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专题 01 代数计算问题（实数、整式、分式、二次根
式）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运
算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需
要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。
模型01 实数的计算
考｜向｜预｜测
1.实数的计算一般为解答题第1题：
2.涉及到的知识点有：零次幂、-1的奇偶次幂、数的乘方、负整数指数幂、绝对值、开方运算、特殊角的
三角函数值等，一般为3-5个知识点的组合：
3.乘方、负整数指数幂涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字.
答｜题｜技｜巧
1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可
以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
3.实数运算的“三个关键”
①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三
角函数值的计算以及绝对值的化简等．
②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，
无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
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③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4.常见的公式及易错点：
（1）负整数指数幂： （ 为正整数）；
（2）零指数幂：
（3）特殊角的三角函数值：
， ， ，
， ， ，
， ， ．
（4）常见的易错点：
，
1
（2024•济南）计算：√9−(π−3.14) 0+( ) −1+|√3|−2cos30°．
4
1 −1
1．（2024•乐山模拟）计算：(2024−π) 0+|√3−1|−( ) +√12．
2
1 −1
2．（2024•五华区校级模拟）计算：√9−2cos45°−(1−π) 0+( ) +|−√2|．
3
1
3．（2024•甘肃二模）计算：√9−( ) −1+cos60°−(π−2024) 0 ．
3
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1 −1 √12
4．（2024•荷塘区校级模拟）计算：2tan60°+|√3−2|+( ) − ．
2022 2
5．计算：
（1）√27+√3−8−√12； （2）(√3) 0 −√(−7) 2+(√3 9) 3 −
√1
．
4
6．计算：
2 1
（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）； （2）(−6) 2×( − )−√38．
3 2
模型02 整式的混合运算与化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过
程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题：
2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母：
3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体
代人法
答｜题｜技｜巧
1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相
似．
2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此
时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
4.常用的乘法公式：
（1）完全平方公式： ；
（2）平方差公式： ．
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（2024•甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
1．（2024•连州市二模）化简：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2．
2．（2024•镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．
小明的解答如下：
解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答．
3．（2024•北戴河区一模）已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．
（1）当x＝0时，求P的值；
（2）若x为整数，试说明多项式P能被5整除．
4．（2024•城中区校级三模）求代数式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|+√x+ y=0．
5．（2024•城中区校级二模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，
y＝﹣1．
6．（2024•北京模拟）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
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模型03 分式的运算及化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找
解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解
2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2，字母的系数为10以
内的有理数：
3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还
会涉及因式分解。
答｜题｜技｜巧
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括
号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
1 2 x−1
（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式( − )÷ 的值，其中x＝2cos30°﹣
x+1 x2+2x+1 x+1
tan45°．
2x 1 x−1
1．（2025•泗洪县一模）先简化，再求值：( − )÷ ，其中x=√3+1．
x2−4 x+2 x−2
2 x2−6x+9
2．（2024•西城区校级模拟）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝5．
x−1 x2−x
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2a a2−4a+4
3．（2024•深圳模拟）先化简，再求值：( −1)÷ ，其中a＝1．
a+2 a+2
2 1 x2−x
4．（2024•平江县二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求( − )÷ 的值．
x+1 x x2+2x+1
4 y2 2x
5．（2024•朝阳区一模）已知x+2y+2＝0，求代数式（x− ）• 的值．
x x−2y
6．（2024•大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，
选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
