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专题 2-1 将军饮马等 8 类常见最值问题
题型一 两定一动型（线段和差最值问题）
题型二 双动点最值问题（两次对称）
题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
题型四 垂线段最短
题型五 相对运动平移型将军饮马
题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
题型七 化斜为直，斜大于直
题型八 构造二次函数模型求最值
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一、单动点问题
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB
A A
P
l l
B B
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：作B关于l的对称点B' PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原
理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB'
⇒
A
A
B
B
l
P
l
P B'
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
A A
B B
l l
P P
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
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问题解决：作B关于直线l的对称点B' PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
⇒
原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
A A
B'
l l
P P
B B
二、双动点问题（作两次对称）
【问题5】在直线 ， 上分别求点M，N，使△PMN周长最小
问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段
P'P''的长
l
2
P''
l
2
N
P
N
P l
1
M
l
1
M P'
【问题6】P，Q为定点，在直线 ， 上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
问题解决：分别作点P，Q关于直线 ， 的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线
段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ
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Q'
l
2
N
Q
l
2
N
P
Q
P l
1
M
l
1
M P'
【问题7】A，B分别为 ， 上的定点，M，N分别为 ， 上的动点，求 最小值
问题解决：分别作 ， 关于 ， 的对称点 ， ，则 ， ， 即所求
原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'
B'
l
1
M
l
1 A
M
A
l
2
N B
l
2
N B A'
三、动线段问题（造桥选址）
【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值
问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值
原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN
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A A
M M
m m
n n
N N
B'
B B
【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求 的最小值
问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当 共线有最小值
原理：通过平移构造平行四边 ，
A
B' B
A
B
l
M N
l
M N B''
四、垂线段最短
【问题10】在直线 ， 上分别求点A，B，使PB＋AB最小
问题解决：作 关于 的对称点 ，作 于A，交 于B， 即所求
原理：点到直线，垂线段最短，
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l l
2 2
P'
B
B
P P
l l
1 1
A A
五、相对运动，平移型将军饮马
【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值
A
l
M N
M' A A'
A
l
M N
l
M N A''
问题解决：相对运动或构造平行四边形
策略一：相对运动思想
过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题
策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.
六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹
【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨
迹？
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Q
2
A
A
B C
B P C
Q
Q
1
问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线
段的时候，可以任取两个时刻的 Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接
即得Q点轨迹线段．
原理：由手拉手可知 ，故 ,故Q点轨迹为直线
七、化斜为直，斜大于直
【问题13】已知： 是 斜边上的高
（1）求 的最大值；（2）若 ，求 的最大值
A A
B D C B M D C
问题解决：取BC中点M，（1）则 ；（2）
八、构造二次函数求最值
这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相
似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或
者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个
超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．
【问题14】正方形 的边长为6，点 在边 上，且 ， 是边 上一动点，连接
，过点 作 交 边于点 ，设 的长为 ，则线段 长度的最大值为 .
