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第 14 讲 二次函数的应用
目 录
题型01 最大利润/销量问题
题型02 方案选择问题
题型03 拱桥问题
题型04 隧道问题
题型05 空中跳跃轨迹问题
题型06 球类飞行轨迹
题型07 喷泉问题
题型08 图形问题
题型09 图形运动问题
题型10 二次函数综合问题-线段、周长问题
题型11 二次函数综合问题-面积周长问题
题型12 二次函数综合问题-角度问题
题型13 二次函数综合问题-特殊三角形问题
题型14 二次函数综合问题-特殊四边形问题
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题型 01 最大利润/销量问题
1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千
克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，
每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可
销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所
获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−0.2x+8.4 ( 1≤x≤10且x为整数)．
(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可
求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)
=−0.2x+8.4
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4 ( 1≤x≤10，且x为整数)．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x
=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x
=−3x2+41x
∵a=−3<0
∴抛物线开口向下
41
∵对称轴是直线x=
6
41
∴当1≤x≤ 时，w的值随x值的增大而增大
6
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∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w =138
最大
41
当 ≤x≤10时，w的值随x值的增大而减小
6
∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w =140
最大
∵140>138
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性
来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本
科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不
变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买
50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．
按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
(2)社区至少要准备2700元购书款．
【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求
解；
（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意
可分当30≤m<40时，当40≤m≤50时及当50200，
∴60×200+60×(x−200)×80%=56x，
解得：x=300，
答：该超市定制了这款垃圾桶300套．
（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，
∴y=(80−56−m)(20+2m)，
y=−2m2+48m+480=−2(m−7) 2+578，
∵−2<0且0W ，
1 2
∴当1010m．
∴船的速度不变，它能安全通过此桥．
答：该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是15m，它能安全通过此桥．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大
小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
9．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．
若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单
位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−h) 2+k(a<0)．
(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
1
水平距离x/m 2 3 6 8 12
0
竖直高度y/m 4 5.4 7.2 6.4 4 0
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系
y=a(x−h) 2+k(a<0)．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：
m）近似满足函数关系y=−0.288(x−5) 2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的
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距离）为d ，“新拱门”的跨度为d ，则d __________d (填“>”、“=”或“<”）．
1 2 1 2
【答案】(1)y=−0.2(x−6) 2+7.2
(2)>
【分析】（1）由表格得当x=2时，y=4，当x=10时，y=4，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出d ，由y=−0.288(x−5) 2+7.2可求出d ，进行比较即可．
1 2
【详解】（1）解：由表格得：
∵6−2=10−6，
∴顶点坐标为(6,7.2)，
∴y=a(x−6) 2+7.2，
∴a(2−6) 2+7.2=4，
解得：a=−0.2，
∴y=−0.2(x−6) 2+7.2．
（2）解：由表格得
当x=12时，y=0，
原拱门中：d =12（m）；
1
新拱门中：
当y=0时，
−0.288(x−5) 2+7.2=0
解得：x =0，x =10，
1 2
∴d =x −x =10（m），
2 2 1
∵12>10，
∴d >d ．
1 2
故答案：>．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．
10．（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于
运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省
赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝
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肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中AB´C），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的
半径是______m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求
桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
【答案】(1)25
4
(2)y=− x2+4
25
(3)此时桥A的水面宽度为8√21m，桥B的水面宽度为5√2m
【分析】（1）设AB´C所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，则OB⊥AC，AD=CD=20m，再设这条桥
主桥拱的半径是rm，则OA=OB=rm，OD=(r−10)m，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理求解即可得；
（2）以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，则N(5,0),P(0,4)，再利用待
定系数法求解即可得；
（3）根据（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的长，再利用
垂径定理即可得此时桥A的水面宽度；根据（2）的结论求出y=2时，x的值，由此即可得此时桥B的水面
宽度．
【详解】（1）解：如图，设AB´C所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，
由垂径定理得：点O,D,B共线，
1
则OB⊥AC，AD=CD= AC=20m，
2
设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA=OB=rm，
∴OD=OB−BD=(r−10)m，
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在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2，即202+(r−10) 2=r2，
解得r=25，
故答案为：25．
（2）解：如图，以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，
由题意得：N(5,0),P(0,4)，
则设桥拱抛物线的解析式为y=ax2+c，
将点N(5,0),P(0,4)代入得：¿，解得¿，
4
所以桥拱抛物线的解析式为y=− x2+4．
25
（3）解：如图，桥A中，由（1）可知：OF=25m,OD=25−10=15(m)，
由题意得：OB⊥FG,DE=2m，
∴OE=17m，
在Rt△EOF中，EF=√OF2−OE2=4√21m，
由垂径定理得：FG=2EF=8√21m，
即此时桥A的水面宽度为8√21m；
4
如图，桥B中，y=− x2+4，
25
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4
当y=2时，− x2+4=2，
25
5√2 5√2
解得x= 或x=− ，
2 2
5√2 ( 5√2)
所以此时桥B的水面宽度为 − − =5√2(m)，
2 2
答：此时桥A的水面宽度为8√21m，桥B的水面宽度为5√2m．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性
质是解题关键．
题型 04 隧道问题
11．（2022·北京通州·统考一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路
面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到
墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与
y的几组值，如下表：
x（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
y（米） 3.00 3.44 3.76 3.94 3.99 3.92 3.78 3.42 3.00
(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；
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(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
图象．
(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到
隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或
“否”）．
【答案】(1)3.99
(2)见解析
(3)是
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当x=2时，y有最大值；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；
（3）在y=−0.2475(x−2) 2+3.99中，令x=0.8，求得相应的y值，结合其车厢最高点到隧道顶面的距离
应大于0.5米．从而判断该货车是否能安全通过.