3x x2 x2−1
计算：( − )⋅
x−1 x+1 2x
甲同学 乙同学
解：原式 3x x (x+1)(x−1)
解：原式=[ − ]⋅
3x(x+1) x(x−1) x2−1 x−1 x+1 2x
=[ − ]⋅ ．
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1) 2x
我选择： 同学
x x x2−1
7．（2024•开封二模）化简：( + )⋅ ，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
x+1 x−1 x
解：原式＝[
x(x−1) x(x+1) x2−1
+ ]• ⋯
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x
x x2−1 x x2−1
解：原式= • + • ⋯
x+1 x x−1 x
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
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①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
模型04 二次根式的计算
考｜向｜预｜测
二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角的三角
函数进行综合考查。
答｜题｜技｜巧
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注
意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往
能事半功倍．
√3
（2024•甘肃）计算：√18−√12× ．
2
1 1
1．（2024•甘州区二模）计算：4√2× √3−（√3+√2）2+ ．
2 √3−2
√1
2．（2024•临渭区三模）计算：√27− ×√6+√45÷√5．
2
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3．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：2(a+√5)(a−√5)−a(a−4)+14，其中a=√6−2．
1 √3 2
4．（2024•青神县模拟）计算：|√3−2|+(− ) −2−(2022− ) 0+ ．
2 2 √3+1
5．计算：(√5−1) 2−(√3+√2)(√3−√2)．
6．计算：
（1）(3√3−1)(3√3+1)−(2√3−1) 2；
√1 √27+√12
（2）(2√12− )×√6− ．
3 √3
1．（2024•北京）计算：(π−5) 0+√8−2sin30°+|−√2|．
2．（2024•青海）计算：√18−tan45°+π0﹣|−√2|．
3．（2024•吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中a=√3．
4．（2024•重庆）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
2 x2−4
（2）（1+ ）÷ ．
x−2 x2−4x+4
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1 −2
5．（2024•潍坊）（1）计算：√3−8+( ) −|−3|；
2
3 a+2
（2）先化简，再求值：(a+1− )÷ ，其中a=√3+2．
a−1 a−1
6．（2024•西宁）先化简，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a满足a2﹣4a+3＝0．
1 1
7．（2024•山西）（1）计算：（﹣6）× −（ ）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
3 2
1 1 x+2
（2）化简（ + ）÷ ．
x−1 x+1 x2−1
3 a2+4a+4
8．（2024•广安）先化简（a+1− ）÷ ，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
a−1 a−1
x2+4x+4 x2−4 4
9．（2024•甘南州）先化简，再求值： ⋅ ÷( +1)，且x满足﹣2≤x≤2，取一个
x2+2x x2−4x+4 x−2
值即可．
10．（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ，若m是其显示
m 7m−4 4−2m
结果的平方根，先化简：（ + ）÷ ，再求值．
m−3 9−m2 m+3
1
11．（2024•绵阳）（1）计算：π0+ √8+2|1−cos45°|−(−√3) 2 ；
2
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1 x2−1
（2）先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中x=√2+1．
x x
3(a−2b)+3b
12．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式 的值．
a2−2ab+b2
a2−b2 1−a−b
13．（2024•淄博）化简分式： + ，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定 a，b的
a2−2ab+b2 a−b
值）
1
14．（2024•泰安）（1）计算：2tan60°+( ) −2−|−√12|+√(−3) 2 ；
2
2x−1 x2−1
（2）化简：(x− )÷ ．
x x
1 −1
1．（2024•茂南区校级一模）计算：(−2) 2−√9+(√2−1) 0+( ) ．
3
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2．（2024•罗湖区校级模拟）计算：2cos30°−(π−2024) 0+|√3−2|．
1
3．（2024•湘阴县二模）计算：|−√3|−2sin60°+( ) −1+(2023−π) 0 ．
4
1 −2
4．（2024•渭源县模拟）计算：|1−√2|+( ) −2sin45°+(π−3.14) 0．
2
1
5．（2024•郸城县四模）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（− ）﹣1；
3
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
1
6．（2024•娄星区校级二模）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=− ．
2
7．（2024•南充模拟）化简并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1．
4
8．（2025•闵行区一模）计算： −(cos30°) −1+|−tan45°|+π0 ．
1+√3
1 1
9．（2024•甘州区二模）计算：4√2× √3−（√3+√2）2+ ．
2 √3−2
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a 1
10．（2024•工业园区校级二模）先化简，再求值： ÷(1+ )，其中a=√2+1．
a2−2a+1 a−1
1+x2 x−1
11．（2024•庐阳区校级模拟）先化简再求值：（2x− ）÷ ，其中x=√2．
x x
1 x2−x
12．（2024•武冈市校级模拟）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝5．
x+1 x2−2x+1
a2−6a+9 5
13．（2024•龙华区三模）先化简，再求值： ÷(a+2+ )，其中a2﹣a﹣2＝0．
a−2 2−a
4 a2−2a+1
14．（2024•南岗区一模）先化简，再求代数式(1− )÷ 的值，其中a＝2cos30°+1．
a+3 3a+9
12