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问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到 ，进而根据相
似比得到 ，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案
【详解】易知 ， ，
， ，∴ ， ，
∴ ，
， 在 时有最大值，最大值为
题型一 两定一动型（线段和差最值问题）
1．（2023·西安·模拟预测）如图，正方形 的边长为4，点M在边 上， ，
P为正方形内（含边上）一点，且 ，G为边 上一动点，连接 ，则
的最小值为 ．
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【答案】3
【分析】先确定组成点P的所有点为过 的中点E，F的线段 ，作点M关于 的对称点
，连接 ，证明 的长为 的最小值，因此求出 的长即可．
【详解】解：过点P作 ，分别交 于点E，F，
∵四边形 是正方形，
∴四边形 和四边形 都是矩形，
∵ ，正方形 的边长为4，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
作点M关于 的对称点 ，连接 ，
则 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为3
2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部
3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3cm的点A处．求蚂蚁
吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】13
【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
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此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝ ＝13（cm）．
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，
），点C的坐标为（1，0），且△∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′
与 OB 的交点即为所求的点 P，PA+PC 的最小值=AC′，过点 C′作 C′D⊥OA 于 D，求出 CC′，
∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，
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则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，
过点C′作C′D⊥OA于D，
∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，
∴∠OCC′=90°-30°=60°，
OC=1，CC′=2×1× =1，
∴CD= ，C′D= ，
∵顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，
∴AC=3-1=2，
∴AD=2+ = ，
在Rt AC′D中，由勾股定理得，AC′= = =
△
4．如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距离 ，已知
， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ，则
的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点
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作直线 ，在根据勾股定理求出线段 的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN
于点 ，此时 ，由三角形三边关系可知 ，故当点 P 运动到 时
最大，过点B作 由勾股定理求出AB的长就是 的最大值，代入计算即可
得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，则点P即
为所求点，过点 作直线 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
在 中，根据勾股定理得，
∴ ，
即PA+PB的最小值是 ；
如图所示，延长AB交MN于点 ，
∵ ， ，
∴当点P运动到 点时， 最大，
过点B作 ，则 ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，
，
∴ ，
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即 ，∴
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S ＝ S ．则点P到B，C两点距离
△PBC 矩形ABCD
之和PB+PC的最小值为 。
【答案】
【解答】解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S ＝ S ．
△PBC 矩形ABCD
∴ BC•h＝ AB•BC，
∴h＝ AB＝2，
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接
CE，则CE的长就是所求的最短距离．
在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，
∴CE＝ ＝ ＝ ，
即PB+PC的最小值为
6．（2023·泰州·三模）如图，在矩形 中， ， ，点 在直线 上，从点
出发向右运动，速度为每秒 ，点 在直线 上，从点 出发向右运动，速度为每秒
， 相交于点 ，则 的最小值为 ．
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【答案】10
【分析】过点 作直线 ，分别交 、 于点 ，过点 作直线 ，分别交
、 于点 ，易知四边形 、 、 为矩形，证明 ，由相似
三角形的性质可得 ；设 两点运动时间为 ，则 ， ，易得 ，
；作点 关于直线 的对称点 ，由轴对称的性质可得 ，故当 三点
共线时， 的值最小，即 取最小值，此时，在 中，由勾股定理求得
的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点 作直线 ，分别交 、 于点 ，过点 作直线
，分别交 、 于点 ，
易知四边形 、 、 为矩形， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 两点运动时间为 ，则 ， ，
则有 ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
作点 关于直线 的对称点 ，如图，
则 ， ，
由轴对称的性质可得 ，
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当 三点共线时， 的值最小，即 取最小值，
此时，在 中， ，
∴ 的最小值为
7．已知 满足 ，则S的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据 表示平面内点 与 之间的距离， 表示
平面内点 与 之间的距离，得出当点 在 与 之间的线段上时，这两个距离
之和最小，求出这个最小距离即可．
【详解】解：∵ 表示平面内点 与 之间的距离， 表
示平面内点 与 之间的距离，
∴ 表示这两个距离之和，
∵两点之间线段最短，
∴当点 在 与 之间的线段上时，这两个距离之和最小，
∴ 的最小值为 ．
8．探究式子 的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取
，作 于 ． 于 ，且 ， ，点 在 上，设 ，
则 ，于是， ， ，因此，可求得 的最小值为
