文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 15 讲 几何图形的初步
目 录
题型01 判断几何体的截面形状 题型18 与余角、补角有关的计算
题型02 判断几何体的展开图 题型 19 同（等）角的余（补）角相
题型 03 由展开图计算几何体的表面 等
积或体积 题型19 点到直线的距离
题型04 正方体展开图的识别 题型 20 利用对顶角、邻补角的性质
题型 05 补一个面使其成为正方体的 求解
展开面 题型 21 判断同位角、内错角、同旁
题型 06 正方体相对两面上的字或图 内角
案 题型22 利用平行线的判定进行证明
题型07 与七巧板有关的计算 题型23 平行线判定的实际应用
题型08 画直线、射线、线段 题型24 由平行线的性质求角度
题型09 直线的性质 题型 25 由平行线的性质解决折叠问
题型10 线段的性质 题
题型11 与线段中点有关的计算 题型 26 平行线的性质在实际生活的
题型12 两点之间的距离 应用
题型13 度、分、秒的换算 题型 26 利用平行线的性质解决三角
题型14 钟面角的计算 板问题
题型15 方向角的表示 题型27 根据平行线性质与判定求角度
题型16 角平分线的相关计算 题型28 根据平行线性质与判定证明
题型17 求一个角的余角、补角
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 判断几何体的截面形状
1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个
几何体的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面
是矩形时，截面周长最大为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．25
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A． B． C． D．
4. 如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上．
(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此
时截面面积．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 02 判断几何体的展开图
1．（2021·北京·统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
2．（2021·浙江·统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然
后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称
是（ ）
A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱
4．（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上，
过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A. ；B. ；C. ；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 03 由展开图计算几何体的表面积或体积
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的
长度，求此长方体的体积为 ．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为6√3cm的正六边形纸板的各顶点为端
点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四
边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为
cm3．
3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如
图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2020·河北邯郸·校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的
模型．
(1)图（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)已知h＝4，求a的值和该几何体的表面积．
题型 04 正方体展开图的识别
1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ）
A． B． C． D．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 05 补一个面使其成为正方体的展开面
1．（2022·河北承德·统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个
正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2021·河南洛阳·统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正
方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ）
A．只有② B．只有①④ C．只有①②④ D．①②③④都正确
3．（2021·浙江杭州·一模）已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放
在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放
的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型 06 正方体相对两面上的字或图案
1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互
为相反数．则
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）x的值为 ；
（2）x2−y的值为 ．
2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所
标的字是 ．
3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反
数．
−3
2 a c
b −1
（1）填空：a=______，b=_______，c=_______；
（2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值．
4．（2021·河北邢台·统考一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南洛阳·统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
6．（2021·吉林长春·东北师大附中校考二模）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示
棱a的线段可以是（ ）
A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC
题型 07 与七巧板有关的计算
1．（2020·浙江湖州·统考中考真题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的
正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平
行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
2．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现
了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块
正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
A．S +S =S B．2S =S C．S = S D．S =S
5 7 2 6 3 7 3 1 7 3
3．（2021·浙江金华·统考三模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如
图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（ ）
A．乙＞丙＞甲＞丁 B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁 D．丙＞乙＞丁＞甲
4．（2022·湖南株洲·统考二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割
术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中
国的拼图”）．图①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”
拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为 cm2．
5．（2022·陕西西安·校考二模）如图（1）是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成
图（2）所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是 cm2．
6．（2020·湖北黄石·校考模拟预测）动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等
字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：
（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；
（2）图3中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；
（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．
题型 08 画直线、射线、线段
1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上
述语句画图，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A,B,C,D，按下列要求画出图形：
（1）画线段BD和线段BD的延长线；
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）线段AC和线段DB相交于点O；
（3）连结线段BC，反向延长线段BC．
题型 09 直线的性质
1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知
识，说法正确的是( )
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，
这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题型 10 线段的性质
1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导
航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选
取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A． B． C． D．
题型 11 与线段中点有关的计算
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，
中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之
间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至
A点．已知：AC=3BC，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
(1)如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由；
(3)化简：−|a−2|+|b+1|+|c|．
3．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕
迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，已知数轴上点A，B对应的数为−5，1，点C为AB的中点，
点P为数轴上任意一点，且对应的数为m．
(1)若点P为原点，在图中标出点P的位置，并直接写出点C对应的数；
(2)若点P在B的右侧且满足AP=3PB，求−5，1与m这三个数的和．
题型 12 两点之间的距离
1．（2020·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）A、D两站的距离为_________；
（2）C、D两站的距离为__________；
（3）若a=3，C为AD的中点，求b的值．
2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，
B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在
线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
MN
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求 的值．
AB
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为
2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为 ；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
4．（2021·河北邯郸·一模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④
四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
(1)请直接写出原点在第几部分；
(2)若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
(3)若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中
点时，直接写出d的值．
题型 13 度、分、秒的换算
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）74°19'30″= °．
2（2023·江苏盐城·校考一模）已知∠A=65°30'，则∠A的补角= °．
3．（2020·浙江湖州·统考模拟预测）计算：40°﹣15°30′＝ ．
题型 14 钟面角的计算
1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，
且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点