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当x=2时，y有最大值为3.99；
故答案为：3.99；
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（2）解：如图，建立直角坐标系，
（3）解：将D(0,3)代入y=a(x−2) 2+3.99，得：
4a+3.99=3，解得：a=−0.2475，
∴抛物线的表达式为y=−0.2475(x−2) 2+3.99；
在y=−0.2475(x−2) 2+3.99中，令x=0.8，得：
y=−0.2475(0.8−2) 2+3.99=3.6336，
3.6336−3=0.6336>0.5
∴车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，
∴该货车能安全通过；
故答案为：是．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数
法是解题的关键．
12．（2023·河南信阳·二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小
时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为
16cm，入口最高处OC为12.8米．
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(1)求抛物线解析式；
(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处
降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？
【答案】(1)抛物线解析式为y=−0.2x2+12.8
(2)抛物线解析式为y=−0.2x2+0.8x+9
(3)不符合要求，理由见解析
【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把A点坐标代入解析式即可；
（2）根据平移的性质求抛物线解析式即可；
（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．
【详解】（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C(0,12.8)，A(−8,0)，
故设抛物线解析式为y=ax2+12.8，
把A点坐标代入解析式得：64a+12.8=0，
解得a=−0.2，
∴抛物线解析式为y=−0.2x2+12.8；
（2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m，
∴抛物线解析式为y=−0.2(x+2) 2+9.8=−0.2x2+0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令y=−0.2x2+0.8x+9中的y=0，
则−0.2x2+0.8x+9=0，
整理得x2−4x−45=0，
解得x =−5，x =9，
1 2
∴x −x =9+5=14，
2 1
∵14<15，
∴（2）中的建议不符合要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
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题型 05 空中跳跃轨迹问题
13．（2022·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为
( 3 )
− ,−10 ．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动
2
( 5)
作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 1, ，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成
4
规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由；
21 27
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM= ，EN= ，该运动员入水后运动路线对应的抛
2 2
物线解析式为y=a（x−h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N
两点），请直接写出a的取值范围．
5 5
【答案】(1)y=− (x−1) 2+ ；(4，−10)
4 4
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
1 16
(3) ≤a≤
4 25
5
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a (x−1) 2+ ，将(0,0)代入即可求得解析式；令y=−10，即可求
0 4
得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
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（3）分别求出当抛物线经过点M、N时的a的值即可．
5
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a (x−1) 2+
0 4
5
将(0,0)代入解析式得：a =−
0 4
5 5
∴抛物线的解析式为y=− (x−1) 2+
4 4
5 5
令y=−10，则−10=− (x−1) 2+
4 4
解得：x =−2(舍去),x =4
1 2
∴入水处B点的坐标(4，−10)
3 7
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5− =
2 2
7 5 (7 ) 2 5 105
将x= 代入解析式得：y=− × −1 + =−
2 4 2 4 16
105 55
∵− −(−10)= <5
16 16
∴该运动员此次跳水失误了
21 27 ( 3 )
（3）解：∵EM= ，EN= ，点E的坐标为 − ,−10
2 2 2
∴点M、N的坐标分别为：(9,−10),(12,−10)
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−h）2+k，顶点C距水面4米
13 2
y=a(x− ) −14，
2
16
∴当抛物线经过点M时，把点M(9,−10)代入得：a=
25
1
同理，当抛物线经过点N (12,−10)时，a=
4
1 16
由点D在MN之间可得： ≤a≤
4 25
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．
熟记二次函数的相关形式是解题关键．
14．（2023·山东青岛·统考二模）跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P处起滑，
在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道
加速，到达高度OE=42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角
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坐标系，OM=38m，ON=114m，设MN所在直线关系式为y=kx＋b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 10 20 30 40
4
竖直高度y/m 48 50 48 42
2
(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
(2)运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成．
距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当
运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计
为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离
动作分 风速加分
分
50 −2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x+42
50 5
(2)127.5分
【分析】（1）利用待定系数法可得结论；
（2）先确定MN的解析式，联立一次函数和二次函数的解析式，解方程组可得x的值，代入到总分的式子
即可算出．
【详解】（1）解： 抛物线经过点(10,48)，(30,48)
∵
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10+30
对称轴是：直线x= =20，
2
∴
顶点坐标为：(20,50)，
∴
设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y=a(x−20) 2+50，
1
将代入得(0,42)代入得：a(0−20) 2+50=42，则a=− ，
50
1 1 4
甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y=− (x−20) 2+50=− x2+ x+42．
50 50 5
∴
（2）解：∵OM=38m,ON=114m
∴M(0,38),N(114,0)，
设MN的解析式为y=kx+b，
∴¿，解得¿，
1
∴MN的解析式为y=− x+38，
3
1 4 1
当− x2+ x+42=− x+38，
50 5 3
1
解得：x =60，x =− （舍去），
1 2 3
则60+2×(60−50)+50+(−2.5)=127.5，
甲运动员本次比赛得分127.5分．
∴【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键在于：会用待定系数法求解析式、能求出与x轴的交点．
15．（2023·河南开封·统考一模）某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，
