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第 28 讲 与圆有关的计算
目 录
题型01 求正多边形中心角
题型02 求正多边的边数 题型12 求某点的弧形运动路径长度
题型03 正多边形与圆中求角度 题型13 求扇形面积
题型04 正多边形与圆中求面积 题型14 求图形旋转后扫过的面积
题型05 正多边形与圆中求周长 题型15 求圆锥侧面积
题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型16 求圆锥底面半径
题型07 正多边形与圆中求线段长 题型17 求圆锥的高
题型08 正多边形与圆的规律问题 题型18 求圆锥侧面积展开图的圆心角
题型09 求弧长 题型19 圆锥的实际问题
题型10 利用弧长及扇形面积公式求半径 题型20 圆锥侧面上的最短路径问题
题型11 利用弧长及扇形面积公式求圆心 题型21 计算不规则面积
角
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题型 01 求正多边形中心角
1．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在A´B上，且BC是⊙O
内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
2．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在D´E上，则∠CFD＝
度．
3．（2022·江苏扬州·扬州教育学院附中校考二模）如图，在正十边形A A A A A A A A A A 中，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
连接A A 、A A ，则∠A A A = °
1 4 1 7 4 1 7
题型 02 求正多边的边数
4．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
5．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n= ．
6．（2022·广东深圳·统考二模）一个正多边形内接于半径为4的⊙O，AB是它的一条边，扇形OAB的面
积为2π，则这个正多边形的边数是 ．
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题型 03 正多边形与圆中求角度
7．（2022·山东青岛·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为（ ）
A．54° B．60° C．71° D．72°
8．（2022·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，∠GOK的两边OG,OK，
分别与AB,CB，相交于点M，N，当∠GOK+∠ABC=180∘时，下列说法错误的是（ ）
A．∠GOK=60° B．MB+NB=DC
1
C．S = S D．∠OMA与∠ONB相等
四边形OMBN 12 正六边形ABCDEF
10．（2022·广西梧州·统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为
．
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题型 04 正多边形与圆中求面积
11．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一
张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形
纸片面积与折线A'−B'−C'扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:1
12．（2022·浙江宁波·统考二模）如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的
面积依次为S ,S ,S ,S ,S ，则下列判断正确的是（ ）
1 2 3 4 5
A．S +S =2S B．S +S =S C．S +S =2S D．S +S =S
1 2 3 1 4 3 2 4 3 1 5 3
13．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）边长为a的正方形的对称轴有 条，这个
正方形的外接圆的面积是 ．
14．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3，则阴影
部分的面积是 ．
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15．（2022·四川成都·校考模拟预测）求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积.
题型 05 正多边形与圆中求周长
16．（2022·河北唐山·统考二模）如图，有公共顶点O的两个边长为5的正五边形（不重叠），以点O为
圆心， 5为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的周长为（ ）
A．4π B．4π+20
C．10π D．10π+20
17．（2022·江西吉安·统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金
分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用
时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，∠ACB的角平分线交边AB于点
D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为
（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
18．（2022·云南昆明·统考二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，
每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形
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的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为
l
R，图1中圆内接正六边形的周长l =6R，则π≈ 6 =3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首
6 2R
先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ）
A．l =24Rsin15° B．l =24Rcos15°
12 12
C．l =24Rsin30° D．l =24Rcos30°
12 12
19．（2022·浙江·统考二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8mm，两脚BC=BD=56mm，如图
2所示．当∠CBD=74°时：
(1)求A离纸面CD的距离．
(2)用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）
题型 06 正多边形与圆中求边心距、边长
20．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）半径为2的圆内接正六角形的边长是（ ）
A．1 B．2 C．√3 D．2√3
21．（2022·河南信阳·统考三模）如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的
速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则
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正六边形的边长为（ ）
A．2 cm B．√3cm C．1 cm D．3 cm
22．（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是
．
23．（2022·陕西西安·校考模拟预测）某正多边形的边心距√3，半径为2，则该正多边形的面积为 ．
24．（2022·辽宁沈阳·统考二模）半径为6的圆内接正三角形的边心距为 ．
题型 07 正多边形与圆中求线段长
25．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为
（ ）
A．2√2+2 B．4 C．2+√2 D．6
26．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB
的延长线于点F，则下列结论不成立的是（ ）
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A．AE∥BF B．AF∥CD C．DF=AF D．AB=BF
27．（2022·贵州贵阳·统考一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当∠APB=90°时，
连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．2√11−2 B．2√13−2 C．6 D．4√3
28．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点
AM
M，则 的值为 ．
CM
题型 08 正多边形与圆的规律问题
29．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的
边长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，.....，重复上述过程，经过2018次
后，所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）
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A．(√2) 2016倍 B．(√3) 2017倍 C．(√3) 2018倍 D．(√2) 2019倍
30．（2022·广东湛江·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原
点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束
时，点A的坐标为 ．
31．（2022·广东·模拟预测）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴
正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么
经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
3 3 3√3 3 3
A．（− ，−√3） B．（ ，− ） C．（−√3，√3） D．（− ，− ）
2 2 2 2 2
题型 09 求弧长
32．（2022·山东枣庄·统考三模）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若
∠ACB=60°，则劣弧AB的长是（ ）
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A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
33．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（A´B），
点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（A´B）的长度为（ ）
A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm
34．（2022·广东中山·统考一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AM´ B所在圆相
切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则AM´ B的长是（ ）
11 7
A．11πcm B． πcm C．7πcm D． πcm
2 2
35．（2023·湖北武汉·校考一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆
弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
5π 8π 10π 5π
A． m B． m C． m D． ( +2)m
3 3 3 3
36．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点A，B，C，D在半径为5的⊙O上，连接AB，BC，CD，AD．
若∠ABC=108°，则劣弧AC的长为 ．
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37．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为O的
弓形AMB，与桌面CD相切于点M，开口部分AB与桌面CD平行，测得开口部分AB=40cm，
1 1
MB=20√5cm．（参考数据：tan26.5°≈ ，sin30°= ）
2 2
(1)求弓形AMB的半径；
(2)求优弧AM´ B的长．
题型 10 利用弧长及扇形面积公式求半径
38．（2021·安徽·统考三模）如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧A´B的中点，若∠BAC＝30°，劣弧A´B的
2
长为 π，则⊙O的半径为 ．
3
39．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的弧长是4πcm，面积是12πcm2，则此扇形的半径是
cm．
40．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥
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底面圆的半径为2cm，则这个扇形的半径是 cm．
41．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，点C为Am´ B的中点，现有以下
信息：
①AB为直径；②∠ACD=60°；③∠CEB=105°．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
4
(2)在（1）的条件下，若A´D的长为 π，求⊙O半径．
3
题型 11 利用弧长及扇形面积公式求圆心角
3
42．（2022·湖南长沙·一模）已知扇形半径是3cm，弧长为 πcm，则扇形的圆心角为 度．
2
43．（2021·新疆乌鲁木齐·新疆农业大学附属中学校考一模）已知扇形面积为24π，弧长为8π，则此扇形
的圆心角为 度．
44．（2022·河南驻马店·校联考二模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD
长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．将扇形
AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
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题型 12 求某点的弧形运动路径长度
45．（2023·贵州贵阳·统考三模）长为30cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉
的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的
位置，则点B旋转的路径B´C长为（ ）
A．450πcm B．225πcm C．15πcm D．7.5πcm
46．（2022·福建厦门·统考二模）如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，
假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留π）
47．（2022·山东滨州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=√3，将
△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°<α<180°）得到△AB'C'，并使点C'落在AB边上，则点B所经过的路
径长为 ．（结果保留π）
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48．（2021·广西河池·统考二模）如图所示，将一个半径OA=10cm，圆心角∠AOB=90°的扇形纸板放
置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上
时，则半径OA的中点P运动的路线长为 cm．
49．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A(−1,0)，B(−2,−1)，
C(0,−3)．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，作△ABC的位似图形，得到△A B C ，请在图中作出△A B C
1 1 1 1 1 1
（点A ，B ，C 分别为点A，B，C的对应点）；
1 1 1
(2)若将△ABC绕原点O逆时针旋转90∘，得到△A B C ，请在图中作出△A B C （点A ，B ，C 分别
2 2 2 2 2 2 2 2 2
为点A，B，C的对应点）；旋转过程中，点B经过的路径长为____________．
题型 13 求扇形面积
50．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，以点B为圆心，
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BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
π 3π 2π 3π
A． B． C． D．
3 5 3 4
51．（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为
半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
52．（2022·湖北十堰·统考一模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4．分别以点B、点C
为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为
．
53．（2023·江苏徐州·一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结
BC，CD．
(1)求证：CD∥AB．
(2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．
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题型 14 求图形旋转后扫过的面积
54．（2017·山东淄博·统考一模）如图，将△ABC绕点C旋转60∘得到△A'B'C，已知AC=6，BC=4，则
线段AB扫过的图形面积为（ ）
3π 8π 10π
A． B． C．6π D．
2 3 3
55．（2020·广东深圳·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分
别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段
1 1
OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
7 7 4 7 4
A． π− √3 B． π+ √3 C．π D． π+√3
3 8 3 8 3
56．（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，
将OA绕点O顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺
1 1 1 2 1 2 2
时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到
3 2 3 4 3 4 4
OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；…；按此规律，则S 的值为 ．
5 3 5 6 5 6 2022
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57．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中， ABO的顶点均在格点上，点A，
B的坐标分别是A(2,2)，B(1,3)，把 ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△△A B O．
1 1
△
(1)画出△A B O，直接写出点A ，B 的坐标；
1 1 1 1
(2)计算在旋转过程中， ABO所扫过的面积．
(3)以原点O为位似中心△，位似比为2，在第三象限画出 ABO放大后的△A B O．
2 2
△
题型 15 求圆锥侧面积
58．（2023·浙江宁波·统考二模）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（
）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
59．（2023·广东广州·统考一模）如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角
形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（ ）
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A．24π B．21π C．15π D．12π
60．（2023·广东汕头·校考一模）圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ）
A．36π B．52π C．100π D．136π
61．（2023·山东东营·东营市东营区实验中学校考一模）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆
心角为120°，则它的侧面展开图面积为 ．
题型 16 求圆锥底面半径
62．（2021·山东临沂·统考二模）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，
如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
63．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并
展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．
64．（2022·广东中山·校联考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画
弧，得E´C，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
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题型 17 求圆锥的高
65．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一
