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专题 08 坐标系与函数
考点 1 坐标系与函数
一、单选题
1．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向右平移3
个单位长度得到一次函数 的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：正比例函数 的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．
2．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房
的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 均为正六
边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M
的坐标．
【详解】解：连接 ，如图，设正六边形的边长为a，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
即 ；
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握
这些知识是解题的关键．
3．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生
一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
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A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
4．（2023年安徽中考数学真题）下列函数中， 的值随 值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ， ，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而减小，当 时， 的值随 值的增大而增大，故该选项不正确，不符
合题意；
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B. ， ，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小，故该选项不正确，不符
合题意；
C. ， ， 的值随 值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ， ， 的值随 值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，把点 先向右平移1个单位，再向上平
移3个单位得到点 ．若点 的横坐标和纵坐标相等，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点 的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解： 点 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 ，
，即 ，
点 的横坐标和纵坐标相等，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标
系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
6．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点 、 在函数
的图象上，分别以 、 为圆心， 为半径作圆，当 与 轴相切、 与 轴相切时，连结 ，
，则 的值为（ ）
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A．3 B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 交于点 ，得出 的横坐标为 ， 的
纵坐标为 ，设 ， ，则 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 交于点 ，
依题意， 的横坐标为 ， 的纵坐标为 ，设 ，
∴ ，
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则 ，
又∵ ， ，
∴
∴ （负值已舍去）
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023年天津市中考数学真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解： ， ，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限， 随 的增大而增大；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
8．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
与 关于直线 对称，反比例函数 的图象与 交
于点 ．若 ，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B作 轴，根据题意得出 ，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判
定和性质得出 ， ，利用各角之间的关系 ，确定 ，
B，D三点共线，结合图形确定 ，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，B，D三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 得： ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综
合运用这些知识点是解题关键．
9．（2019·内蒙古·统考中考真题）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物
表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从 两地同时出发，相向而行．快车到达 地后，停留3
秒卸货，然后原路返回 地，慢车到达 地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离 （米）与行驶时
间 （秒）的函数图象，根据图象信息，计算 的值分别为（ ）
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
【答案】B
【分析】根据函数图象可得：速度和为： 米/秒，由题意得： ，可解得： ，
因此慢车速度为： 米/秒，快车速度为： 米/秒，
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快车返回追至两车距离为24米的时间： 秒，可进一步求 秒．
【详解】速度和为： 米/秒，
由题意得： ，解得： ，
因此慢车速度为： 米/秒，快车速度为： 米/秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间： 秒，因此 秒．
故选B．
【点睛】考核知识点：从函数图象获取信息.理解题意，从图象获取信息是关键.
10．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在 ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边
▱
上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时
停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，
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∵∠A=60°，AE=AF=x，
∴AG= x，
由勾股定理得FG= x，
∴y= AE×FG= x2，图象是一段开口向上的抛物线；
当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，
∴AH= ，
由勾股定理得DH= ，
∴y= (DF+AE)×DH= x- ，图象是一条线段；
当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，
∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，
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同理求得EI= (3-x)，
∴y= AB×DH - CF×EI= - (3-x)2=- x2+ x- ，图象是一段开口向下的抛物线；
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的
直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．
11．（2023年河北省中考数学真题）如图是一种轨道示意图，其中 和 均为半圆，点M，A，C，
N依次在同一直线上，且 ．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以
大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 和 ．若移动时间为
x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
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【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为 ，之后同时到达点A，C，两
个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人
之间的距离是直径 ，当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是 ，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离是直径 ，保持不变，
当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
12．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数 在第一象限内的图象与一次函数
的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ）
A． B． C．
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D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ， ，将点 ，代入 ，得出 ，代入二次函数，可得
当 时， ，则 ，得出对称轴为直线 ，抛物线对称轴在 轴的右侧，且过
定点 ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
设 ，则 ，根据图象可得 ，
将点 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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对称轴为直线 ，
当 时， ，
∴抛物线经过点 ，
∴抛物线对称轴在 的右侧，且过定点 ，
当 时， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出 是解题的关键．
13．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数 是实数 ，则
（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
【答案】A
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为直线
，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