在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点O为原点建立的平面直角坐标
系（甲位于点O处，乙位于x轴的D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点、B点，且
AB的水平距离为6米，他们到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的
垂直距离为1.8米．
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(1)请求出该抛物线的解析式；
(2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶
上方；
(3)经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.4米时才能安全起跳，小明与其
他3位同学一起跳绳，如果这3名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？
【答案】(1)y=−0.1(x−3) 2+1.8
(2)小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方
(3)他们可以安全起跳，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点的坐标为(3,1.8)，可设抛物线的解析式为y=a(x−3) 2+1.8，将点
A(0,0.9)代入，求出a的值，可得该抛物线的解析式；
（2）将y=1.7代入y=−0.1(x−3) 2+1.8，解得x的值即可；
（3）由（2）可知当y=1.7时，x =2，x =4，可以站立跳绳的距离为4−2=2米，小明与其他3位同学一
1 2
起跳绳需要站立的最短距离为(4−1)×0.4=1.2米，因为1.2<2，所以他们可以安全起跳．
【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y=a(x−3) 2+1.8，
将点A(0,0.9)代入y=a(x−3) 2+1.8，中，得a=−0.1，
∴该抛物线的解析式是y=−0.1(x−3) 2+1.8．
（2）解：将y=1.7代入y=−0.1(x−3) 2+1.8，
解得x =2，x =4，
1 2
∴小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方．
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（3）解：他们可以安全起跳，理由如下：
当y=1.7时，x =2，x =4，
1 2
∴可以站立跳绳的距离为4−2=2米，
又∵(4−1)×0.4=1.2米，
∴1.2<2，
∴他们可以安全起跳．
【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达
式是解答本题的关键．
题型 06 球类飞行轨迹
16．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方
球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物
线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方
球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这
次吊射？
1
【答案】(1)y=− (x−16) 2+8
32
(2)能
【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；
（2）将x=3代入函数表达式，与2.88相比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，足球距离点O(30−14)=16米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y=a(x−16) 2+8，
把(0,0)代入解析式得：0=a(0−16) 2+8，
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1
解得：a=− ，
32
1
故抛物线解析式为：y=− (x−16) 2+8；
32
1
（2）当x=3时，y=− (3−16) 2+8=2.72<2.88，
32
故C罗能在空中截住这次吊射．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
17．（2022·山东青岛·统考一模）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发
挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官
的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞
行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？
请说明理由；
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
1
【答案】(1)抛物线的解析式为y=− x2+4x；
3
(2)能越过，理由见解析；
121
(3) 米
12
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，求出a，得到抛物线解析式；
（2）由坡比求出AE，将x=9代入函数解析式，与3+5=8比较可得结论；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），求出直线OA的解析式，作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线
1 1 1 1
OA于点N，设点M（x，− x2+4x），则点N的坐标为（x， x），求出MN=- x2+4x- x=
3 3 3 3
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1 11 2 121
− (x− ) + ，利用二次函数的性质求出最大值即可．
3 2 12
【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，
将点（0，0）代入，得36a+12=0，
1
解得a=− ，
3
1 1
∴抛物线的解析式为y=− （x-6）2+12=− x2+4x；
3 3
（2）能越过，理由如下：
∵山坡OA的坡度为1:3，
∴AE：OE=1：3，
∵OE=9米，
∴AE=3米，
1
当x=9时，y=− （9-6）2+12=9，
3
∵3+5=8<9，
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），
1
∴直线OA的解析式为y= x，
3
作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，
1 1
设点M（x，− x2+4x），则点N的坐标为（x， x），
3 3
1 1 1 11 2 121
∴MN=- x2+4x- x=− (x− ) + ，
3 3 3 2 12
11 121
∴当x= 时，MN有最大值，最大值为 ，
2 12
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121
∴飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是 米．
12
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，属于二次函数的综合题，
正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
18．（2022·浙江台州·统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一
时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的
延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知
OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h
的鹰眼数据如下表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/
… 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
m
(1)根据表中数据预测足球落地时，s=
m；
(2)求h关于s 的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的
最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对
足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【答案】(1)30
1
(2)h=− (s−15) 2+5
45
35
(3)①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为 m/s
9
【分析】（1）由函数图象顶点坐标信息可得答案；
（2）由数据表得抛物线顶点（15，5），设解析式为h=a(s−15) 2+5，再利用待定系数法求解函数解析
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式即可；
8
（3）①设守门员到达足球正下方的时间为t s．由题意得15t=20+2.5t，解得t= ，再计算足球此时的高度
5
即可；②由题意判断：当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．再求解此时足球飞行的
水平距离s=27m，可得足球的飞行时间，从而可得答案．
【详解】（1）解：由函数图象信息可得：顶点坐标为：(15，5)，
所以预测足球落地时，s=30.
