文档内容
专题 01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：内切球等体积法.................................3
题型二：内切球独立截面法...............................6
题型三：外接球公式法...................................9
题型四：外接球补型法..................................10
题型五：外接球单面定球心法............................13
题型六：外接球双面定球心法............................16
三、专项训练.............................................19
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面
体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多
面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即 ： ， 可 求出 .
类型二 球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
AB=CD，AD=BC，AC=BD）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选
中底面 ，确定其外接圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边
中点上，普通三角形用正弦定理定外心 ）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注
意不一定在线段 上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式
可计算出球半径 .
P
4、双面定球心法（两次单面定球心）
O
2 O
A
如图：在三棱锥 中：
O
H 1
B C①选定底面 ，定 外接圆圆心
②选定面 ，定 外接圆圆心
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（2024·全国·模拟预测）将菱形 沿对角线 折起，当四面体 体积最大
时，它的内切球和外接球表面积之比为 ．
【答案】 /
【分析】
当平面 平面 时，四面体 的高最大，并利用导函数讨论体积的最大
值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解．
【详解】
不妨设菱形的边长为 ， ， ，
外接球半径为 ，内切球半径为 ，
取 中点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
当平面 平面 时，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
此时四面体 的高最大为 ，
因为 ，所以所以 ，
，
令 解得 ，
令 解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以当 时 最大，最大体积为 ，
此时 ，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为 ，
则有 解得 ，所以 ，
所以外接球的表面积为 ，
又因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，及内切球的表面积为 ，
所以内切球和外接球表面积之比为 ．
故答案为：
2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥 中， 是边长为 的正三角
形，顶点 在底面 上的射影是 的中心，且 ．三棱锥 的内切球为球 ，外接球为球 ，若球 的半径为 ，球 的半径为 ，则 ；若 为
球 上任意一点， 为球 上任意一点，则线段 的最小值为
【答案】
【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求
解 ，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2.
【详解】由题易知，三棱锥 为棱长为1的立方体的一部分，如图
由等体积法求 ， ，即 .
又由 ，即 ，所以 ；
的外接圆半径为 ，故点 到平面 的距离为 ，
由于 ，所以 在三棱锥的外部，
故球 内含于球 ，且 ，
所以 .
故答案为： ，
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转
化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心
到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元
素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
3．（23-24高二上·江西景德镇·期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为
直角三角形的四面体称之为鳖臑 现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积
为 ．
【答案】 /
【分析】由题意确定四面体外接球的球心，进而求得外接球半径，即可求得四面体的外接
球的表面积；利用等体积法求得四面体内切球的半径，即可求得四面体内切球的表面积.
【详解】由题意可知 底面 ， 底面 ，
故 ，又 ，
平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，
取PB的中点为O，则 ，
即O为四面体的外接球的球心，
又 ，则 ，
则四面体外接球半径为 ,
故该四面体的外接球的表面积为 ；
设四面体的内切球球心为 ，半径为r，则 ，
即 ,
解得 ，则四面体内切球表面积为 ，
故答案为： ；
题型二：内切球独立截面法
1．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥 的棱长均为4，先在三棱锥
内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及三棱锥的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等体积可求得内切球 半径，再取截面并根据比例求得球 的半径，则可
求得球 的表面积．
【详解】取三棱锥 过内切球球心 的截面，如图所示：
依题意得 ，
底面 的外接圆半径为 ，解得 ；
点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，
设球 的半径为 ，
所以 ，
则 ，得 ，
设球 的半径为 ，则 ，又 ，得 ，
所以球 的表面积为 ．
故选：A．
2．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为 ，则该圆锥的表面
积为 ．注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
【答案】
【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面
积.
【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：
设圆锥高为 ，母线长为 ，
则在三角形 中有 ，即 ①，
又由 得 ，即 ②，
所以由①②得 ，
所以圆锥的表面积为 .
故答案为： .
3．（2024高三·全国·专题练习）圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为
，求球和圆台的体积之比．
【答案】
【分析】
法一、利用圆台及球体的特征先作出轴截面，由勾股定理及直线与圆的位置关系结合几何
体的表面积、侧面积、体积公式计算即可；法二、通过设角解三角形，利用三角函数表示
线段长，根据几何体的表面积、侧面积、体积公式计算即可.
