文档内容
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第 28 讲 与圆有关的计算
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 正多边形与圆
题型01 求正多边形中心角
题型02 求正多边的边数
题型03 正多边形与圆中求角度
题型04 正多边形与圆中求面积
题型05 正多边形与圆中求周长
题型06 正多边形与圆中求边心距、边长
题型07 正多边形与圆中求线段长
题型08 正多边形与圆中求最值
题型09 尺规作图-正多边形
题型10 正多边形与圆的规律问题
考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算
题型01 求弧长
题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径
题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角
题型04 求某点的弧形运动路径长度
题型05 求扇形面积
题型06 求图形旋转后扫过的面积
题型07 求圆锥侧面积
题型08 求圆锥侧面积
题型09 求圆锥底面半径
题型10求圆锥的高
题型11 求圆锥侧面积展开图的圆心角
题型12 圆锥的实际问题
题型13 圆锥侧面上的最短路径问题
考点三 不规则面积的有关计算
题型01 直接公式法
题型02 直接和差法
题型03 构造和差法
题型04 等面积法
题型05 旋转法
题型06 对称法
题型07 全等法
考点要求 新课标要求 命题预测
了解正多边形的概念及正多边形与 该板块内容以考查综合题为
正多边形与圆
圆的关系. 主，也是考查重点，除了填空题
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弧长、扇形面积、 和选择题外，年年都会考查综合
会计算圆的弧长、扇形的面积.
圆锥的有关计算 题，对多数考生来说也是难点，
2024年各地中考肯定还是会考
不规则面积的有关
查.
计算
考点一 正多边形与圆
1. 正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
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2. 正多边形的常用公式
边长 1800
a =2R ⋅sin （R n为正多边形外接圆的半径）
n n n
周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 360°
n
面积 1 对角线条数 n(n−3)
Sn= an⋅rn⋅n
2 2
边心距 1800 内角和 （ n-2 ）×180°.
rn=Rn⋅cos
n
内角度数 （n−2）×180° n边形的边数 （内角和÷180°）＋2
n
a 、Rn、rn的关系 a2
n R2=r2+ n （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个
n n 4
值可以借助勾股定理求解.）
【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成
2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，
故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
3. 正多边形常见边心距与边长的比值
图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比
等边三角形 1: √3 : 2 1:2
O
A B
AOB=60°
正方形 1:1: √2 1: √2
O
A
B
AOB=45°
正六边形 O √3 : 1: 2 √3 : 2
B
A
AOB=30°
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【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
题型01 求正多边形中心角
【例1】（2021·辽宁沈阳·统考二模）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边
形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°,1 B．45°,√2 C．60°,√3 D．120°,2
【答案】C
【分析】由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂径
定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．
【详解】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
1
∴CG＝ BC＝1，
2
1
∵∠COG＝ ∠COD＝30°，
2
∴OG＝√3CG＝√3，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角
形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1-1】（2022·四川广安·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中
心角∠COD的度数是（ ）
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A．72° B．60° C．48° D．36°
【答案】A
360°
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
n
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
360°
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 =72°，
5
故选：A．
360°
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
n
【变式1-2】（2020·上海金山·统考一模）正十边形的中心角等于 度．
【答案】36
【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解．
【详解】正十边形的中心角等于360°÷10=36°
故答案为：36．
360°
【点睛】此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n边形的中心角等于 ．
n
题型02 求正多边的边数
【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边
形纸片的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解．
【详解】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如下图；
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有图形得：这个正多边形纸片是六边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键．
【变式2-1】（2023·广东阳江·统考二模）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得解．
【详解】解：这个多边形的边数是360°÷45°=8，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
【变式2-2】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边
形的中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=40°，进一步即可得到结论．
【详解】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
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∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=20°，
∴∠AOB=2∠ADB=40°，
360°
∴这个正多边形的边数= =9，
40°
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
【变式2-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内
接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】12
【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的
360°
中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算 即可得到n的值．
30°
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
360° 360°
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
4 3
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
360°
∴n= =12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
30°
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的
多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型03 正多边形与圆中求角度
【例3】（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，则
∠CME的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
6
1
∴∠CME= ∠COE=60°，
2
故选：D．
360
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关键．
n
【变式3-1】（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两
点，则∠AOC的度数是（ ）
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．144° B．130° C．129° D．108°
【答案】A
【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即
可求解．
【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
(5−2)×180°
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： =108° ，
5
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理
是解题的关键．
【变式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形ABCDE内接于
⊙O，则∠OCD的度数为 °．
【答案】54
【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
360°
∴∠COD= =72°，
5
∵OC=OD，
1
∴∠OCD= ×（180°-72°）=54°，
2
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中
心角的度数．
题型04 正多边形与圆中求面积
【例4】（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分
的面积是（ ）
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．3√3 B．6√3 C．6 D．12
【答案】A
【分析】由正六边形从性质可得阴影部分的面积等于正六边形面积的一半，可得△ABC为等边三角形，再
计算正六边形的面积即可得到答案.
【详解】解：如图，∵正六边形，
∴图形①，②，③，④，⑤，⑥与上半部分的阴影部分的图形分别对应相等，
∴整个阴影部分的面积为正六边形的面积的一半，
∵正六边形，
∴正六边形的面积等于6S ,△ABC为等边三角形，AD⊥BC,
△ABC
∴AB=BC=AC=2,BD=DC=1，
∴AD=√3，
1
∴正六边形的面积为：6S =6× ×2×√3=6√3，
△ABC 2
∴阴影部分的面积为：3√3.
故选A
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，正六边形的性质，熟记正六边形是轴对称图
形是解本题的关键.
【变式4-1】（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，
AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
24
【答案】 π
5
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵正五边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，
∴正五边形的每个内角为180°−72°=108°，
∵正五边形的边长为4，
108⋅π×42 24
∴S = = π，
阴影 360 5
24
故答案为： π．
5
【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数
并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
【变式4-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提
出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用
⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 ．
【答案】6√3
【分析】连接OA、OB，根据正多边形和圆的关系可判断出△OAB为等边三角形，过点O作OM⊥AB于
点M，再利用勾股定理即可求出OM长，进而可求出△AOB的面积，最后利用⊙O的面积约为6S 即
△AOB
可计算出结果．
【详解】解：如图，连接OA、OB
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由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=2
过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM=1
在Rt△AOM中，OM=√22−12=√3
1
∴S = ×2×√3=√3
△AOB 2
∴⊙O的面积约为6S =6√3
△AOB
故答案为：6√3．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键．
【变式4-3】．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知正六边形ABCDEF，⊙O是此正六边
形的外接圆，若AB=2，则阴影部分的面积是 ．
4
【答案】2√3+ π
3
【分析】如图，连接OA,OB,OF,OD，OA交BF于G，由正六边形的性质可得出△AOB是等边三角形，
△OFB≅△ODB，进而可得阴影部分的面积=三角形OBF的面积×2+扇形OFED的面积，然后根据三角形
的面积和扇形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，连接OA,OB,OF,OD，OA交BF于G，
∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴OA=OB=OF=OD,∠BOF=∠BOD=∠DOF=120°,∠AOB=60°，OG⊥BF，
∴△AOB是等边三角形，△OFB≅△ODB，
∴OA=OB=AB=2，
∴阴影部分的面积=三角形OBF的面积×2+扇形OFED的面积，
在直角三角形OBG中，OG=OB⋅cos60°=1,BG=OB⋅sin60°=√3，
1 120π×22 4π
∴阴影部分的面积= ×1×√3×2×2+ =2√3+ ；
2 360 3
4
故答案为：2√3+ π
3
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【点睛】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆
的相关知识是解题的关键．
题型05 正多边形与圆中求周长
【例5】（2023·广西钦州·统考一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（
）
A．5 B．6 C．30 D．36
【答案】C
【分析】连接CD、EF，交于点O，则点O是正六边形ACEBDF的中心，先根据正六边形的性质可得
1
∠AOC=60°，OC=OA= AB=5，再根据等边三角形的判定与性质可得AC=OA=5，由此即可得．
2
【详解】解：如图，连接CD、EF，交于点O，
则点O是正六边形ACEBDF的中心，
∵六边形ACEBDF是正六边形，AB=10，
360° 1
∴∠AOC= =60°，OC=OA= AB=5，
6 2
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=5，
∴正六边形ACEBDF的周长为5×6=30，
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故选：C．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
【变式5-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为24，则图中阴影部分图形
的周长是 （结果保留π）．
4
【答案】 π+4
3
【分析】连接OA，OB，根据正六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形得出
AB=BC=CD=DE=EF=AF，求出圆心角∠AOB的度数，再求出弧AB的长度，最后求出答案即可．
【详解】解：连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，圆内接正六边形的周长为24，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴正六边形ABCDEF的边长为4，
∴AB=4，
1
∴∠AOB= ×360°=60°，
6
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，
60π×4 4
∴阴影部分的周长是 +4= π+4．
180 3
4
故答案为： π+4．
3
【点睛】本题考查了正多边形的性质，扇形的面积公式等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题
的关键．
【变式5-2】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距
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OG等于3√3，则⊙O的周长等于 ．
【答案】12π
【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD=60°，OC=OD，根据等腰三角形的性质得
1
到CG=DG，∠COG= ∠COD=30°，利用三角函数解直角三角形得到求出半径，再根圆的周长计算
2
即可解题．
【详解】解：如图，连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，OC=OD，
∵OG⊥CD，
1
∴CG=DG，∠COG= ∠COD=30°，
2
∵OG=3√3，
OG
∴OC= =3√3÷cos30°=6，
cos∠COG
∴⊙O的周长2×6π=12π．
故答案为：12π．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆的周长计算等知识，熟练
掌握正六边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，顺次连接AB、
BC、CD、DE、EF、FA的中点A 、B 、C 、D 、E 、F ，则六边形A B C D E F 的周长是
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
．
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【答案】12√3
【分析】连接AC，过点B作BM⊥A B 于点M，先说明六边形A B C D E F 为正六边形，然后根据
