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第 15 讲 几何图形的初步
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 认识几何图形
题型01 几何图形的识别
题型02 几何体点、棱、面之间的关系
题型03 判断几何体的截面形状
题型04 判断几何体的展开图
题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积
题型06 正方体展开图的识别
题型07 补一个面使其成为正方体的展开面
题型08 正方体相对两面上的字或图案
题型09 与七巧板有关的计算
考点二 直线、射线、线段的相关概念
题型01 画直线、射线、线段
题型02 求直线、线段的数量
题型03 求直线相交点的个数
题型04直线的性质
题型05 线段的性质
题型06 与线段中点有关的计算
考点三 角的相关概念
题型01 度、分、秒的换算
题型02 钟面角的计算
题型03 方向角的表示
题型04 角平分线的相关计算
题型05 求一个角的余角、补角
题型06 与余角、补角有关的计算
考点四 相交线
题型01 点到直线的距离
题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解
题型03 判断同位角、内错角、同旁内角
考点五 平行线
题型01 平行公理的应用
题型02 利用平行线的判定进行证明
题型03 求平行线之间的距离
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题型04 平行线判定的实际应用
题型05 由平行线的性质求角度
题型06 由平行线的性质解决折叠问题
题型07 平行线的性质在实际生活的应用
题型08 利用平行线的性质解决三角板问题
题型09 根据平行线性质与判定求角度
题型10 根据平行线性质与判定证明
考点要求 新课标要求 命题预测
认识几何图 通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平
该专题内容是初中几何
形 面、直线和点等概念.
的基础，在中考数学中属于
基础考点，年年都会考查，
直线、射 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点
分值为8分左右，预计2024
线、线段的 的意义.
年各地中考还将出现.
相关概念 掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短.
大部分地区在选择、填
理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.
空题中考察可能性较大，主
理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角 要考察平行线的性质和判
角的相关概 的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 定、方位角、角度的大小等
念 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相 知识，这些知识点考查较容
易，另外平行线的性质可能
等、同角(或等角)的余角、同 (或)的补的性质.
在综合题中出现，考查学生
理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点
综合能力，比如：作平行的
画已知直线的垂线.
辅助线，构造特殊四边形，
掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线
相交线 此类题目有一定难度，需要
与已知直线垂直.
学生灵活掌握．对本专题的
理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
复习也直接影响后续对其他
识别同位角、内错角、同旁内角.
几何图形的学习，需要考生
理解平行线的概念.
细心对待.
平行线 掌握平行线的性质与判定定理.
了解平行于同一条直线的两条直线平行.
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考点一 认识几何图形
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
【扩展】
名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12 V+F-E=2
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.
2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形不是正方体的展开图.
53.正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的图形不是正方体的展开图.1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.
2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形不是正方体的展开图.
3.正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的图形不是正方体的展开图.
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题型01 几何图形的识别
【例1】（2023·山东临沂·统考一模）下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·北京西城·统考一模）下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模
型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（
）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
题型02 几何体点、棱、面之间的关系
【例2】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学
家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点
数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧
拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
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图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：
____________________________．
题型03 判断几何体的截面形状
【例3】（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水
面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆
【变式3-1】（2023·江苏南京·校联考三模）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按
不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（ ）
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
【变式3-2】（2023·四川成都·统考一模）分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几
何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-3】（2023·广东深圳·统考一模）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过
程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ）
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A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
题型04 判断几何体的展开图
【例4】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·统考三模）如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称
是（ ）
A．正三棱柱 B．正三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【变式4-2】（2023·江西九江·校考模拟预测）将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图
中的相对位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·北京通州·统考一模）如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（
）
A．五棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【变式4-4】（2023·河北石家庄·统考一模）将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连
在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（ ）
A． B． C． D．
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题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积
【例5】（2023·河北保定·统考二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的
尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）
A．60dm3 B．72dm3 C．74dm3 D．94dm3
【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体
积为（ ）
√3 √3
A．π B．√3π C． π D． π
2 3
【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影