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把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
14．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，二次函数 图像的一部分与
x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，结合图像给出下列结论：
① ；② ；③ ；
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点
代入抛物线解析式并结合 即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否
大于零即可判定④；判定点 ， 的对称轴为 ，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解： 抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
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∴ ，即 ，即②错误；
∴ ，即①正确，
二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即 ，故③正确；
∵关于x的一元二次方程 ， ， ，
∴ ， ，
∴无法判断 的正负，即无法确定关于x的一元二次方程 的根的情况，
故④错误；
∵
∴点 ， 关于直线 对称
∵点 ， 均在该二次函数图像上，
∴ ，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的 的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的
获取信息是解题的关键．
15．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从
点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．
设点M运动的路程为 ， 的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据 ，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解： ，
，
，
，
故 与 之间函数关系为二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出 与 之间函数关系式，
再判断 与 之间函数类型．
二、填空题
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16．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点 ：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．
【详解】解：设 ，则 ，
∵它的图象经过点 ，
∴代入得： ，
解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查对一次函数的常数k、b的理解和待定系数法的运用，是开放型题目．
17．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）已知二次函数 ，若点 在该函数
的图象上，且 ，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】将点 代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点 在 上，
，
∴
，
解得： (舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
18．（2023年河北省中考数学真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果
2 n
代数
式
7 b
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a 1
【答案】
【分析】把 代入得 ，可求得a的值；把 分别代入 和 ，据此求解即可．
【详解】解：当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
19．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，A，B是双曲线y＝ （x＞0）上的两点，连接OA，OB．过
点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，
2），则m的值为 ．
【答案】6
【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．
【详解】解： D为AC的中点， 的面积为3，
的面积为6，
所以 ，
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解得：m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用 的面积转化为三角形AOC的面积．
20．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，点A在反比例函数 图像的一支上，
x
点B在反比例函数 图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形 是面积为9的正方形，则实
数k的值为 ．
【答案】
【分析】如图：由题意可得 ，再根据 进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
x
∵点A在反比例函数 图像的一支上，点B在反比例函数 图像的一支上，
∴
∵四边形 是面积为9的正方形，
∴ ，即 ，解得： ．
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故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，
它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
21．（2019·内蒙古·统考中考真题）如图，有一条折线 ，它是由过 ， ，
组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线 与此折线有 （ 且为整
数）个交点，则 的值为 ．
【答案】
【分析】观察可得 ，由直线 与此折线恰有 （ 且为整数）个交点，得点
在直线 上，故 .
【详解】∵ ， ， ， ，…，
∴ ．
∵直线 与此折线恰有 （ 且为整数）个交点，
∴点 在直线 上，
∴ ，
解得： ．
故答案为 ．
【点睛】考核知识点：一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.
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22．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在
轴上， ，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作
于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合图形依次求出 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
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由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
的性质，解题的关键是依次求出 的坐标，找出其坐标的规律．
23．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于
点C，点 在抛物线上，点E在直线 上，若 ，则点E的坐标是 ．
【答案】 和
【分析】先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE的外角，
，而 ，所以此时 ，有 ，可求出 所在
直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点距离公式， ，得到关于 的方程，
求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线段 的延长线上时，根据题中条件，可以证明
，得到 为直角三角形，延长 至 ，取 ，此时，
，从而证明 是要找的点，应为 ， 为等腰直角三角形， 点 和
关于 点对称，可以根据 点坐标求出 点坐标．
【详解】解：在 中，当 时， ，则有 ，
令 ，则有 ，
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解得： ，
∴ ，
根据 点坐标，有
所以 点坐标
设 所在直线解析式为 ，其过点 、
有 ，
解得
∴ 所在直线的解析式为：
当 点在线段 上时，设
而
∴
∴
因为： ， ，
有
解得： ，
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所以 点的坐标为:
当 在 的延长线上时，
在 中， ， ,
∴
∴
如图延长 至 ，取 ，
则有 为等腰三角形， ，
∴
又∵
∴
则 为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标： ，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况
找到 点的位置，是求解此题的关键．
三、解答题
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24．（2020·广西贵港·中考真题）如图，双曲线 （ 为常数，且 ）与直线 交于
和 两点．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，试比较函数值 与 的大小．
【答案】（1） ， ；（2）当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】将B点坐标代入直线 ，便可求b，再将A点坐标代入直线 ，便可求m，最后代入 ，便可求
出k
根据图形特征和A的坐标，便可直接写出答案．
【详解】解：（1）∵点 在直线 上，
∴ ，则 ，
∵点 在直线 上，∴ ，
又点 在双曲线 ，∴ ．
（2）∵点 的坐标为 ，
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∴由图象可知，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，关键在于合理利用点的坐标才是关键．
25．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图像相交于
、 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足 的 的取值范围；
（3）若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标．
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【答案】（1）一次函数的解析式为 ；反比例函数为 ；（2） 或 ；（3） ，
．
【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得 ，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标
代入一次函数求得 从而得出两函数解析式；
(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；
(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB
之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.