1 1 1 1 1 1 1 1
等腰三角形的性质，三角函数求出A B =2√3，即可得出周长．
1 1
【详解】解：连接AC，过点B作BM⊥A B 于点M，如图所示：
1 1
∵六边形ABCDEF为正六边形，
360°
∴BC=CD=DE=EF=FA=AB=4，∠ABC=180°− =120°，
6
∵A 、B 为AB、BC的中点，
1 1
1
∴A B = AC，
1 1 2
1 1 1 1 1
同理可得：B C = BD，C D = CE，D E = DF，E F = AE，F A = FB，
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AC=BD=CE=DF=EA=FB，
∴A B =B C =C D =D E =E F =F A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
∵A B= AB=2，B B= BC=2，
1 2 1 2
∴A B=B B，
1 1
∵BM⊥A B ，
1 1
1 1
∴∠A BM= ∠A BB =60°，A M= A B ，
1 2 1 1 1 2 1 1
√3
∴A M=A B×sin60°=2× =√3，
1 1 2
∴A B =2√3，
1 1
∴六边形A B C D E F 的周长是6×2√3=12√3．
1 1 1 1 1 1
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故答案为：12√3．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，三角形中位线的性质，
解题的关键是作出辅助线，求出A B =2√3．
1 1
题型06 正多边形与圆中求边心距、边长
【例6】（2023·河北衡水·衡水桃城中学校考模拟预测）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正
五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．r=Rcos36° B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．a=rsin36°
【答案】D
1
【分析】先根据正多边形的性质求出∠BOC=72°，进而求出∠1=36°，BF= a，再解直角三角形即可
2
得到答案．
【详解】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
1
∴∠BOC= ×360°=72°，
5
∵OB=OC，OF⊥BC，
1 1 1 1
∴∠1= ∠BOC= ×72°=36°，BF= BC= a，
2 2 2 2
1
∴ a=Rsin36°，即a=2Rsin36°，故B不符合题意；D符合题意；
2
1
a=rtan36°，即a=2rtan36°，故C不符合题意；
2
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r
cos36°= ，即r=Rcos36°，故A不符合题意；
R
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接正五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角
的度数是解题的关键．
【变式6-1】（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形
边心距为 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OD⊥BC，连接OB，OC，
OB=1，
∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，
∴∠OBD=30°，
1 1
在Rt△OBD中，OD= OB= ，
2 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是
解题的关键．
【变式6-2】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3，
则正六边形的边长为 ．
【答案】2
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【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出∠DOE=60°，进而得出△DOE是正三角形，由圆内接正六
边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出边长．
【详解】解：如图，连接OD、OE，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
360°
∴∠DOE= =60°，
6
∵OD=OE，
∴△DOE是正三角形，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3，
OM
∴OD= ×2=2=DE，
√3
即正六边形ABCDEF的边长为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质是
解决问题的关键．
【变式6-3】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知圆的半径为R，那么它的内接正三角形的边长是
．
【答案】√3R
【分析】根据正三角形外心的性质得AD⊥BC，OC=R，∠BCE=30°，BC=2CD，再根据含30度直
角三角形的性质及勾股定理求出边长即可．
【详解】解：如图所示，O为正三角形△ABC外接圆的圆心，
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴AD⊥BC，OC=R，∠BCE= ∠BCA=30°，BC=2CD，
2
在Rt△ODC中，
∵∠BCE=30°，OC=R，
1 1 √3
∴OD= OC= R，CD=√OC2−OD2= R，
2 2 2
∴BC=√3R
故答案为：√3R
【点睛】本题考查圆与正多边形的相关计算，解题关键掌握正三角形外心的性质．
【变式6-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）半径为4的正六边形的边心距为 ．
【答案】2√3
【分析】首先根据题意作出图形，由正六边形的性质，易得△BOC是等边三角形，然后由三角函数的性质，
可求得OH的值，继而可求得答案．
【详解】解：如图所示，连接OB、OC，作OH⊥BC与H，
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∵正六边形的半径为4，
∵OB=4，
∵OH⊥BC，
∴在Rt△OBH中，
OH √3
sin60°= = ，
OB 2
√3
OH=4× =2√3，
2
即这个正六边形的边心距为2√3．
故答案为：2√3．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的知识，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线；由正六边
形的性质判断出△BOC的形状是解答此题的关键．
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题型07 正多边形与圆中求线段长
【例7】（2023·安徽六安·统考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点O是其中心，点P是AB上
一点，且AP:BP=1:2，连接OP，则OP=（ ）
A．2 B．2√7 C．4 D．6
【答案】B
【分析】如图，连接OA，作OG⊥AB，垂足为G，构造直角三角形；
Rt△OAG中，OG=OAsin∠OAG=3√3，由勾股定理，OP=√OG2+PG2=2√7．
1
【详解】如图，连接OA，作OG⊥AB，垂足为点G，则OA=6，AG= AB=3
2
1
Rt△OAG中，OG=OAsin∠OAG=6×sin60°=3√3，PG=AG−AP=3− ×6=1
3
∴OP=√OG2+PG2=√12+(3√3) 2=2√7
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形；通过添设辅助线将正多边形问题转化为解直角三角形
问题是解题的关键．
【变式7-1】（2023·河北石家庄·统考二模）如图，在边长为6√3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF
，相交于点O，若点M，N分别为OB，OF的中点，则MN的长为（ ）
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．6 B．6√3 C．8 D．9
【答案】D
【分析】连接BF，利用BCF是含30°角的直角三角形，再利用MN是三角形BOF的中位线求MN即可.
【详解】解：连接BF，
∵在正六边形ABCDEF中，∠A=∠ABC=120°，AB=AF，
∴∠ABF=30°
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=90°，
∴在正六边形ABCDEF中，∠BOC=60°，OB=OC
∴BOC是等边三角形，
∴∠BCF=90°，
∴BCF是含30°角的直角三角形
又∵正六边形ABCDEF的边长为6√3，即BC=6√3
∴CF=12√3，
∴BF=√CF2−BC2=√(12√3) 2 −(6√3) 2=18
∵点M，N分别为OB，OF的中点，
∴MN是三角形BOF的中位线，
1
∴MN= BF=9
2
故选：D.
【点睛】本题考查正多边形的内角和中心角，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形三边关系，
正确作出辅助线是解题的关键.
【变式7-2】（2023·浙江·统考二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至
少为（ ）
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3 √3
A．2a B．√3a C． a D． a
2 2
【答案】B
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角
形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
AM
∴ cos∠BAC= ，
AB
√3
∴AM= a，
2
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
1
∴AM=MC= AC，
2
∴AC=2AM= √3a．
扳手张开的开口b至少为√3a .
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则
AB
的值为（ ）
AE
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√6 √3 √2 √6
A． B． C． D．
2 2 3 3
【答案】D
【分析】如图所示，连接AC，CE，由正方形的性质得到∠ABC=90°，∠ACB=45°，则AC是直径，
√2
即可得到∠AEC=90°，解Rt△ABC得到AB= AC，再由等边三角形的性质和圆周角定理得到
2
√3
∠ACE=∠AFE=60°，解Rt△AEC得到AE= AC，由此即可得到答案．
2
【详解】解：如图所示，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴AC是直径，
∴∠AEC=90°，
√2
在Rt△ABC中，AB=AC⋅sin ACB= AC，
2
∵△AEF是等边三角形，
∴∠ACE=∠AFE=60°
√3
在Rt△AEC中，AE=AC⋅sin ACE= AC，
2
√2
AB 2 √6
∴ = = ，
AE √3 3
2
故选D．
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【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
题型08 正多边形与圆中求最值
【例8】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将一个正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合，
则n的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】D
【分析】根据题意得出正n边形的中心角最大为15°，然后由圆周角除以中心角即可得出结果．
【详解】解：正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合，
∵45°和60°最大公约数为15°，
∴正n边形的中心角最大为15°，
∴360°÷15°=24，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，解答此题的关键是要明确绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重
合得出正n边形的中心角最大为15°．
【变式8-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在边长为2的正六边形纸片ABCDEF上剪一个正方形
GHIJ，若GH∥AB，则得到的正方形边长最大为( )
A．√6 B．2√3 C．3−√3 D．6−2√3
【答案】D
【分析】当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大，由此画出图形求解即可．
【详解】解析：当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大．
如图，取正六边形的中心O，连接OA，OF，OG，OF交GJ于点M，
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此时，OF垂直平分GJ，正方形的中心也是O，△AFO是等边三角形，
∴∠GFO=60°，∠GOF=45°，OF=AF=2．
设FM=x，则MO=MG=√3FM=√3x，
∴x+√3x=2，解得x=√3−1，
∴MG=3−√3，
∴正方形的边长为：2MG= 6−2√3，
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的三边关系，正六边
形的性质等知识，根据题意画出符合条件的正方形是解题的关键．
【变式8-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，O为AD的中点，以
O为圆心，√3为半径作⊙O，M为⊙O上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d．
（1）OA= ．
（2）当△BCM面积最小时，点M到BC的距离为 ，d的最大值为 ．
【答案】 4 √3 4+√3/√3+4
【分析】（1）连接OB，可得△AOB是等边三角形，即可；
（2）当OM垂直平分BC时，△BCM面积最小，设OM的延长线交BC于点N，连接OB，根据勾股定理求
出ON的长，即可；根据题意得当点M在线段AD上时，d最大，即可．
【详解】解：（1）连接OB，
360°
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，OA=OB，
6
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=4；
故答案为：4
（2）如图1，当OM垂直平分BC时，△BCM面积最小，设OM的延长线交BC于点N，连接OB．
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1 1 1
∴∠BON= ×60°=30°，OB=OA=AB=4，BN= BC= AB=2，
2 2 2
∴ON=√OB2−BN2=2√3，
∴MN=ON−OM=2√3−√3=√3，
即此时M到BC的距离为√3．
如图2，当点M在线段AD上时，d最大，d=OM+OD=OM+OA=4+√3．
故答案为：√3；4+√3
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键．
【变式8-3】（2022·陕西西安·统考一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上
一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则
矩形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】32
【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形的
面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可．
【详解】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中
面积最大的；
点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点，
此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积，
圆O的直径PQ恰好经过点A，D，
连接BE ，
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∵四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4，
∴BE = PQ = 2OP =8，BC = CE，
∵∠C= 90°，
∴BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 8❑ 2，
∴BC2=32，即S BCEF=32，
正方形
如图，当P,A重合时，当A,B,C,D四点都在圆上时，四边形ABCD是正方形
矩形ABCD面积的最大值为32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键．
题型09 尺规作图-正多边形
【例9】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一
个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】先作直径AC，再作AC的垂直平分线交O于点B，D，则四边形ABCD为⊙O的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD即为所求．
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几
何图形的性质和基本作图的方法作出图，同时此题也考查了正多边形和圆．
【变式9-1】（2019·江西南昌·校联考三模）已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下
列要求作图．
（1）在图①中，作一个正方形；
（2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）连接BD，DF，FH，HB，由原图形为正八边形，得到各边相等，各内角相等，可得三角形
BCD，三角形DEF，三角形FGH，三角形HAB全等，进而得到四边形BDFH四边相等，利用等边对等角
以及正八边形的内角，确定出四边形BDFH四个角都为直角，可得出四边形BDFH即为所求正方形；
（2）连接AE、DH，相交于点O，由正八边形的性质可得点O为正八边形的中心点，且OD=OE，再延
长CD、FE，相交于点N，由补角的定义和等角对等边可得ND=NE，连接ON，与DE相交于点M，则
ON为DE的垂直平分线，点M为DE的中点，同理可得其他各边的中点，依次连接原正八边形
ABCDEFGH的各边中点，依次得到四周小三角形全等，得到红线部分八边形各边相等，再利用等边对等
角以及正八边形的内角，确定出红线部分八边形八个角都相等，可得所求正八边形．
【详解】（1）如图1，连接BD，DF，FH，HB，四边形BDFH即为所求正方形；
（2）如图2，连接AE、DH，相交于点O，由正八边形的性质可得点O为正八边形的中心点，且OD=OE，
再延长CD、FE，相交于点N，由补角的定义和等角对等边可得ND=NE，连接ON，与DE相交于点M，
则ON为DE的垂直平分线，点M为DE的中点，同理可得其他各边的中点，依次连接原正八边形
ABCDEFGH的各边中点，可得所求正八边形．
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，正方形的判定与性质，以及正多边形和圆，熟练掌握正多边形的判
定与性质是解本题的关键．
1
【变式9-2】（2022·江西九江·统考模拟预测）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF= BC，
3
请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边DE上求作点G，使DG=CF；
(2)在图2中的边DE上求作点H，使EH=CF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求