【详解】如图，作轴截面，其中 都是切点．
法一、设 ．
由圆的切线的性质可知， ， ， ．，
．
，
．
法二、设 ，则 ，
∴ ， ， ．
．
因此， ．
题型三：外接球公式法
1．（2024·天津·二模）已知正方体 的外接球的体积为 ，点 为棱
的中点，则三棱锥 的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计
算即可.
【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线，
所以 ，
所以 .
故选：B
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知 是球O表面上不同的点， 平面， ， ， ，若球 的体积为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由已知易得 四点均为长宽高分别为 三边长的长方体的顶点，
由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的体积公式可得答案.
【详解】因为 平面 ， ，
所以四面体 的外接球半径等于以 为长宽高的长方体的顶点的外接球，
又球 的体积为 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
题型四：外接球补型法
1．（2024·河南信阳·模拟预测）把 沿三条中位线折叠成四面体 ，其中
， ， ，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件分析四面体 的结构特征，由此考虑构造长方体，结合长方体的外接
球的半径的与长宽高的关系结合条件求出 ，再由球的表面积公式求球的表面积即可.
【详解】如图，记 的中点分别为 ，因为 ， ， ，
由中位线性质可得 ，
翻折后的四面体如图：
由翻折的性质可得 ，
所以四面体 对棱相等，
故可以考虑将四面体 补形为长方体如下；
四面体 的外接球即长方体的外接球，
设其外接球半径为 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四面体 的外接球表面积 ，
故选：D.
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ，
，则三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球
球面上一动点， 时，动点 的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【分析】
由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；由动点 的轨迹形状，求长度.
【详解】三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，如图所
示，
则有 ， ，
把三棱锥 扩成长方体 ，
则有 ，解得 ，
则长方体外接球半径 ，
所以三棱锥 的外接球半径 ；
点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，
由 ，动点 的轨迹是半径为 的圆，
轨迹长度为 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)——补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对
角线).
题型五：外接球单面定球心法
1．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥 中， ，
，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即
可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径.
【详解】方法一：如图，取正三角形 的中心为 ，连接 ，
则三棱锥 的外接球球心 在 上，连接 .
在正三角形 中， ，所以 .
在 中， ，所以 .
设外接球的半径为 ，
由 ， ，解得 ，
所以三棱锥 的外接球表面积 .
故选:C.
方法二：在正三棱锥 中，过点 作 底面 于点 ，
则 为底面正三角形 的中心，
因为正三角形 的边长为2，所以 .因为 ，所以 .
如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ， .
设三棱锥 的外接球球心为 ，半径为 .
由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
则三棱锥 的外接球表面积 .
故选：C.
2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥 中， ， ，底面
是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件，证得 平面 ，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.
【详解】在三棱锥 中， ， ，正 的边长为1，
则 ，即有 ，同理 ，而 平面
，
于是 平面 ，令正 的外心为 ，三棱锥 外接球球心为 ，
则 平面 ，显然球心 在线段 的中垂面上，取 的中点 ，则 ，
而 ，则四边形 是矩形， ，所以球半径 ，表面积 .
故选：B
3．（2024·浙江嘉兴·二模）在四面体 中， ，且 与
所成的角为 .若四面体 的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为
.
【答案】3
【分析】根据题意，将四面体 补形为直三棱柱 ，设 ，由
求得 ，在 中，勾股定理得 ，由余弦定理可得
，结合基本不等式求解.
【详解】依题意，可将四面体 补形为如图所示的直三棱柱 ，因为 与
所成的角为 ，
所以 或 ，设 ，外接球半径记为 ，
外接球的球心如图点 .
易知 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
，得 ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以当 时，外接球的半径会更小.
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：3.【点睛】关键点点睛：本题关键是将求四面体 补形为直三棱柱 ，转化为
求直三棱柱外接球半径的最小值.
题型六：外接球双面定球心法
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知长方体 中，侧面 的面积为2，
若在棱 上存在一点 ，使得 为等边三角形，则四棱锥 外接球表面积
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据几何体的特征，确定四棱锥外接球的球心，结合长度和几何关系，基本不等
式确定半径的最小值，即可求解.
