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专题 40 统计【十二大题型】
【题型1 全面调查与抽样调查】..............................................................................................................................2
【题型2 总体、个体、样本、样本容量】..............................................................................................................3
【题型3 用样本估计总体】......................................................................................................................................3
【题型4 条形、扇形、折线统计图】......................................................................................................................4
【题型5 频数分布直方图】......................................................................................................................................6
【题型6 频数与频率】..............................................................................................................................................8
【题型7 与平均数有关的计算】..............................................................................................................................9
【题型8 与中位数、众数有关的计算】..................................................................................................................9
【题型9 与方差有关的计算】................................................................................................................................10
【题型10 根据方差判断稳定性】............................................................................................................................10
【题型11 利用合适的统计量做决策】....................................................................................................................12
【题型12 借助调查结果做决策】............................................................................................................................13
【知识点 统计】
1.全面调查与抽样调查
全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。
抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做
抽样调查。
2.总体、个体及样本
总体是要考察的全体对象。其中每一个考察对象叫做个体。
当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。样本中个体
的数目叫做样本容量。
3.常见统计图表
直方图、扇形图、条形图、折线图。
4.平均数
平均数：
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x k +x k +⋯+x k
x= 1 1 2 2 n n
k +k +⋯+k x x x k k k
加权平均数： 1 2 n （ 1. 2… n的权分别是 1. 2… n）
x=x'+a
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： 。
x' =x −a x' =x −a x' =x −a
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， 1 1 ， 2 2 ，…， n n 。
1
x'= (x' +x' +⋯+x' )
n 1 2 n x ,x ,⋯,x , x' ,x' ,⋯,x' ,
是新数据的平均数（通常把 1 2 n 叫做原数据， 1 2 n 叫做新
数据）。
5.众数与中位数
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位
置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
6.方差
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +…+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
【题型1 全面调查与抽样调查】
【例1】（2023·广西南宁·二模）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．检测绿城南宁的空气质量
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C．公司招聘，对应聘人员进行面试
D．检查“神舟十七号”载人飞船的零件质量情况
【变式1-1】（2023·浙江金华·一模）下列调查方式合适的是（ ）
A．为了解市民对电影《血战狙击岭》的感受，黎明在学校随机采访了10名初一学生
B．为了解全班学生每天完成课外作业的时间，小莹同学在网上向3位好友做了调查
C．为了解全国青少年儿童的每天睡眠时间，统计人员采用了普查的方式
D．为了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式
【变式1-2】（2023·北京朝阳·一模）下列调查：①调查全市中学生对2022年“中国航天日”主题“航天
点亮梦想”的了解情况；②检测某批次节能灯的使用寿命；③选出某体育运动学校速度滑冰成绩最好的学
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生参加全国比赛，其中适合采用抽样调查的是 （写出所有正确答案的序号）．
【变式1-3】（2023·辽宁锦州·二模）下列调查中，调查方式选择不合理的是（ ）
A．为了了解某河流的水质情况，选择普查
B．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择普查
C．为了了解新型炮弹的杀伤半径，选择抽样调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查
【题型2 总体、个体、样本、样本容量】
【例2】（2023·河南南阳·一模）要想了解一本300页的书稿大约共有多少字，从中随机地选定一页作调查，
