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专题17.8 勾股定理的逆定理（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·宁夏固原·八年级统考期末）明明在玩摆木棒游戏，帮他看一看哪一组长度的木棒可以构
成直角三角形（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，7，11 D．5，12，13
2．（2023下·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）已知四边形 的四个顶点A，B，C，D的坐标
分别为 ， ， ， ，若对角线 互相平分，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才
回到家里．已知学校A．晓华家 ，彬彬家 的两两之间的距离如图所示，且晓华家 在学校 的正东方
向，则彬彬家 在学校 的（ ）
A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向
4．（2023下·福建莆田·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的
测量可知 ， 米， 米， 米， 米．为了提高校园的绿化面积，现学校
决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是（ ）
A．1080元 B．1530元 C．1800元 D．2160元5．（2021上·江西南昌·八年级南昌市心远中学校考期末）在下列三角形中能从几何角度验证 的
图（不添加任何辅助线）是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）在正方形网格中画格点 ，如图，若网格中每个小
正方形的边长均为 ，则下列说法错误的是（）
A． B． C． D．
7．（2021上·山东烟台·七年级统考期中）在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12
海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方
向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
8．（2023上·湖南张家界·九年级统考期中）已知成比例的四条线段的长度分别为 ， ， ，
，且 的三边长分别为 ， ， ，则 是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定
9．（2022上·北京·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若
恰为等腰直角三角形，则 点坐标不可能是（ ）．A． B． C． D．
10．（2021下·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，在 中，在同一平面内，分别以 、 、
为边向形外作等边 、等边 、等边 ，若 ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末） 、 、 是三角形的三个顶点，则
是 三角形．
12．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是 ， ，
，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/ ，绿化这块空地需要
元．
13．（2023上·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知：如图，在方格图中 ．
14．（2022·全国·八年级专题练习）已知 中， ， ，
（n为大于2的整数），则∠ ．15．（2021上·八年级课时练习）如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长
BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形 ．（填“能”
或“不能”）
16．（2021下·河南新乡·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ．在
上取一点 ， 上取一点 ，连接 ，若 ，过点 作 ，且点 在 的右侧，则
的度数为 ．
17．（2024上·北京石景山·八年级统考期末）如图， 中， ， ． 平分
．则
（1） °；
（2）点 到 的距离为 ．
18．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）．如图，有一台救火飞机沿东西方向 ，由点A飞向点
B，已知点C为其中一个着火点，已知 ， ， ，飞机中心周围 以内可
以受到洒水影响，若该飞机的速度为 ，则着火点C受到洒水影响 秒．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·山西临汾·八年级校考期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求 的周长．
（2）求 和 的度数．
20．（8分）（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，
是 的边 上的高， 为垂足，且 ， .
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）求 的长.21．（10分）（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是某小区的一块四边形形状的绿地，其四个
顶点处为A、B、C、D四栋住宅．已知 ， ， ， ， ．
（1）为了方便居民出入，小区物业计划对绿地进行改造，改造前从A栋到C栋有两条路线，分别为
和 ，改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路，通过计算比较居民从点A到点C
将最多少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
22．（10分）（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长
为1个单位的正方形， 的顶点均在格点上．
（1）画 关于y轴的对称图形 ；
（2）试判断 的形状，说明理由；
（3）在y轴上求作一点P，使得 最小，并求出这个最小值．23．（10分）（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区
为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，
C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的
连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
（1）请判断此平面图形 的形状（要求写出推理过程）