个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
1 3 √15 √3
A． m B． m C． m D． m
4 4 4 2
66．（2019·浙江金华·校联考一模）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧
面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
3 3 4 5
A． B． C． D．
4 5 5 3
67．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则
圆锥的高为 cm．
68．（2022·广东韶关·校考三模）若圆锥侧面展开图是面积为65πcm2的扇形，扇形的弧长为10πcm，则
圆锥的高为 ．
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题型 18 求圆锥侧面积展开图的圆心角
1
69．（2023·内蒙古包头·模拟预测）若一个圆锥体的底面积是其表面积的 ，则其侧面展开图圆心角的度
4
数为 ．
70．（2022·湖南长沙·统考一模）曹老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略
不计），如果圆锥形帽子的半径是10cm，则这张扇形纸板的圆心角是 ．
71．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），
若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240π cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
题型 19 圆锥的实际问题
72．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥
形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
73．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半
径为r的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与r的关系为（ ）
A．R=2r B．R=4r C．R=2√2r D．R=6r
74．（2020·云南昆明·统考二模）云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得
“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三
视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
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A．240πcm2 B．576πcm2 C．624πcm2 D．120πcm2
75．（2020·江苏苏州·统考一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，
AB
分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 = ．
AD
76．（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个
圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1
斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．
题型 20 圆锥侧面上的最短路径问题
77．（2021·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是2√3，母线长是6√3．如果A是底面圆周
上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．
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78．（2021·云南昆明·统考二模）如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中
点D处，则最短路线长为 ．
2π
79．（2019·山东泰安·统考二模）圆锥的底面周长为 ，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳
3
（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为 ．
题型 21 计算不规则面积
80（2022·宁夏银川·宁夏银川二十四中校考一模）如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方
的圆弧上，扇形CFD的圆心C是A´B的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径
BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
π π
A． −1 B． −2 C．π−1 D．π−2
2 2
81．（2015·山东日照·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90° AC=4,BC=2两分圆别以AC,BC
为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
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5π 5π
A． −4 B．10π−4 C．10π−8 D． −8
2 2
82（2019·内蒙古巴彦淖尔·统考一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，
以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
83（2023·山东淄博·统考一模）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，
分别交对角线AC于点E，F．若AB=2，∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不
取近似值）
84（2023·山东枣庄·统考一模）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇
形A'O'B'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
85（2022·广东湛江·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、BC、AC边为直径作半
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圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB=8，BC=4时，则阴影部分的面积为
．
86（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CD＝4√3．以点A为圆
心，AD长为半径画弧，此弧恰好经过点O，并与AB交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
87．（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交
⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4√3，求图中阴影部分的面积．
88．（2021·浙江嘉兴·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作
CD⊥AE交AE延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
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（2）若AB=6，∠BAC=30°，求阴影部分的面积．
89．（2020·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）如图，在ΔABC中，BC＝4，且
ΔABC的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠
EPF＝45°．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
一、单选题
1．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，
即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可
割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似
值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可
3√3
得π的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
2
A．√3 B．2√2 C．3 D．2√3
2．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可
能是（ ）
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A．60° B．90° C．180° D．360°
3．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两
条直线l 、l 的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）
1 2
4 4 √3 2 2 √3
A． π−√3 B． π− C． π−√3 D． π−
3 3 2 3 3 2
√3
4．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边
2
数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线
路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A,B的
两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆
曲线A´B的长为（ ）．
π π 3π 3π
A． km B． km C． km D． km
4 2 4 8
6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为
直径向外作半圆．若AB=4,BC=5，则阴影部分的面积是（ ）
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41 41
A． π−20 B． π−20 C．20π D．20
4 2
7．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正
方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P ，停在空白部分的概率为P ，则P 与P 的大小关系
1 2 1 2
为（ ）
A．P
P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
8．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆
⊙O ,⊙O ,⊙O 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
1 2 3
1 1 1
A． πcm2 B． πcm2 C． πcm2 D．πcm2