作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G
为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
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∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的
关键．
题型10 正多边形与圆的规律问题
【例10】（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原
点O 重合，顶点A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB 的垂线，垂足为P，将
△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为（ ）
(3 3) ( 3 3) ( 3) (3 )
A． ,− B． − , C． 0, D． ,0
2 2 2 2 2 2
【答案】A
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【分析】过点P作x轴的垂线，垂足为Q，结合正八边形的性质及等腰直角三角形的性质通过探索将
△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，进而求得点的坐标．
【详解】解：∵多边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360°÷8=45°，
√2 3√2
在Rt△APO中，OP=OA =3cos45°=3× = ，
2 2
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，
3√2 3√2 √2 3
在Rt△OPQ中，OP=OQ= cos45°= × =
2 2 2 2
∵∠BOC=∠AOB=45°
3
∴PQ=OQ=
2
(3 3)
∴点P的坐标为 ,
2 2
将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，
(3 3)
∴第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为 ,
2 2
连接OD，82次旋转结束时点P'位于OD上，
∴OP'=OP，∠P'OQ=∠POQ=45°
∴.点P'与点P关于x 轴对称，
∴P'(3
,−
3)
2 2
(3 3)
∵第82次旋转结束时，点P的坐标为 ,−
2 2
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解直角三角形，准确识图探索规律是解题关键．
【变式10-1】（2023·河南南阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x
轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，AB=2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．(−3,−2√3) B．(−2,−2√3) C．(−3,−3) D．(−2,−3)
【答案】A
【分析】连接AD、BD，首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025÷6=337……3，推出经
过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D 的坐标相同即可解答．
3
【详解】解：如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=2，
在Rt△AOF中，AF=2，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
1
∴OA= AF=1，
2
∴OB=OA+AB=3，
∴D(3,2√3)，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，6次一个循环，
∵2025÷6=337⋯3，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第3次旋转得到的D 的坐标相同，
3
∵D与D 关于原点对称，
3
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴D (−3,−2√3)，
3
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标(−3,−2√3)，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化—旋转，学会探究规律方法是解题的关键．
【变式10-2】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的
中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次
旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．(√3,−1) B．(−1,−√3) C．(−√3,−1) D．(1,√3)
【答案】B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝√AO2−AP2＝√3，
∴A（1，√3），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（√3，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，−√3）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（−√3，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，√3）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，−√3），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规
律的方法，属于中考常考题型．
【变式10-3】（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，正六边形A B C D E F 的边长为2，正六边形
1 1 1 1 1 1
A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切，正六边形A B C D E F 的外接圆
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3
与正六边形A B C D E F 的各边相切……按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为
2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10
．
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81√3
【答案】
256
【分析】连接OE ，OD ，OD ，根据正六边形的性质可得∠E OD =60°，则△E OD 为等边三角形，
1 1 2 1 1 1 1
√3 √3
再根据切线的性质得OD ⊥E D ，于是可得OD = E D = ×2，利用正六边形的边长等于它的
2 1 1 2 2 1 1 2
√3
半径可得正六边形A B C D E F 的边长= ×2，同理可得正六边形A B C D E F 的边长
2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
2
(√3)
= ×2，依此规律求解即可．
2
【详解】解：连接OE ，OD ，OD ，如图所示，
1 1 2
∵六边形A B C D E F 为正六边形，
1 1 1 1 1 1
∴∠E OD =60°，
1 1
∴△E OD 为等边三角形，
1 1
∵正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切，
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
∴OD ⊥E D ，
2 1 1
√3 √3
∴OD = E D = ×2，
2 2 1 1 2
√3
∴正六边形A B C D E F 的边长= ×2，
2 2 2 2 2 2 2
2
(√3)
同理可得正六边形A B C D E F 的边长= ×2，
3 3 3 3 3 3 2
9
(√3) 81√3
∴正六边形A B C D E F 的边长= ×2= ．
10 10 10 10 10 10 2 256
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81√3
故答案为： ．
256
【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构成
特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长．
考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR O
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n
180 R
n°
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
l
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥侧 n°
l
圆锥全面积公式 S 圆锥全 =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h
r
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长
nπR
公式l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
然后直接代入公式S扇形=
360
或 S扇形 =
2
l R中求解即可．
1
3）扇形面积公式S扇形=
2
l R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三
角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.
4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，
即
nπR
2πr= ，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也
180
根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题．
6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇
【36淘宝店铺：向阳百分百】
形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型01 求弧长
【例1】（2023·河北沧州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，
CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
4 5
A．π B． π C． π D．2π
3 3
【答案】B
【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得
到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
1
∴∠A=90°-30°=60°，AC= AB=4，
2
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
60π×4 4
∴A´D的长为： ＝ π，
180 3
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
【变式1-1】（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若
∠B=30°．则A´C的长为 （结果用含有π的式子表示）
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2 2π
【答案】 π/
3 3
【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=60°，再利用弧长公式求解即可．
【详解】∵∠AOC=2∠B，∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵⊙O的半径为2，
60π×2 2
∴l = = π，
⏜ 180 3
AC
2
故答案为： π．
3
nπr
【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即l= ，熟练掌握知识点是解题的关键．
180
【变式1-2】（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的长是
（结果保留π）
【答案】√2π
【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
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∴A´B=B´C=C´D=A´D，
1
∴∠AOB＝ ×360°＝90°，
4
在Rt AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝2√2，
△
90π×2√2
∴A´B的长＝ =√2π，
180
故答案为：√2π．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
【变式1-3】（2023·湖南长沙·长沙市第十一中学校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一
点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB=2，求E´C的长．
7π
【答案】（1）55°；（2） ．
18
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然
后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；
（2）利用（1）的结论先求得∠AEO=∠EAO=70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求
解即可．
【详解】解：（1）连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
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∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∠CAD=35°，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠OAC=55°；
（2）连接OE，OC，如图，
由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO=70°，
∵OC∥AE，
∴∠COE=∠AEO=70°，
∴AB=2，则OC=OE=1，
nπr 70π 7π
∴E´C的长为 = = ．
180 180 18
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
【变式1-4】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个
圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（ ）
1
A．3π B．2π C．π D． π
2
【答案】C
【分析】由图示可得在△ABC内的三段弧长度之和为一个半圆的弧长．
【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
180π×1
【详解】解：根据图示可得：在△ABC内的三段弧长度之和为： =π，
180
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算，解答此题的关键是明确三角形内角与扇形的圆心角的关系．
题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长
12π，则扇形半径是 ．
【答案】18
nπr
【分析】利用弧长公式l= 进行计算即可．
180
nπr 120π⋅r
【详解】解：弧长= = =12π，
180 180
解得r=18．
故答案为：18
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是利用弧长公式计算弧长．
π
【变式2-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）一个扇形的圆心角为36°，面积为 cm2，则该扇形的半径
10
为 cm．
【答案】1
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
36πR2 π
【详解】解：设该扇形的半径为Rcm，则 = ，
360 10
解得R=1（负值舍去）．
即该扇形的半径为1cm．
故答案是：1．
nπR2
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，掌握计算公式是解题的关键．即S = （其中n是圆心
扇形 360
角的度数，R是扇形的半径）．
【变式2-2】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为
45°．若A´B，A´C，C´D的长分别为π，π和3π，则⊙O的半径是（ ）
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A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【分析】延长BA，与直线CD交于E，连接BD，设弧长为π所对的圆周角为α，根据题意得出
135°
∠BDC=2α，∠ABD=4α，利用三角形内角和定理求得α= ，即可求得弧长为π所对的圆心角为
6
135°
×2=45°，代入弧长公式即可求得⊙O的半径．
6
【详解】解：延长BA，与直线CD交于E，连接BD，⊙O的半径为R，
∵A´B，A´C，C´D的长分别为π，π和3π，
∴B´C的长为2π，A´D的长为4π，
∴设弧长为π所对的圆周角为α，则∠BDC=2α，∠ABD=4α，
∵∠BDC+∠ABD+∠E=180°，∠E=45°，
∴2α+4α+45°=180°，
135°
∴α= ，
6
135°
∴弧长为π所对的圆心角为 ×2=45°，
6
45π×R
∴ =π，
180
∴R=4，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长的计算，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，求得弧
长为π所对的圆心角是解题的关键．
【变式2-3】（2020·甘肃酒泉·统考二模）已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4π，则它的半径为
．
【答案】4
1
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系S= lr即可求解．
2
1
【详解】解：由扇形的面积公式S= lr可得：
2
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1
4π= ×2π×r，解得r=4，
2
故答案为4．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解此类题目的关键是注意观察已知所给的条件：如果已知扇形半径
nπr2 1
和圆心角，则利用公式S= ，如图已知扇形半径和弧长则利用公式S= lr．
360 2
题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角
【例3】（2021·山东德州·统考二模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm
时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A．120° B．60° C．180° D．450°
【答案】B
【分析】设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，根据弧长公式
即可求出．
【详解】解：设OA旋转的角度为n，
由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，
nπR nπ×10
由弧长公式l= ，得10= ，
180 180
∴n≈60.