，已知 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，利用勾股定理求 的最
小值即可；构造图形如图，过点 作 交 于 ，求 的最大值结合三角形的三边关系，
根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
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，
则 ， ，
此时 的值最小为： ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
如图， ，
，
则 ，
，
的最大值为 的长度，
过点 作 交 于 ，
则四边形 为矩形，
，
，
，
的最大值为
9．如图，A、B两点在直线 外的同侧，A到 的距离 ，B到 的距离
，点P在直线 上运动，则 的最大值等于 ．
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【答案】10
【分析】延长 交 于点 ，过点B作 ，由题意可知 ，即
说明当点P运动到 点时， 最大，即为 的长．最后根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，过点B作 ，
∵ ，
∴当点P运动到 点时， 最大，即为 的长．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值等于10
10．已知：如图，在矩形 中， ．动点 为矩形 内一点，且满足
，则 周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，由 ，可得
，过 点作 ，交 于点 ，交 于点 ，作 点关于 的对称点 ，
连接 与 交点即为所求点 ，在 △ 中， ， ，即可求 ．
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
，
过 点作 ，交 于点 ，交 于点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 与
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交点即为所求点 ，
，
，
，
，
在 △ 中， ， ，
，
周长的最小值 ，
故答案为 ．
2022·绥化·中考真题
11．在平面直角坐标系中，已知一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，且
与反比例函数 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接 ， 的面积为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若C为线段 上的一个动点，当 最小时，求 的面积．
【答案】(1) ；
【详解】（1）解：∵一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，
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∴把 ， 代入 得，
，解得， ，
∴一次函数解析式为
过点P作 轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴ ，
∴
∴
∵ 在双曲线上，
∴
∴
（2）解：作点K关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点M，则 （1，-2），OM=1，
连接 交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线 的解析式为
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把 代入得，
解得，
∴直线 的解析式为
当 时， ，解得， ，∴ ∴
∴ ， ，
∴
题型二 双动点最值问题（两次对称）
12．如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、
MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。
【答案】6
【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，
交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝
A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；
∵AD＝2，AE＝BE＝1，
∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，
∴AE′＝3，AA′＝4，
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∴A′E′＝ ＝5，
∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．
13．（2023·淄博·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是
边 ， 上的动点，当 的周长最小时， °．
【答案】100
【分析】作点A关于 的对称点E、F，连接 分别交 于点H、G，连接 、
，则当点M与点H重合，点N与点G重合时， 的周长最小，则易得 的大
小．
【详解】解：如图，作点A关于 的对称点E、F，连接 分别交 于点H、G，连
接 、 ，
由对称性知： ， ，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时， 的周长最小；
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
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14．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形
AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。
【答案】70
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，
连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝125°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．
∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°
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15．（2023·西安·二模）如图，在四边形 中， ， ， ，
， 、 分别是边 、 上的动点，连接 ， ， ，则 周长的最小值
为 ．
【答案】
【分析】如图，由 ，作 关于 对称的点 ，作 关于 对称的点 ，连接 ，
与 交点为 ，与 交点为 ，连接 ， ，由对称的性质可得 ，
， ， 则 ， 可 知 当
四点共线时， 的周长最小为 ，如图，过 作 的延长线于
由 ，可得 ，则 ， ，
，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，由 ，作 关于 对称的点 ，作 关于 对称的点 ，连接
，与 交点为 ，与 交点为 ，连接 ， ，
由对称的性质可得 ， ， ， ，
∴ ，
∴当 四点共线时， 的周长最小为 ，
如图，过 作 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，由勾股定理得
16．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，点E、F分别是边 上的
点，连接 ，若 ， ， ，则 周长的最小值是
．
【答案】
【分析】作点O关于 的对称点M，点O关于 的对称点N，连接 ，
则 的周长 ，故当 四点共线时 ，