故答案为：30
（2）解：由数据表得抛物线顶点（15，5），
故设解析式为h=a(s−15) 2+5，
1
把（12，4.8）代入h=a(s−15) 2+5得a=−
45
1
所以解析式为h=− (s−15) 2+5．
45
（3）解：设守门员到达足球正下方的时间为t s．
8
①由题意得15t=20+2.5t，解得t= ，即s=24 m，
5
16 16
把s=24代入解析式得h= ，而 >2.5，
5 5
所以守门员不能成功防守．
②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．
所以把h=1.8代入解析式得：
1
1.8=− (s−15) 2+5
45
解得：s=27或s=3（不合题意舍去）
27 9
所以足球飞行时间t= = s，守门员跑动距离为8−(20+8−27)=7（m），
15 5
35
所以守门员速度为 m/s．
9
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函
数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
19．（2023·河北衡水·统考二模）如图，春节期间，某同学燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径是一段
抛物线，喷射出时距地面2米，在与他水平距离是20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中
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没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面
矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．
(1)求抛物线的解析式（不必写出x的取值范围），请通过计算说明若是哑弹，会落在几层居民楼的外墙或
窗户上（每层楼高按3米计算）；
(2)该同学沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？（结果保留根号）
(3)若居民楼宽AB=CD=12m，该同学沿x轴向居民楼走n米，可使哑弹落在楼顶CD上（不含点C，
D），直接写出n的取值范围．（结果保留根号）
【答案】(1)y=−0.04(x−20) 2+18，若是哑弹，会落在4层居民楼的外墙或窗户上
(2)该同学沿x轴负半轴至少后退15√2−13米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上
(3)13−5√30)米，
则抛物线解析式为y=−0.04(x−20+m) 2+18，
将(33,0)代入得，
0=−0.04(33−20+m) 2+18，
解得：m=15√2−13或m=−15√2−13（舍去）
该同学沿x轴负半轴至少后退15√2−13米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上；
（3）∵AB=CD=12，D(33,15)，
∴C(45,15)，
该同学沿x轴向居民楼走n米，则抛物线解析式为：y=−0.04(x−20−n) 2+18
将点D(33,15)，C(45,15)分别代入，
得15=−0.04(33−20−n) 2+18，解得：n=13−5√3或n=5√3+13（舍去）
15=−0.04(45−20−n) 2+18，解得：n=25−5√3或n=5√3+25（舍去），
∴13−5√3”“=”或“<”）．
2 1 2
【答案】(1)3.84，2.52
(2)y=−0.01(x−4) 2+4
(3)=
【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线x=4，根据对称性即可求得m的值，根
据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直
线解析式，进而将x=2代入即可求解．
（2）根据题意设抛物线解析式为y=a(x−4) 2+4，将点(0,3.84)代入，待定系数法求二次函数解析式即可
求解．
（3）令y=0，即−0.01(x−4) 2+4=0，得出d =24，设抛物线解析式为y =a(x−16) 2+3.20，将点
1 1
(8,0)代入，得出y =−0.05(x−16) 2+3.20，令y=0，即−0.05(x−16) 2+3.20=0，得出d =24，即可求
1 2
解．
【详解】（1）解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；
由表1数据，可知对称轴为直线x=4，
∴当x=8时的函数值与x=0时的函数值相等，
∴m=3.84，
∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为
y=kx+b，
将点(0,3.36)，(4,1.68)代入得，
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¿，
解得：¿，
∴y=−0.42x+3.36，
当x=2时，y=−0.42×2+3.36=2.52，
故答案为：3.84，2.52．
（2）“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；
由（1）可得对称轴为x=4，顶点坐标为(4,4)，
设抛物线解析式为y=a(x−4) 2+4，将点(0,3.84)代入，
得，3.84=16a+4
解得：a=−0.01
∴抛物线解析式为y=−0.01(x−4) 2+4
（3）解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=−0.01(x−4) 2+4，
令y=0，即−0.01(x−4) 2+4=0，
解得x=−16（舍去）或x=24
∴d =24，
1
∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，
由表2可得抛物线的顶点坐标为(16,3.20)
设抛物线解析式为y =a(x−16) 2+3.20，将点(8,0)代入，
1
得，0=64a+3.20
解得：a=−0.05
∴抛物线解析式为y =−0.05(x−16) 2+3.20
1
令y=0，即−0.05(x−16) 2+3.20=0，
解得x=8（舍去）或x=24
∴d =24，
2
∴d =d ，
1 2
故答案为：=．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的
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关键．
题型 07 喷泉问题
21．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一
个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.37
y/m 2.44 3.15 3.49 3.45 3.04 2.25 1.09 0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m
（结果保留小数点后两位）；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，
估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
【答案】(1)见解析；
(2)出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
(3)出水口至少需要降低0.52m．
【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；
（2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；
（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．
【详解】（1）如图所示：
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（2）由图象可得：当x=0时，y=2.44，
∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44，
将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：¿，解得：¿，
∴y=-0.75x²+1.8x+2.44，
b 1.8
∴抛物线的对称轴为：x=− = =1.2，
2a 1.5
∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变，
∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，
∴出水口至少需要降低0.52m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．
22．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．
喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛
物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d m．
当OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m时，解答下列问题：
(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
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(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
