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专题 27 矩形的性质与判定【十四大题型】
【题型1 利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】.................................................................................2
【题型2 矩形的判定定理的理解】..........................................................................................................................3
【题型3 根据矩形的性质与判定求角度】..............................................................................................................4
【题型4 根据矩形的性质与判定求面积】..............................................................................................................5
【题型5 根据矩形的性质与判定求线段长】.........................................................................................................6
【题型6 根据矩形的性质与判定求最值】..............................................................................................................7
【题型7 与矩形有关的新定义问题】......................................................................................................................8
【题型8 根据矩形的性质与判定解决多结论问题】.............................................................................................9
【题型9 与矩形有关的规律探究问题】................................................................................................................11
【题型10 矩形有关的动点问题】............................................................................................................................12
【题型11 与矩形有关的折叠问题】........................................................................................................................13
【题型12 矩形与一次函数综合】............................................................................................................................15
【题型13 矩形与反比例函数综合】........................................................................................................................16
【题型14 矩形与二次函数综合】............................................................................................................................18
【知识点 矩形的性质与判定】
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有
两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形.
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【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角
线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
【题型1 利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】
【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知
∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【变式1-1】（2023·甘肃武威·统考三模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，
BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式1-2】（2023·江苏南通·统考二模）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别在边AB,BC上，线段AF
与线段DE相交于点G，若AB=4,BC=6,AE=BF=3，则FG的长度为 ．
【变式1-3】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，
B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若AB=OB=2√3，则点C的坐标是（ ）
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A．（3， ） B． C． ，3） D．
√3 (−3,−√3) (√3 (−√3,−3)
【题型2 矩形的判定定理的理解】
【例2】（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形
ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D
【变式2-1】（2023·山东青岛·统考三模）如图，△ABC和△ACF都是等边三角形，AE、FD分别是BC、
AC边上的中线，连接ED并延长交AF于G，连接CG．
(1)求证：△ADG≌△CDE；
(2)求证：四边形AECG是矩形．
【变式2-2】（2023·北京·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，
AC=EF．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
1
(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB= ，求BC的长．
2
【变式2-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，△ABC中，D是BC中点，过点A作BC的平行线交
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CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．请从以下三个条件：①AB=AC；②FB=AD；③E是AD的
中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形AFBD为矩形．
(1)你添加的条件是 ；（填序号）
(2)添加条件后，请证明四边形AFBD为矩形．
【题型3 根据矩形的性质与判定求角度】
【例3】（2023·河北承德·统考二模）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且
OA=OD,∠OAD=55°，则∠OAB的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【变式3-1】（2023·吉林·吉林省第二实验学校校考模拟预测）概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个
四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)初步应用
在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
(3)深入研究
在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的
度数．
【变式3-2】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点
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D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别
是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时，∠EBE'的度数为 ．
【变式3-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，AD=BC．
(1)在C´D上求作一点E，使得∠AED=∠CDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接DE，CE，AE，若∠ECA=2∠CAB，求∠CAB的大小．
【题型4 根据矩形的性质与判定求面积】
【例4】（2023·山东威海·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD=3，CD=2．连接AC，过
点B作BE//AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC
的面积为（ ）
A．√5 B．2√5 C．6 D．2√13
【变式4-1】（2023·广西梧州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC
的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
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A．6 B．12 C．24 D．48
【变式4-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，且
S =8，则正六边形ABCDEF的面积为（ ）
△AOC
A．18 B．24 C．30 D．随着点O的变化而变化
【变式4-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）已知矩形ABCD，点E在AD边上，DE90°)沿对角线BD剪
开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到
如图2所示的△DB'C，连接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②AC⊥AB；③
