文档内容
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第 04 讲 二次根式
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次根式的相关概念
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
考点二 二次根式的性质与化简
题型01 利用二次根式的性质化简
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 换元法
技巧五 拆项法
技巧六 整体代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 辅元法
技巧十 先判断后化解
考点三 二次根式的运算
题型01 二次根式的乘除运算
题型02 二次根式的加减运算
题型03 二次根式的混合运算
题型04 二次根式的化简求值
题型05 二次根式的应用
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考点要求 新课标要求 命题预测
中考中，对二次根式的考察
二次根式的相关概
了解二次根式、最简二次根式的概念 主要集中在对其取值范围、化简
念
计算等方面，其中取值范围类考
点多出选择题、填空题形式出
二次根式的性质与 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化 现，而化简计算则多以解答题形
化简 简
式考察.此外，二次根式还常和锐
角三角函数、实数、其他几何图
形等结合出题，难度不大，但是
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、
二次根式的运算 也多属于中考必考题.
除运算法则，会用它们进行简单的四则运算
考点一 二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如√a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“√❑”称为二次根号，二次根
号下的数叫做被开方数．
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最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最
简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次
根式.
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：√4
- √9 都是二次根式.
2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式√a有意义.
3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）
等有意义的综合运用．
4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
[补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.
√1
5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：√2、√8、 是同类二次根式.
2
题型01 二次根式有意义的条件
√x+5
【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5
【提示】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
√x+5
【详解】∵式子 有意义，
x
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥−5且x≠0，
故答案为：x≥−5且x≠0．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件
是解题的关键．
【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若√a−4有意义，则a的值可以是（ ）
A．−1 B．0 C．2 D．6
【答案】D
【提示】根据二次根式有意义的条件即可求解．
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【详解】解：∵√a−4有意义，
∴a−4≥0，
解得：a≥4，则a的值可以是6
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式√1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在
数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，1−x≥0，
解得x≤1，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次
根式有意义的条件是解题关键．
1 1
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是
√x−1 x−2
．
【答案】x>1且x≠2
【提示】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出x−1>0,x−2≠0，即可求解．
【详解】解：依题意，x−1>0,x−2≠0
∴x>1且x≠2，
故答案为：x>1且x≠2．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解
题的关键．
解决二次根式有无意义的关键：
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
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题型02 判断最简二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
√1
A．√0.2 B．√8 C．√6 D．
2
【答案】C
【提示】对各选项逐一进行化简，判断是否为最简二次根式即可得出答案．
√5
【详解】A、√0.2= ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
5
B、√8=2√2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、√6是最简二次根式，故此选项符合题意；
√1 √2
D、 = ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
2 2
故选C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【提示】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：x=5时，√x−3=√5−3=√2，√2是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根
式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型03 判断同类二次根式
【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ ）
A．√4 B．√6 C．√8 D．√12
【答案】C
【提示】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、√4=2，与√2不是同类二次根式，不符合题意；
B、√6与√2不是同类二次根式，不符合题意；
C、√8=2√2，与√2是同类二次根式，符合题意；
D、√12=2√3，与√2不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二
次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；
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（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．√8与√3 B．√2与√12 C．√5与√15 D．√75与√27
【答案】D
【提示】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【详解】A、√8=2√2，2√2与√3不是同类二次根式，故此选项错误；
B、√12=2√3，√2与2√3不是同类二次根式，故此选项错误；
C、√5与√15不是同类二次根式，故此选项错误；
D、√75=5√3，√27=3√3，5√3与3√3是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．
【变式3-2】下列各式中，能与√2合并的是（ ）
A．√4 B．√24 C．√12 D．√8
【答案】D
【提示】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】A．√4化简后不能与√2合并，不合题意；
B．√24=2√6化简后不能与√2合并，不合题意；
C．√12=2√3化简后不能与√2合并，不合题意；
D．√8=2√2化简后能与√2合并，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键．
【变式3-3】若最简根式√−2m+9与√5m−5是同类二次根式，则m= ．
【答案】2
【提示】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵最简二次根式√−2m+9与√5m−5是同类二次根式，
∴−2m+9=5m−5，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来
加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
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考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．√ab =√a•√b （a≥0，b≥0），
√a √a
= （a≥0，b＞0）
b √b
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平
方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
1.根据二次根式的性质化简时，√a前无“-”, √a化简出来就不可能是一个负数.