1
【答案】(1)①y=− (x−2) 2+2；6m；②(2,0)
8
(2)2≤d≤2√3−1
【分析】（1）①设函数解析式为y=a(x−2) 2+2，利用待定系数法求出函数解析式，令y=0，求出抛物
线与x轴的交点坐标，即可得出结论；②利用对称轴得到点H(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，得到下边缘抛物
线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，即可得到点B的坐标；
（2）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：①由题意，得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，设y=a(x−2) 2+2．
∵上边缘抛物线过点H(0,1.5)，
1
∴1.5=4a+2，解得a=− ，
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=− (x−2) 2+2．
8
1
当y=0时，− (x−2) 2+2=0，解得x =6，x =−2（舍去），
8 1 2
∴点C的坐标为(6,0)，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点H(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)；
（2）∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
∴0.5=− (x−2) 2+2，
8
解得x=2±2√3．
∵x>0，
∴x=2+2√3．
当x>2时，y随x的增大而减小，
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∴当20.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2√3−3=2√3−1．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2√3−1．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题
的关键．
题型 08 图形问题
23．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某
校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴
趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问
题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积
为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m
7 147
(2)当BC= m时，围成的两块矩形总种植面积最大= m2
2 4
【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为
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(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的
两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .
【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
7 147
=-3(x- )2+
2 4
∵21-3x≤12
∴x≥3
7 147
∴当BC= m时，y = m2．
2 最大 4
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．
24．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化
环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）y=− 6 x2+40x ( 00）的图
4 2
象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、
PA、PC．
(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)当PA+PC的最小值等于4√5时，求m的值及此时点P的坐标；
(3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)A(−2，0)，B(2m，0)，C(0，m)
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( 5)
(2)m=4，P 3，
2
( 5)
(3)P点坐标为(3，0)或 3，
2
1 1
【分析】（1）将x=0，y=0，分别代入y=− x2+ (m−1)x+m，计算求解即可；
4 2
（2）如图1，连接PB，由题意知，PA=PB，则PA+PC=PB+PC，可知当C，P，B三点共线时，
PA+PC值最小，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=√5m，由PA+PC的最小值等于4√5，可得
√5m=4√5，计算m的值，然后得出B，C的点坐标，待定系数法求直线BC的解析式，根据P是直线BC
与直线l的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知m=4，则B(8，0)，C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x=3，勾股定理逆定理判断
△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，记D为直线l与x轴的交点，如图2，连接CD，由直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半可得CD=BD=AD，由等边对等角可得∠DCB=∠ABC，由三角形外角的性
质可得∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠ABC，进而可得∠ADC=∠APC，即P与D重合，求此时的P
点坐标；过A，C，D三点作⊙O'，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O'与直线l=3交点即为P，
1 (1 )
设P(3，a)，由题意知，圆心O'在直线x= 上，设圆心坐标为 ，n ， 则AO'2=CO'2=PO'2，根据
2 2
AO'2=CO'2，可求n值，根据AO'2=PO'2，可求a值，进而可得此时的P点坐标．
【详解】（1）解：当x=0时，y=m，
1 1
当y=0时，− x2+ (m−1)x+m=0，整理得x2−2(m−1)x−4m=0，即(x−2m)(x+2)=0，
4 2
解得x =2m，x =−2，
1 2
∴A(−2，0)，B(2m，0)，C(0，m)，
（2）解：如图1，连接PB，
由题意知，PA=PB，
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∴PA+PC=PB+PC，
∴当C，P，B三点共线时，PA+PC值最小，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=√OB2+OC2=√4m2+m2=√5m，
∵PA+PC的最小值等于4√5，
∴√5m=4√5，
解得m=4，
∴B(8，0)，C(0，4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(8，0)，C(0，4)代入得，¿，
解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y=− x+4，
2
1 5
当x=3时，y=− ×3+4= ，
2 2
( 5)
∴P 3， ，
2
( 5)
∴m=4，P 3， ；
2
（3）解：∵m=4，
∴B(8，0)，C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x=3，
∵AC2=22+42=20，BC2=(4√5) 2=80，AB2=102=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
记D为直线l与x轴的交点，如图2，连接CD，
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∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠ABC，
∵∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠ABC，
∴∠ADC=∠APC，
∴P与D重合，即P(3，0)；
过A，C，D三点作⊙O'，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O'与直线l=3交点即为P，设
P(3，a)，
1 (1 )
由题意知，圆心O'在直线x= 上，设圆心坐标为 ，n ， 则AO'2=CO'2=PO'2，
2 2
∵AO'2=CO'2，即 ( −2− 1) 2 +(0−n) 2= ( 0− 1) 2 +(4−n) 2 ，
2 2
5
解得n= ，
4
( 1) 2 ( 5) 2 ( 1) 2 ( 5) 2
∵AO'2=PO'2，即 −2− + 0− = 3− + a− ，
2 4 2 4
5
解得a =0，a = ，
1 2 2
( 5)
∴P 3， ，