（2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
24．（12分）（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图1，这是由五根不可伸缩的木棍组成的一个
凸五边形，其中边 ， ， ， 的长分别是 ， ， ， ．如图2，当点C，D落在线
段 上时，点E恰好落在线段BA的延长线上．
（1）求线段 的长．
（2）如图3，当点A，E，D在同一条直线上，点D，C，B在同一条直线上时，组成 ；如图
4，当点A，E，D，C在同一条直线上时，组成 ，请分别求出这两个三角形的面积，并比较它们的大
小．参考答案：
1．D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、∵ ，
∴ ，
∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵ ， ，
∴ ，
∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；D、∵ ， ，
∴ ，
∴能组成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．D
【分析】由对角线 互相平分，可得 的中点 与 的中点 相同，即
，求解得 ，则A，B，C，D的坐标分别为 ， ， ， ，勾股定理得
， ， ，则 ，可判断 的形状，进而可求 的值．
解：∵对角线 互相平分，
∴ 的中点 与 的中点 相同，
∴ ，解得 ，
∴A，B，C，D的坐标分别为 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形， ，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三元一次方程组．解题的关键在于求出 的
值．
3．D【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得 即可求解．
解：由图可得： ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴彬彬家 在学校 的正北方向，
故选：D．
4．A
【分析】连接 ，先证明 是直角三角形，根据 求出四边形 的面
积即可解决问题．
解：连接 ，
∵ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ （元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明 是直角三角形，
属于中考常考题型．
5．B【分析】四个选项中只有B选项可以通过垂线段最短来说明 ．
解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴CA＞CB（直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短），
即： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短的应用，熟练掌握垂线段最短是解决
本题的关键．
6．C
【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可
得出正确的选项．
解：由图知： ， ，
∵ ,
∴ 是直角三角形，且
∴A、B、D选项正确
故选：C
【点拨】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键．
7．C
【分析】根据题意求出OA、OB的长度，根据勾股定理逆定理可得△AOB为直角三角形，
∠AOB=90°，继而可得B舰艇的航行方向．解：由题意，得：AB=30海里，
OA=12×1.5=18（海里），
OB=16×1.5=24（海里），
∵OA2+OB2=182+242=900，
AB2=302=900，
∴OA2+OB2= AB2，
∴∠AOB=90°，
∵A舰艇向北偏西50°方向航行，
∴B舰艇的航行方向为北偏东40°．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方位角的知识．在△ABC中，若a2+b2=c2，那么△ABC
为直角三角形．
8．C
【分析】本题考查了成比例线段和勾股定理的逆定理，掌握成比例线段定理是解答此题的关键．根据
题意求出 的值；然后再根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状即可．
解： 四条线段成比例，
解得： ；
的三边长分别为 ， ， ， ，
是直角三角形，
故选：C．
9．A
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可．
解：由题意得 ，
A、∵ ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；
B、 ， ，又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；
C、 ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；
D、 ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题．等腰直角三
角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形．
10．C
【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据 求出AC的长，再根据勾
股定理逆定理判断 是直角三角形，再根据面积公式求结论即可．
解：如图1， △
在等边三角形中，当边长为2a时，高为 ，用此结论可得：
∵ 为等边三角形，
∴高为∴
∵ 为等边三角形，
∴高为
∴
∴
即：
解得：
在 中，
△
∴ 是直角三角形，
△
∴
故选：C．
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是
解答此题的关键．
11．等腰直角
【分析】求出 的长，再利用勾股定理逆定理，进行求解即可．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角．
【点拨】本题考查三角形的判定，勾股定理以及逆定理．解题的关键是掌握两点间的距离公式．
12．3000
【分析】根据勾股定理的逆定理得出这块空地是直角边为 和 的直角三角形，求出这块空地的面
积，然后再计算需要的费用即可．
解：∵ ，∴这块空地是直角边为 和 的直角三角形，
∴这块空地的面积为 ，
∴绿化这块空地需要的费用为 元，
故答案为：3000．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这
个三角形是直角三角形．
13． /45度
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
解：连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出 是等腰直角三角形．
14．