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∠CDA=90°；④BB'=√3AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线
上）
【变式8-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3√2,AD=6，点E，F分别是边
AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足¿=GF且
∠EGF=90°的点，现给出以下结论：①∠AEG与∠GFB一定相等；②点G到边AB，BC的距离一定相
等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边DC的距离的最小值为3，其中正确的是
（写出所有正确结论的序号）．
【变式8-3】（2023·广东东莞·塘厦初中校考二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面
直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到
△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°
时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2√34﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其
中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型9 与矩形有关的规律探究问题】
【例9】（2023·湖南永州·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,CB=4，连接AC，以对角线AC为边，
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按逆时针方向作矩形ACC B ，使矩形ACC B 相似于矩形；再连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时
1 1 1 1 1 1
针方向作矩形AC C B ，使矩形AC C B 相似于矩形ACC B ；……按照此规律作下去．若矩形
1 2 2 1 2 2 1 1
ABCD的面积记作S ，矩形ACC B 的面积记S ，矩形AC C B 的面积记作S ，……，则S 的值为
1 1 1 2 1 2 2 3 2024
．
【变式9-1】（2023·辽宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连
接EB，点F 是CD的中点，连接EF ，BF ，得到ΔEF B；点F 是CF 的中点，连接EF ，BF ，得
1 1 1 1 2 1 2 2
到ΔEF B；点F 是CF 的中点，连接EF ，BF ，得到ΔEF B；…；按照此规律继续进行下去，若矩
2 3 2 3 3 3
形ABCD的面积等于2，则ΔEF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
【变式9-2】（2023·广西南宁·三模）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF=2AF，
点E 是CB边的中点，连接E F，E D，得到△E FD；点E 是CE 的中点，连接E F，E D得到
1 1 1 1 2 1 2 2
△E FD；点E 是CE 的中点，连接E F，E D，得到△E FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形
2 3 2 3 3 3
ABCD的面积等于6，则△E FD的面积是 ．
2023
【变式9-3】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，
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点P 、Q 、H 分别在边AB、AC、BC上，且四边形P Q H B为矩形，P Q :P B=2:3，点P 、Q 、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
H 分别在边Q H 、CQ 、CH 上，且四边形P Q H H 为矩形，P Q :P H =2:3，……按此规律操
2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1
作下去，则线段CQ 的长度为 ．
2023
【题型10 矩形有关的动点问题】
【例10】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，点E在边BC上．且
∠AED=90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 ．
【变式10-1】（2023·广东清远·统考二模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6,F是BC边
上一动点，O是AC的中点，OE⊥OF交AB于E，连接EF、OB．若OB将△OEF的面积分成1:2的两部
分，则BF的长为 ．
【变式10-2】（2023·河南南阳·校联考一模）【初步探究】
（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空： △EB'M △B' AN（“
≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写
出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将
△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE,DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．
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【变式10-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）在矩形ABCD中，E是边CD上一点．
(1)如图1，点D，F关于直线AE对称．平移线段DE，使点E与点F重合，设点D的对应点为G．画出示意
图，判断四边形DEFG的形状并证明；
(2)如图2，若DE=k⋅DC(k为常数)，H是矩形内的动点，且满足EH=ED，若点H在运动的过程中，存
在线段BH长度最小时，点D，H恰好关于直线AE对称的情形，请探究矩形ABCD的边AD与CD满足的
数量关系．（用含k的式子表示）
【题型11 与矩形有关的折叠问题】
【例11】（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形ABCD中，AB=3,AD=9，将矩形ABCD沿过点A的直线
折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 ．
【变式11-1】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使
AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
到折痕BM﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（ ）
√3 2√3
A． B．1 C． D．2
2 3
【变式11-2】（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，
点E为AD边上一点(00)的图象经过DC的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并说
x
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明理由．
1
【变式12-2】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+2分别与x轴、
2
y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则
点N的坐标为 ．
【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线
AD交x轴于点A(−6,0)，交y轴正半轴于点D，点C是点D上方y轴上一点，以AO、OC为邻边作矩形
OABC，tan∠OAD=1．
(1)求直线AD的解析式；
(2)延长BC交直线AD于点E，连接OE，连接CE，OG为△AEO的中线，设点E的横坐标为t，△GDO的
面积为S，当点G在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式（不要求写自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，作OF⊥OE交AE于点F，M是线段AB上一点，连接MG、ME，作
2
GN⊥MG交BE于点N，作GP⊥ME垂足为P交BN于点Q，若AF+DE= DF，NE=4QN，求直线
3
QG的解析式．
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【题型13 矩形与反比例函数综合】
k
【例13】（2023·广西·统考中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交
x
1
y=− 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记
x
5
为S ，S ，S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
1 2 3 4 2 3 4 2
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式13-1】（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，
M，N分别为OA，OC的中点，AN与BM交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的反比例函
数的解析式为 ．
【变式13-2】（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，
点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3．若点B，E在同一个反比例函数的图
象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
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【变式13-3】（2023·湖南株洲·统考二模）在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分别以OB，OA所在直线
为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的
k
反比例函数y= (k>0)的图象与边AC交于点E．
x
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【题型14 矩形与二次函数综合】
【例14】（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的
图象与y轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在
x轴，y轴上，顶点B的坐标为(1,5)．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位(0