2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进
行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中
所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
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题型01 利用二次根式的性质化简
【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算√(−2) 2等于（ ）
A．±2 B．2 C．4 D．√2
【答案】B
【提示】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：√(−2) 2=√4=2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简√12的结果是（ ）
A．2√3 B．3 C．2√2 D．2
【答案】A
【提示】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2√3．
【详解】解：√12=√4×3=√22×3＝2√3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
【答案】8
【提示】要使√8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵√8m是整数，
∴8m要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即√8m=√64=8，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．
【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
【答案】4或7或8
【提示】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据
√8−x为整数即可得x的值．
【详解】解：∵8−x≥0
∴x≤8
∵x为正整数
∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵√8−x为整数
∴x为4或7或8
故答案为：4或7或8．
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【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答
本题的关键．
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.
【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√a2+1+|a−1|的化简结果
是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【提示】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握√a2=|a|是解题的关键．
【变式2-1】实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：√(m−2) 2= ．
【答案】2−m/−m+2
【提示】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知10,b−1>0,a−b<0
∴|a+1|−√(b−1) 2+√(a−b) 2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
技巧二 估值法
方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.
【例3】（2023·重庆·中考真题）估计√2(√8+√10)的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【提示】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：√2(√8+√10)
=√16+√20
=4+2√5
∵2<√5<2.5，
∴4<2√5<5，
∴8<4+2√5<9，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关
键．
√1
【变式3-1】（2023·山东临沂·中考真题）设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5−3
【答案】B
【提示】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
√1 √25
【详解】解：m=5 −√45 = −√45 =√5−3√5=−2√5，
5 5
∵2√5=√20，√16<√20<√25
∴−5<−2√5<−4，
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即−50，y>0，z>0)，求 的值．
√x+z+√x+2y
【答案】√15−2√3
【详解】
设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
√3k √3
∴原式＝ = =√15−2√3.
√4k+√5k 2+√5
【变式10-1】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、
c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，
余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为
√ 1[ (c2+a2−b2
)
2]
S= c2a2− ．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公
4 2
式求得这个三角形的面积为 ．
【答案】3√15
【提示】根据周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k
∴4k+3k+2k=18
解得k=2
∴ a=8,b=6,c=4
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√ 1[ (c2+a2−b2
)
2]
∴ S= c2a2−
4 2
√ 1[ (42+82−62
)
2]
= 42×82−
4 2
√1
= (1024−484)
4
=√135
= 3√15
故答案为：3√15
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
技巧十 先判断后化解
√b √a
【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求b ＋a 的值．
a b
26√5
【答案】−
5
【分析】首先对每一项根式进行分母有理化进行化简，然后通分，进行分式的加法运算，再用对分母提取
公因式后，运用配方法对提取公因式后的分母进行整理，最后再入求值即可．
【详解】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0.
−a√ab −b√ab √ab(a2+b2 ) (a+b) 2−2ab
∴原式= + =− =(−√ab)·
b a ab ab
26√5
=− .
5
【变式11-1】先化简再求值
√y2−4 y+4
(1)已知：y>√3x−2+√2−3x+2，求 +5−3x的值．
2−y
1 a2−9 √a2−4a+4
(2)已知a= ，求 − 的值．
2+√3 a−3 a2−2a
【答案】(1)2
(2)7
【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性，可得x的值，从而得y的范围，从而可将要求的式子化简
求解；
（2）先对已知条件利用分母有理化进行化简，再对要求的式子进行化简，最后将a的值代入计算即可．
【详解】（1）∵√3x−2≥0，√2−3x≥0，3x−2≥0，2−3x≥0
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2
∴x= ，√3x−2=√2−3x=0
3
∵y>√3x−2+√2−3x+2
∴y>2
√y2−4 y+4
+5−3x
2−y
y−2 2
= +5−3×
2−y 3
=−1+5−2
=2
√y2−4 y+4
∴ +5−3x的值为2．
2−y
1
（2）∵a=
2+√3
2−√3
=
(2+√3)(2−√3)
=2−√3<1
a2−9 √a2−4a+4
∴ −
a−3 a2−2a
(a+3)(a−3) √(a−2) 2
= −
a−3 a(a−2)
2−a
=(a+3)−
a(a−2)
1
=a+3+
a
=2−√3+3+2+√3
=7
a2−9 √a2−4a+4
∴ − 的值为7．
a−3 a2−2a
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分母有理化的方法，是
解题的关键．
1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽.
2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，
然后利用分母有理化化简.
3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从
【20淘宝店铺：向阳百分百】
而将式子化简.关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点三 二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.
√a √a
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： = （a≥0，b＞0）.
√b b
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
1 √a+√b √a+√b
即： = = ；
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
1.在使用√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的 条 件限. 制
√a √a
2.在使用 = （a≥0，b＞0）时一定要注意a≥0，b＞0的 条 件限. 制
√b b
3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，
被开方数和根指数不变．
4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合
并．
5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．
6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式
的形式.