故旋转角度为60°
故选：B.
【点睛】此题考查了弧长公式，正确理解重物上升的10cm就是弧长，所求的度数就是圆心角是解题的关
键．
【变式3-1】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对
的圆心角为 ．
【答案】160°/160度
nπr
【分析】把弧长公式 进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案．
180
nπr
【详解】解：∵l= ，
180
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180l 180×8π
∴n= = =160°，
πr 9π
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关键．
【变式3-2】（2021·浙江金华·统考一模）一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，则最小扇
形的圆心角为 ．
【答案】80°/80度
【分析】因为一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，所以其圆心角之比也为2：3：4，则
最小扇形的圆心角度数可求．
【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°，
又因为三个圆心角的度数比为2：3：4，
2
所以最小的圆心角度数为：360°× =80°．
9
故答案为：80°．
【点睛】此题考查扇形统计图及相关计算，解题的关键是掌握圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比．
题型04 求某点的弧形运动路径长度
【例4】（2022·河北·校联考一模）如图，已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，
将A´B绕点A逆时针旋转90°后得到A´B'，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
√5
A． π B．√5π C．2√5π D．2π
2
【答案】B
【分析】根据已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，利用垂径定理可得AC＝4，
PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长．
【详解】如图，设A´B的圆心为O，连接OP交AB于C，连接OA,AP, AB′, AP′,
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∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，
根据垂径定理，得
1
AC＝ AB＝4，PO⊥AB，
2
OC＝√OA2−AC2＝3，
∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
∴AP＝√AC2+PC2＝2√5，
∵将A´B绕点A逆时针旋转90°后得到A´B'，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，
90π×2√5
∴L ＝ ＝√5π．
PP′ 180
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是√5π．
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的弧长计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
【变式4-1】（2021·贵州遵义·校考二模）如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它在水平直线上
向右无滑动滚动到O' A'B'的位置时，则点O到点O'所经过的路径长为 ．
7π
【答案】
6
【分析】点O到点O′所经过的路径长分三段，先以A为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移了
AB弧的长，最后以B为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长．根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，
30×π×1 π
∴AB弧长＝ ＝ ，
180 6
90×π×1 π 7π
∴点O到点O′所经过的路径长＝ ×2+ = ，
180 6 6
【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7π
故答案为： .
6
【点睛】本题考查了弧长公式，旋转的性质和圆的性质，理解点O到点O′所经过的路径长分三段是解题的
关键．
【变式4-2】（2023·陕西·模拟预测）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边上，以
此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）
△
4π
【答案】
3
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知
AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
60π·4 4π
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 = ，
180 3
4π
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟
练地掌握相关内容是解题的关键．
【变式4-3】（2022·四川泸州·四川省泸县第一中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个
顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
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(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A B C ，求点A到A 所经过的路径长．
2 2 2 2
【答案】(1)见解析
√10
(2)见解析， π
2
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
1 1 1
（2）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可，再利用弧长公式求解即可．
2 2 2
【详解】（1）如图所示△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示△A B C 即为所求，
2 2 2
∵ AB=√12+32=√10，
90π⋅√10 √10
∴点A到A 经过的路径长l= = π．
2 180 2
【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的
位置．
题型05 求扇形面积
【例5】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径
画弧，得E´C，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
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√3 2√3
A．2π B．4π C． π D． π
3 3
【答案】A
【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G，
根据正六边形性质可知，∠CAB=∠BCA=30°，
∴AC=2AG=2×√AB2−GH2=2×√22−12=2√3，
2
60×(2√3) ×π
∴S = =2π，
扇形
360
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东梅州·校考模拟预测）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保
留π）为 ．
【答案】π
【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解．
90×22×π
【详解】解：由题意得：该扇形的面积为 =π；
360
故答案为π．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【变式5-2】（2023·广西百色·模拟预测）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆
心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 ．
【答案】1
【分析】根据题意结合图象得出AB=AD=1，l =CD+CB=2，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即
^BD
可．
【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1，
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l =CD+CB=2
⏜ ，
BD
1 1
∴S = l ×r= ×2×1=1，
扇形ABD 2 ⏜ 2
BD
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
题型06 求图形旋转后扫过的面积
【例6】（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将
Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
90⋅π⋅102 1
∴Rt△ABC所扫过的面积为 + ×6×8=25π+24．
360 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的
关键．
【变式6-1】（2020·四川成都·统考一模）如图，在ΔAOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点
O顺时针旋转90∘后得到ΔBOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
π 17 19
A． B．2π C． π D． π
2 8 8
【答案】B
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【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面
积公式即可求解．
【详解】解：∵ΔAOC≌ΔBOD，
90⋅π×32 90⋅π×12
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积= − =2π
360 360
故选B．
【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形
OCD的面积是解题关键．
【变式6-2】（2023·山东东营·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按
逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 ．
π 1
【答案】 / π
3 3
【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求∠DAB'=60°,从而得出∠BAB'=30°,由
扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB=2BC=2,
∴BC=1,
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,
由旋转可知AB=AB'，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2,
AD 1
∵cos∠DAB'= = ,
AB' 2
∴∠DAB'=60°,
∴∠BAB'=30°,
30°×π×22 π
∴线段AB扫过的面积= = .
360° 3
π
故答案为： .
3
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些
性质解决问题是解此题的关键．
【变式6-3】（2021·山东淄博·统考一模）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所
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示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为 ．
π √3
【答案】 −
2 2
【分析】利用勾股定理求出AC及AB的长，根据阴影面积等于S −S −S 求出答案．
扇形CAC' 扇形DAB' △AB'C'
【详解】解：由旋转得AB'=AB,AC'=AC，∠CAC'=90°，∠B' AC' =∠BAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC=2BC=2，AB=√AC2−BC2=√3，∠CAB'=60°，
∴阴影部分的面积=S −S −S
扇形CAC' 扇形DAB' △AB'C'
90π×22 60π×(√3) 2 1
= − − ×1×√3
360 360 2
π √3
= − ,
2 2
π √3
故答案为： − ．
2 2
．
【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算
公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．
【变式6-4】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(3,1)，C(1,3)；
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(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A B C ，画图并写出C 的坐标____________；
1 1 1 1
(2)以A 点为旋转中心，将△A B C 逆时针方向旋转90°得△A B C ，画图并写出C 的坐标_____；
1 1 1 1 1 2 2 2
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为___________．
【答案】(1)作图见解析，(−1,3)
(2)作图见解析，(−3,−1)
(3)2π+4
【分析】（1）根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可；
（3）根据平移的性质以及旋转的性质进而得出线段BC扫过的面积．
【详解】（1）解：如图所示：△A B C 即为所求，C (−1,3)，
1 1 1 1
故答案为：(−1,3)；
（2）如图所示：△A B C 即为所求，C (−3,−1)，
2 2 2 2
故答案为：(−3,−1)；
（3）根据题意，每个小正方形的边长为1，
∴A B =√12+12=√2，
1 1
A C =√12+32=√10，
1 1
∵将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A B C ，
1 1 1
∴BC∥B C ，BC=B C ，
1 1 1 1
∴四边形BCC B 是平行四边形，
1 1
2 2
90π×(√10) 90π×(√2)
∴在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为： 2×2+ − =2π+4，
360 360
故答案为：2π+4．
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【点睛】本题考查作图—平移变换、旋转变换，平行四边形和扇形面积公式等知识，根据题意得出平移和
旋转过程中线段BC扫过的面积是解题关键．
题型07 求圆锥侧面积
【例7】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，
过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
2 √3 2 4 4
A． π− B． π−√3 C． π−2√3 D． π−√3
3 2 3 3 3
【答案】B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
360°
∵∠AOB=2× =60°，
12
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∴ OAB是等边三角形，
1
∴ △ ∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD= AB=1，
2
∴OD=√AO2−AD2=√3，
60⋅π×22 1 2
∴阴影部分的面积为 − ×2×√3= π−√3，
360 2 3
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方
法是正确解答的关键．
【变式7-1】（2022·四川德阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，
AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15°， 则阴影部分的面
积为（ ）
A．16π−12√3 B．16π−24√3
C．20π−12√3 D．20π−24√3
【答案】A
【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2√3，
AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AD，连接OE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
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∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
过O作OH⊥AE于H，
∵AO=4√3，
1
∴OH= AO=2√3，
2
∴AH=√3OH=6，
∴AE=2AH=12，
2
120π×(4√3) 1
∴S =S AOE-S AOE= − ×12×2√3
阴影 扇形
360 2
△
=16π−12√3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合
是解答此题的关键．
【变式7-2】（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6，