数一数该页的字数．以下说法：①这本300页书稿的字数是总体；②每页书稿是个体；③从该书稿中选定
的那一页的字数是总体的一个样本；④300是样本容量，其中正确的是 ．
【变式2-1】（2023·江苏南京·二模）2023年5月14日至5月20日是第32届“全国城市节约用水宣传周”，
为了解我校900名初三学生节约用水的情况，从22个班级中抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是
（ ）
A．900名学生是总体 B．50是样本容量
C．22个班级是抽取的一个样本 D．每名学生是个体
【变式2-2】（2023·江苏苏州·一模）为了调查滨湖区九年级学生期末考试数学试卷答题情况，从全区的数
学试卷中随机抽取了10本没拆封的试卷作为样本，每本含试卷30份，这次抽样调查的样本容量是
．
【变式2-3】（2023·山东青岛·二模）某中学为了解九年级550名学生的睡眠情况，抽查了其中的200名学
生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查 B．总体是九年级550名学生
C．所抽取的200名学生是总体的一个样本D．每名学生的睡眠时间是一个个体
【题型3 用样本估计总体】
【例3】（2023·湖南永州·三模）一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估
计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇均后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断
重复，共摸球400次，其中100次摸到黑球，估计盒子大约有白球 个．
【变式3-1】（2023·福建泉州·模拟预测）某校为了解学生对篮球、足球、排球等三种球类运动的喜爱程度，
随机调查了该校50名学生，其中30名同学喜欢篮球运动．若该校共有800名学生，根据所学的统计知识
可以估计该校喜欢篮球运动的学生有 名．
【变式3-2】（2023·浙江温州·三模）某校为了解学校900名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调
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查了50名九年级学生，并绘制成如图所示的条形统计图，根据图中数据可知，九年级学生中，一周的体育
锻炼时间不少于7小时的人数是（ ）
A．5人 B．20人 C．90人 D．360人
【变式3-3】（2023·安徽宣城·模拟预测）某公司春节期间为职工准备了A，B，C，D，E五种礼物，公司
在全体职工中随机选取50人进行调查，每人只能选择一种自己喜欢的礼物．根据调查结果制作了一幅扇形
统计图，已知扇形统计图中“A”部分的面积是“E”部分面积的5倍，该公司共1200位职工，据此以下对总
体估计正确的是（ ）
A．A部分对应的圆心角为150° B．选A种礼物人数约480人
C．E部分对应的圆心角为30° D．选E种礼物人数约100人
【题型4 条形、扇形、折线统计图】
【例4】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只
能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
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A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
【变式4-1】（2023·云南昆明·一模）图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的
是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一
共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论：
①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”
类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（ ）
A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【变式4-2】（2023·河北沧州·模拟预测）某中学开展“迎接2022年北京冬奥会”的手抄报作品征集活动，
从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D，E五个等级评价并进行统计，绘制成两幅不完整的统计图，
根据图中提供的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量为200
B．C等级的学生有40名
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C．扇形统计图B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°
D．该校有1200名学生参加竞赛，则估计成绩为A和B等级的学生共有652名
【变式4-3】（2023·北京·一模）科学技术的发展离不开大量的研究与试验，下面的统计图反映了北京市
2013~2017年研究与试验经费支出及增长速度的情况．
根据统计图提供的信息，有以下四个推断：
①2013~2017年，北京市研究与试验经费支出连年增高；
②2014~2017年，北京市研究与试验经费支出较上一年实际增长最多的是2017年；
③与2015年相比，2016年北京市研究与试验经费支出的增长速度有所下降；
④2013~2017年，北京市研究与试验经费支出的平均增长速度约为8.48%，
其中正确的有 ．
【题型5 频数分布直方图】
【例5】（2023·北京·一模）为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调
查了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面3个推
断中，合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60﹣120元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地
铁的月均花费达到120元的人可享受折扣．
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式5-1】（2023·辽宁营口·一模）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级50名学生进行1分钟
跳绳测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频数分布直方图（各组只含最小值，不含最大值）．已知
图中从左到右各组的频率分别是a，0.3，0.4，0.2，设跳绳次数不低于100次的学生有b人，则a，b的值
分别是（ ）
A．0.2，30 B．0.3，30 C．0.1，20 D．0.1，30
【变式5-2】（2023·上海奉贤·二模）某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了100
名学生进行调查，并绘成如图所示的频数分布直方图．已知该校共有1000名学生，据此估计，该校双休日
参加社会实践活动时间在2～2.5小时之间的学生数大约是全体学生数的 （填百分数）．
【变式5-3】（2023·北京·中考模拟）光明中学九年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名，某
次数学考试的成绩统计如下：（如图，每组分数含最小值，不含最大值） 根据图、表提供的信息，则
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80~90分这一组人数最多的班是 ．