题型01 二次根式的乘除运算
【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有√a⋅√b=√ab．该运算法则成立
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的条件是（ ）
A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0
【答案】D
【提示】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得¿，
∴a≥0,b≥0，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题
的关键．
【变式1-1】（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．√(−5) 2=−5
2
C．(3−√2) 2=11−6√2 D．6÷ ×√3=3
√3
【答案】C
【提示】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 √2+√3，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 √(−5) 2=5，原计算错误，本选项不合题意；
C、 (3−√2) 2=11−6√2，计算正确，本选项符合题意；
2 √3
D、6÷ ×√3=6× ×√3=9，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
√3 2
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
√14a2
【变式1-2】（2023·河北·中考真题）若a=√2，b=√7，则 =（ ）
b2
A．2 B．4 C．√7 D．√2
【答案】A
【提示】把a=√2，b=√7代入计算即可求解．
【详解】解：∵a=√2，b=√7，
√14a2 √14×(√2) 2 √14×2
∴ = = =√4＝2，
b2 (√7) 2 7
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
√a √ 1
【变式1-3】（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算： ÷√ab⋅ 等于（ ）
b ab
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1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
|a|b2 ab b
【答案】A
【提示】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
√a √ 1 √a 1 1 √ 1 1
【详解】解： ÷√ab⋅ = ⋅ ⋅ = = √ab．
b ab b ab ab ab3 |a|b2
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)，
√a
√a÷√b= (a≥0,b>0)，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
b
【变式1-4】（2023益阳市中考）计算：√20×√5= ．
【答案】10
【提示】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】√20×√5=√20×5=√100=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则√a⋅√b=√ab．
题型02 二次根式的加减运算
二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式
在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其
【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）计算：√9−√4= ．
化为假分数.
【答案】1
【提示】先化简二次根式，再计算减法．
【详解】解：√9−√4=3−2=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
√1
【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算√3+3 的结果是 ．
3
【答案】2√3
【提示】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
√1
【详解】解：√3+3
3
=√3+√3
=2√3，
故答案为：2√3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
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【变式2-2】（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ）
√2 √2
A．√2+√5=√7 B．5√2+ =5+
2 2
C．√5−√3=√2 D．2√3−√3=√3
【答案】D
【提示】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．
【详解】解：A、√2与√5不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
√2 11√2
B、5√2+ = ，故此选项不符合题意；
2 2
C、√5与√3不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、2√3−√3=√3，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
【变式2-3】（2023淄博市一模）已知实数m、n满足√m−3+|n−12|=0，则√m+√n= ．
【答案】3√3
【提示】根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，然后代入化简求值即可．
【详解】∵√m−3+|n−12|=0，
∴¿，
解得¿，
∴√m+√n=√3+√12=√3+2√3=3√3，
故答案为：3√3．
【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出x和y的值是
解题的关键．
【变式2-4】（2020·河北·中考真题）已知：√18−√2=a√2−√2=b√2，则ab= ．
【答案】6
【提示】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】∵√18−√2=3√2−√2=2√2
∴a=3,b=2
∴ab=6
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行
合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算.
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题型03 二次根式的混合运算
( √1)
【例3】（2023·山东聊城·中考真题）计算： √48−3 ÷√3= ．
3
【答案】3
【提示】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
( √1)
【详解】解： √48−3 ÷√3
3
( √3)
= 4√3−3× ÷√3
3
=(4√3−√3)÷√3
=3√3÷√3
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【变式3-1】（2022·湖北荆州·中考真题）若3−√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+√2a)⋅b
的值是 ．
【答案】2
【提示】先由1<√2<2得到1<3−√2<2，进而得出a和b，代入(2+√2a)⋅b求解即可．
【详解】解：∵ 1<√2<2，
∴1<3−√2<2，
∵ 3−√2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=3−√2−1=2−√2．