则阴影部分的面积是 ．
【答案】9π−18
【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．
【详解】∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
90π×62 1
∴S =S −S = − ×6×6=9π−18．
阴 扇形OAB △AOB 360 2
故答案为：9π−18．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．
【变式7-3】（2023·山东德州·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点
D，BC平分∠ABD．
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(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
4
(2) π−√3
3
【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及BC平分∠ABD推导出∠OCB=∠DCB，即可得出
BD∥OC，从而推出OC⊥DE，即证明得出结论；
（2）过点O作OF⊥CB于F，利用S =S −S 即可得出答案．
阴影 扇形OBC △OBC
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DCB，
∴∠OCB=∠DCB，
∴BD∥OC，
∵BD⊥CE于点D，
∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CB于F，如图，
∵∠ABC=30°，OB=2，
∴OF=1，BF=OB⋅cos30°=√3，
∴BC=2BF=2√3，
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1 1
∴S = BC⋅OF= ×2√3×1=√3，
△OBC 2 2
∵∠BOF=90°−30°=60°，
∴∠BOC=2∠BOF=120°，
120° 4
∴S = ×π×22= π，
扇形OBC 360° 3
4
∴S =S −S = π−√3．
阴影 扇形OBC △OBC 3
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并
正确作出辅助线是本题的关键．
【变式7-4】（2021·山东临沂·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重
合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
1
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝ ，求图中阴影部分的面积．
2
2π
【答案】（1）见解析；（2） ﹣√3．
3
【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条
件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
1
（2）由sin∠DAC＝ ，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则
2
∠AOE的度数可得；利用S ＝S ﹣S ，可求得答案．
阴影 扇形 AEO
【详解】解：（1）证明：如图，连接O△C，
∵AB是⊙O的直径，
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∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线．
（2）连接OE，
1
∵sin∠DAC＝ ，AD⊥PQ，
2
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S ＝S ﹣S
阴影 扇形 AEO
1 △
＝S ﹣ OA•OE•sin60°
扇形 2
60π 1 √3
＝ ×22− ×2×2×
360 2 2
2π
＝ −√3．
3
2π
∴图中阴影部分的面积为 ﹣√3．
3
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的
判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
题型08 求圆锥侧面积
【例8】（2023·安徽合肥·模拟预测）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为
（ ）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
【答案】B
【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S =πrl；
侧
【详解】S =πrl=π×4×6=24π cm2 ，
侧
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．
【变式8-1】（2023·浙江金华·校考一模）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，
△
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把 ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
△
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√32+42=5，
1
以直线AC为轴，把 ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= ×2π×4×5
2
=20π． △
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
【变式8-2】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几
何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
【答案】B
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积
公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
1
所以这个几何体的侧面积＝ ×π×6×8＝24π（cm2）．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
a+b a2−b2
【变式8-3】（2023·广东广州·统考一模）已知：M= ÷
2a2b−2ab2 a2−2ab+b2
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(1)化简M；
(2)如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24π，求M的值．
1
【答案】(1)
2ab
1
(2)
48
【分析】（1）根据分式的除法法则进行化简即可得；
（2）根据圆锥的侧面积公式可得ab的值，代入计算即可得．
a+b a2−b2
【详解】（1）解：M= ÷
2a2b−2ab2 a2−2ab+b2
a+b (a+b)(a−b)
= ÷
2ab(a−b) (a−b) 2
a+b (a−b) 2
= ⋅
2ab(a−b) (a+b)(a−b)
1
= ．
2ab
（2）解：∵圆锥侧面积为24π，
1
∴ ×2πab=24π，
2
解得ab=24，
1 1
则M= = ．
2×24 48
【点睛】本题考查了分式的化简求值、圆锥的侧面积，熟练掌握分式的运算法则和圆锥的侧面积公式是解
题关键．
题型09 求圆锥底面半径
【例9】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD
为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面
展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
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√2 1
A．√2 B．1 C． D．
2 2
【答案】D
【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的
周长公式进行计算即可得解．
【详解】∵正方形ABCD的边长为4
∴AD=AE=4
∵AC是正方形ABCD的对角线
∴∠EAD=45°
45°×π×4
∴l = =π
⏜ 180°
DE
1
∴圆锥底面周长为C=2πr=π，解得r=
2
1
∴该圆锥的底面圆的半径是 ，
2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌
握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．
【变式9-1】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁
皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥
的底面半径为（ ）
A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆半径为
r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r．
【详解】过O作OE⊥AB于E，
∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，
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∴∠A＝∠B＝30°，
1
∴OE＝ OA＝45cm，
2
120π×45
∴弧CD的长= =30π，
180
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝30π，解得r＝15．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形
的半径等于圆锥的母线长．
【变式9-2】（2023·江苏苏州·校联考一模）一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，
则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．3√2cm
【答案】A
【分析】设圆锥底面半径为rcm，则圆锥底面圆周长为2πrcm，再求出侧面展开图扇形的弧长，根据两者
相等，即可得到圆锥的底面圆半径．
【详解】解：设圆锥底面半径为rcm，
那么圆锥底面圆周长为2πrcm，
120π×3
所以侧面展开图的弧长为 =2π(cm)，
180
则2πr=2π，
解得：r=1(cm)，
故选：A．
【点睛】此题考查了弧长公式、圆锥的侧面展开图等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．
【变式9-3】（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一
个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（ ）
A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
【答案】C
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
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90πR πR
【详解】解：扇形的弧长是： ＝ ，
180 2
圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2 ，
πR
π
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： ＝2 ，
2
R π
∴ ＝2，
2
即：R＝4，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆锥底面周长与展开扇形弧长关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥底面周长与
展开扇形之间关系.
题型10求圆锥的高
【例10】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（
）
A．2 B．3 C．√2 D．√3
【答案】D
【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．
【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，
由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，
∴AD=ABsinB=√3，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关
知识进行求解．
【变式10-1】（2022·云南昆明·统考三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，
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∠ABO=∠ACO=22.5°,BC=8，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆
锥的高为（ ）
A．√6 B．2√6 C．√15 D．√30
【答案】D
【分析】根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB，再根据扇形的弧长公式即可求解；
【详解】解：根据圆的性质，∠BOC=2∠A
∵∠A+∠ABO+∠OBC+∠ACO+∠OCB=180°，∠OBC+∠BOC+∠OCB=180°
∴∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC
∵∠BOC=2∠A，∠ABO=∠ACO=22.5°
∴∠BOC=90°
∵OB=OC，BC=8
√1
∴OB=OC= BC2=4√2
2
⏜ 1
∴BC= ⋅2π⋅4√2=2√2π
4
2√2π
∴圆锥底面圆的半径为：r= =√2
2π
∴圆锥的高h=√OB2−r2=√(4√2) 2 −√2 2=√30
故选：D
【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【变式10-2】（2021·云南曲靖·统考一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角
∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是（ ）
A．2 B．2√10 C．4√2 D．4√3
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【答案】C
【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后
用勾股定理求出CA即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r
∵AC=6，∠ACB=120°
120π×6
∴lA´B= =2πr，即：r=OA=2
180
在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得，OC=√AC2−OA2=4√2．
故填：4√2．
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是
解答本题的关键．
题型11 求圆锥侧面积展开图的圆心角
【例11】（2023·湖北黄冈·校考一模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积
为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】D
【分析】根据圆锥侧面积计算公式进行求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
π⋅θ⋅l
∴ =4π，
180°
720°
∴l= ，
θ
∵π⋅2l=8π，
720°×2π
∴ =8π，
θ
∴θ=180°，
故选D．
【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，熟知圆锥侧面积公式和弧长公式是解题的
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关键．
【变式11-1】（2022·福建福州·福州华伦中学校考一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
【答案】C
【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．
【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长l=√42+32=5，
圆锥的底面周长为：π×6=6π，
设圆心角的度数为n，
nπ×5
则 =6π，
180
解得：n=216，
故圆心角度数为：216°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
【变式11-2】（2019·内蒙古呼和浩特·校联考一模）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展
开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【答案】B
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
nπR
设圆心角为n，有 =2πr=πR，
180
∴n=180°．
故选B．
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题型12 圆锥的实际问题
【例12】（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点
单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．
“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径
是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”
中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的
