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2.4 二次函数的应用
第2课时 商品利润最大问题
教学内容 第2课时 商品利润最大问题 课时 1
1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；
2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，
核心素养
从而得到函数关系，再求最值；
目标
2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的
能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．
1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；
知识目标 2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，
从而得到函数关系，再求最值．
教学重点 应用二次函数解决实际问题中的最值问题.
教学难点 应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从
而得到函数关系，再求最值.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的
设计意图：通过类比几何
最大值？
问题求最值的方法得到求
利润问题的最大值的关键
同样是求函数的最大值，
同时复习利润相关的等量
关系，为后文做铺垫.
师提问：与利润有关的有哪些等量关系？
预设：
二、探究
新知 二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：利润最大问题
设计意图：
例1 服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件
通过这个实际问题，让学
10 元.根据市场调查，以单价 13 元批发给经销
生感受到二次函数是一类
商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表示单价每
最优化问题的数学模型，
降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
并感受数学的应用价值在
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可
这里帮助学生分析和表示
以获利最多?
实际问题中变量之间的关
系，帮助学生领会有效的
师：根据利润公式，在题目中找到对应的量： 思考和解决问题的方法，
学会思考、学会分析，是
教学的一个重要内容.
根据解决解题步骤一步步的分析：
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
② 根据题意，求出自变量的取值范围
③ 将二次函数解析式化为顶点式，求最值
本题根据不同的未知数表示，有不同的方
法，先让学生自主分析再小组讨论，由代表发言
展示自己的结果：
1解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为
20000元.
师提问：还有其他的设未知数方法吗？
预设：
师：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一
谈怎样设因变量更好？
设计意图：
让学生通过列表的方式表
示利润与单价的函数关系
例2 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租
式，将实际问题转化为数
金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，
学模型。使学生感受到
如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每
“何时获得最大利润”就
天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将 是在自变量的取值范围
每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金 内，此二次函数何时取得
的总收入最高? 最高总收入是多少? 最大值问题。
分析：
设每间客房的日租金提高 x 个 10 元.
学生根据表格表示关系，然后列出函数表达式，
小组讨论结果，然后展示.
预设：
解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客
房出租数会减少 6x 间. 设客房日租金总收入为
y 元，则
y = (160 + 10x)(120 - 6x)= -60(x - 2)2 + 19440
∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20.
当 x = 2 时， y最大=19440.
这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元) 设计意图：
因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房 发展有条理地进行思考和
总收入最高, 最高收入为 19440 元. 语言表达的能力，并能根
据具体问题，选取适当的
交流归纳：通过以上探究，你认为利用二次函数 方法表示变量之间的二次
解决利润问题的一般步骤是什么? 函数关系，并利用二次函
数解决实际问题，使学生
师生共同归纳总结： 感受二次函数与生活的密
求解最大利润问题的一般步骤 切联系。
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用
2“总利润 = 单件利润×总销量”
或“总利润 = 总售价 - 总成本”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以
设计意图：
利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函
进一步用图像刻画橙子树
数的简图，利用简图和性质求出.
的总产量与增种橙子树之
间的关系，并利用图像
解决问题。但是本题属于
议一议
离散型，画函数图像时应
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题
该用虚线。
吗？我们得到表示增种橙子树的数量 x (棵) 与橙
子总产量 y (个) 的二次函数表达式：
y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000.
（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子
树的棵树之间的关系.
（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在
60400个以上？
师生活动：
要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互
订正，代表展示成果．
教师及时指导． 设计意图：通过中考题的
探究加强学生对于二次函
数利润问题的解题方法的
链接中考 运用，同时规范解题步骤
1. (泰兴市期末) 一水果店售卖一种水果，以 8
元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以
12 元/千克售 卖，每天可卖 60 千克：若每
千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千
克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于
成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销
售总质量为 y 千克.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式.
(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千
克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W
与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值
3时，利润达到最大.
师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
三、当堂
练习，巩
固所学 设计意图：针对本课时的
主要问题，从多个角度、
分层次进行检测，达到学
有所成、了解课堂学习效
果的目的.
三、当堂练习，巩固所学
1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在
某段时间内若以每件 x 元（20 ≤x≤30)出售，可
卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售
价应定为 元.
2. 某种商品的成本是 120 元，试销阶段每件商
品的售价 x（元）与产品的销售量 y（件）满足
当 x=130 时，y=70，当 x=150 时，y=50，且 y
是 x 的一次函数，为了获得最大利润 S（元），
每件产品的销售价应定为（ ）
A．160元 B．180元
C．140元 D．200元
3. 某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价
x (元）之间满足关系：y = ax2+bx-75. 其图象如
图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售
利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销
售利润不低于 16 元？
商品利润最大问题
1．利用二次函数求实际问题中的最大利润
板书设计 2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润
3.利用表格信息求最大利润
4课后小结
本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最
大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，
有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”
教学反思
的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过
程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发
展了智力，同时提升了能力.
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