部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，
所得长方体体积分别记为：V 和V ．下列说法正确的是：（ ）
甲 乙
A．V >V B．V =V C．V <V D．无法判断
甲 乙 甲 乙 甲 乙
【变式5-3】（2023·江苏宿迁·统考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直线
为轴，把△ABC旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．
【变式5-4】（2023·江苏扬州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根
据图中标示的长度，此长方体的表面积为 ．
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【变式5-5】（2022·贵州贵阳·统考三模）如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然
后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm2．原来
这个圆柱的体积是 dm3．
题型06 正方体展开图的识别
【例6】（2023·河南周口·校联考三模）下列哪个不是正方体的侧面展开图（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河南南阳·统考二模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（
）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，
不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
题型07 补一个面使其成为正方体的展开面
【例7】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的
小正方形组合后，不能构成正方体的表面展开图的是（ ）
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A．① B．② C．③ D．④
【变式7-1】（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正
方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区
域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式7-2】（2022·湖北恩施·统考二模）在如图所示的正方形网格中，其中阴影部分的5个小正方形
是一个正方体的表面展开图的一部分．现在从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体
的表面展开图的概率是（ ）
1 1 1 4
A． B． C． D．
12 7 3 7
【变式7-3】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）如图，方格纸（每个小正方形边长都相同）中5
个白色小正方形已剪掉，在剩余七个小正方形中再剪去1个正方形，恰好使余下部分能折成一个正方体的
概率是 ．
题型08 正方体相对两面上的字或图案
【例8】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，
Q在正方体上的位置标记正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·河南信阳·校考三模）习近平总书记在党的二十大报告中提出：“新时代十年的伟
大变革，在党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史、中华民族发展史上具有里程碑意义”将
“二”“十”“大”“里”“程”“碑”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，下图是它的一种展开
图，则在原正方体中，与“里”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．十 B．二 C．程 D．碑
【变式8-2】（2023·河南信阳·校考三模）下列正方体的展开图中，每个面上都有一个汉字，则“口”
的对面是“手”的展开图是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）有一个正方体，6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、
6，有3个人从不同的角度观察的结果如图所示． 如果记6 的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么
a+b的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．11
【变式8-4】（2023·山东青岛·统考二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面
图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-5】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三
种图案，则它的展开图可能是（ ）
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A． B． C． D．
正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面；
2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面.
题型09 与七巧板有关的计算
【例9】（2023·江西赣州·统考二模）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关
于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（
）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2023·广东深圳·校考三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔
板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧
板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的
BF
边GD在边AD上，则 的值为（ ）
BE
1+√2 √2 2+√2 2+√2
A． B． C． D．
2 2 4 2
【变式9-2】（2023·江西宜春·统考二模）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被兴为“东方魔板”．
在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板（如图1），并
设计了一幅作品“我跑步，我快乐”创作画（如图2），则创作画中阴影部分的面积是 cm2．
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【变式9-3】（2023·陕西宝鸡·统考三模）七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直
角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，有一块边长为4√2的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所
示的一套七巧板(点O为正方形纸板对角线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，GE∥BI，
IH∥CD)，将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为 ．
【变式9-4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，
被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图
是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为 ．
考点二 直线、射线、线段的相关概念
一、直线、射线、线段的相关概念
直线 射线 线段
概念 直线是几何图形基础，是一个 直线上一点和它一旁的部分 直线上两点和它们之间的部
不做定义的原始概念. 叫做射线. 分叫做线段.
图形
m n l
A B O A A B
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表示方法 直线AB或直线BA 射线OA 线段AB
直线m 射线n 线段l
端点个数 无 1个 2个
延伸、度 可向两方无限延伸 只能以一方无限延伸 不能延伸，可以度量
量情况
不可度量 不可度量
不同点 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线
相同点 都是直的线
直线的性质：
1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线；
2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了.
两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.
线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短.
线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较
2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置.
线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点.
1. 线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数.
2. 一条线段的中点只有一个.
题型01 画直线、射线、线段
3. 某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：
1）点必须在这条直线上.
【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知A、B两点，画射线AB，按照上述语句，下列画法正
2）它把这条线段分为两条相等的两条线段.
