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专题 13 点差法在圆锥曲线中的应用
一、考情分析
圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经
常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 ,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点
坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.
二、解题秘籍
(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程
求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：
求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.
x2 y2
+ =1
【例1】过椭圆 16 4 内一点 M(2,1) 引一条弦,使弦被M 点平分,求这条弦所在直线的方程.
A(x ,y ) B(x ,y )
【解析】设直线与椭圆的交点为 1 1 、 2 2
M(2,1) AB x +x =4 y +y =2
∵ 为 的中点 ∴ 1 2 1 2
x +4 y =16 x +4 y =16
∵又A、B两点在椭圆上,则
1
2
1
2
, 2
2
2
2
(x −x )+4(y −y )=0
两式相减得 1 2 2 2 1 2 2 2
(x +x )(x −x )+4(y +y )(y −y )=0
于是 1 2 1 2 1 2 1 2
y −y x +x 4 1
1 2 1 2
=− =− =−
x −x 4(y +y ) 4×2 2
∴ 1 2 1 2
1 1
k =− y−1=− (x−2)
AB 2 2 x+2y−4=0
即 ,故所求直线的方程为 ,即 .
【例2】已知双曲线 ,离心率 ,虚轴长为 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 能否作直线 ,使直线 与双曲线 交于 两点,且点 为弦 的中点?若存在,求出直线 的方程；若不存在,请说明理由．
【解析】(1) , , , ．
, ．
．
∴双曲线 的标准方程为 ．
(2)假设以定点 为中点的弦存在,
设以定点 为中点的弦的端点坐标为 , ,
可得 , ．
由 , 在双曲线上,可得： ,
两式相减可得以定点 为中点的弦所在的直线斜率为：
,
则以定点 为中点的弦所在的直线方程为 ．即为 ,
代入双曲线的方程可得 ,
由 ,
所以不存在这样的直线 ．
(二) 求弦中点轨迹方程
求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦
的中点轨迹方程.
【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆 经过点 ，
且离心率为 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，设坐标原点为 ，线段 的中点为 ，求 的
最大值.
【解析】（1） 椭圆 经过点 ，其离心率为 ．
， ， ， ，
故椭圆 的方程为： ；
（2）当直线 斜率不存在时，M与O重合，不合题意，
当直线 斜率存在时，设 ， ， ，
则有 ， ，直线 的斜率为 ，
， 两点在椭圆上，有 ， ，
两式相减， ，即 ，
得 ，化简得 ，
，∴当 时，
的最大值为
【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.
引理 ：设 、 是二次曲线 上两点, 是弦 的中点,
且弦 的斜率存在,
则 ……（1）
……（2）由（1）-（2）得
,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴直线 的斜率 .
二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．
请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：
已知椭圆 .
（1）求过点 且被 点平分的弦所在直线的方程;
（2）过点 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设 、 是椭圆 上两点, 是弦 的中点,
则 ,两式相减得：
,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,∴直线 的斜率 .
直线AB的方程为 ,即 .
因为 在椭圆内部,成立.
（2）由题意知：割线的斜率存在,设 、 是椭圆 上两点, 是弦 的中点,
则 ,两式相减得：
,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴直线 的斜率
又 ,
所以 ,
化简得： ,
所以截得的弦的中点的轨迹方程为
(三) 求直线的斜率
一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率
【例5】已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F,F,点M,N在椭圆C上.
1 2(1)若线段MN的中点坐标为 ,求直线MN的斜率；
(2)若M,N,O三点共线,直线NF 与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.
1
【解析】(1)设 ,则 ,
两式相减,可得 ,
则 ,
解得 ,即直线MN的斜率为 ；
(2)显然直线NF 的斜率不为0,设直线NF ： , ,
1 1
联立 ,消去x整理得 ,显然 ,
故 ,故△PMN的面积
,
令 ,则 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故△PMN面积的
最大值为 .
【例6】已知椭圆 上不同的三点 与焦点 的距离成等差数列.（1）求证： ；（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ,求直线 的斜率 .
【解析】（1）证 略.
（2）解 , 设线段 的中点为 .
又 在椭圆上, ,（1） ,（2）
得： ,
.
直线 的斜率 , 直线 的方程为 .
令 ,得 ,即 , 直线 的斜率 .