【分析】先计算 ，再计算 ，再利用勾股定理的
逆定理进行判断即可．
解：∵ ， ， ，
∴∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，整式的乘法运算，熟练的利用勾股定理的逆定理判
定直角三角形是解本题的关键．
15．能
【分析】根据勾股定理求得线段 、 的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：由勾股定理得：
由题意可得：
∵ ，即
∴ 为直角三角形，
故答案为：能
【点拨】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
16．
【分析】在 中，由三边的长度可得出 ，进而可得出 为直角三角形且
，由于平行线之间有拐点，所以过点C作 交AB于点M，则 ，利用平行的性
质可得出 的度数，结合 可求出 的度数，再利用“两直线平行，内
错角相等”即可求出 的度数．
解：在 中， ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ 为直角三角形且 ．
过点C作 交AB于点M，则 ，如下图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出
并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
17．
【分析】（1）本题根据勾股定理逆定理得出 为等腰直角三角形，即可求解．
（2）本题过点 作 于点 ，根据 证明 ，再根据角平分线性质得到 ，
设 ，则 ， ，最后结合勾股定理即可求解．
（1）解： ， ，满足 ，
，即 为等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
（2）解：过点 作 于点 ，如图所示
，
，
，
，
平分 ，且 ，
，
设 ，则 ， ，，有 ，
整理得 ，解得 （舍去）， ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理逆定理、等腰直角三角形性质、角平分线的性质和勾股定理，解题的关键
在于利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形和利用勾股定理求线段长．
18．
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作 ，
垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得 长度，以点C为圆心， 为半
径作圆，交 于点E、F，勾股定理求得 ，进而求得 的长，根据飞机的速度 求得到飞行时间
即可解决问题．
解：过点C作 ，垂足为D，
∵ ， ， ，且
∴ ，
∵ ，
∴
以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E、F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴着火点C受到洒水影响时间为 ．19．（1） ；（2） ，
【分析】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和其逆定理；
（1）由勾股定理分别求出 的三边长，即可解答；
（2）由 ，根据勾股定理的逆定理即可解答．
（1）解： ，
，
，
的周长为 ．
（2）解： ，
是直角三角形， ，
，
．
20．（1） 是直角三角形；（2） ．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用．
（1）根据勾股定理先求出 ，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由 是 的边 上的高，利用面积法计算即可．
（1）解：∵在 中， ， ， ，
根据勾股定理 ，
∵ ，
∴ 是直角三角形；（2）解：∵ 是 的边 上的高，
∴ ，
∴ ．
21．（1）居民从点A到点C将最多少走 路程；（2）
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键．
（1）如图，连接 ，再利用勾股定理求解 ，再计算 即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明 ，再利用直角三角形的面积和可得答案．
（1）解：如图，连接 ，
∵ ， ， ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴居民从点A到点C将最多少走 路程；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
．22．（1）见分析；（2） 为等腰直角三角形，理由见分析；（3）
【分析】本题考查了作图 轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称
图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了勾股定理的逆定理．
（1）利用关于 轴对称的点的坐标特征得到 、 、 的坐标，然后描点即可；
（2）利用勾股定理的逆定理可判断 为等腰直角三角形；
（3）作点的对称点，利用两点之间线段最短计算即可．
（1）解：如图， 为所作，
（2）解： 为等腰直角三角形．
理由如下： ， ， ，
， ，
∴ 为等腰直角三角形， ．
（3）解：连接 交 轴于点 ，连接 ，则根据轴对称的性质可知 的最小值就是线段
的长，
∴ ．
23．（1） 是直角三角形；（2）甲方案所搭建的传送带较短．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，
由勾股定理的逆定理证出 是直角三角形是解决问题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出 是直角三角形；
（2）由 的面积求出 ，得出 ，即可得出结果．（1）解： 是直角三角形；
理由如下：
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ；
（2）解：甲方案所搭建的传送带较短；
理由如下：
∵ 是直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴ （m），
∵ ， ，
∴ ，
∴甲方案所搭建的传送带较短．
24．（1） ；（2） ， ， 的面积更大．
【分析】本题主要考查了线段的和差关系，勾股定理以及勾股逆定理的应用，等腰三角形的性质．
（1）根据线段的和差关系计算即可．
（2）根据线段的和差关系求出 ， ，然后利用定理的逆定理证明 是直角三角形，进而可
求出 ， 作 于点 ，利用线段的和差关系得出 ，根据等腰三角形的性质即可得出
，再利用勾股定理求出 ，进而求出 ，比较两三角形的面积即可求出答案．
（1）解： ，
（2）∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．如图，作 于点 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴的面积更大．