即此时 的周长最小，最小值为 的长，证明 是等边三角形，得到 ；
过D作 交直线 于P，由平行四边形的性质得到 ， ，由含
30度角的直角三角形的性质得到 ，则 ， ，即可得到点P与点
B重合，则 ，由此即可得到答案．
【 详 解 】 解 ： 作 点 O 关 于 的 对 称 点 M ， 点 O 关 于 的 对 称 点 N ， 连 接
，
由作图得： ， ，
∴ 的周长 ，
∴当 四点共线时 ，即此时 的周长最小，最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
过D作 交直线 于P，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴点P与点B重合，
∴ ，
∴
∴ 的周长最小值为 ，
题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
鞍山·中考真题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，在x轴上取两点C，D（点C在点D左
侧），且始终保持 ，线段 在x轴上平移，当 的值最小时，点C的坐标为
．
【答案】（-1，0）
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点
D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到
点D坐标，从而可得点C坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x
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轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，
可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，
由对称性质可得：BC=B′C，
∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，
∵A（3，6），B（-2，2），
∴B′（-2，-2），
∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），
∴点C坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
聊城·中考真题
18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，
B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当
四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
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【详解】解：如图所示，∵D（0，4），
∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），
∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD= ，
又∵EF＝3，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF= +FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当y=0时， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
19．如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ： 向上平移 个单位长度
得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ， ， ，
【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则折线 的长 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，即当
点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，即可求
解．
【详解】解：如图，将点 沿 轴向下平移 个单位得到 ，以 为斜边，作等腰直角三角
形 ，则点 ，连接 ，
是等腰直角三角形，
， ，
将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直线 ，
， ，
， ，
，
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，
点 ，点 ，
，
折线 的长 的最小值为
广西来宾中考真题
20．如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上，向左或向右平移抛物
线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，抛物线的解析式为
．
【答案】 ．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
由平移的性质可知： ,
∴四边形 的周长为 ；
要使其周长最小，则应使 的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴ ， ，
将 向左平移2个单位得到 ，则由平移的性质可知： ，
将 关于x轴的对称点记为点E，则 ，由轴对称性质可知， ,
∴ ，
当B、E、 三点共线时， 的值最小，
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设直线 的解析式为： ，
∴ ，当 时，∴
∴ ，
将E点坐标代入解析式可得： ，
解得： ，此时 ，
此时四边形 的周长为 ；
当 时， ， ， ， ，
此时四边形 的周长为：
；
∵ ，
∴当 时，其周长最小，所以抛物线向右平移了 个单位，所以其解析式为：
题型四 垂线段最短
21．（2023下·湛江·二模）如图，在 中， ， ， ， ，
平分 交 于点 ，点 、 分别是 、 边上的动点，则 的最小值为
．
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【详解】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ，作 ，
平分 ，
，
，
∴ ，
，
，
∴当点C，E， 在同一条线上，且 时， 最小，即 最小，其值为 ，
，
，
即 的最小值为
22．如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F分别为射线
OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．
N
P
E
M
O F A
【答案】 2 2
【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H．
N
H
P
G
E
M
O F A
∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，
∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，
∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．
2
∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝ OA＝ ．
2 2 2
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2022·贵州毕节·中考真题
23．如图，在 中， ，点P为 边上任意一点，连接 ，以
， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利
用垂线段最短得到点P的位置，再证明 利用对应线段的比得到 的长度，继而得