(四) 点差法在轴对称中的应用
【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知O为坐标原点，点 在椭圆C：
上，直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为
．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理
由．【解析】（1）设 ，则
∵ 在椭圆上，则
两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接
ON
∵ ，则 ，即
由（1）可得 ，则 ，即直线
联立方程 ，解得
即
∵ ，则 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称【例8】已知椭圆 过点 ，直线 ： 与椭圆 交于 两点，且线
段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若椭圆 上存在 两点，使得 关于直线 对称，求实数 的范围．
【解析】（1）设 ，则 ，
即 ．
因为A，B在椭圆C上，所以 ，
两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ．
又因为椭圆C过点 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ；
（2）设 的中点为 ，所以 ，
因为P，Q关于直线l对称，所以 且点N在直线l上，即 ．又因为P，Q在椭圆C上，所以 ．
两式相减得 ．
即 ，所以 ，即 ．
联立 ，解得 ，即 ．
又因为点N在椭圆C内，所以 ，所以
所以实数 的范围为 ．
(五) 利用点差法可推导的结论
在椭圆 中,若直线l与该椭圆交于点 ,点 为弦AB中点,O为坐标原点,则
,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.
【证明】设 且 ,
则 ,（1） ,（2）
得： ,
, .
又 , , （定值）.
【例9】（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C： － ＝
1(a、b为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k、k,求k·k 的值；
1 2 1 2
(2)若 ＝ ,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．
【解析】(1)设P(x,y),Q(x,y),M(x,y),
1 1 2 2 0 0
因为P、Q在双曲线上,
所以 － ＝1, － ＝1,
两式作差得 － ＝0,
即 ＝ ,
即 ＝ ,
即k·k＝ ；
1 2
(2)因为 ＝ ,
所以 APQ是以A为直角顶点的直角三角形,即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时,设l：x＝t,代入 － ＝1得,y＝±b ,
由|t－a|＝b 得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,
得t＝ 或a(舍),
故直线l的方程为x＝ ；
②当直线l的斜率存在时,设l：y＝kx＋m,代入 － ＝1,
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,设P(x,y),Q(x,y),
1 1 2 2
则x＋x＝ ,xx＝－ ；
1 2 1 2因为AP⊥AQ,
所以 · ＝0,
即(x－a,y)·(x－a,y)＝0,
1 1 2 2
即xx－a(x＋x)＋a2＋yy＝0,
1 2 1 2 1 2
即xx－a(x＋x)＋a2＋(kx＋m)(kx＋m)＝0,
1 2 1 2 1 2
即(km－a)(x＋x)＋(k2＋1)xx＋m2＋a2＝0,
1 2 1 2
即 ＝0,
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,
所以k＝－ 或k＝－ ；
当k＝－ 时,直线l的方程为y＝－ x＋m,此时经过A,舍去；
当k＝－ 时,直线l的方程为y＝－ x＋m,
恒过定点( ,0),经检验满足题意；
综上①②,直线l过定点( ,0)．
三、跟踪检测
1．已知椭圆 为右焦点，直线 与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的
对称点S，设线段 与线段 的中垂线交于点Q．
(1)当 时，求 ；
(2)当 时，求 是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设 ，线段 的中点M坐标为 ，联立得 消去y可得： ，所以
所以 ，代入直线 方程，求得 ，
因为Q为 三条中垂线的交点，所以 ，
有 ，直线 方程为 .
令 ，所以 .
由椭圆 可得右焦点 ，故 ．
（2）设 ，中点M坐标为 ．
相减得 ， .
又Q为 的外心，故 ，
所以 ，直线 方程为 ，
令 ，所以 而 ,所以 ，
，同理 ，
，
，所以当t变化时， 为定值 ．2．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 的离心率为 ，
上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为
时，直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.
【解析】（1）由题意知，离心率 ，所以 ，
设 ， 两式相减得 ，所以 ；
所以直线为 ，即 ，所以 ，椭圆方程为 ；
（2）设直线为 ，由 得 ，
则 ， ， ，
所以 ，解得 ， ，
因为l不过D点，则 ，即
则 ，化简得 ，
解得 ， ，
所以 或 .
3．已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
(3)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程．
【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为 、 ，
设 ，当 时， ．
当 时， ，
两式相减得 ，即 (*)，
因为 ， ， ，
所以，代入上式并化简得 ，显然 满足方程.