【详解】如图，由对称性可知，点 是 的中点，设 ，则 ，
，点 是 的中点，
由底面矩形 的对角线的交点 作底面 的垂线，过等边三角形 的中心
作平面 的垂线，两条垂线交于点 ，点 是四棱锥 外接球的球心，
， ，则
，当 ，即 时，等号成立，则 的最小值为 ,
所以四棱锥 外接球表面积的最小值为 .
故答案为：
2．（23-24高二上·江西九江·期中）如图， 是边长为 的正三角形 的一条中位
线，将 沿 翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥
外接球 的表面积为 ；过 靠近点 的三等分点 作球 的截面，则所得截
面圆面积的最小值是
【答案】
【分析】先判断当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，求得 ，
再找出四棱锥 外接球的球心，由勾股定理求得半径，进而得到表面积；当
垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小即得答案.
【详解】第一空：设点 到平面 的距离为 ，
在 中，取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
由题意可知， 、 分别为 、 的中点，则 ，则 ， ，
翻折后，则有 ，所以二面角 的平面角为 ，
过点 在平面 内作 或其延长线上，因为 ， ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，且 ，则 ，
当 为直角时， 取最大值，
因为 为 的中点， 为定值，
故当 为直角时， 取最大值，
此时，平面 平面 ，
故 是边长为 的等边三角形，
因为 ，则 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，则 且 ，
同理可得 ，则 为四边形 的外心，
设等边 的外心为点 ，过点 作 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
过点 作平面 的垂线交 于点 ，则 为四棱锥 的外接球球心，
连接 ，则 为球 的一条半径，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，则 平面 ，因为 平面 ，则 ，
又因为 平面 ，则 ，故四边形 为矩形，
且 ，则 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以 ，
所以球 的表面积为 ；
第二空： 因为等边 的外心为点 ， ，则 ， ，又， ，
则 ，
当过点 的截面与 垂直时，截面圆的半径 取最小值，
且 ，
因此，过 的三等分点作 球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
故答案为： ； .
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，
， ， ，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等
于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理求 ，结合正弦定理求解 外接圆半径，再根据三棱柱的
外接球球半径与三棱柱的高以及 外接圆半径的关系得出结果.
【详解】如图所示，在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 外接圆半径 ，
设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中， ，易得球半径
，
故此球的表面积为 ．
故选：A．2．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥 中， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 是直角三角形得 的中点 是 的外心 ，再由等腰三角形结合
勾股定理得到 平面 ，平面 平面 ；结合 是等边三角形确定三棱
锥 外接球的位置，求得半径，最后得到表面积.
【详解】
如图，设 是 的中点，连接 ，由于 ，
所以 是 的外心， .
由于 ， 是 的中点，则 ， ， ，
则 ，则 .
又 ， 平面 ，
所以 平面 .而 平面 ，所以平面 平面 .
由于 是等边三角形，设 是 的外心，则 ,
又因为 在 上，所以 ，则 也是三棱锥 外接球的球心．
设外接球的半径为 ，根据等边三角形的性质可知 ，所以外接球的表面积为 .
故选：D.
3．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，由题意可得 ，可求得 ， ，进而
可得轴截面是等边三角形，求得等边三角形的内切圆的半径即可求得圆锥的内切球的表面
积.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线长为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以母线长为 ，底面圆直径为 ，
可得圆锥的轴截面为等边三角形，该等边三角形内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，
由等边三角形的性质可得内切球的半径 ，
所以圆锥内切球的表面积为 .
故选：D.
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知四面体ABCD的各顶点均在球 的球面上，平面
平面 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先找 和 的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
【详解】如图，取BC的中点为E，BD的中点为 ，所以 为 的外心，
连接AE，EF，设 的外心为 ，
因为 ，即 为等边三角形，
所以点 在AE上，且设球心为 ，连接OG，OF，
则 平面 平面BCD，
因为平面 平面BCD，所以 ，
因为 为等边三角形， 为BC的中点，所以 ，
因为平面 平面BCD，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面BCD，则 ，又 平面BCD，所以 ，
同理 平面ABC，所以 ，故四边形OGEF是矩形.
由 ，可得 ，故 ，
又 ，
设球 的半径为 ，则 ，
所以球 的表面积 .
故选：C.
5．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为 ，底面半径为 的圆锥木头
加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半
径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结
合球的表面积公式即可得.