到PQ的长度．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线 ，
∵ ,
∴ ,
∴ ，
∴ ，∴ ，∴则PQ的最小值为
2022 铜仁
24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点
M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋
NP的最小值为_________．
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D C
N
P
E
M
A B
【答案】
【解析】分别过点M，N作CD的垂线，垂足为M，N．
D G H C
N P
E
M
A B
由题意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．
∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．
∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，
∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．
∵点E为AD的中点，∴tan∠ECD＝ ，
∴由12345模型可知tan∠DCM＝ ，
∴sin∠DCM＝ ，∴MG＝ ＝ ，
∴MN＋NP的最小值为 ．
25．（2023·鸡西·三模）如图，在矩形 中， 于点 ， ， ， 、
分别是 、 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和解直角三角形可得 ，利用勾股定理得到 ，可得
，如图，延长 至点 ，使 ，过点 作 于点 ， 交
于点 ，连接 ，可得点 和点 关于 对称，根据垂线段最短可得 的最小值为 ，
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
然后在 中，利用 ，即可得出答案．
【详解】解：∵在矩形 中， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
如图，延长 至点 ，使 ，过点 作 于点 ， 交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴点 和点 关于 对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，当点 ， ， 共线时， 的最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D，E分别是AC，BC的中点，连
接DE，将△DEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线AD与BE相交于点H，如图2，则AH的最
大值为_________．
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A A
D D
C E B C B
E
H
图1 图2
【答案】
【解析】如图1，过点C作直线BH的垂线，垂足为G．
则CG≤CE，sin∠CBH＝ ≤ ＝ ，
A A
D
D
C B C B
E
G H H
E
图1 图2
∴∠CBH≤30°，∴当∠CBH为30°时，∠ABH最大．
∵ ＝ ＝ ，∠ACD＝∠BCE＝90°－∠BCD，
∴△ACD∽△BCE，∴∠CAH＝∠CBH，
∴∠AHB＝∠ACB＝90°，
∴AH＝AB·sin∠ABH，∴此时AH最大．
如图2，此时CE⊥BE，∠DCE＝∠CEH＝∠DHE＝90°，
∴四边形CDHE是矩形，∴∠CDH＝90°，DH＝CE＝ ＝2，
∴∠ADC＝90°，AD＝ ＝ ，
∴AH的最大值为 ．
题型五 相对运动平移型将军饮马
27．如图，在矩形 中， ，把边 沿对角线 平移，点 分别对应点
， 的最小值为 ．
【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】
先证明四边形 是平行四边形
法一：过C作BD的平行线l，可以理解为点C相对线段AB是在直线l上运动，把B关于l对称得到
点E，AE即所求
法二：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，过点 作 交 的延长线于
，连接 交 于 ，此时 的值最小，最小值为 ，通过证明 ，可得
，通过证明 ，可得 ，最后由勾股定理即可得到答案．
法一简析
15
α
α
12
C'
96
5
12
E
72
5
【详解】
法二：解：根据题意可得： ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，过点 作 交 的延长
线于 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，最小值为 ，
【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
则 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
28．如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑
动时，PA+PB的最小值是 。
【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【解答】如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，
∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长，
过A作AD⊥BC于D，
∴AD∥y轴，
∵A′A∥y轴，
∴A′、A、D三点共线，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴AD＝BD＝1，P（0，3），
∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，
∴Rt△BA'D中，BA'＝ ＝ ＝ ，
∴PA+PB的最小值是 ．
29．如图，菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接
AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。
【答案】
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，
∴AC＝6 ，AC⊥BD，BO＝DO，
【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AO＝ AC＝3 ，
∴BD＝ ＝18，
∵ED＝OF，
∴EF＝OD＝9，
如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，当CHE三点贡共线时，则AE+AF的值
最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形FEHA是平行四边形，
∴FA＝EH，
∵EA＝EC，
∴AF+AE＝EH+CE＝CH，
∵菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝6 ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ＝3 ，
∴AE+AF的最小值3 ，∴△AEF的周长的最小值＝3 +9
广东省深圳市宝安区一模
3
30．如图，在菱形ABCD中，AB＝ ，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重
合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值
是________．
【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】3
【详解】
法一：相对于MN，A点在平行于BD的直线上运动
3
2
3 3
2
D'
法二：MN=AB= 3,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短.