所以点P的轨迹方程为 （在椭圆内部分）．
（2）设 ，在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式并化简得点Q的轨迹方程为 （在椭圆内部分）．
x+4 y=0
x+4 y=0
所以，点 的轨迹方程 （在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式可求得 ．
所以直线方程为 ．
4．已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，椭圆 上是否存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，若存在，求出 ， 的坐标，
若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ， ，则 ，
即 ．
因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，
两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ．
又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意可知，直线 的方程为 ．
假设椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，
设 ， ， 的中点为 ，所以 ， ，
因为 ， 关于直线 对称，所以 且点 在直线 上，即 ．
又因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，
两式相减得 ，
即 ，所以 ，即 ．联立 ，解得 ，即 ．
又因为 ，即点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，
所以椭圆 上不存在点 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称．
5．（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线 的焦点为F,准线为l,过焦点F且
斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若 的中点到准线l的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以 为直径的圆上．
【解析】 (1)设 ,则
所以 ,整理得 ,
所以 ．
因为直线 的方程为 ,
所以 ．
因为 的中点到准线l的距离为4,
所以 ,得 ,
故抛物线C的方程为 ．
(2)设 ,可知切线 的斜率存在且不为0,
设切线 的方程为 ,
联立方程组 得 ,由 ,得 ,即 ,
所以方程 的根为 ,
所以 ,即 ．
因为 ,所以 ,
所以 ,即F在以 为直径的圆上．
6．（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 , ,过点 的直线 交椭圆 于 , 两点.当直线 的斜率为1时,点 是线段 的
中点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图,若过点 的直线 交椭圆 于 , 两点,且 ,求四边形 的面积的最大值.
【解析】 (1)设 , .
由题意可得
∴ ,即 ,
∴ .∵ ,∴ , ,
∴椭圆 的标准方程为 .
(2)根据对称性知 , ,
∴四边形 是平行四边形,又 ,
∴问题可转化为求 的最大值.
设直线 的方程为 ,代入 ,得 .
则 , ,
∴ .
令 ,则 ,且 ,
∴ .
记 ,易知 在 上单调递增.
∴ .
∴ .
∴四边形 的面积的最大值是6.
7．如图, 是过抛物线 焦点F的弦,M是 的中点, 是抛物线的准线, 为垂足,点
N坐标为 .(1)求抛物线的方程；
(2)求 的面积（O为坐标系原点）.
【解析】 (1)点 在准线 上,所以准线 方程为： ,
则 ,解得 ,所以抛物线的方程为： ；
(2)设 ,由 在抛物线 上,
所以 ,则 ,
又 ,所以点M纵坐标为 是 的中点,所以 ,
所以 ,即 ,又知焦点F坐标为 ,则直线 的方程为： ,
联立抛物线的方程 ,得 ,解得 或 ,所以 ,
所以 .
8．在平面直角坐标系 中,设点 ,直线 ： ,点 在直线 上移动, 是线段 与 轴的交点,
, .(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的曲线 的弦 、 ,设 、 的中点分别为M、N.求直线 过定点D的
坐标.
【解析】 (1)依题意,点 在直线 ： 上移动,令直线 交x轴于点K,而点 ,又 是线段 与 轴
的交点,
当点P与点K不重合时, ,而O为FK中点,则点 是线段 的中点,因 ,
则 是线段 的垂直平分线, ,又 于点P,即 是点 到直线 的距离,
当点P与点K重合时,点R与点O重合,也满足上述结论,
于是有点Q到点F的距离等于点Q到直线l的距离,则动点 的轨迹 是以 为焦点, 为准线的抛物线,其方
程为： ,
所以动点 的轨迹 的方程为 .
(2)显然直线 与直线 的斜率都存在,且不为0,设直线AB的方程为 , ,
令 , , ,由 两式相减得： ,则 ,即 ,
代入方程 ,解得 ,即点M的坐标为 ,
而 ,直线 方程为 ,同理可得：N的坐标为 ,
当 ,即 时,直线 ： ,
当 且 时,直线 的斜率为 ,方程为 ,整理得
,
因此, ,直线 ： 过点 ,
所以直线 恒过定点 .
9．中心在原点的双曲线 焦点在 轴上且焦距为 ,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问
题：
①该曲线经过点 ；
②该曲线的渐近线与圆 相切；
③点 在该双曲线上, 、 为该双曲线的焦点,当点 的纵坐标为 时,恰好 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过定点 能否作直线 ,使 与此双曲线相交于 、 两点,且 是弦 的中点？若存在,求出 的方
程；若不存在,说明理由.
【解析】 (1)设双曲线 的标准方程为 .