45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘
米
A．22−3√3 B．16+π C．22 D．18+4√3
3．（2018·山东德州·校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26 B．5：26-5：27 C．5：27-5：28 D．5：28-5：29
题型 15 方向角的表示
1．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m
后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30° B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60° D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
2．（2022·河北石家庄·校考一模）A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法
不正确的是（ ）
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．C地在B地的正北方向上 B．A地在B地的正东方向上 C．C地在A地的北偏西60°方
向上 D．A地在C地的南偏东30°方向上
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，有A,B,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则
B地在C地的（ ）
A．北偏西54°方向 B．北偏东54°方向 C．南偏西54°方向 D．南偏西90°方向
题型 16 角平分线的相关计算
1．（2021·山东济南·统考中考真题）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数
为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
2．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，
¿⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．（2018·四川南充·统考一模）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、
∠BOC的平分线．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知O是直线AB上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角
边ON在直线AB上，另一条直角边OM与AB的夹角∠AOM=90°，射线OC在∠AOM内部．
（1）如图②，将三角尺OMN绕着点O顺时针旋转，当OM平分∠BOC时，试判断∠AON与∠CON的
大小关系，并说明理由．
（2）若∠AOC=60°，三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为t，则当t为何值时
∠CON=∠MOB？
（3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周的过程中，∠CON+∠MOB的值能否为
定值？若能，求t的取值范围．
题型 17 求一个角的余角、补角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
2．（2019·甘肃兰州·一模）一个角的补角是150°，则这个角的余角等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是
．
4．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于 ；
（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β= °．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 18 与余角、补角有关的计算
1．（2021·陕西西安·校考模拟预测）如图，∠AOC与∠COB互余，∠COB=15°,OC平分∠AOD，则
∠BOD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
2．（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 °．
3．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=120°，则
∠2−∠1= ．
题型 19 同（等）角的余（补）角相等
1．（2020·北京房山·统考一模）一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则
sinA=（ ）
BC AC AD BD
A． B． C． D．
AC AB AC BC
3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
4．（2020·黑龙江大庆·统考中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若
∠AOD=108°，则∠COB= ．
题型 19 点到直线的距离
1．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若
AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023下·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，∠ABC=∠ADB=90°，DA=DB，若BC=2，
AB=4，则点D到AC的距离是（ ）
5√5 6√5 4√5 5√5
A． B． C． D．
6 5 5 4
3．（2021·山东滨州·二模）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成
Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x，y）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝
0 0
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
|Ax +B y +C|
计算．
0 0
√A2+B2
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
|Ax +B y +C| |2×3+1×4−5| 5
0 0
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为： d＝ ＝ ＝ ＝√5
√A2+B2 √22+12 √5
根据以上材料解答下列问题：
(1)求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；
(2)如图，直线l ：y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线l ，求这两条平行直线之间的距离．
1 2
(3)若将l 绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与l 相交，直接写出l 大于l 时，x的取值范围
2 1 1 2
题型 20 利用对顶角、邻补角的性质求解
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ）
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．150° B．120° C．60° D．30°
3．（2021·河南·统考中考真题）如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
4．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，AB//EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°，则∠BCD=
度．
题型 21 判断同位角、内错角、同旁内角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．（2018·浙江金华·中考真题）如图，∠B的同位角可以是( )
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
题型 22 利用平行线的判定进行证明
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求证：EF∥AD；
(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．
2．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB∥CD，AM平分∠BAE，FG平分∠AFC．
(1)求证：AM∥GF；
(2)若∠BAM＝55°，求∠CFE的度数．
3．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC的延长线上，以
AC为边作△ACD，使DA=DC，且点B、D在AC的两侧，连接AE交CD于点F，若∠ADC=∠BAC．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：AD∥BE；
(2)求证：AC2=BC⋅CD；
(3)若DA=10、CE=2.5，且AC2=2CF⋅AD，求AE的长；
题型 23 平行线判定的实际应用
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，
理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．（2019·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要
使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．50°
3．（2021·山东烟台·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图
所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径
AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为 米．
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 24 由平行线的性质求角度
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，
则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若
∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
4．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，在AB//CD中，∠AEC=40°，CB平分∠DCE，则
∠ABC的度数为（ ）
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．10° B．20° C．30° D．40°
题型 25 由平行线的性质解决折叠问题
1．（2022·四川达州·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果
∠1=140°，那么∠2的度数为（ ）
A．140° B．120° C．110° D．100°
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的
点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数为 ．
3．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，
折痕为EF．若∠ABE=20°，则∠EFC'的度数为 ．
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图1，∠1=55°，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2
中的虚线进行第二次折叠得到图3(点O在MN上)，则∠2的度数为 ．
题型 26 平行线的性质在实际生活的应用
1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体
中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=20°，∠FED=56°，则
∠GFH=（ ）
A．34° B．36° C．38° D．56°
2．（2022·山东济南·校考一模）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平
板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB
长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精
确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41，√3≈1.73）．
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm
3．（2022·浙江温州·统考三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管
道平行．若第一个弯道处∠B=140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是
（ ）
A．两直线平行，内错角相等． B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等． D．同位角相等，两直线平行．
4．（2023·四川成都·统考二模）为测量校园某一块路线指示牌的高度，小明绘制了该指示牌支架侧面的截
面图如图所示，并测得FG=1.3m，EF=1m，∠EFG=110°，∠AEF=70°，四边形ABCD为矩形底座，
且AB=10cm．请帮助小明求出指示牌最高点G到地面BC的距离．（结果精确到1cm，参考数据：
sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839
）
题型 26 利用平行线的性质解决三角板问题
1．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，
∠ACB=60°，∠AED=45°， BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．（2023下·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边
放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0