2
( 5)
综上，P点坐标为(3，0)或 3， ．
2
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角
形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的
关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
1
38．（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）如图，已知抛物线y=− x2+bx+c交x轴于A(−3,0)，B(4,0)
3
两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
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(1)求抛物线的表达式；
(2)连接OP，BP，若S =2S ，求点P的坐标；
△BOP △AOC
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+4
3 3
(2)（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）
1 7√3+14 1 7√3+14
(3)存在，Q的坐标为（ ，− ）或( ， ）
2 2 2 2
1
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=− x2+bx+c，即可求解；
3
1
（2）由题意可得 ×4×｜y ｜＝12，再由P点在x轴下方，则y ＝﹣6，即可求P点坐标；
2 p p
1
（3）将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线x= 于点D，连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝
2
BD，连接BQ，再证明点Q满足要求，并利用轴对称找到另外一个满足要求的点即可．
1
【详解】（1）解：将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=− x2+bx+c，
3
∴¿ ，
∴¿ ，
1 1
∴y=− x2+ x+4；
3 3
1 1
（2）解：对于y=− x2+ x+4，
3 3
当x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
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1 1
∴S AOC＝ ×3×4＝6，S BOP＝ 4×|y |，
2 2 P
△ △
∵S BOP＝2S AOC，
△ △
1
∴ ×4×｜y ｜＝12，，
2 p
∴|y |＝6，
P
1 1 1 1 49
∵y=− x2+ x+4＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
3 3 3 2 12
∴P点在x轴下方，
∴y ＝﹣6，
p
1 1
∴− x2+ x+4＝﹣6，
3 3
解得x＝﹣5或x＝6，
∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）,；
如图1所示，
1 7√3+14 1 7√3+14
（3）解：存在，Q的坐标为（ ，− ）或( ， ）．
2 2 2 2
理由如下：
1 1 1 1 49
∵y=− x2+ x+4＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
3 3 3 2 12
1 1 1
∴ 抛物线y=− x2+ x+4的对称轴为直线x= ，
3 3 2
1 1
设直线x= 与x轴交点为点E（ ，0），
2 2
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1
将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线x= 于点D，
2
连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ，
则点Q满足要求，即∠QBA＝75°，如图2所示，
1
∵抛物线y=− x2+bx+c交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点
3
1
∴直线x= 垂直平分AB，AB＝7
2
即直线DE垂直平分AB
∴ AD＝BD
∴△ABD是等腰三角形
∵∠ABD＝60°
∴△ABD是等边三角形
1 7
∴BE＝AE＝ AB＝ ，∠ADB＝60°，BD＝AB＝7
2 2
∴DQ＝BD＝7
∴∠DBQ＝∠BQD
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∵DE⊥AB
1
∴∠BDE＝ ∠ADB＝30°，∠BED＝90°
2
∵∠BDE是 BDQ的外角
∴∠BDE＝∠△DBQ+∠BQD＝2∠DBQ＝2∠BQD
1
∴∠DBQ＝∠BQD＝ ∠BDE＝15°
2
∴ ∠QBA＝∠ABD+∠DBQ＝75°
在Rt BED中，
BE2 △+ED2=BD2
√ 7 2 7√3
∴ED=√BD2−BE2= 72−( ) =
2 2
7√3 7√3+14
∴EQ＝ED+DQ＝ +7＝
2 2
1 7√3+14
∴点Q的坐标是（ ，− ），
2 2
如图2，以点E为圆心，EQ为半径画弧交直线EQ于点Q'，则点Q与点Q'关于x轴对称，由轴对称性质知，
∠Q'BA＝∠QBA＝75°，
1 7√3+14
∴ 点Q'也满足题意，点Q' 的坐标为( ， ），
2 2
1 7√3+14 1 7√3+14
故点Q的坐标为（ ，− ）或( ， ）．
2 2 2 2
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数表达式，勾
股定理等知识，构造合适的辅助线是解题的关键．
题型 13 二次函数综合问题-特殊三角形问题
39．（2021上·云南红河·九年级校考期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交
于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)点M坐标（1，2）
5
(3)存在，点P坐标为（1，6），（1，√10），（1，−√10），（1， ）
3
【分析】（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为M，此时
MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M坐标即可；
（3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC=CD；
②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点间的距离公式
列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得：¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如图，
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∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4；
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+m，
则¿，解得¿，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴M（1，2）．
（3）解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∴D（1，0）．
设点P的坐标为（1，t），
∵C（0，3），
∴CD2=12+32=10．
分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：
①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6，
所以点P的坐标为（1，6）；
②若PD=CD，则t2=10，解得t=±√10，
所以点P的坐标为（1，√10）或（1，-√10）；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD，
5
则1+（t-3）2=t2，解得：t= ，
3
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5
所以点P的坐标为（1， ）；
3
5
综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，√10））或（1，-√10）或（1， ）．
3
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的
性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．
40．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点
A,B，与y轴交于点C，且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段
OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形，若
存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=−x2+5x+6；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+2√15）
或（0，4−2√15）.