选①：由题意可知,双曲线 的两个焦点分别为 、 ,
由双曲线的定义可得 ,则 ,故 ,所以,双曲线 的标准方程为 .
选②：圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 ,
双曲线 的渐近线方程为 ,由题意可得 ,解得 ,
即 ,因为 ,则 , ,
因此,双曲线 的标准方程为 .
选③：由勾股定理可得 ,
所以, ,则 ,则 ,故 ,
所以,双曲线 的标准方程为 .
(2)假设满足条件的直线 存在,设点 、 ,则 ,
由题意可得 ,两式作差得 ,
所以,直线 的斜率为 ,所以,直线 的方程为 ,即 .
联立 ,整理可得 , ,
因此,直线 不存在.
10．己知椭圆 的焦距为 ,短轴长为2,直线l过点 且与椭圆C交于A、B
两点．
(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求弦 的长；
(3)若过点 的直线 与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦 的中点,求直线 的方程．
【解析】 (1)依题意,椭圆C的半焦距 ,而 ,则 ,
所以椭圆C的方程为： .
(2)设 ,
依题意,直线l的方程为： ,由 消去y并整理得： ,
解得 ,因此, ,
所以弦 的长是 .
(3)显然,点 在椭圆C内,设 ,因E、G在椭圆C上,
则 ,两式相减得： ,
而Q是弦 的中点,即 且 ,则有 ,
于是得直线 的斜率为 ,直线 的方程： ,即 ,
所以直线 的方程是 .
11．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ,AB为椭圆的一条弦,直线
y=kx（k>0）经过弦AB的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为 ,点P的坐标为（1, ）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证： 为定值.【解析】（1）由题意知 解得
故椭圆 的方程为 .
（2）证明：设 , , ,由于A,B为椭圆C上的点,所以 , ,
两式相减得 ,
所以 .
又 ,
故 ,为定值.
12．已知双曲线 ： 与点 ．
（1）是否存在过点 的弦 ,使得 的中点为 ；
（2）如果线段 的垂直平分线与双曲线交于 、 两点,证明： 、 、 、 四点共圆．
【解析】（1）双曲线的标准方程为 , , ．
设存在过点 的弦 ,使得 的中点为 ,
设 , , ,
两式相减得 ,即 得： , ．
存在这样的弦．这时直线 的方程为 ．
（2）设 直线方程为 ,则点 在直线 上．
则 ,直线 的方程为 ,设 , , 的中点为 , ,
两式相减得 ,则 ,则
又因为 在直线 上有 ,解得 ,
,解得 , ,
,整理得 ,则
则
由距离公式得
所以 、 、 、 四点共圆．
13．李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F,F 处,|FF|＜8,套上铅笔,拉紧细绳,移动
1 2 1 2
笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C,当笔尖运动到点M处时,经测量此时∠FMF ＝ ,且△FMF 的
1 2 1 2
面积为4．
（1）以F,F 所在直线为x轴,以FF 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C
1 2 1 2
的方程（铅笔大小忽略不计）；
（2）若直线l与轨迹C交于A,B两点,且弦AB的中点为N（2,1）,求△OAB的面积．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为 ,
由椭圆的定义知2a＝8,故a2＝16．
∵在Rt△FMF 中,|FF|＝2c,假设|MF |＝x,|MF |＝y（x,y＞0）,
1 2 1 2 1 2
又∵△FMF 的面积为4cm2,
1 2
,故4c2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝48,
∴c2＝12,b2＝a2﹣c2＝4,∴椭圆的标准方程为 ．
（2）设A（x,y）,B（x,y）,
1 1 2 2
∵弦AB的中点为N（2,1）,
∴x+x＝4,y+y＝2 且 x≠x．
1 2 1 2 1 2
又∵A,B均在椭圆上,
∴ ,得 ,
即 .
.
∵x≠x,∴
1 2
故直线AB的方程为：x+2y﹣4＝0．
联立 ,整理得x2﹣4x＝0．
得 x＝0,x＝4,
1 2
∴A（0,2）,B（4,0）,
∴ ．
∴△OAB 的面积为4cm2．
14.若抛物线 上存在不同的两点关于直线 对称,求实数 的取值范围.
【解析】当 时,显然满足.
当 时,设抛物线 上关于直线 对称的两点分别为 ,且 的中
点为 ,则 ,（1） ,（2）得： , ,
又 , .
中点 在直线 上, ,于是 .
中点 在抛物线 区域内
,即 ,解得 .
综上可知,所求实数 的取值范围是 .