【详解】解：（1） 反比例函数 经过 ，
，
反比例函数为 ，
在比例函数 的图象上，
，
，
直线 经过 ， ，
，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）观察图象， 的 的取值范围是 或 ；
（3）设 ，
，
，
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即 ，
，
解得 ， （舍去），
点坐标为( ， )．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积
等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
26．（2023·甘肃平凉·校考三模）小明和妈妈十一假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，
约定小明爸爸驾车到A地接他们回家，一家人恰好同时到达A地，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．
已知小明他们与外婆家的距离 与小明从外婆家出发的时间 之间的函数关系如图所示．
(1)小明家与外婆家的距离是______ ；
(2)小明爸爸驾车返回时的平均速度是______ ；
(3)求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．
【答案】(1)300
(2)60
(3)
【分析】（1）图中纵坐标表示的即为与外婆家的距离，从图中可直接读取两地的距离；
（2）根据返回时爸爸开车的总路程除以总时间即可求得平均速度；
（3）先确定返回刚出发时的时间与距离，再利用待定系数法求解即可
【详解】（1）从图中可知：小明家与外婆家的距离为 ，
故答案为：300；
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（2）解：小明坐顺路车的速度为： ，
则 后小明他们到达距外婆家 处与爸爸相遇，
又∵他们休息了 ，
∴他们一起返回时的时间是第 ，
∴返回的过程中爸爸的平均速度为： ，
故答案为：60；
（3）∵小明他们与爸爸在 地见面后，休息 ，
∴他们从 地回家时出发的时间为 ．
设 与 之间的函数关系式为 ，
由图象可知，函数 的图象过点 、 ，
则
解得
与 之间的函数关系式为 ．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确分析图象中的数据与对应实际意义之间的联系是解题关键．
27．（2023·河南南阳·统考三模）如图，反比例函数 的图像经过点A．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OA的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)过点A作y轴的平行线与（1）中所作的垂直平分线相交于点 ，与x轴相交于点C，求反比例函
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数的表达式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）连接OB，先利用勾股定理，求得 ，再根据垂直平分线的性质，得到 ，进而得到 ，
最后利用反比例函数上点的坐标特征求出 值，即可得到反比例函数的表达式．
【详解】（1）解：如图，直线m即为所求；
（2）解：如图，连接OB，
由题意可知， 轴， ，
， ， ，
由勾股定理得： ，
直线m垂直平分 ，
，
，
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，
反比例函数 的图象经过点A，
，
反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，垂直平分下的性质，求反比例函数解析式，利用数形结合的思
想解决问题是解题关键．
28．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 相交
于点 ， 为线段 上一动点（不与点 重合），过点 作 轴交直线 于点 ． 与
的重叠面积为 ． 关于 的函数图象如图2所示．
(1) 的长为_______________； 的面积为_______________．
(2)求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据函数图象即可求解．
（2）根据（1）的结论，分 ， ，根据 与 的重叠面积为 ，分别求解即可．
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【详解】（1）解：当 时， 点与 重合，此时 ，
当 时， ，即 点与 点重合，
∴ ，则 ，
故答案为： ， ．
（2）∵ 在 上，则 设 ，
∴
∴ ,则
当 时，如图所示，设 交 于点 ，
∵ ， ，
则
∴
当 时，如图所示，
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∵ ，
设直线 的解析式为 ，
∴
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
综上所述： ．
【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信
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息是解题的关键．
29．（2023年上海市中考数学真题）在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于点A，y轴
交于点B，点C在线段 上，以点C为顶点的抛物线M： 经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 ，且 轴，如果点P在x轴上，且新抛
物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）根据题意，分别将 ， 代入直线 即可求得；
（2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将 代入可求得 ，
进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得b，c；
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（3）根据题意，设 ， ，根据平移的性质可得点 ，点 向下平移的距离相同，即列
式求得 ， ，然后得到抛物线N解析式为： ，将 代入可得 ，即
可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，y轴交于点B，
当 时，代入得： ，故 ，
当 时，代入得： ，故 ，
（2）设 ，
则可设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线M经过点B，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴将 代入 ，
整理得： ，
故 ， ；
（3）如图：
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∵ 轴，点P在x轴上，
∴设 ， ，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点 ，点 向下平移的距离相同，
∴ ，
解得： ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴抛物线N的函数解析式为： ，
将 代入可得： ，
∴抛物线N的函数解析式为： 或 ．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象
和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
30．（海南省海口市美兰区第七中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）已知
都在反比例函数 的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】先根据反比例函数中 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得
出结论．