【分析】（1）根据直线y=x−6求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运
用待定系数法求出抛物线表达式；
（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S =
BMD
△
−3m2+12m+36，再求最值即可；
（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，
分别求解即可.
【详解】解：（1）∵直线y=x−6过点B，点B在x轴上，
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令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，
∴B（6，0），D（0，-6），
∵点C和点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
∵抛物线y=−x2+bx+c经过点B和点C，代入，
¿，解得：¿，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+5x+6；
（2）设点P坐标为（m，0），
则点M坐标为（m，−m2+5m+6），点N坐标为（m，m-6），
∴MN=−m2+5m+6-m+6=−m2+4m+12，
∴S =S +S
BMD MNB MND
△ △ △
1
=
×(−m2+4m+12)×6
2
=−3m2+12m+36
=-3（m-2）2+48
当m=2时，S =48，
BMD最大
△
此时点P的坐标为（2，0）；
（3）存在，
由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），
设点Q的坐标为（0，n），
当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，
即Q（0，12）；
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当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，
即Q（0，-4）；
当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，
分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，
∵∠MQN=90°，
∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，
∴∠NQF=∠QME，
∴△MEQ∽△QFN，
ME EQ 2 12−n
∴ = ，即 = ，
QF FN n+4 2
解得：n=4+2√15或4−2√15，
∴点Q（0，4+2√15）或（0，4−2√15），
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综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+2√15）或（0，4−2√15）.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性
质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.
题型 14 二次函数综合问题-特殊四边形问题
41．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(0,5)
25√2
(2)PE最大为
8
(3)存在，M的坐标为(−3,8)或（3，-16）或(−7,−16)
【分析】（1）把点A的坐标代入y=−x2−4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明 △PHE是等腰直角三角形，得
PH
PE= ，当PH最大时，PE最大，，运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5，设
√2
P(m,−m2−4m+5)，(−50，
∴x=2+2√3．
当x>0时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2√3．
∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
∵DE=3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为(2+2√3)−3=2√3−1．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2√3−1．
65
（2）h的最小值为 ．
32
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由题意得A(2,h+0.5)是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为y=a(x−2) 2+h+0.5．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴y=4a+h+0.5=h
1
解得a=−
8
1
∴上边缘抛物线解析式为y=− (x−2) 2+h+0.5
8
∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,h)的对称点的坐标为(4,h)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
1
∴下边缘抛物线解析式为y=− (x+2) 2+h+0.5．
8
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点D(m,0)，E(m+3,0)，F ( m+3,− 1 (m+3−2) 2+h+0.5 ) ，
8
∵D在下边缘抛物线上，
1
∴− (m+2) 2+h+0.5=0
8
∵EF=1
1
∴− (m+3−2) 2+h+0.5=1
8
1 [ 1 ]
∴− (m+3−2) 2+h+0.5− − (m+2) 2+h+0.5 =1，
8 8
解得m=2.5，
1 65
代入− (m+2) 2+h+0.5=0，得h= ．
8 32
65
所以h的最小值为 ．
32
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二
次函数上的坐标是解题的关键．
3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次
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进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；
第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，¿，
解得¿，
故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，
根据题意得，
w=(54−a−30)(20+5a)=−5a2+100a+480=−5(a−10) 2+980，
∵−5<0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方
程组是解题的关键．
4．（2022·湖北荆州·统考中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订
单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之
间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成
本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第
二年利润最少是多少万元？
【答案】(1)w=−x2+32x−252
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(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．
【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把w=4代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，
再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：
w=(x−8)y−60
=(x−8)(24−x)−60
=−x2+32x−252,
（2）①由（1）得：当w=4时，
则−x2+32x−252=4,即x2−32x+256=0,
解得：x =x =16,
1 2
即第一年的售价为每件16元，
②∵ 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
x≤16
∴{ , 解得：11≤x≤16,
24−x≤13
∵ 其他成本下降2元/件，
∴w=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148,
30
∵ 对称轴为x=− =15, a=−1<0,
2×(−1)
∴ 当x=15时，利润最高，为77万元，而11≤x≤16,
当x=11时，w=5×13−4=61（万元）
当x=16时，w=10×8−4=76 （万元）
∴61≤w≤77,
所以第二年的最低利润为61万元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次
函数的性质解题是关键．
5．（2022·湖北武汉·统考中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减
速，此时白球在黑球前面70cm处．
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小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变
化的数据，整理得下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度
10 9.5 9 8.5 8
v/cm/s
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函
数关系．
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
1 1
【答案】(1)v=− t+10，y=− t2+10t
2 4
(2)6cm/s
(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球
【分析】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数
值求解即可；根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入三组数
值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t，再
将t代入v关于t的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为wcm，得到
1
w=70+2t−y= t2−8t+70，化简即可求出最小值，于是得到结论．
4
【详解】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，
10），（1，9.5）得，
¿，解得¿，
1
∴v=− t+10，
2
根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入（0，0），（1，