4 3 2
9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设
计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为20cm，每个扇形的圆
心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有
击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ）
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1 1 1 1
A． B． C． D．
6 8 10 12
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧A´B，
圆弧的半径OA=20cm，圆心角∠AOB=90°，则A´B=（ ）
A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（A´C），点O是这段弧所在圆
的圆心，B为A´C上一点，OB⊥AC于D．若AC=300√3m，BD=150m，则A´C的长为（ ）
A．300πm B．200πm C．150πm D．100√3πm
12．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=2√2，以点
A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部
分的面积是（ ）
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A．π−2 B．2π−2 C．2π−4 D．4π−4
13．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，
SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B．3√3 C．3√2 D．6√3
14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个
圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要
粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（
）
v
A．30 cm B．30√3 cm C．60 cm D．20π cm
15．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．
若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO 为√2，则其侧面展开图的面积
1
为（ ）
A．√3π B．2√3π C．3√3π D．4√3π
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二、填空题
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形
S
ABCDEF的面积为S ，△ACE的面积为S ，则 1= ．
1 2 S
2
17．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正
五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．
18．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画
弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半
径是 ．
19．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=√3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为
H,AH=√3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形AEF围
成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r ；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面
1
圆的半径为r ，则r −r = ．（结果保留根号）
2 1 2
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20．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱
帽的侧面积为 cm2．（结果保留π）
21．（2023·吉林·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点
O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°，则A´B的长为 m．
（结果保留π）
22．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一
个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm2．
23．（2023·湖南·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽
子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为
cm2．（结果保留π）
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24．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算
圆弧长度的“会圆术”，如图．A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在A´B上，
CD2
CD⊥AB．“会圆术”给出A´B长l的近似值s计算公式：s=AB+ ，当OA=2，∠AOB=90°时，
OA
|l−s|= ．（结果保留一位小数）
25．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将
△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是
cm（结果用含π的式子表示）．
26．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC边上的高AD=2，将
△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
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三、解答题
27．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，
国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角
星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边
形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
(1)求证：AE2=EF⋅EM．
(2)若AF=1，求AE的长．
S
正五边形ABCDE
(3)求 的值．
S
△AEF
28．（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系
k
中，以反比例函数y= 图象上的点A(√3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E
x
在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作A´C，连接BF．
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(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
29．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，点O在AB上，以O
为圆心，OA为半径的半圆分别交AC,BC，AB于点D,E,F，且点E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE=√2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
30．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究
活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，
AC=AC'，BC=B'C'；∠BAC=∠B' AC'，∠ABC=∠AB'C'，∠ACB=∠AC'B'（ ）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们
解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板
A'B'C'的位置．
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①请在图中作出点O；
②如果BB'=6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，
另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积
是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
31．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平
面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度
是多少？（传送带厚度忽略不计）
32．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以O为圆心，OB的长为
半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD=AC，延长CD交OB的延长线于点E．
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(1)求证：CD是圆的切线；
4
(2)已知sin∠OCD= ，AB=4√5，求AC长度及阴影部分面积．
5
33．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(−1,1)，B(−4,0)，C(−2,2)．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A B C ．
1 1 1
(1)请写出A 、B 、C 三点的坐标：A _________，B _________，C _________
1 1 1 1 1 1
(2)求点B旋转到点B 的弧长．
1
34．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋
转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
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35．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S ；
阴
(2)在扇形AOB的内部，⊙O 与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称⊙O 为扇形
1 1
AOB的内切圆，试求⊙O 的面积S．
1 1
37