【详解】解：∵反比例函数 中 ，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴ 位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点 位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
31．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图的坐标平面上有A、B、C、D四点 根据图中各点位置判断，哪
一个点在第二象限（ ）
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A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【分析】根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面
分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
【详解】解：A、点A在第二象限，故此选项符合题意；
B、点B在第三象限，故此选项不符合题意；
C、点C在y轴上，故此选项不符合题意；
D、点D在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标平面的划分方法是解题的关键．
32．（2023·黑龙江绥化·统考三模）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB
绕点A顺时针旋转60°后得到△ ，则点 的坐标是（ ）
A．（ ，4） B．（4， ） C．（ ，3） D．（ +2， ）
【答案】A
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠OAB＝30°，利用勾股
定理列式求出AB，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x轴，再写出点B′的坐标即可．
【详解】解：令y＝0，则 ，
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解得 ，
令x＝0，则y＝2，
∴点A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∵tan∠OAB＝ ，
∴∠OAB＝30°，
由勾股定理得 ，
∵旋转角是60°，
∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，
∴AB′⊥x轴，
∴点B′（ ，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出
AB′⊥x轴是解题的关键．
33．（2023·山东临沂·统考二模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制
电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点
．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．I与R的函数关系式是
C．当 时， D．当 时，I的取值范围是
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【答案】D
【分析】设I与R的函数关系式是 ，利用待定系数法求出 ，然后求出当
时， ，再由 ，得到 随 增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：设I与R的函数关系式是 ，
∵该图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴I与R的函数关系式是 ，故B不符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴ 随 增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，当 时，I的取值范围是 ，
故A、C不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
34．（2023·贵州贵阳·统考二模）近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋
网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，
则下列说法错误的是（ ）
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A．第1周销量最低，是500个
B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周
C．第3周和第5周的销量一样
D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大
【答案】D
【分析】根据图象逐项分析即可．
【详解】解：由图象可知：
第1周销量最低，是500个，故选项A不合题意；
在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，均增长1000个，故选项B不合
题意；
第3周和第5周的销量一样，故选项C不合题意；
第1周到第4周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大，第4周到第5周，周销量（个）随时间t
（周）的增大而减少，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出销量，观察函数图象的横坐标得出第几周，利
用数形结合的方法是解答本题的关键．
35．（2023·四川攀枝花·统考二模）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强
心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．下图是骑行爱好者老刘2023年2月12日骑自行车行驶路程
（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．点 表示出发4h，老刘共骑行80km
B．老刘的骑行在0～2h的速度比3~4h的速度慢
C．0~2h老刘的骑行速度为15km/h
D．老刘实际骑行时间为4h
【答案】D
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点 所对应的路程为80km，时间为4h，即表示出发4h，老刘共骑行80km，故A
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正确，不符合题意；
0～2h老刘骑行的路程为30km，
0～2h的速度为 ，
3~4h骑行的路程为 ，
3~4h的速度为 ，
，
老刘的骑行在0～2h的速度比3~4h的速度慢，
故B、C正确，不符合题意；
2~3h内的路程没有变化，即老刘处于静止状态，
老刘实际骑行时间为 ，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，读懂题意，从所给的函数图象中获取信息是解题的关键．
36．（2023·河南周口·统考二模）甲、乙两种物质的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则
下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至 时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为 时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度为 时，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
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【详解】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t 时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
37．（2023·山东济宁·统考三模）如图，等腰 与矩形DEFG在同一水平线上，
