文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 04 二次根式
课标要求 考点 考向
1、了解二次根式的概念，能从具体的式子中正确识别 考点一
考向一 二次根式的定义和性质
出二次根式。即学生需要知道形如√a（a≥0）的代数式称 二次根
为二次根式，并且理解根号内的被开方数必须是非负数。 式的概
2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母 念和性 考向二 二次根式有意义的条件
的取值问题。例如，在含有二次根式的表达式中，根据二 质
次根式有意义的条件，确定字母的取值范围。 二次根式的乘除
3、利用二次根式的性质和四则运算的法则进行简单的
四则运算。这包括对二次根式进行加、减、乘、除等运 考向二 二次根式的加减
算，以及在运算过程中运用二次根式的性质进行化简。 考点二
4、通过实际生活中的问题，引导学生用含根号的式子表 二次根 考向三 二次根式的混合运算
示问题的结果，从而体会二次根式与实际生活的紧密联 式的运
系。 算
5、在二次根式的学习中，学生需要通过对具体问题的分 考向四 二次根式的应用
析和解决，逐步建立起对二次根式的抽象认识。
考点一 二次根式的概念和性质
易错易混提醒
（1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的
数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
（2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。
►考向一 二次根式的定义和性质
1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是
（ ）
化简：
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
甲同学：原式 ；
乙同学： ；
丙同学： ；
丁同学 ．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边三角形
，点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以 为边作
等边三角形 （点 在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，等边三角形
，则点 的横坐标为 ．
►考向二 二次根式有意义的条件
4．（2024·云南·中考真题）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）若 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·上海·中考真题）已知 ，则 ．
考点二 二次根式的运算
易错易混提醒
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相
加或相减。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相
乘。
（3）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化
►考向一 二次根式的乘除
7．（2024·湖南·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
8．（2024·贵州·中考真题）计算 的结果是 ．
9．（2024·重庆·中考真题）估计 的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
10．（2024·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
►考向二 二次根式的加减
11．（2024·重庆·中考真题）已知 ，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
13．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
►考向三 二次根式的混合运算
14．（2024·甘肃·中考真题）计算： ．
15．（2024·上海·中考真题）计算： ．
16．（2024·四川遂宁·中考真题）计算： ．
17．（2024·山西·中考真题）（1）计算： ；
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
►考向四 二次根式的应用
18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段 ，按以下步骤作图：①过点B作 ，使
，连接 ；②以点C为圆心，以 长为半径画弧，交 于点D；③以点A为圆心，以
长为半径画弧，交 于点E．若 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形 的边长为1，M、N是边 、 上的动点．若
，则 的最小值为 ．
21．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到
的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线 ， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉
的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段 的长；
（2）直接写出图3中所有与线段 相等的线段，并计算 的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的 边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出
裁剪线（线段 ）的位置，并直接写出 的长．
22．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成
点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，
行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数， ， ），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总
长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
一、单选题
1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）计算 的结果为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知 ，则 （ ）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．4 B．2 C．1 D．
5．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·云南·模拟预测）估算 的结果在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
7．（2024·河北秦皇岛·一模）若使算式 “ ” 的运算结果最小，则“ ”表示的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·河北张家口·三模）若 ，则计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形 中，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，
分别以 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ．连接 ，
若 ， ，则菱形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1， 中 ， ．D是斜边上一动点，从点
B运动到点C停止，连接 ，过点A作 ，且使 （点E在直线 右侧），点F是
中点，连接 ，设 ， ，y随x变化的图象如图2所示，b为曲线最低点的纵坐标，则
（ ）
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
12．（2024·湖南·模拟预测）设 ，则不
超过 的最大整数为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
二、填空题
13．（2024·吉林长春·二模） 与最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为 ．
14．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是 ，则 的值为 ．
15．（2024·山东泰安·一模）如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的
边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ．
16．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用 表示．通过计算
求出斐波那契数列中的第2个数为 ．
17．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”）
18．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子 ，则实数 的取值范围是 ．
19．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式 有意义： ．
三、解答题
20．（2024·北京·模拟预测）计算： ．
21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算： ．
22．（2024·全国·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
23．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法
则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和
一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当 则
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设 ， m、n是连续的正整数，
∴ ； ∵ ， ∴ ．
∴ 一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数．
9