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9.75），（2，19）得
¿，解得¿，
1
∴y=− t2+10t;
4
1
（2）依题意，得− t2+10t=64，
4
∴t2−40t+256=0，
解得，t =8，t =32；
1 2
当t =8时，v=6；当t =32时，v=−6（舍）；
1 2
答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．
（3）设黑白两球的距离为wcm，
1
w=70+2t−y= t2−8t+70
4
1
= (t−16) 2+6，
4
1
∵ >0，∴当t=16时，w的值最小为6，
4
∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求
出函数表达式．
6．（2021·山东青岛·统考中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向
上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不
计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距
离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y （米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所
1
示；小钢球离地面高度y （米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
2
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（1）直接写出y 与x之间的函数关系式；
1
（2）求出y 与x之间的函数关系式；
2
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）y =5x+30；（2）y =−5x2+40x；（3）70米
1 2
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y-y，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y-
2 1 1
y，然后进行比较判断即可．
2
【详解】解：（1）设y 与x之间的函数关系式为y=kx+b'，
1 1
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则¿，
解得¿，
∴y 与x之间的函数关系式为y =5x+30．
1 1
（2）∵x=6时，y =5×6+30=60，
1
∵y 的图象是过原点的抛物线，
2
∴设y =ax2+bx，
2
∴点(1,35)，(6,60)在抛物线y =ax2+bx上．
2
∴¿，即¿，
解得¿，
∴y =−5x2+40x．
2
答：y 与x的函数关系式为y =−5x2+40x．
2 2
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由−5x2+40x=0得x =0或x =8.
1 2
①10，∴拋物线开口向上，
7
又∵对称轴是直线x= ，
2
7
∴当x> 时，y随x的增大而增大，
2
∵60)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润
仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，
求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）500) ，y= (m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号
x
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田的年产量变化趋势．
m
(1)小莹认为不能选y= (m>0)．你认同吗？请说明理由；
x
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数
表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，
m
小莹认为不能选y= (m>0)是正确的；
x
（2）解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，
由题意得¿，
解得：¿，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得¿，
解得：¿，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
（3）解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
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152 152
=−0.1(x2-15x+ - )+2
4 4
=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，
∴在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的
性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统
计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y （吨）关于售价x（元/千克）的函数图
1
象可以看成抛物线，其表达式为y =ax2+c，部分对应值如表：
1
售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y （吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
1
②该蔬菜供给量y （吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y =x−1，函数图象见图1．
2 2
1
③1~7月份该蔬菜售价x （元/千克），成本x （元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x = t+2，
1 2 1 2
1 3
x = t2− t+3，函数图象见图2．
2 4 2
请解答下列问题：
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(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
1
【答案】(1)a=− ,c=9
5
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析
(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x −x 列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
售价 成本
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【详解】（1）把¿，¿代入y =ax2+c可得
需求
¿
②-①，得7a=−1.4，
1
解得a=− ，
5
1
把a=− 代入①，得c=9，
5
1
∴a=− ,c=9．
5
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w=x −x = 1 t+2− (1 t2− 3 t+3 ) ，
售价 成本 2 4 2
1 1
化简，得w=− t2+2t−1=− (t−4) 2+3，
4 4
1
∵− <0,t=4在1≤t≤7的范围内，
4
∴当t=4时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
1
（3）由y = y ，得x−1=− x2+9，
供给 需求 5
化简，得x2+5x−50=0，解得x =5,x =−10（舍去），
1 2
∴售价为5元/千克．
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此时，y = y =x−1=4（吨）=4000（千克），
供给 需求
1
把x=5代入x = t+2，得t=6，
售价 2
1 1
把t=6代入w=− t2+2t−1，得w=− ×36+2×6−1=2，
4 4
∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解
析式是解题的关键．
11．（2021·湖北随州·统考中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有
一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一
端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离
1
地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=− x2+bx+c，现测得A，B两
6
墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
37
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土
24
地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
7 73
【答案】（1）b= ，c=1；（2） 米；（3）352
6 24
1
【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入y=− x2+bx+c，求出b、c即可；
6
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（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；
1 7 37
（3根据y=− x2+ x+1= ，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最
6 6 24
后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．
【详解】解：（1）由题意知点A坐标为(0，1)，点B坐标为(6，2)，
1
将A、B坐标代入y=− x2+bx+c得：
6
¿解得：¿，
7
故b= ，c=1；
6
（2）由y=−
1
x2+
7
x+1=−
1(
x−
7) 2
+
73
，
6 6 6 2 24
7 73
可得当x= 时，y有最大值 ，
2 24
73
即大棚最高处到地面的距离为 米；
24
1 7 37 1 13
（3）由y=− x2+ x+1= ，解得x = ，x = ，
6 6 24 1 2 2 2
又因为0≤x≤6，
1 11
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为6− = （米），
2 2
11
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为16× =88（平方米）
2
共需要88×4=352（根）竹竿．
【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定
自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．
12．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度
为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．
设运动时间为t(s)(0