，现将等腰 沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开
始计算，至AB离开GF为止．等腰 与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的
函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当 时，当 时，当 时，利用直角三角形的
性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N， ，
在等腰 中， ，
，
①当 时，如图， ，
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，
，
∴ ，y随x的增大而增大；
②当 时，如图，
，
∴当 时，y是一个定值为1；
③当 时，如图， ，
，
,
当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，
结合ABCD选项的图象，
故选：B．
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【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题
的关键．
38．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋 元，每星期可卖出 袋，经市场
调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价 元，每星期就少卖出 袋．已知这种干果的进价为每袋
元，设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元）．则
与 ， 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数
C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数
【答案】A
【分析】设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元）根据
题意列出 与 ， 与 的函数关系式，即可求解．
【详解】解：设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元）
根据题意得，
是一次函数，
是二次函数，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
39．（2023·河北唐山·统考二模）已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流Ⅰ（A）与电阻
R（ ）是反比例函数关系，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池组的电压是
C．当 A时， D．当 时， A
【答案】D
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【分析】将 代入 求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设 ，将 代入可得 ，故A错误；
∴蓄电池的电压是 ，故B错误；
当 时， ，故C错误；
当 时， ，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
40．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）一次函数 、二次函数 和反比例函数
在同一直角坐标系中图象如图，A点为（－2，0）．则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点
A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行
判定．
【详解】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（-2，0），
∴-2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，
∴b＞0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k＞0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，
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∴2a+k＞2a，即b＜2a+k，
故A选项不符合题意；
B、∵k＞0，b=2a，
∴b+k＞b，
即b+k＞2a，
∴a=b+k不成立，
故B选项不符合题意；
C、∵a＞0，b=2a，
∴b＞a＞0．
故C选项不符合题意；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= （k≠0）图象知，当x=- =- =-1时，y=-k＞- =- =-
a，即k＜a，
∵a＞0，k＞0，
∴a＞k＞0．
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取
有用的信息．
41．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，已知矩形 ， 是 边上的一个动点， ， ，
交 于 ，设点 运动的路程为 ， 运动的路程为 ， 与 之间的函数关系图象如图②所示，
则矩形 面积为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．1
【答案】C
【分析】设 ．证 得 ，从而有 ，进而利用二次函数的性质
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求得 ，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】设 ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ．
当 时， 有最大值 则 ．
∴矩形 的面积为 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、二次函数的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数
的性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
42．（2005年初中毕业升学考试（江苏无锡卷）数学（带解析））函数y= 中，自变量x的取值范围
是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得， ，
解得 ．
43．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，点 在反比例函数 的图像上，过点 作 轴的平
行线，交反比例函数 的图像于点 ，连接 ， ．若 ，则 的值为 ．
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【答案】
【分析】令 与 轴的交点为 ，由 轴得 ，从而可得
，即可求得 的值．
【详解】解：令 与 轴的交点为 ，如图所示，
轴，
轴，
，
，
解得： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构
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成的三角形的面积等于 的一半，熟练掌握反比例函数 的几何意义是解题的关键．
44．（2023·山东青岛·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， ， ，都
是菱形，点 ， ， ，…，都在x轴上，点 ， ， ，…都在直线 上，且
， 则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据菱形的边长求得 、 、 的坐标，然后分别表示出 、 、 的坐标找出规律，进
而求得 、 、 ，…的坐标找出规律，从而求得 的坐标．
【详解】解： ，
，
，
设 ，
，
， （不合题意舍去），
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， ，
四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴
∵四边形 ， ， 都是菱形，
， ， ， ，
同理得到 ， ， ， ， ； ， ，
∴ ， ， ， ， ，…， ，
点 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，一次函数图象上点
的坐标特征，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列B点的坐标，找出规律是解题的关键．
45．（2023·甘肃平凉·校考三模）小明和妈妈十一假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，
约定小明爸爸驾车到A地接他们回家，一家人恰好同时到达A地，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．
已知小明他们与外婆家的距离 与小明从外婆家出发的时间 之间的函数关系如图所示．
(1)小明家与外婆家的距离是______ ；
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(2)小明爸爸驾车返回时的平均速度是______ ；
(3)求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．
【答案】(1)300
(2)60
(3)
【分析】（1）图中纵坐标表示的即为与外婆家的距离，从图中可直接读取两地的距离；
（2）根据返回时爸爸开车的总路程除以总时间即可求得平均速度；
（3）先确定返回刚出发时的时间与距离，再利用待定系数法求解即可
【详解】（1）从图中可知：小明家与外婆家的距离为 ，
故答案为：300；
（2）解：小明坐顺路车的速度为： ，
则 后小明他们到达距外婆家 处与爸爸相遇，
又∵他们休息了 ，
∴他们一起返回时的时间是第 ，
∴返回的过程中爸爸的平均速度为： ，
故答案为：60；
（3）∵小明他们与爸爸在 地见面后，休息 ，
∴他们从 地回家时出发的时间为 ．
设 与 之间的函数关系式为 ，
由图象可知，函数 的图象过点 、 ，
则
解得
与 之间的函数关系式为 ．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确分析图象中的数据与对应实际意义之间的联系是解题关键．
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46．（2023·河南南阳·统考三模）如图，反比例函数 的图像经过点A．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OA的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)过点A作y轴的平行线与（1）中所作的垂直平分线相交于点 ，与x轴相交于点C，求反比例函
数的表达式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）连接OB，先利用勾股定理，求得 ，再根据垂直平分线的性质，得到 ，进而得到 ，
最后利用反比例函数上点的坐标特征求出 值，即可得到反比例函数的表达式．
【详解】（1）解：如图，直线m即为所求；
（2）解：如图，连接OB，
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由题意可知， 轴， ，
， ， ，
由勾股定理得： ，
直线m垂直平分 ，
，
，
，
反比例函数 的图象经过点A，
，
反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，垂直平分下的性质，求反比例函数解析式，利用数形结合的思
想解决问题是解题关键．
47．（2023·黑龙江绥化·统考三模）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、
乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：
元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg
和18元/kg．
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(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且
不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：
元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、
乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【答案】(1) ．
(2) ；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
(3) 的最大值为 ．
【分析】（1）分当 时，当 时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当 时，当 时，分别列出 与 的函数关系式，根据一
次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后， 与 的关系式，并根据利润不低于15000，可得出 的取值范围．
【详解】（1）当 时，设 ，根据题意可得， ，
解得 ，
；
当 时，设 ，
根据题意可得， ，
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解得 ，
．
．
（2）根据题意可知，购进甲种产品 千克，
，
当 时， ，
，
当 时， 的最大值为 ；
当 时， ，
，
当 时， 的最大值为 （元 ，
综上， ；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为
24000元．
（3）根据题意可知，降价后，
，
当 时， 取得最大值，
，解得 ．
的最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
48．（2023·河南信阳·校考三模）已知二次函数 与x轴交于A，B两点（其中A在B的左
侧），且 ．
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(1)求点A和点B的坐标；
(2)若 ，当 时，y有最大值2，则当 时，求y的最小值；
(3)点C的坐标为 ， ．若抛物线 与线段 恰有一个交点，求m的取值范
围．
【答案】(1)A点坐标为 ，B点坐标为 ；
(2)-6；
(3) 或 或 ．
【分析】（1）由A，B两点是抛物线与x轴的交点，以及 ，对称轴直线 可以求出两点坐标；
（2）先根据 ，当 时，y有最大值2，求出 ，再求当 时最小值即可；
（3）先求出线段 的解析式，再根据抛物线与线段 恰有一个交点，分 和 两种情况讨论即
可．
【详解】（1）∵二次函数 ，
∴抛物线对称轴为直线 ．
∵A，B是抛物线与x轴的交点，且 ，
设A点坐标 ，B点坐标 ，
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∴ ． ，
解得 ， ．
∴A点坐标为 ，B点坐标为 ．
（2）∵A点坐标为 ，B点坐标为
∴ ．
∵ ，当 时，顶点出有最大值，即当 时，y有最大值2．
∴ ，
解得 ．
∴
∵ ，且
∴当 时，y有最小值，即 ．
∴y的最小值为 ．
（3）∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ．
∵点C坐标为 ， ，
∴线段 的解析式为 ．
若 与线段 恰有一个交点，
当 时，
①线段 恰好过抛物线顶点，
∴ ．即 ．
②抛物线经过点C时， ．
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∴ ，此时抛物线与线段C 有两个交点，
③当 时， ．
抛物线与线段 有一个交点，如图①，解得： ；
当 时， ，即 ，抛物线与线段 有一个交点，如图②．
综上： 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标
轴的交点以及顶点坐标．
49．（2023·广西柳州·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；
③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可.