∵∠CDB=30（已求），DC∥AB
∴∠MBA=∠CDB=30
∵AM⊥MN,MN∥AB
∴∠MAB=90
∵AB= 3
∴AM=1
∴在Rt AMN中，利用勾股定理得AN AM2MN2 132
则AM+AN=1+2=3
△
∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3
如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直
线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 。
【答案】
【解答】解：连接AB″．
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∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，
∴四边形ABC′B″是平行四边形，
∴AB″＝BC′，
∴△BC′B″的周长＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，
∵AB″+BB″最小时，△BC′B″的周长最小，
作点A关于直线B′B″的对称点T，连接BT交B′B″于B′″，连接AB″′，此时AB′″
+BB′″的值最小，设AT交B′B″于E．则AE＝AB′•sin60°＝ ，∴AT＝2AE＝2 ，
过点T作TP⊥AB交BA的延长线于P．则AP＝AT•coS30°＝3，PT＝ AT＝ ，
∴ ．
∴BB″+BC′+B″C′的最小值为
2023·齐齐哈尔·中考真题
31．如图，抛物线 上的点A，C坐标分别为 ， ，抛物线与x轴负半轴交
于点B，点M为y轴负半轴上一点，且 ．
32．将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 ，点C的对应点为点 ，
【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在抛物线平移过程中，当 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，
的最小值为______．
【答案】 ，
【分析】设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度
得到点 ，由平移的性质可知， ， 的值最小就是 最小
值，作出点C关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 则此
时 取得最小值，即为 的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求
出直线 的解析式，从而确定 的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，
从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】 ， ，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点 ，作出图形如下：
由平移的性质可知， ，
∴ 的值最小就是 最小值，
显然点 在直线 上运用，
作出点C关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 则此时
取得最小值，即为 的长度，
∵点C关于直线 对称的对称的点是点 ，
∴ ，
∴ ，
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设直线 的解析式是：
将点 ， 代入得： ，解得：
直线 的解析式是：
令 ，解得： ，∴ ，
∴平移的距离是
又∵ ，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为 即
故答案是： ， ．
题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
33．（2023·徐州·模拟预测）等边 边长为6， 是 中点， 在 上运动，连接 ，在
下方作等边 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，由条件可以得出 ，再根据等边三角形的性质就可以证明
，从而可以得出 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，
则 ，依据当 ， ， 在同一直线上时， 的最小值等于线段 长，可得
的周长最小．
【详解】解：如图，连接 ，
、 都是等边三角形，
， ， ，
，
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，则 ， ，
当 ， ， 在同一直线上时， 的最小值等于线段 长，且 时， 的周
长最小，
，
．
周长： ．
故答案为： ．
34．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段 绕点P逆时针旋转 得到线段 ，就称点B
是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点 ，点P是y轴上一点，点B是点A关于
点P的“放垂点”，连接 、 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】在 y 轴的正半轴上截取 ，使得 ，连接 、 ，首先证明
【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，点B在直线 上运动，作点O关于直线 的对称点E，连接 交
于点T，当点B与T重合时， 的值最小，再利用勾股定理进行求值即可．
【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取 ，使得 ，连接 、 ，且 的延
长线与x轴交于点M，
∴ 、 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ,
∴点B在直线 上运动，
作点O关于直线 的对称点E， 与 交于点F，连接 、连接 交 于点T，
当点B与T重合时， 的值最小，
∵ , ，
∴ ，
根据对称得： ， ， ，
∴ ，
∴ 、
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为： ，
故选：B．
【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
35．在 中，斜边 ， ，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD
绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求
BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，
TL，则DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT= ，可得结论．
【详解】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴CT=AT=TB，
∴△BCT是等边三角形，