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北衡水·统考二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是
（ ）
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A．点D B．点E C．点Q D．点M
题型02 求直线、线段的数量
【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直
线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式2-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）1000m的大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两
棵树之间放一盆花，这样需要（ ）
A．树200棵，花200盆 B．树202棵，花200盆
C．树202棵，花202盆 D．树200棵，花202盆
【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，
开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4
个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
题型03 求直线相交点的个数
【例3】（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式3-1】（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）在平面中，两条直线最多只有1个交点，三
条直线最多有3个交点…若n条直线最多有325个交点，则n的值为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有S 个交点，3条直线最多有S 个交点，按
1 2
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1 1 1 1 1
照规律依此类推，2023条直线最多有S 个交点，则 + + +⋯+ + 的值为
2022 S S S S S
1 2 3 2021 2022
（ ）
2023 4044 4045 2021
A． B． C． D．
1012 2023 2023 1011
题型04直线的性质
【例4】（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，
再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【变式4-1】（2021·河北·统考中考真题）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线
段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A．a B．b
C．c D．d
题型05 线段的性质
【例5】（2023·吉林松原·统考二模）如图，A,B两地间修建弯河道与修建直的河道桥相比，增加了河
道桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【变式5-1】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路
程，这其中蕴含的数学道理是 ．
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题型06 与线段中点有关的计算
【例6】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、B分别在直尺
的1cm，9cm处，若点A对应−4，直尺的0刻度位置对应−6，则线段AB中点对应的数为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．12
【变式6-1】（2023·河北沧州·校考二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿
原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（ ）
A．2 B．−2 C．4 D．−4
【变式6-2】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知点A、B、O、C在数轴上的位置如图所示，O为
AC的中点，若AB=2，点B所对应的数为m，则点C所对应的数是( )
A．−(2−m) B．−(−m−2) C．−(m+2) D．−(m−2)
【变式6-3】（2023·宁夏·统考中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是
AC的中点，线段AB=√2，则点C表示的数是 ．
【变式6-4】（2023·河北沧州·模拟预测）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
(1)A、C两站的距离；
(2)C、D两站的距离；
(3)若a=6，C为AD的中点，求b的值．
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考点三 角的相关概念
角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形.
角的分类：
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
角的表示方法：
角的表示 图例 适用范围 注意事项
A
用三个大写 任何情况 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字
C
字母表示 B 都适用 母写在两侧.
记作：∠ABC或∠CBA
1）以这个字母为顶点的角只有一个；
用一个大写 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角
O
字母表示 时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文
字母表示.
记作：∠O
用一个数字 任何情况 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，
1
表示 都适用 并注上数字或小写的希腊字母
用一个希腊
α
字母表示
角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
1 1
度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（ ）′；1″=（ ）°
60 3600
1周角=2平角=4直角=360°.
角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
1
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC = ∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
2
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②角平分线上的点到角两边的距离相等．
余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
1. 因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长短无关.
2. 角的大小可以度量，可以比较.
3. 在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行.
4. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：
1）射线必须在角的内部. 2）它把这个角分成两个相等的角.
5. 钝角没有余角.
6. 互为余角、补角是两个角之间的关系,
7. 两个角互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 只要它们的度数之和等于90°或
180°，就一定互为余角或补角.