甲班数学成绩频数分布直方图 乙班数学成绩各分数段人数统计图
丙班数学成绩频数统计表
分数 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100
人数 1 4 15 11 9
【题型6 频数与频率】
【例6】（2023·辽宁营口·一模）为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三
毕业生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如下表所
示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为
．
【变式6-1】（2023·浙江温州·三模）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为6组，第1∽4组的频
数之和为26，第5组的频率是0.1，则第6组的频数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式6-2】（2023·湖北十堰·模拟预测）“郧阳”的拼音“yún yáng”中，字母“y”出现的频率是（ ）
2 1 1
A．2 B． C． D．
7 3 7
【变式6-3】（2023·上海杨浦·三模）将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，简况如表所示：
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组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
频数 14 11 12 13 ■ 13 12 10
那么第⑤组的频率是( )
A．14 B．15 C．0.14 D．0.15
【题型7 与平均数有关的计算】
【例7】（2023·河南·二模）在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，
那么成绩为8环的人数为（ ）
环
7 8 9
数
人
2 1
数
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式7-1】（2023·广西河池·二模）某地区100个家庭的月收入按从低到高分别为：5800元，…，10000
元，各不相同．在将数据输入计算机时，录入人员把最大的数错误地输成了1000元，则依据错误数字算出
的平均值比实际数字的平均值少 ．
【变式7-2】（2023·广西柳州·中考模拟）如果两组数据x ，x 、……x ；y ，y ……y 的平均数分别为x和y，
1 2 n 1 2 n
那么新的一组数据2x +y ，2x +y ……2x +y 的平均数是( )
1 1 2 2 n n
4x+ y
A．2x B．2y C．2x+y D．
2
【变式7-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据
调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整
糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．
m
则 为 ．
n
【题型8 与中位数、众数有关的计算】
【例8】（2023·浙江杭州·一模）一组数据−3，a，2，3，5有唯一的众数3，则这组数据的中位数是
（ ）
A．−2 B．1 C．3 D．5
【变式8-1】（2023·江苏南京·二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．
若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．
年龄 13 14 15 16
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频数 28 22 23
【变式8-2】（2023·四川眉山·模拟预测）《义务教育课程标准(2022)年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳
动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5，6，3，
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
【变式8-3】（2023·江苏南京·二模）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中
位数小于4，则a的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【题型9 与方差有关的计算】
【例9】（2023·江苏连云港·一模）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差
8
为 ，则ab的值是（ ）
5
A．48 B．50 C．64 D．68
【变式9-1】（2023·河北石家庄·二模）若某一样本的方差为
1
s2= [(5−7) 2+(7−7) 2+(8−7) 2+(x−7) 2+(y−7) 2]，样本容量为5．则下列说法：①当x=9时，y=6；
5
②该样本的平均数为7；③x，y的平均数是7；④该样本的方差与x，y的值无关．其中不正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【变式9-2】（2023·江苏南京·二模）若一组数据1，3，5，a，8的方差是2，则另一组数3，9，15，3a，
24的方差是 ．
【变式9-3】（2023·内蒙古包头·三模）若一组数据3，0，a，3，−2，1的中位数为1，则这组数据的方差
是 ．
【题型10 根据方差判断稳定性】
【例10】（2023·内蒙古呼和浩特·一模）2022年2月在北京市和张家口市联合举办了第24届冬季奥林匹克
运动会．寒假期间学校组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训，训练期间，每位同学都参加了40次“单板滑
雪”项目训练测试．已知每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档．下面是甲乙两位同学参
加这个项目的40次测试成绩统计图．
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根据统计图求得的甲同学测试成绩的中位数以及对甲、乙两位同学测试成绩稳定性的判断，正确的是（
）
A．3，乙更稳定 B．3，甲更稳定 C．2.5，甲更稳定 D．2.5，乙更稳定
【变式10-1】（2023·广西柳州·二模）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折
线图判断 运动员的成绩更稳定．
【变式10-2】（2023·北京海淀·一模）甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数．如图，已知表中第
一个数字是1，甲、乙轮流从2，3，4，5，6，7，8，9中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再
重复使用）．每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差
最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
1
【变式10-3】（2023·河北邯郸·模拟预测）某商场统计五个月来两种型号洗衣机的销售情况，制成了条形
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统计图，则在五个月中，下列说法正确的是（ ）
A．甲销售量比乙销售量稳定 B．乙销售量比甲销售量稳定
C．甲销售量与乙销售量一样稳定 D．无法比较两种洗衣机销售量稳定性
【题型11 利用合适的统计量做决策】