【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合
题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就
能够通过图像得到函数问题的相应解决．
50．（2023·山东济南·统考三模）某快递公司每天上午9：30—10：50为集中揽件和派件时段，甲仓库用
来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数
图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库的快递件数相同．
【答案】 /
【分析】先求出甲、乙直线方程，令两个直线方程相等即可求解．
【详解】解：由题意可得：设甲直线方程为 ，
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把 代入得： ，解得 ，
∴甲直线方程为 ，
设乙直线方程为 ，
把 代入得： ，解得 ，
∴乙直线方程为 ，
令 ，解得： ，
经过 分钟时，两仓库的快递件数相同，
故答案为： ．
【点睛】本题考查结合实际问题利用待定系数法求一次函数解析式，正确计算是关键．
51．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点 （0，4）， （3，4），将
向右平移到 位置， 的对应点是 ， 的对应点是 ，函数 的图像经过点 和
的中点 ，则 的值是 ．
【答案】6
【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角
形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出
a，可得答案．
【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，
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设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴ ， ，
∴四边形HFGO的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
∴k=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．
52．（2023·江苏无锡·校考二模）平面直角坐标系中， 、 ，连接 、 ，则
；点C在y轴上，作点C关于直线 、 的对称点D、E，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，过点 作 轴，利用等腰直角三角形的性质求得 ， ，
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即可求得 的值；取点 ，连接 ，延长 ， 交于点 ，利用相似三角形的性质及全等
三角形的性质可证得 ， ，可得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，可得
，进而可得线 的解析式为 ，设点 ，作点 关于直线 、 的对称点 、
，可知点 关于直线 的对称点 在 轴上，得 ，点 关于直线 的额对称点 在直线
上，设 ，可得点 和点 的中点 的坐标，由轴对称可知 在直线 上，求得
，可知 ，由勾股定理可得 ，进而求得 的最小值
为 ．
【详解】解：过点 作 ，过点 作 轴，
∵ 、 ，
∴ ， ，则 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，则 ，
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则 ，
∴ ，
取点 ，连接 ，延长 ， 交于点 ，
则 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，则
则 为 的垂直平分线，即 关于直线 的对称点为 ，
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设直线 的解析为 ，将 、 ，代入可得：
，解得： ，
∴直线 的解析为 ，
当 时， ，即 ，
同理可得直线 的解析式为： ，
设点 ，作点 关于直线 、 的对称点 、 ，
∵ ，
则点 关于直线 的额对称点 在 轴上，可知 ，
即 关于直线 的对称点为 ，且 也在直线 上，
∴ 关于直线 对称的直线为 ，
∴点 关于直线 的对称点 在直线 ： 上，
设 ，则点 和点 的中点 的坐标为：
由轴对称可知 在直线 上，
∴ ，可得 ，
则 ，
∴
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整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求正切值，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性
质，轴对称与坐标，待定系数法求函数解析式，运用数形结合的思想是解决问题的关键．
53．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，将直角三角板 放在平面直角坐标系中，
点A，B的坐标分别为 ， ，将三角板 沿x轴正方向平移，点B的对应点 刚好落在反比例
函数 的图象上，则 的坐标是 ，点C平移的距离 ．
【答案】 3
【分析】设平移后点 的坐标为 ，然后代入反比例函数的解析式即可求出点 的坐标，进一步即可
求平移的距离．
【详解】解：设平移后点 的坐标为 ，
因为点 刚好落在反比例函数 的图象上，
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∴ ，
即 ，
∴平移的距离 ；
故答案为： ，3．
【点睛】本题考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
54．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，当 和 时，二次函数 （ ， 是常
数， ）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为 ，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与 轴有且只有一个交点，求 ， 的值．
(3)记（2）中的抛物线为 ，将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，当 时，抛物线 的
最大值与最小值之差为 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；
（2）根据二次函数与 轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当 和 时，二次函数 （ ， 是常数， ）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为 ， ，
∵该函数的最大值为 ，
∴该函数的顶点坐标为 ，
∴ ，
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∴由①②可得： ，
∴函数表达式为： ；
（2）解：∵该函数的图象与 轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程 ，该函数的顶点坐标为 ，
∴ ， ，
∴由①②可得 （舍去）， ，
∴ ， ；
（3）解：由（2）可得 的解析式为： ，
∵将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ 的顶点坐标为 ，且当 时，抛物线 的最大值与最小值之差为 ，
∴ ， 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与 轴的交点坐
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标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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