【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，
该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，
画出该轴截面如图，由母线长为 ，底面半径为 可得该圆锥的高 ，
设内切球的半径为 ，则有 ，
解得 ，即内切球表面积为 .
故选：A.
6．（2024·广西·二模）已知轴截面为正方形的圆柱 的体积与球 的体积之比为 ，则
圆柱 的表面积与 球的表面积之比为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱 底面圆半径 和球 的半径
相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.
【详解】设圆柱 底面圆半径为 ，球 的半径为 ，
则圆柱 的高为 ，由 ，可得 ，
所以圆柱 的表面积与 球的表面积之比为 .
故选：B
7．（2024·广东·二模）已知球 与圆台 的上、下底面和侧面均相切，且球 与圆台
的体积之比为 ，则球 与圆台 的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由球 与圆台 的体积之比为 ，得到圆台的上、下底面半径分别为 ，球
的半径 之间的关系，代入表面积公式化简，即可得到答案.
【详解】由题意，作出圆台的轴截面 ，
设圆台的上、下底面半径分别为 ，球的半径 ，
则 ，过A作 于点 ，
由 ，得 ，化简得 ，
由球的体积公式 ，
圆台的体积公式 ，
已知球 与圆台 的体积之比为 ，则 ，
化简得 ，
则 ，得 ，
又球的表面积 ，圆台的表面积 ，
所以 ，
故选：D.
8．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形，
， ， 是边长为2的正三角形， ，则
四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，即可证明 平面 ，从而得到平面
平面 ，再取 的中点 ，连接 、 、 ，推导出 为 外接圆
的圆心，再设 的外接圆的圆心为 ，四棱锥 外接球的球心为 ，即可求
出外接球的半径，从而求出球的表面积.
【详解】取 的中点 ，连接 、 ，因为 是边长为2的正三角形，所以 ， ，
又 ， ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
取 的中点 ，连接 、 、 ，则 、 及 均为等边三角形，
易知 且 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以等腰梯形 外接圆的圆心为 ，设 的外接圆的圆心为 ，则
，
设四棱锥 外接球的球心为 ，连接 、 、 ，
则 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以外接球的半径 ，
所以外接球的表面积 .
故选：C
【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分
析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如
球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正
方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互
相垂直，且 ， ，则此三棱锥外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，知其外接球就是所在长方体的外接球，设出棱
长，求出体对角线，即可得出球的直径得解.
【详解】三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，
其外接球就是以 为长、宽、高的长方体的外接球，
设 ，
则有 ，可求得 ，
即长方体的对角线的长为 ，所以球的直径是 ，半径为 ，
所以外接球的体积 ．
故选：A．
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥内半径最大
的球的体积为 .
【答案】
【分析】首先作出半径最大的球与圆锥组合体的截面图，根据几何关系，列式求解.
【详解】如图所示，设圆锥底面圆的圆心为 ，圆锥的顶点为 ，则圆锥 的轴截面为
等腰 .
设球的球心为 ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是 的内切圆.
由题意知 ， ，设球 的半径为 ，
由 得 ，即 ，解得 ，
所以球 的体积的最大值为故答案为：
11．（2024·全国·模拟预测）在菱形 中， ， ，将 沿 翻
折，使二面角 的余弦值为 ，则四面体 的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取 的中点 ，然后根据菱形的性质求解出 , ，得
到 是二面角 的平面角.根据余弦值为 ，求解出 ，判断 是
正四面体，放置在正方体中，进而求出外接球的表面积.
【详解】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
故 是二面角 的平面角,
因为 ,所以 ,
在 中，由余弦定理 ,得 ，故四面体 是正四面体.
如图所示，将其放置在正方体中，使得 ， ， ， 是正方体的四个顶点，
则正方体的棱长为 ，体对角线长 ，即四面体 的外接球的半径为 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
12．（23-24高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于 .
【答案】 /
【分析】由余弦定理求得 ，根据正弦定理求出 的外接圆半径，结合勾股定
理和球的表面积公式计算即可求解.【详解】在 中，由余弦定理得 ，
由 ，得 ，设 的外接圆半径为r，
由正弦定理得 ，则 ，
设三棱柱的外接球半径为R，则 ，
所以球O的表面积 .
故答案为：