体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：π×32×7=63πcm3
1
圆锥的体积为
π×62×6=72πcm3
，
3
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
1
∴ π⋅(6−x) 2 ⋅(6−x)=72π−63π，
3
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∴(6−x) 3=27，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决
问题．
【变式12-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若
用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．(30+5√29)π米2 B．40π米2
C．(30+5√21)π米2 D．55π米2
【答案】A
【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的
面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．
【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，
∴圆锥的母线长=√52+22=√29米，
∴圆锥的侧面积=π×5×√29=5√29π，
圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，
即2π×5×3=30π，
故需要的毛毡：(30+5√29)π米❑ 2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积
是解题关键．
【变式12-2】（2020·浙江·一模）某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为24cm，底面半径为10cm，
若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ．
【答案】260πcm2．
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【分析】纸帽的外部面积就是圆锥侧面展开图的面积，所以计算侧面展开图的面积，问题即可求解．
【详解】解：纸帽底面圆的周长为：2π•10=20π(cm)
∴侧面展开图的扇形的弧长为20π(cm)
∵圆锥的母线长为：√102+242=26（cm）
1
∴圆锥侧面展开图的面积为： ×20π×26=260πcm2
2
故答案为：260πcm2．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
【变式12-3】（2021·山东德州·统考二模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方
形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧
面，则圆锥的表面积为（ ）
A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2 D．8πcm2
【答案】B
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
90π×(6−2r)
于圆锥底面的周长得到 =2 r，解方程求出r，然后求得直径即可．
180
π
【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
90π×(6−2r)
根据题意得 =2 r，
180
π
解得r＝1，
1
侧面积= ·2πr·4=4π ，
2
底面积=πr2=π
所以圆锥的表面积=5πcm2，
故选：B．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两
个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
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题型13 圆锥侧面上的最短路径问题
【例13】（2020·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，如
果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为 ．
【答案】3√3
【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路
程．
【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°．
nπ⋅6
∵ ＝4π，
180
∴n＝120即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
√3
∴BF＝AB•sin∠BAF＝6× ＝3√3，
2
∴最短路线长为3√3．
故答案为：3√3．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维．
【变式13-1】（2023·黑龙江·模拟预测）如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C
为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为
．
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9√3 9
【答案】 / √3
2 2
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角∠APA'的度数，然后利用等边
9√3
三角形的判定与性质、勾股定理可得AC= ，最后根据两点之间线段最短即可得．
2
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接AB、AC，
设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA'的度数为n°，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
nπ×9
所以 =2π×3，
180
解得n=120，
1
则∠APB= APA'=60°，
2
又∵AP=BP=9，
∴△ABP是等边三角形，
∵点C为PB的中点，
1 9
∴AC⊥BP，CP= BP= ，
2 2
9√3
在Rt△ACP中，AC=√AP2−CP2=
，
2
9√3
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC= ，
2
9√3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面
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展开图是解题关键．
【变式13-2】（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的
对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即
∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66）
√2 √3 1
【答案】(1) ; ;T(A)>
2 3 2
(2)20.7
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据T(A)的定义即
可解答．
【详解】（1）解：如图1，
BC
∠A=90°，AB=AC，则 =√2，
AB
AB √2
∴F(90° )= = ，
BC 2
如图2，
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∠A=120°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°，
√3
∴BD= AB，
2
∴BC=√3AB，
AB √3
∴T(120° )= = ；
BC 3
∵2AB＞BC，
AB 1
∴ > ，
BC 2
1
∴T（A）＞ ．
2
√2 √3 1
故答案为： ; ;T(A)> ．
2 3 2
（2）解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
n⋅π×18
则 =14π，解得n＝140，
180
∵T(70°)≈0.87，
18
∴蚂蚁爬行的最短路径长为 ≈20.7．
0.87
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知
识点，掌握相关性质定理和T(A)的定义是解本题的关键．
考点三 不规则面积的有关计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为
规则图形的面积．常用的方法有：
1）直接用公式求解．
图形 公式
S = S
阴影 扇形ABC
A C
B
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S = S
阴影 △ABC
A C
B
S = S = ab
阴影 四边形ABCD
D
A
b
a
B C
2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．
①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S =S ±S ）
阴影 常见图形 常见图形
图形 面积计算方法 图形 面积计算方法
S =S −S S =S +S
阴影 △ACB 扇形 阴影 扇形BAB′ 半
−S
CAD 圆AB′ 半圆AB
S =S −S S 阴影=S +S
阴影 △AOB 扇形 半圆AC
−S
COD 半圆BC △ACB
S =S −S S = S −S
阴影 半圆AB △AOB 阴影 扇形BAD
半圆AB
S =S −S S =S =
阴影 扇形EAF △ADE A 阴影 扇形之和
nπR2 πR2
=
360 2
B C
②构造和差法
图形 公式
S =S +S
阴影 扇形AOC △BOC
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S =S -S
阴影 △ODC 扇形DOE
S =S -S
阴影 扇形AOB △AOB
S =S +S -S
阴影 扇形BOE △OCE 扇形COD
3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利
用公式法或和差法创造条件，从而求解．
①全等法
图形 公式
S = S
阴影 △AOB
S = S
阴影 扇形BOC
S =S
阴影 矩形ACDF
S = S
阴影 正方形PCQE
②等面积法
图形 公式
S = S
阴影 扇形COD
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③平移法
图形 公式
D F C D F C S =S
阴影 正方形BCFE
A E B A E B
S =S
阴影 矩形ABHG
④旋转法
图形 公式
S =S
阴影 扇形BOE
S = S
阴影 扇形BOD
S = S -S
阴影 扇形ABE 扇形MBN
⑤对称法
图形 公式
S =S
阴影 △ACD
S = S
阴影 扇形CDE
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1
S = S = S
阴影 △OBC 4 正方形ABCD
S = S - S
阴影 扇形ACB △ACD
题型01 直接公式法
【例1】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S ）变
1
形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S ），则S 与S 的关系为（ ）
2 1 2
π
A．S >S B．S =S C．S S
1 2
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧
长是解决问题的关键．
【变式1-1】（2020·浙江舟山·统考中考真题）如图，在半径为√2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最
大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆
锥底面半径为 ．
【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
【答案】 π
2
【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半
径即可．
【详解】解：连接BC，
由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，
∴BC＝2√2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，
90π×4
∴S ABC＝ ＝π；
扇形 360
90π×2
∴扇形的弧长为： ＝π，
180
设底面半径为r，则2πr＝π，
1
解得：r＝ ，
2
1
故答案为：π， ．
2
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
【变式1-1】（2021·山东东营·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE
长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC=60°，∠ABC=100°，BC=4，则扇形BEF的面积为
．
【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4π
【答案】
9
【分析】根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出∠BEF，然后根据扇形面积公式计算．
【详解】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=100°，
∴∠ACB=20°，
∵E为BC的中点，EB、EF为半径，
∴∠EFC=∠ECF=20°，
∴∠BEF=40°，
∵BC=4，
∴BE=2，
40π×22 4π
∴扇形BEF的面积= = ．
360 9
【点睛】本题主要考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公式
是解题的关键．
【变式1-3】（2021·广东佛山·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶
点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到△AB'C'．
（1）求∠BAC的正切值．
（2）求扇形CAC'的面积．
1
【答案】（1）tan∠BAC= ；（2）S =10π．
3 扇 形CCA'
【分析】(1)过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，如图,根据正切的定义求解；
(2)连接CC´，如图，先利用勾股定理的逆定理证明 ACC为直角三角形，则∠CAC=90°，然后根据扇形的
面积公式计算．
△
【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，
则CD=2，AD=6，
CD 2 1
∴在Rt△ACD中，tan∠BAC= = = ．
AD 6 3
（2）连接CC'，
C'C2=42+82=80，C' A2=C A2=22+62=40，
∵C' A2+C A2=C'C2=80，
∴△ACC'为直角三角形，∠CAC'=90°，
90π⋅AC2 90π×40
∴S = = =10π．
扇 形CCA' 360 360
【点睛】本题考查了作图一旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．
题型02 直接和差法
【例2】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，有一个半径为5cm的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为
90°的扇形ABC，其中A、B、C都在圆O上，则被剪掉阴影部分的面积是 ．
25π
【答案】
cm2
2
【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径得出BC为⊙O的直径，则△ABC是等腰直角三角形，即可求
出半径AB的长，利用扇形面积公式即可求出扇形BAC的面积，最后求出圆O的面积与扇形BAC的面积之
差即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接BC，
【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，
∵⊙O的半径为5cm，
∴BC=10cm，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得AB2+AC2=BC2，
即2AB2=102，
解得AB=5√2，
2
90π×(5√2) 25π
∴S = = cm2，
扇形BAC 360 2
又∵S =π×52=25π，
圆O
∴S =S −S
阴影 圆O 扇形BAC
25π
=25π−
2
25π
= cm2 ，
2
25π
故答案为：
cm2
．
2
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
【变式2-1】（2023·四川泸州·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC
的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积是（ ）
5 13 13
A． πcm2 B． πcm2 C． πcm2 D．2πcm2
2 2 4
【答案】C
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1 1
【分析】先求解∠DOE=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°− (180°−∠A)=130°，再利用扇形的面
2 2
积公式进行计算即可．
【详解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
1 1
∴∠DOE=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°− (180°−∠A)=130°，
2 2
130π×32 13
∴S = = π(cm2)，
扇形DOE 360 4
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，求解扇形的面积，熟记三角形的内切圆的性质是解本题的
关键．
