根据实际问题，列出和求解分式方程，一元一次不等式，一次函数的性质，设出
未知数，正确列式计算是解题的关键．
51．（2023·吉林白城·校联考三模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．
某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿
意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计
划多 ，结果提前4天完成任务．求原计划每天加工多少个冰墩墩．
【答案】900个
【分析】设原计划每天加工 个冰墩墩，则实际每天加工 个冰墩墩，利用工作时间 工作总量 工
作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设原计划每天加工 个冰墩墩，则实际每天加工 个冰墩墩，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天加工900个冰墩墩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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52．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）先化简，再求值： ，然后从 、2、 、3
中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】 ； 时，原式=
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．
【详解】.解：原式=
=
=
= ，
∵
∴
当 时，原式= = ．
【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，
乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
53．（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）先化简，再求值： ，其中x＝4．
【答案】x﹣1，3
【分析】先利用因式分解对原式进行变形，再将除法变成乘法进行计算即可，最后将x的值代入求解．
【详解】解：原式＝ ，
= ，
= ，
＝x﹣1；
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当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
54．（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）某文具店销售笔记本和笔两款文具，本周销售笔记本的数量是笔的2
倍，其中笔记本的销售单价比笔多4元，笔记本的销售总额是240元，笔的销售总额是72元．
(1)求笔记本和笔的销售单价；
(2)已知笔记本和笔的成本分别为6元/个和4元/个．由于文具热销，文具店再购进了这两款文具共60个，
其中笔的数量不少于笔记本数量的2倍．文具店决定对笔记本降价10%后再销售，若购进的这两款文具全
部售出，则笔记本购进多少个时该文具店当周销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)笔记本和笔的销售单价分别为10元和6元
(2)当购进20个笔记本时，最大利润为140元
【分析】（1）设笔的单价为x元，则笔记本的单价为 元，由笔记本与笔的销售总额可分别表示出笔
记本与笔的销售数量，再由两者的数量关系即可列出分式方程，解之即可；
（2）设购进笔记本y个，由题中不等关系可得y的取值范围，再设当周的销售利润为w元，列出w关于y
的函数式，即可求得最大利润及此时所购进的笔记本数量．
【详解】（1）解：设笔的单价为x元，则笔记本的单价为 元，笔记本与笔的销售数量分别为：
本、 本，
由题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
则 （元）；
答：笔记本和笔的销售单价分别为10元和6元；
（2）解：设购进笔记本y个，则购进笔 个，
由题意得： ，
解得： ；
设当周的销售利润为w元，
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则 ，
其中
由于 ，
∴w随y的增大而增大，
∴当 时，有最大值 ．
答：当购进20个笔记本时，利润最大，且为140元．
【点睛】本题考查了解分式方程的实际应用、一次函数的实际应用，解一元一次不等式，根据题意找到等
量关系是解题的关键．
55．（2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如
图1、图2所示，花洒安装在离地面高度 厘米的A处，花洒 的长度为 厘米．
(1)已知花洒与墙面所成的角 ，求当花洒喷射出的水流 与花洒 成 的角时，水流喷射
到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）
(2)某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为 元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价
格比上个月便宜 0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了 元，求这个此款花洒的原价是
多少元？
【答案】(1)
(2)120元
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，过点B作 于点E，构造出矩形ABHE， ，
然后解直角三角形求解，
（2）设此款花洒的原价是 元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元列分式方程即可求
解．
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【详解】（1）解：过点 作 ，垂足为点 ，过 作 ，垂足为点 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，
，
，
∴ ，，
在 中， ，
∴流喷射到地面的位置点C与墙面的距离 ，
（2）设此款花洒的原价是 元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，列方程得：
，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
答：这个此款花洒的原价是120元．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，熟记理解题意，明确每一个量的意义是解题
的关键．
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56．（2023·江苏盐城·校考三模）解方程：
【答案】
【分析】先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解： ，
方程两边同乘 得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最
后要对方程的解进行检验．
57．（2023·江苏盐城·校考三模）先化简，再求值： ，其中a满足 ．
【答案】
【分析】原式化简得 ，由 去分母变形得 ，进而即可求解.
【详解】
=
=
∵
∴
∴原式= = ．
【点睛】本题主要考查分式的化简、运算及等式的基本性质；对题设的等式作恒等变形得出代数式的值是
解题关键．
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58．（2023·陕西咸阳·统考三模）解分式方程： ．
【答案】x=6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】等式两边同时乘 得：
整理得： ，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
59．（2023·浙江金华·统考三模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的基本性质化简，再代入求值．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
60．（2023·湖北宜昌·统考二模）化简求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】先对小括号通分，然后化除为乘，再根据分式的乘法，进行计算，把 代入，即可．
【详解】
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，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除法运算法则，完全平方公式的运用．
61．（2023·江苏扬州·统考二模）数据发现：小琼步行 步与小刚步行 步消耗的能量相同，若每
消耗 千卡能量小琼行走的步数比小刚多 步，求小刚每消耗 千卡能量需要行走多少步？
【答案】小刚每消耗1千卡能量需要行走30步
【分析】设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走 步，根据题意，
即可得出关于x的分式方程，解之后经检验即可得出结论．
【详解】解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步．
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
答：小刚每消耗1千卡能量需要行走30步．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行
走步数列出关于x的分式方程是解题的关键．
62．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）每到春末夏初时节，哈尔滨街头就会出现各种共享单车，共享单车
解决了市民出行的“最后一公里”的难题，极大方便广大市民．“橙风单车”公司已投放A级、B级两种
单车，每辆B级车成本比每辆A级车成本少20%，公司投入150万元的B级车的数量比同样投入150万元
的A级车的数量多750辆．
(1)求每辆A级车、B级车的成本分别是多少元？
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(2)2022年“橙风单车”公司继续投放共享单车，但随着原材料的上涨，A、B两种单车的成本都随之上涨
20%，同时政府为了鼓励单车的投放，每辆A、B级单车分别给予50元、40元的补贴，公司计划今年投放
B级车数量是A级车数量的1.5倍，总投入不超过484万元，求投放A级车最多多少辆？
【答案】(1)每辆A级车的成本为500元，每辆B级车的成本为400元；
(2)投放A级车最多4000辆．
【分析】（1）设每辆A级车的成本为x元，则每辆B级车的成本为 元，由题意：公司投入150
万元的B级车的数量比同样投入150万元的A级车的数量多750辆．列出分式方程，解方程即可；
（2）设投放A级车a辆，则投放B级车 辆，由题意：总投入不超过484万元，列出一元一次不等式，
解不等式即可．
【详解】（1）解：设每辆A级车的成本为x元，则每辆B级车的成本为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：每辆A级车的成本为500元，每辆B级车的成本为400元；
（2） （元）， （元），
设投放A级车a辆，则投放B级车 辆，
由题意得： ，
解得： ，
答：投放A级车最多4000辆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
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