∴(2+√2a)⋅b=(2+√2)×(2−√2)=4−2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数
整数和小数部分的求解方法．
【变式3-2】（2023·湖北荆州·中考真题）已知k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3)，则与k最接近的整数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【提示】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) =√2(5−3)=2√2
∵2.52=6.25，32=9
5
∴ <2√2<3,
2
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∴与k最接近的整数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
√3
【变式3-3】（2023·甘肃武威·中考真题）计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
【答案】6√2
【提示】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
√3
【详解】解：√27÷ ×2√2−6√2
2
2
=3√3× ×2√2−6√2
√3
=12√2−6√2
=6√2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
题型04 二次根式的化简求值
( 1 ) a
【例4】（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值： 1+ ÷ ，其中a=√2−1．
a−1 a2−1
【答案】a+1，√2
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，最后把a的值代入计算即可．
( 1 ) a
【详解】解： 1+ ÷
a−1 a2−1
a−1+1 (a+1)(a−1)
= ⋅
a−1 a
a (a+1)(a−1)
= ⋅
a−1 a
=a+1
当a=√2−1时，原式= √2−1+1=√2 .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其
中a＝√3-√2，b＝√3+√2．
【答案】6ab,6
【提示】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2−4b2+2ab−2a2
=6ab；
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∵ a＝√3-√2，b＝√3+√2，
∴原式=6(√3−√2)(√3+√2)
=6
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算
法则是解题关键．
( 4n ) m
【变式4-2】（2021·北京·一模）已知m+2n=√5，求代数式 +2 ÷ 的值．
m−2n m2−4n2
【答案】2√5
【提示】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
( 4n 2m−4n) m
【详解】解：原式= + ÷
m−2n m−2n m2−4n2
2m (m+2n)(m−2n)
= ×
m−2n m
=2(m+2n)，
当m+2n=√5时，原式=2√5．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【变式4-3】（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）先化简，再求值：
x2+x (x+1) 2 x−3
÷ − ，其中x=√3+1．
x2−2x+1 x2−1 x−1
3
【答案】 ；√3．
x−1
【提示】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
x(x+1) (x+1) 2 x−3
【详解】解：原式= ÷ −
(x−1) 2 (x+1)(x−1) x−1
x(x+1) (x+1)(x−1) x−3
= × −
(x−1) 2 (x+1) 2 x−1
x x−3
= −
x−1 x−1
x−x+3
=
x−1
3
= ；
x−1
当x=√3+1时，
3
原式= =√3．
√3+1−1
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝√2+1，n＝√2﹣1，则√m2+n2+3mn＝（ ）
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A．±3 B．﹣3 C．3 D．√5
【答案】C
【提示】先根据题意得出m−n和mn的值，再把式子化成含m−n与mn的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：m−n=2、mn=1
∴√m2+n2+3mn=√(m−n) 2+5mn=√22+5×1=√9=3
故选：C.
【点睛】本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.
题型05 二次根式的应用
【例5】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形
a+b+c
的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，
2
那么三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，∠A，∠B，b，c，若a=5，b=6，C=7，则△ABC
的面积为 ．
【答案】6√6
【提示】根据a，b，c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【详解】解：∵a=5，b=6，C=7，
a+b+c
∴p= =9，
2
则S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6．
故答案为：6√6．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
√8 √15 √24
【变式5-1】（2022·江苏无锡·校联考一模）按一定规律排列的一列数：√3， ， ， ，……其中
2 3 4
第5个数为 ，第n个数为 （n为正整数）．
√35 √n2+2n
【答案】 ，
5 n
√3
【提示】首先将√3转换成 ，再提示分子分母中数字和项数之间的规律即可解答．
1
√3
【详解】将√3转换成 之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，⋯，
1
可以得出第n项的分母就是n，故第5项的分母为5；
同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，⋯，
不难发现第n项的分子中根号内的值应是(n+1) 2−1，
所以第5项的分子应是√62−1=√35，则第n个数分子为√(n+1) 2−1=√n2+2n，
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√35 √n2+2n
故第5个数为 ，第n个数为 ，
5 n
√35 √n2+2n
故答案为： ， ．
5 n
√3
【点睛】本题是找规律的题型，解题的关键点在于将√3转换成 ，同时对分子中的规律也应注意把握．
1
√ 1 √1 √ 1 √1
【变式5-2】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）观察下列各式：① 1+ =2 ，② 2+ =3 ，③
3 3 4 4
√ 1 √1
3+ =4 ，…，请写出第6个式子： ，用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律： ．
5 5
√ 1 √1 √ 1 √ 1
【答案】 6+ =7 n+ =(n+1)
8 8 n+2 n+2
【提示】观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案．
√ 1 √1
【详解】解：观察可知：第6个式子为： 6+ =7 ；
8 8
√ 1 √ 1
一般规律为： n+ =(n+1)
n+2 n+2
√ 1 √1 √ 1 √ 1
故答案为： 6+ =7 ； n+ =(n+1)