题型01 度、分、秒的换算
【例1】（2023·广西贺州·统考一模）比较大小：40.15° 40°15'（用>、=、<填空）．
【变式1-1】（2022·浙江·二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ ．
【变式1-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）计算：80°−45°17'=_________．48°39'+67°31'=
_________．
题型02 钟面角的计算
【例2】（2020·浙江杭州·模拟预测）在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最
大的是（ ）
A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20
【变式2-1】（2020·河北·统考模拟预测）下列选项中，表示点P在点O的2点钟方向的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·广东珠海·珠海容闳学校校考一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，
经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
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25 20 35 35
A． πcm B． πcm C． πcm D． πcm
6 3 6 3
题型03 方向角的表示
【例3】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）甲、乙两艘轮船同时离开同一港口，各自沿一固定方向航
行，航行的速度均为12海里/小时，甲船用1.5小时到达点A处，乙船用2小时到达点B处，且A，B两点相
距30海里．若甲船沿着北偏东30°的方向航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（ ）
A．南偏东60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．北偏西30°
【变式3-1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，
且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．南偏东47°
【变式3-2】（2023·河北·模拟预测）如图，已知点B在点A的北偏东30°的方向上，∠CBA=60°，则
点C在点B的（ ）
A．南偏东30° B．西偏东30° C．东骗西30° D．北偏西30°
题型04 角平分线的相关计算
【例4】（2023·河南周口·校联考三模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，已知
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∠BOF=20°，OC平分∠AOE，则∠BOD=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式4-1】（2023·河南周口·统考二模）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若
∠1+∠2=80°，则∠AOE的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【变式4-2】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）如图：OC是∠AOB的角平分线，
l∥OA，若∠1=59°，则∠2的度数为（ ）
A．59° B．61° C．62° D．64°
【变式4-3】（2023·广西玉林·统考一模）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，
ON⊥OM，若∠AOM=25°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
题型05 求一个角的余角、补角
【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，则∠B的度数为
（ ）
A．52° B．48° C．38° D．28°
【变式5-1】（2023·云南文山·统考一模）已知∠A=72°25'，则∠A的补角度数为（ ）
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A．108°25' B．17°35' C．108°35' D．107°35'
【变式5-2】（2023·山东济宁·统考二模）如图，直线l ∥l ，直线l 与l ，l 分别交于A，B两点，过点
1 2 3 1 2
A作AC⊥l ，垂足为C，若∠1=52°15'，则∠2的度数是 ．
2
题型06 与余角、补角有关的计算
【例6】．（2023·山东济南·统考一模）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若
∠2=50°，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．80°
【变式6-1】（2023·山西临汾·统考二模）如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简
易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互
相平行，若∠α=92∘，则∠β的度数为（ ）
A．92° B．90° C．88° D．86°
【变式6-2】（2023·陕西汉中·统考一模）已知∠α和∠β是对顶角，且∠α和∠β互余，则∠β的度数
为（ ）
A．45° B．30° C．90° D．120°
【变式6-3】（2022·辽宁大连·校联考模拟预测）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，
AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向．则∠ACB的度数
．
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【变式6-4】（2020·浙江杭州·模拟预测）按要求完成如下两个小题．
1
（1）已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求出这个角．
4
（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的度
数．
考点四 相交线
一、相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
二、相交线中的角
第一种 对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
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对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为 ∠1=∠2
2 1
反向延长线
（∠1与∠2）
邻补角 4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另 ∠3+∠4=180°
3
一边互为反向延长线.
（∠3与∠4）
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角
叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位
置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对
叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.
【速记同位角、内错角与同旁内角】
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，
同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异
侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.
1. 线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相
垂直.
2. 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段.
3. 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.
4. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定
是对顶角.
5. 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与
∠β不一定是邻补角.
6. 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
7. 两条直线相交所成的四个角中，有2对对顶角，有4对邻补角.
8. 同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合
图形.
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题型01 点到直线的距离
【例1】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB，垂足为
D，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段AC的长是点A到BC的距离 B．线段AD的长是点C到AB的距离
C．线段BC的长是点B到AC的距离 D．线段BD的长是点B到CD的距离
【变式1-1】（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且
PO⊥l，其中PA=3.5，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【变式1-2】（2023·浙江杭州·统考二模）点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC=6．点P是
直线BC上的动点，则线段AP长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式1-3】（2023·广东广州·统考一模）AD是Rt△ABC的角平分线，若AB=4，BD=3，则点D到
AC距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解
【例2】（2023·河南周口·统考一模）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥ AB于点O．若
∠COE=35°，则∠AOD的度数为（ ）
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A．105° B．115° C．125° D．135°
【变式2-1】（2023·云南楚雄·统考二模）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若
∠BOD=48°，则∠BOM等于 （ ）
A．96° B．132° C．146° D．156°
【变式2-2】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，直线AB,CD相交于点
4
O,EO⊥CD，若∠AOE= ∠BOC，则∠BOD=（ ）
5
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式2-3】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，平面上直线a、b分别经过线段AB的两个端点（数据
如图），则直线a、b相交所成的钝角为（ ）
A．70∘ B．110∘ C．140∘ D．160∘
题型03 判断同位角、内错角、同旁内角
【例3】（2023·河北唐山·统考二模）下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
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【变式3-1】（2023·浙江丽水·校考一模）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
考点五 平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间
的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同
一平面内”是平行线存在的前提条件.