∴∠TBC=∠DBE=60°，
∴∠DBT=∠EBC，
在△DBT和△EBC中，
【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△DBT≌△EBC（SAS），
∴DT=CE，
欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，
作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，
∵AC⊥BL，CL=CB，
∴AL=AB，
∵∠ABL=60°，
∴△ABL是等边三角形，
∵AT=TB=1，
∴LT⊥AB，
∴LT= BT= ，
∵DT+DB=DT+DL≥LT= ，
∴DT+DB的最小值为 ，
∴BE+EC的最小值为 ．
陕西榆林·二模
36．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时
针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ．
【答案】
【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动
轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于
O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小．
【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．
∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，
∴AH＝ AB，AN＝ AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，
∴ ＝ ，∠BAM＝∠HAN，
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∴△BAM∽△HAN，
∴∠AHN＝∠B＝90°，
∵∠AHB＝45°，
∴∠NHC＝45°，
∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接
CJ交HT于O，连接OD．
当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小，
∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，
∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，
∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，
∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝ ＝ ＝
2022·淮安·中考真题
37．二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，直线 经过 、 两点，
点 关于 轴的对称点为点 ，点 为线段 上的一个动点，连接 ，点 为线段 上一
点，且 ，连接 ，当 的值最小时，直接写出 的长．
【答案】
【分析】由题意可知Q点在平行于 的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由 ，求出
点 ， 作 A 点 关 于 的 对 称 点 ， 连 接 与 交 于 点 Q ， 则
，利用对称性和 ，求出 ，求出
直线 的解析式和直线 的解析式，联立方程组 ，可求点 ，再求
．
【详解】解：∵ ， 点与 点关于 轴对称，
∴ ，
令 ，则 ，
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 点在平行于 的线段上，设此线段与 轴的交点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
作 点关于 的对称点 ，连接 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
同理可求直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
题型七 化斜为直，斜大于直
台州·中考真题
38．如图，直线 ， 分别为直线 上的动点，连接 ，线段
交直线 于点 ．设直线 与 之间的距离为 m，直线 与 之间的距离为 n，若
， ，且 ，则m＋n的最大值为_____．
A
l
1
D
l
2
B
l
3
C
【答案】
延长AB，CG＝ BD＝10，取CG中点M，BF≤BM＝5 m＋n≤
⇒
【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A E
l
1
2a
D B
l
2
5 3a
l
3
C M F G
39．如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A
落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．
A
D
E
B F C
【答案】 16－
【解析】过点E作EH⊥BC于点H．
A
D
E
B F H C
∵等边△ABC的边长为4，∴∠B＝60°，AC＝4．
由题意， EF＝AE．
设CE＝2x，则EF＝AE＝4－2x，则EH＝ ．
∵EF≥EH，∴4－2x≥ ，
解得x≤8－ ，∴CE≤16－ ，∴CE的最大值为16－ ．
40．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行
四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。
【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√2
【解答】显然AB//QC,所以PQ≥CD=
AC=4√2
2
41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC
上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为 .
120
【答案】
≤CQ<12
17
5 60 120
【解答】由解析提示可知：
(12−x)≤x，解得： x≥
,所以
≤CQ<12
13 17 17
42．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝ OA，
∵AB＝AC＝12，
∵AO＝ AC＝ ×12＝6，
∴OE＝3，
∴PQ的最小值＝2OE＝6
连云港·中考真题
43．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上
一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是 ．
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
P
D
C
T
A
B
【答案】3
【解析】简析1 如图2，分别过点A、P作BD的垂线，垂足依次为E、G，则△AET∽△PGT，