【例11】（2023·广东深圳·二模）某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如下：
《三国演
书名 《西游记》 《水浒传》 《红楼梦》
义》
销量量/本 180 120 125 85
依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，
你认为最影响该书店决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【变式11-1】（2016·山西大同·一模）某校欲招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和
笔试，他们的成绩如下表：
候选人 甲 乙 丙 丁
面试 86 92 90 83
测试成绩（百分
制）
笔试 90 83 83 92
根据面试成绩和笔试成绩分别赋予6和4的权后的平均成绩进行录用，学校将录用（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式11-2】（2023·山西·模拟预测）2019年12月26日是中国伟大领袖毛泽东同志诞辰126周年纪念日．
某校举行以“高楼万丈平地起，幸福不忘毛主席”为主题的演讲比赛，最终有15名同学进入决赛（他们决
赛的成绩各不相同），比赛将评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖4名．某参赛选手知道自己的分数后，
要判断自己能否获奖，他需要知道这15名学生成绩的（ ）
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A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【变式11-3】（2023·山西·一模）在市运会上，某校只有两名学生可报名参加200米的比赛．现在有甲、乙、
丙、丁和戊五名同学，这五名同学的成绩平时差不多．因此，体育老师对这五位同学最近进行了10次测试，
并把测试成绩列表如下：
甲 乙 丙 丁 戊
平均成绩
25.3 26 25.1 27 25
（秒）
方差 8.1 5 2.8 4 3
现在体育老师要确定两名同学参加，成绩高且稳定，则这两位同学应该是（ ）．
A．甲和乙 B．甲和戊 C．丙和戊 D．乙和丁
【题型12 借助调查结果做决策】
【例12】（2023·广东河源·二模）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学
对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收
入情况（单位：千元）：
滴滴司机：4 5 9 10 4 5 5 5 4 9
美团司机：4 5 7 8 6 7 6 5 6 6
整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：
“滴滴”网约车司机收入频数分布表：
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
根据以上信息，分析数据如表：
中位
平均月收入/千元 众数 方差
数
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“滴
6 b 5 6.2
滴”
“美
a. 6 6 1.2
团”
(1)请求出a的值；
(2)b＝ ；m＝ ；圆心角n＝ °；
(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方
差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
【变式12-1】（2023·湖南株洲·二模）某校举办初中生演讲比赛，每班派一名学生参赛，现某班有A，B，
C三名学生竞选，他们的笔试成绩和口试成绩分别用两种方式进行了统计，如表和图1：
学生 A B C
笔试成绩（单位：
85 95 90
分）
口试成绩（单位：
a 80 85
分）
(1)A学生的口试成绩a是多少？
(2)将图1中的空缺部分补充完整．
(3)竞选的最后一个程序是由本年级段的300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人的得票情况如
图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一人），若将笔试、口试、得票三项测试得分按3:4:3的比例确定
最后成绩，请计算这三名学生的最后成绩，并根据最后成绩判断谁能当选．
【变式12-2】（2023·山西朔州·模拟预测）随着我省《高中阶段学校考试招生制度改革实施意见》出台，
自2022年秋季人学的初一新生开始，地理、生物学科将纳入中考考试科目．我市某校2022年秋季入学的
学生共有200名，为了解该年级学生地理、生物两门学科的学习情况，在学期中随机抽取了50名学生进行
测试，并将测试成绩(百分制)进行收集与整理．下面给出了部分信息．
信息一：地理学科成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，
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70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：
初一地理成绩频数分布直方图
信息二：地理学科成绩在70≤x<80这一组的是：
70 70.5 71 71 71 72 73 74 77 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
信息三：地理、生物两门学科成绩的平均数、中位数和方差如下：
中位
学科 平均数 方差
数
地理 73.8 m 148.4
生物 71.7 77 356.1
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在此次测试中，地理学科高于平均分的人数为a，生物学科高于平均分的人数为b，请比较a与b的大小，
并说明理由；
(3)假设该年级学生都参加此次测试，估计地理学科成绩高于72.5分的人数；
(4)请结合上述数据，对这50名学生测试的两门学科成绩进行简要评价．
【变式12-3】（2023·安徽亳州·模拟预测）某学校组织了以“防溺水、防交通事故、防食物中毒和防校园
欺凌”四种安全意识为主题的知识问答，发现全校学生的成绩均不低于60分，测试完成后，分别随机抽取
了m名男生和20名女生本次知识问答的成绩，对数据进行整理分析
①20名女生的知识问答成绩统计如下：65，67，68，72，73，75，77，79，82，85，88，88，88，89，
92，93，96，96，97，98，
②抽取的m名男生的知识问答成绩扇形统计图如图；
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③将抽取的m名男生的知识问答成绩按以下四组进行整理（得分用x表示）：A组：60≤x＜70；B组：
70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100．其中，抽取的m名男生的知识问答成绩中，87，87，84，
83，85，85．
④抽取的男生与女生的知识问答成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
性
平均数 中位数 众数 方差
别
女
83.40 86.5 c 115.52
生
男
83.40 b 79 152.34
生
(1)根据以上信息可以求出：m＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)结合以上的数据分析，针对本次知识问答的成绩，你认为男生成绩与女生成绩谁更好？请说明理由（写
出两条理由即可）；
(3)若九年级有男生600人，女生480人，请估计该校九年级参加此次知识问答的学生中测试成绩为优秀
（规定85分及以上为优秀）的学生人数大约为多少人？
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