28
2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线
所在的直线平行.
3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同
一平面内”是平行线存在的前提条件.
2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线
所在的直线平行.
3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的
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题型01 平行公理的应用
【例1】（2023·河北唐山·统考模拟预测）经过直线a外一点P的5条不同的直线中，与直线a相交的直
线至少有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式1-1】（2022·河北廊坊·统考一模）图，在同一平面内过点M且平行于直线a的直线有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【变式1-2】（2021·河北承德·统考二模）如图，在平面内经过一点作已知直线m的平行线，可作平行
线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
题型02 利用平行线的判定进行证明
【例2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，AE⊥BC于点M，FG⊥BC于点N，
∠1=∠2．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若CD=CB，∠D=75°，求∠ABC的度数．
√9 | 3|
【变式2-1】（2022·江西九江·校考二模）（1）计算：(−2022) 0+ − − +(−2) −1 ；
4 2
（2）如图，已知CB平分∠ACD，且AB=AC，求证：AB∥CD．
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【变式2-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD,
(1)求证：AB∥DC；
(2)点E在线段BC的延长线上，点F在线段AD上，EF交CD于点M，∠B=70°，∠DFE=50°，直接写
出∠DME的度数．
【变式2-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，已知∠A+∠ADC=180°，∠B=∠D，求证：
∠E=∠DFE．
【变式2-4】（2023下·广东梅州期中）探索与发现：
(1)若直线a ⊥a ，a ∥a ，则直线a 与a 的位置关系是 ，请说明理由．
1 2 2 3 1 3
(2)若直线a ⊥a ，a ∥a ，a ⊥a ，则直线a 与a 的位置关系是 （直接填结论，不需要说明理由）
1 2 2 3 3 4 1 4
(3)现在有2014条直线a ，a ，a ，⋯，a ，且有a ⊥a ，a ∥a ，a ⊥a ，a ∥a …，请你探
1 2 3 2014 1 2 2 3 3 4 4 5
索直线a 与a 的位置关系．
1 2014
【变式2-5】如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，∠FDC=∠EBA．
(1)判断CD与AB的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：DF∥BE．
题型03 求平行线之间的距离
【例3】（2022·河北石家庄·统考三模）如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（
）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
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【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）2023年是农历兔年，小曹同学用边长为2的正方形纸片制作
了一副七巧板，再用这副七巧板拼成一只兔子（如图所示），已知AB∥CD，则AB与CD之间的距离为
．
题型04 平行线判定的实际应用
【例4】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条
件中，正确的是（ ）
A．∠2=90° B．∠3=90° C．∠4=90° D．∠5=90°
【变式4-1】（2023·吉林·统考一模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组
为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=85°，
这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【变式4-2】（2023·浙江丽水·统考一模）如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花
板EF上，已知∠ACD=90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是
（ ）
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A．∠BDC=90° B．∠BDF=90° C．∠BAC=90° D．∠ACE=90°
题型05 由平行线的性质求角度
【例5】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，
过点A作AC⊥ AB，交直线m于点C．若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式5-1】（2023·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考三模）如图，四条直线a,b,c,d，其中
a∥b，∠1=35°，∠2=80°，则∠3=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．75°
【变式5-2】（2023·河南周口·校联考三模）如图，∠ECD=50°，点M是EC上一点，过点M作
AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．55° C．70° D．65°
【变式5-3】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，
CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2√5，BC=4，则DF的长为（ ）
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1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【变式5-4】（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，平面镜l 与平面镜l 平行，光线由水平方向射来，
1 2
传播路线为a→b→c，已知∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．30° C．15° D．无法确定
题型06 由平行线的性质解决折叠问题
【例6】（2023·安徽淮南·校联考一模）如图所示，有一条直的等宽纸带，按图折叠时形成一个30°的
角，则重叠部分的∠α等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【变式6-1】（2023·辽宁鞍山·校考三模）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带
1
进行两次折叠（如图）．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE= ∠ABC，则∠1为（ ）
3
A．106° B．108° C．109° D．110°
【变式6-2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点
B的对应点为点B'，若∠1=40°，则∠A'EF的度数是（ ）
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A．100° B．110° C．115° D．120°
【变式6-3】（2023·辽宁本溪·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，且∠ACB=30°，点E