【变式2-2】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点
C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
π
【答案】1−
4
【分析】连接CD，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积
=S −S 即可解答．
△ABC 扇形CEF
【详解】解：连接CD，如图，
∵以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，
∴CD⊥AB，
∵△ACB为等腰直角三角形，
1
∴CD=AD=BD= AB．
2
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∵AB=√2AC=√2⋅√2=2，
∴CD=1，
∴阴影部分的面积=S −S
△ABC 扇形CEF
1 90π×12
= BC⋅AC−
2 360
1 π
= ×√2×√2−
2 4
π
=1− ．
4
π
故答案为：1− ．
4
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点，
连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
【变式2-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，
∠B=30°，以AC为直径的半圆交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
4
【答案】7√3− π
3
【分析】连接OD，过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据S =S −(S +S )求解．
阴影 △ACB △AOD 扇形DOC
【详解】解：连接OD，过点O作OF⊥AD，垂足为F，
∵∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，
∴∠A=60°，BC=4√3，
∴OA=2，
∴OF=√3，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=60°，
∴∠COD=120°，
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∴S =S −(S +S )
阴影 △ACB △AOD 扇形DOC
1 1 120π×22
= ×4×4√3− ×2×√3−
2 2 360
4π
=7√3− ．
3
4
故答案为：7√3− π．
3
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形，直角三角形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的
关键．
【变式2-4】（2018·吉林长春·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C
为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
π
A．4−2π B．8−2π C．8− D．8−4π
2
【答案】B
1
【分析】根据题意，阴影部分的面积是长方形的面积减去两个 圆的面积，由此即可求解．
4
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，
∴AB=CD=4,AD=BC=2，S =AB·AD=4×2=8，
矩形ABCD
以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，
1 1 1 1
∴S = π·AD2= π×22=π，S = π·BC2= π×22=π，
扇形ADE 4 4 扇形BCF 4 4
∴阴影部分的面积为8−π−π=8−2π，
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，求不规则图形的面积，掌握矩形的性质，圆面积的计算方法，图
形结合求不规则图形的面积的方法是解题的关键．
【变式2-5】（2021·河南周口·统考二模）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径
都是2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
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A．6π B．5π C．4π D．3π
【答案】A
【分析】求出五个扇形的圆心角之和，利用扇形面积公式求解即可．
【详解】∵(5−2)×180°=540°
540
∴ S= π×22=6π
360
故选A．
【点睛】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解题意是解题的关键．
题型03 构造和差法
【例3】（2020·辽宁抚顺·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB
交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°．
(1)求证：EM是⊙O的切线；
(2)若∠A=∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
3√3−π
(2)
6
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算．
（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据
等腰三角形的性质得到∠OCM=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据已知推出∠E=30°，得到OE，利用勾股定理求出CE，根据扇形和三角形的面积公式即可得到
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结论．
【详解】（1）解：证明：连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO=90°，
∵∠ACE+∠AFO=180°,∠ACE+∠ACM=180°，
∴∠AFO=∠ACM，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠ACM=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥ME，
∴EM是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EOC=2∠A=2∠E，∠EOC+∠E=∠OCM=90°，
∴2∠E+∠E=90°，
∴∠E=30°，
∴ ∠COE=90°−∠E=60°，
∵∠OCE=90°,OC=1，
在Rt△OCE中，
∴OE=2OC=2
∴CE=√OE2−OC2=√3，
1 60π×12 3√3−π
∴S =S −S = ×√3×1− = ．
阴影部分 △OCE 扇形BOC 2 360 6
【变式3-1】（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交
AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是
（ ）
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√3 π √3 π √3 π √3 π
A． + B． + C． + D． +
2 3 3 2 2 2 3 3
【答案】A
【分析】连接OE、OF，如图，根据切线的性质得到OE⊥AF，再利用勾股定理计算出EF=√3，计算出
∠FOE=60°，∠BOF=60°，则∠DOE=120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积
=S +S −S 进行计算．
扇形BOF △OEF 扇形DOE
【详解】连接OE、OF，如图，
∵弦AF切小半圆于点E，
∴OE⊥AF，
∵AB=4，∠BAF=30°，
∴OA=OB=OF=2，OE=1，
在Rt△OEF中，EF=√22−12=√3，
∵∠BAF=30°，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，∠OAF=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠DOE=120°，
图中阴影部分的面积=S +S −S
扇形BOF △OEF 扇形DOE
60×π×22 1 120×π×12
= + ×1×√3−
360 2 360
π √3
= + ．
3 2
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=√3，AD=1，点P为DC边上的
一个动点，将△ADP沿AP折叠得到△AEP，D´E为点D关于AP对称时对称点E的轨迹， 当线段EC的长
度最短时，则图中阴影部分的面积是 ．
【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√3 π
【答案】 −
3 6
【分析】先确定点E的运动轨迹，可知当点A，E，C三点共线时，EC的长最短，再求出AC，进而求出
∠DCA，∠DAC，然后根据矩形的性质和折叠的性质可求PD，最后根据S =2S −S 得出
阴影 △ADP 扇形ADE
答案．
【详解】由折叠的性质知，点P从点D对称到点E的过程中，AE=AD，
∴点E的运动轨迹是以点A为圆心，AD为半径的圆弧，
∴当点A，E，C三点共线时，EC的长最短，
如图，在矩形ABCD中，AB=√3，AD=1，可知BC=AD=1，AB=√3=CD，
∴AC=√AB2+BC2=2，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DAC=60°．
由矩形的性质和折叠的性质可知PE=PD，∠PEC=90°，
∴PC=2PE，
∴CD=3PD，
√3
∴PD= ．
3
1 √3 60π×12 √3 π
则S =2S −S =2× ×1× − = − ．
阴影 △ADP 扇形ADE 2 3 360 3 6
√3 π
故答案为： − ．
3 6
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求阴影部分的面积，求扇形面积，勾股定理等，将不规则图形
的面积转化为规则图形的面积的和（差）是解题的关键．
【变式3-3】（2023·吉林松原·统考二模）如图，矩形ABCD内接于圆中．若AB=√3cm,BC=1cm，则阴
影部分图形的面积是 cm2（结果保留π）．
【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2 √3
【答案】 π−
3 2
【分析】如图，连接AC，BD，交点为O，过O作OE⊥AB，由题意知O为圆的圆心，则
1 BC 1 √3
AE=BE= AB，则tan∠CAB= = = ，∠CAB=30°，AC=2BC=2，
2 AB √3 3
1 1
OE=AE⋅tan∠CAB= ，∠AOB=120°，AO=CO= AC=1，根据S =2(S −S )，计
2 2 阴影 扇形AOB △AOB
算求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，BD，交点为O，过O作OE⊥AB，由题意知O为圆的圆心，则
1
AE=BE= AB，
2
∵AB=√3cm,BC=1cm，
BC 1 √3
∴tan∠CAB= = = ，
AB √3 3
∴∠CAB=30°，
1
∴AC=2BC=2，OE=AE⋅tan∠CAB= ，∠AOB=120°，
2
1
∴AO=CO= AC=1，
2
(120π×12 1 1) 2π √3
由题意知S =2(S −S ) =2 − ×√3× = − ，
阴影 扇形AOB △AOB 360 2 2 3 2
2 √3
故答案为： π− ．
3 2
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，正切，含30°的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟
练掌握与灵活运用．
【变式3-4】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕
【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA=2，则图中阴影部分的面积是 （结果保留根号和
π）．
2
【答案】 π−√3
3
【分析】连接OC，由翻折的性质及圆的性质可得△OCA是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面
积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OC，设l交OA于点D，
1
由翻折的性质得：AC=OC，AD=OD= OA=1，CD⊥OA，
2
∵OC=OA=2，
∴OA=OC=AC=2，
即△OCA是等边三角形，
∴∠AOC=60°，由勾股定理得CD=√OC2−OD2=√3，
∴S =S −S
阴影 扇形AOC △AOB
60π×22 1
= − ×2×√3
360 2
2
= π−√3，
3
2
故答案为： π−√3．
3
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三
角形是解题的关键．
【变式3-5】（2023·江苏南通·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC
的延长线上，且∠EAC=∠CAB．
【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
1
(2)若OE=6,sin∠E= ，求图中阴影部分的面积．
2
【答案】(1)见解析
3π
(2)S =
阴影 2
【分析】（1）连接OA．根据半径相等可得∠OAC=∠OCA，根据∠OCA+∠CAB=90°，
∠EAC=∠CAB，等量代换可得∠OAC+∠EAC=90°，即可得证；
1
（2）连接OB，根据特殊角的三角函数值得出∠E=30°,OA= OE=3，进而可得△OAC是等边三角形．
2
再结合垂径定理，根据S =S ，即可求解．
阴影 扇形BOC
【详解】（1）解：如图，连接OA．
∵OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA
∵OC⊥AB，
∴∠ADC=90°
∴∠OCA+∠CAB=90°．
又∵∠EAC=∠CAB,∠OAC=∠OCA．
∴∠OAC+∠EAC=90°，
∴∠OAE=90°．
∴AE⊥OA
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）如图，连接OB．
【91淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OA 1
∵在Rt△OAE中，sin∠E= = ，OE=6．
OE 2
1
∴∠E=30°,OA= OE=3
2
∴∠AOC=60°．
又∵OA=OC
∴△OAC是等边三角形．
又∵弦AB垂直于半径OC．
∴OD=DC,AD=BD,A´C=B´C
∴S =S ,∠BOC=∠AOC=60°．
△OBD △CAD
60π×32 3π
∴S =S = = ．
阴影 扇形BOC 360 2
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，求扇形面积，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知
识，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理是解题的关键．
题型04 等面积法
【例4】（2023·江苏淮安·统考一模）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与
BC交于点D，与AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
2
(2) π
3
【分析】（1）连接OD，利用角平分线和半径之间关系推出AC∥OD，结合∠ACD=90°得OD⊥BC，
根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE、OE，由题干得△OAE为等边三角形，利用半径相等得四边形AEDO是菱形，得出阴影部
分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
【详解】（1）证明：连接OD，如图
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∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴AC∥OD，
∵∠ACD=90°，即OD⊥BC
∴∠ODB=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ED，OE，OE交AD于点M，
∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD，即AE∥OD，
∴四边形AEDO为平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形AEDO是菱形，
∠EOD=∠EOD=60°，
∴S =S ，
△AEM △DOM
60×π×4 2
∴S =S = = π
❑阴影 扇形DOE 360 3
【点睛】本题考查圆与三角形的结合，利用等角对等边、角平分线、圆的切线、等边三角形的判定和性质、
平行四边形以及菱形的判定和性质，并熟练掌握扇形面积公式．
【变式4-1】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点D,点E为
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劣弧BD的中点，过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接AE．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AF=3,EF=√3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
2
(2) π
3
【分析】（1）连接OE，BD交于点G，根据圆周角定理及垂径定理可得∠GDF=90°，然后根据矩形的
判定与性质可得∠GEF=90°，最后由切线的判定方法可得结论；
（2）连接OD、DE，根据解直角三角形及圆周角定理可得∠BOE=∠DOE=60°，由等边三角形的判定
与性质可得S =S ，最后由扇形面积公式可得答案．
△ADE △ODE
【详解】（1）证明：连接OE，BD交于点G，如图所示：
∵E为劣弧B´D的中点，
∴OE⊥BD，
∴∠DGE=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠GDF=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠DFE=90°，
∴四边形DGEF是矩形，
∴∠GEF=90°，
∴OE⊥EF，
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∵OE为圆的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OD、DE，如图所示：
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AF=3，EF=√3，
EF √3
∴tan∠EAF= = ，
AF 3
∴∠EAF=30°，
∴∠DOE=60°，
∵点E为劣弧B´D的中点，
∴ E´D=B´E，
∴∠BOE=∠DOE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠DEO=60°，
∴DE∥AB，
∴S =S ，
△ADE △ODE
∵DG=EF=√3，
∴OD=2，
60π×22 2π
∴S = = ，
阴影ODE 360 3
2π
∴阴影部分的面积为 ．
3
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算等知识，正确作出辅助线是解决此
题的关键．
【变式4-2】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C
的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
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(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若⊙O的半径4，DE=2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
8π
(2)
3
【分析】（1）连接OC，切线的性质，推出OC∥AD，得到∠DAC=∠OCA，等边对等角得到
∠OAC=∠OCA，进而得到∠DAC=∠OAC，即可；
（2）连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G，分割法求阴影部分面积即可．
【详解】（1）证明：连接OC，则：OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G，
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∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEB=90°，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴四边形CDEF为矩形，
∴OC⊥BE，CF=DE=2，
∴BF=EF，
∵⊙O的半径为4，
∴OA=OE=OC=OB=4，
∴OF=OC−CF=2，
OF 1
∴AE=2OF=4，sinB= = ，
OB 2
∴∠B=30°，
∴∠DAB=60°，∠COB=60°
∴△AOE为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠EOC=60°，
∴OE⊥AC，
1
∴OG= OA=2，AG=√OA2−OG2=2√3，
2
∴AC=2AG=4√3；
60π 1 1 8π
∴S =S +S −S = ×42+ ×4×2√3− ×4√3×2= ．
阴影 扇形COE △AOE △AOC 360 2 2 3
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
勾股定理，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，添加常见的辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
题型05 旋转法
【例5】（2015·四川乐山·统考中考真题）如图，已知A(2√3，2)，B(2√3，1)，将△AOB绕着点O逆时针
旋转，使点A旋转到点A′(－2，2√3)的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
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3
【答案】 π
4
【详解】试题分析：∵A（2√3，2）、B（2√3，1），∴OA=4，OB=√13，∵由A（2√3，2）使点A旋
转到点A′（﹣2，2√3），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，S =S ，∴阴影部分的
ΔOB'C' ΔOBC
1 1 3 3
面积等于S ﹣S = π×42− π×(√13) 2 = π，故答案为 π．
扇形A'OA 扇形C'OC 4 4 4 4
考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．
【变式5-1】（2021·全国·九年级专题练习）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形
AB'C'D'的位置，若AB=4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】2π
【分析】由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积=四边形
ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积
=扇形ABB'的面积
45π×42
=
360
=2π；
故答案为：2π．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积=扇形
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ABB'的面积是解题的关键．
题型06 对称法
【例6】（2017·江苏苏州·统考二模）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= √2，
则图中阴影部分的面积是
π
【答案】
4
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到
∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于
是得到S =S ，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
△AOC △BOC
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=√2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
√2
∴S =S ，OA= AC=1，
△AOC △BOC 2
90·π·12 π
∴S =S = = ．
阴影部分 扇形AOC 360 4
π
故答案为 ．
4
【变式6-1】（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆
O 的直径，半圆O 过C点且与半圆O 相切，则图中阴影部分的面积( )
1 2 1
7−π 5−π 7 5
A． B． C． D．
9 9 9 9
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【答案】D
【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆
的半径，从而求阴影部分的面积．
【详解】解：连接O O ，设O 的半径为x．
1 2 2
∵O O 2−AO 2=AO 2 ，
1 2 1 2
∴(2+x) 2−22=(2−x) 2，
2
解得：x=
3
设⊙O 交BC于D，⊙O 交BC于E．
1 2
2√2 √2
∴CE=PE=√2x= ，BC=√2AB，CD= AB=√2
3 2
1 1 1 1 2√2 2√2 5
∴S =S −S = CD⋅AD− CE⋅PE= ×√2⋅√2− × ⋅ =
阴影 △ADC △CEP 2 2 2 2 3 3 9
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及三角形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于梯形PEDA的面
积是关键．
【变式6-2】（2018·吉林·统考一模）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
点O，B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是 ．
2π
【答案】2√3−
3
【分析】连接OO'，BO'，根据旋转的性质得到∠OAO'=60°，推出△OAO'是等边三角形，得到
∠AOO'=60°，推出△OO'B是等边三角形，得到∠AO'B=120°，得到∠O'B'B=∠O'BB'=30°，根
据图形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接OO'，BO'，
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∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO'=60°，
∴△OAO'是等边三角形，
∴∠AOO'=60°，OO'=OA，
∴当O'中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O'OB=60°，
∴△OO'B是等边三角形，
∴∠AO'B=120°，
∵∠AO'B'=120°，
∴∠B'O'B=120°，
∴∠O'B'B=∠O'BB'=30°，
∴图中阴影部分的面积 =S −（S −S ）
△B'O'B 扇形O'OB △OO'B
1 60⋅π×22 1
= ×1×2√3−（ − ×2×√3）
2 360 2
2π
=2√3− ，
3
2π
故答案为：2√3− ．
3
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题
的关键．
【变式6-3】（2023·山西吕梁·统考三模）如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平
分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分的面积等于（ ）
4π 2π 16π 8π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】B
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【分析】连接OC,OE，根据线段垂直平分线的性质可得AC=OC,BE=OE，继而证明△OAC,△OBE是
等边三角形，进而得出S −S =S −S ,S −S =S −S ，最后利用
扇形CAO △OAC 扇形COA △OAC 扇形EBO △OBE 扇形EOB △OBE
扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接OC,OE，
∵CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，
∴AC=OC,BE=OE，
∴∠CAO=∠COA,∠EBO=∠EOB，
∵OC=OA,OE=OB，S =S ,S =S ，
扇形CAO 扇形COA 扇形EBO 扇形EOB
∴OC=OA=AC,OE=OB=BE，
∴△OAC,△OBE是等边三角形，
∴S −S =S −S ,S −S =S −S ，
扇形CAO △OAC 扇形COA △OAC 扇形EBO △OBE 扇形EOB △OBE
∵∠AOC=∠BOE=60°，
∴∠COE=60°，
∵AB=4，
∴OC=2，
60 2
∴图中阴影部分的面积=S = π×22= π，
扇形COE 360 3
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式，熟练掌握知识
点，准确添加辅助线是解题的关键．
【变式6-4】（2023·广东汕头·校考二模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=12，点C为半圆上的一点．
将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是
【答案】6π
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交B´C于点E，则可判断点O是B´C的中点，由折叠的性质可得
1 1
OD= OE= R=3，在RtΔOBD中求出∠OBD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可
2 2
得出阴影部分的面积．
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【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交B´C于点E，连接OC，
则点E是BE´C的中点，由折叠的性质可得点O为BO´C的中点，
∴S =S ，
弓形BO 弓形CO
1
在RtΔBOD中，OD=DE= R=3，OB=R=6，
2
∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，
60π×62
∴S =S = =6π．
阴影 扇形AOC 360
故答案为6π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是BO´C的中点，将阴影部
分的面积转化为扇形的面积．
【变式6-5】．（2015·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O
是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】4
【详解】解∶∵∠AOB=∠COD，
∴S =S AOB．
阴影
∵四边形△ ABCD是平行四边形，
1 1
∴OA= AC= ×4=2．
2 2
∵AB⊥AC，
1 1
∴S =S AOB= OA•AB= ×2×4=4．
阴影 2 2
△
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算等知识，解题的关键是判断出阴影部分的面积等
于△AOB的面积．
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题型07 全等法
【例7】（2019·广东广州·校联考一模）如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点
C、D、E分别在OA、A´B、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ．
【答案】√2−1
【分析】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．通过观察可知阴影部分的面积
正好等于长方形ACDF的面积，直接根据相关条件求长方形ACDF的面积即可．
【详解】解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC=DE=CD=OE=1，
∴OD=√OC2+CD2=√2，∠DOE=∠DOC=45°，
⏜ ⏜
∴AC=BE=OA−OC=√2−1， BD=AD ，
∴图形ACD是面积等于图形BED的面积，
∴S =长方形ACDF的面积=AC⋅CD=√2−1．
阴
故答案为：√2−1
【变式7-1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如图，扇形POQ可以绕着正六边形
ABCDEF的中心O旋转，若∠POQ=120°，OP等于正六边形ABCDEF的边心距的2倍，AB=2，则阴
影部分的面积为（ ）
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4 16
A． π−2√3 B．4π−2√3 C．4π−√3 D． π−4√3
3 3
【答案】B
【分析】由正六边形的性质得∠CDE=120°，连接OE，OC，可得OC=OE=DE=CD，得∠COE=120°，
从而得∠MOE=∠NOC，根据ASA证明ΔMOE≅ΔNOC得S =S ，结合
五 边 形MON菱DE 形OCDE
S =S −S 即可求解．
阴影 扇 形OQP菱 形OCDE
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠CDE=120°
连接OE，OC，则∠OCN=∠OEM=60°
∴OC=OE=CD=DE
∴四边形OCDE是菱形，
∴∠COE=∠CDE=120°
∵∠POQ=120°
∴∠MOE=∠CON
在ΔMOE和ΔNOC中
¿
∴ΔMOE≅ΔCON
∴S =S
五 边 形MON菱DE 形OCDE
∵AB=2
∴CD=DE=2
过点C作CD⊥ED的延长线于点H
∴∠CDH=60°
∴∠DCH=30°
∴DH=1
∴CH=√3
∴扇形半径长为2√3
∴S =S =DE·CH=2√3
五 边 形MON菱DE 形OCDE
120
∴S = ×π×(2√3) 2=4π
扇 形OQ3P60
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∴S =S −S =4π−2√3
阴影 扇 形OQP菱 形OCDE
故选：B
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质，根据正六边形的性质得出对应角
相等是解题关键．
【变式7-2】（2020·湖北黄冈·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的
平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为
2．则阴影部分面积（ ）．
1 4 2 9
A． π B． π C． π D． √3−3
3 3 3 2
【答案】C
【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S
阴
＝S
扇形OFA
，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S ＝S ，
AFD OFA
∴S△ ＝S △ ，
阴 扇形OFA
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
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60π·22 2π
∴S阴＝S扇形OFA＝ = .
360 3
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用
辅助线，用转化的思想思考问题．
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