8 8 n+2 n+2
【点睛】本题考查二次根式有关的规律题．旨在考查学生的推理能力．
【变式5-3】（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当
a>0，b>0时，有(√a+√b) 2=a−2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为_________；当x<0时，x+ 的最大值为_________；
x x
x2+3x+16
(2)当x>0时，求y= 的最小值；
x
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形
ABCD的最小面积．
【答案】(1)2；−2
(2)y的最小值为11
(3)49
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【提示】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
x2+3x+16 16
（2）先将y= 变形得到y=x+ +3，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
x x
S S BO 144
（3）设S =x，根据等高三角形性质得出 △BOC = △AOB = ，求出S = ，根据四边形
△BOC S S DO △AOD x
△COD △AOD
144 √ 144
ABCD的面积为16+9+x+ ≥25+2 x⋅ =49，求出最小值即可．
x x
1 √ 1 1
【详解】（1）解：∵当x>0时，x+ ≥2 x⋅ =2，即x+ ≥2，
x x x
1
∴x+ 的最小值为2；
x
∵当x<0时，−x>0，
∴−x+ ( − 1) ≥2 √ (−x)⋅ ( − 1) =2，即−x+ ( − 1) ≥2，
x x x
( 1)
∴− x+ ≥2，
x
1
∴x+ ≤−2，
x
1
∴x+ 的最大值为−2；
x
故答案为：2；−2；
x2+3x+16 16
（2）解：y= =x+ +3，
x x
∵x>0，
16 √ 16
∴x+ +3≥2 x⋅ +3=11，
x x
∴当x=4时，y的最小值为11．
S S BO
（3）解：设S =x，已知S =9，S =16，则由等高三角形性质可知， △BOC = △AOB = ，
△BOC △AOB △COD S S DO
△COD △AOD
x 9
=
∴ ，
16 S
△AOD
144
∴S = ，
△AOD x
144 √ 144
因此四边形ABCD的面积=16+9+x+ ≥25+2 x⋅ =49，
x x
当且仅当x=12时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为49 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
【变式5-4】（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且
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(c−b)(c−a)
2023(a−b)+√2023(b−c)+(c−a)=0，求证： −√2023=2023．
(a−b) 2
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个
一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参
考：
令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023 ．
利用根与系数的关系得：1+√2023= _____；1×√2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
b−c c−a
【答案】− ； ；见解析
a−b a−b
【提示】令√2023=x，则2023=x2，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出
代数式的值．
【详解】解：令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023.
b−c c−a
利用根与系数的关系得：1+√2023=− ；1×√2023= ；
a−b a−b
(c−b)(c−a)
∴ −√2023
(a−b) 2
c−b c−a
= ⋅ −√2023
a−b a−b
=(1+√2023)×√2023−√2023
=√2023+(√2023) 2 −√2023
=2023．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，
再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．
a+b
【变式5-5】（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究 与√ab的大小关系．
2
a+b a+b
(1)观察猜想： 与√ab的大小关系是 ______√ab．
2 2
a+b a+b a+b
(2)计算验证：当a=8,b=8时， 与√ab的大小关系是 ______√ab；当a=2,b=6时， 与√ab
2 2 2
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a+b
的大小关系是 ______√ab．
2
(3)推理证明：如图，以AB为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作CD⊥ AB于点D，设AD=a，
BD=b．先用含a，b的式子表示出线段OC，CD，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．
(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．
【答案】(1)≥
(2)=；>
a+b
(3) ≥√ab；
2
(4)矩形周长的最小值为4．
【提示】（1）根据题意作出猜想即可；
（2）代入数据，计算即可得出答案；
a+b
（3）易得OC= ，再通过证明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD=√ab，根据直角边与斜边的关系
2
a+b
得OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），所以 ≥√ab；
2
a+b a+b
（4）设矩形的两边分别为a、b，则ab=1，利用 ≥√ab得 ≥1，即a+b≥1，所以2(a+b)≥2，
2 2
于是可得矩形周长的最小值．
a+b a+b
【详解】（1）解：猜想： 与√ab的大小关系是 ≥√ab．
2 2
故答案为：≥；
a+b
（2）解：当a=8，b=8时， =8，√ab=√8×8=8，
2
a+b
∴ =√ab；
2
a+b 2+6
当a=2，b=6时， = =4，√ab=√2×6=2√3，
2 2
a+b
∴ >√ab．
2
故答案为：=；>；
（3）解：∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b，
a+b
∴∠ACD=90°，OC= ，
2
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∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥ AB，
∴∠ACD=∠CDB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
CD AD CD a
∴ = ，即 = ，
BD CD b CD
∴CD=√ab，
∵OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），
a+b
∴ ≥√ab；
2
（4）解：设矩形的两边分别为a、b，则ab=1，
a+b
∵ ≥√ab，
2
a+b
∴ ≥1，即a+b≥2，
2
∴2(a+b)≥4，
∴矩形周长的最小值为4．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；体会由于几何的
方法比较代数式的大小．
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