为边AD上一动点（点E不与点A重合），将△BAE沿BE折叠得到△BA'E，若△BA'E的一边恰好与对
角线AC平行，则∠ABE的度数为 ．
【变式6-4】（2022·河北唐山·统考一模）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形
纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将△PCQ,△ADQ，分别沿
PQ,AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∵∠C+∠D=180°，∴AD与BC位置关系为 ；
（2）线段CD与QR的数量关系为 ．
题型07 平行线的性质在实际生活的应用
【例7】（2023·广东肇庆·统考一模）如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐
20°继续行驶，若行驶到C处后，小明想按正东方向行驶，则他在C处应该（ ）
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A．左拐20° B．右拐20° C．右拐70° D．左拐160°
【变式7-1】（2023·河南安阳·统考一模）如图1是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路
转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡．
如图2是一种缓和曲线过渡匝道的示意图．若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿
⊙O的切线 PA经过切点A驶入匝道，从⊙O的切线CQ经过切点C驶出匝道．已知PA=60m，⊙O的半
径为80m．
(1)若在点P处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控200m以内
的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；
(2)在图2中，若连接AC，交PO于点B，且PA=PB，判断QC与PO的位置关系，并说明理由．
【变式7-2】（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是
射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，
被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，
请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会
随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
【变式7-3】（2021·四川遂宁·统考中考真题）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，
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在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°
方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得 C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
【变式7-4】（2023·山西吕梁·统考三模）如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和
北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬
23°26'(∠BOD=23°26')，太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32')，而冬至正午时，太阳光直
射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α
的度数是 ．
题型08 利用平行线的性质解决三角板问题
【例8】（2023·广东江门·统考一模）如图，把一个含有45°角的直角三角板放在两条平行线m，n上，
若∠α=123°，则∠β的度数是（ ）
A．48° B．88° C．78° D．75°
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【变式8-1】（2022·安徽合肥·校考模拟预测）如图，三角板ABC(∠C=30°)的边BC与三角板
PMN(∠N=45°)的边MN平行，若AC，PM相交于点O，则∠AOM的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【变式8-2】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）直角三角板ABC与直角三角板DEF按如图放置，其中
∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，若BC∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．85° C．75° D．65°
【变式8-3】（2023·湖南常德·统考模拟预测）将一副三角板如图摆放，使AB∥CD，则∠1的度数为
（ ）
A．105∘ B．120∘ C．135∘ D．150∘
题型09 根据平行线性质与判定求角度
【例9】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑
平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3的度数为（ ）
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A．118° B．148° C．150° D．162°
【变式9-1】（2023·河南周口·校联考二模）如图所示，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置
（直角顶点C在MN上），若∠MCB=32°，则∠PDB的度数为( )
A．22° B．28° C．32° D．38°
【变式9-2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，AB∥CD，∠E=30°，∠ABE=130°，则∠DCE
的度数为 ．
【变式9-3】（2023·江苏扬州·校考二模）已知，如图，AB∥CD，∠A=140∘，∠D=28∘，那么
∠AED = °．
题型10 根据平行线性质与判定证明
【例10】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作
OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则
OM−EF值为（ ）
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7 12 3 2
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式10-1】（2022·河北·统考中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现
其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、
Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【变式10-2】（2022上·上海浦东新·九年级上海市建平实验中学期末）已知：如图，△ABC中，AD平分
∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于
点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
【变式10-3】（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中
一种，完成证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
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方法二
方法一
证明：如图，延长AE，交CD于点
证明：如图，过点E作MN∥AB
F．
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