故 ＝ ，从而 ＝ ＝1＋ ＝1＋ ，又AE＝ ，要使 最大，只要使
PG最大，即点P到BD的距离最大；过点C作C ⊥BD于点 ，交⊙C于另一点 ，易知
即为PG的最大值，此时 ＝2C ＝2AE，因此 的最大值为3；
P P
D D
C C
G T G
T
E
Q
A A
B B
图2 图3
简析2 如图 3，过点 P作AD 的平行线，交直线 BD于点 Q，则△ADT∽△PQT，故 ＝
＝1＋ ＝1＋ ＝1＋ ．再作PG⊥BD于点G，易得PQ＝ PG，从而 ＝1＋
PG，要使 最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大，下略；
简析3 如图4，过点P作BD的平行线，交AD的延长线于点Q，则 ＝ ＝ ，要使
最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次与⊙C相切，切点为 ，且交AD的延长线
于点Q'，此时AQ'即为AQ的最大值；连接P'C并延长，交BD于点G'，再作DH⊥P'Q'于点H，可
证DH＝P'G'＝2CG'＝ ，则DQ'＝ DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值为9， 的最大值为
3；
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
H
Q
P
P
D
D
C C
T T
G G
A B A B
图4 图5
简析4 如图5，连接PB、PD，同上可证 ＝1＋ ，要使 最大，只需使 最大；易证
＝ ，且 ＝ ，故 ＝ ＝ ＝ ，即
＝ ，要使 最大，只需使S△PBD最大，即点P到BD的距离最大，下略．
反思：这里提供的四种解法，都是借助相似或面积法转化目标线段比(即 )．方法一最为直接，
轻松转化为所谓“圆线距离”；方法二通过作“横平坚直辅助线”，构造相似，将“斜接段之比”
(即 )转化为“直线段之比”(即 )，再借助“定角定比”，将“直距离”(即PQ)转化为“斜
距离”(即PG)；方法三依然通过作平行线构造相似，将“斜线段之比”(即 )转化为“直载段之
比”(即 )．再借助平移变换，找到相切位置即为所求最大位置；方法四则是将线段比转化为面
积比，通过面积法解决问题．四种解法，各有千秋，殊途同归，并且有许多共通之处．
44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作
DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路
径长为_________．
C
D
A E B
【答案】 ，
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【解析】取BE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥AC于点G．
C
G
D
A E F B
则DF≥FG，BE＝2DF．
当DF⊥AC时DF最小，BE最小，AE最大．
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．
设DF＝x，则BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，
∴x＝ ，∴AE＝ ， ＝ ，
∴AE的最大值为 ，点E运动的路径长为 ．
题型八 构造二次函数模型求最值
2023·辽宁大连一模
45．如图，点 ， ，P为x轴上一动点，将线段 绕点P顺时针旋转 90°得到 ，连
接 ．则 的最小值是
【答案】
【分析】过点C作 轴交x轴于D，设 ，利用一线三垂直模型证明 推
出 ，根据勾股定理表示出 ，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图1所示，过点C作 轴交x轴于D，设 ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为18，∴ 的最小值是 ．
46．如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝，BC＝BD＝
1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM
长度的最大值为_____________．
C
P
A B
M
Q
D
【答案】
提示：分别过P、Q作AB的垂线，垂足分别为E、F
C
P
F
A B
M E
Q
D
由已知条件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°
设AP＝x，则AQ＝PC＝－x
则S ＝ AM·PE＋ AM·QF＝ AM·AP＋ AM·AQ
PAQ
＝ A△M( AP＋AQ )＝ AM( x＋ －x )＝ AM
又S ＝ AP·AQ·sin60°＝ x(－x)·＝－(x2－x)
PAQ
∴AM△＝－ ( x 2－ x )，∴AM＝－( x 2－ x )＝－( x－ )2＋
∴当x＝ 时，AM的长取得最大值
47．（2023·江苏淮安·一模）如图， 中， ， ， 为 中点． 、
是边 、 上的动点， 从 出发向 运动，同时 以相同的速度从 出发向 运动，
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运动到 停止．当 为 时， 的面积最大．
【答案】4
【详解】解：根据题意得： ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大
无锡中考真题
48．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接
CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________．
E
F
A
D
B C
【答案】
提示：作CG⊥BA交BA的延长线于点G，作EH⊥BA交BA的延长线于点H
E
F
G
H
A
D
B M C
则△CDG≌△DEH，∴DG＝EH
∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°
作AM⊥BC于M
【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝BC＝2
∴AM＝，AB＝AC＝，AG＝AC＝，BG＝2
∴S
△BDE
＝ BD·EH＝ ( 2－DG )·DG＝－ DG 2＋DG＝－ ( DG－ )2＋
∴当DG＝时，△BDE的面积有最大值为
49．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一
边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ．
【答案】 10
【分析】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，根
据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出 ，继而根据勾股定理求出 ，从而求得
的长，然后证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，设 ，则
，继而根据三角形的面积公式可得 ，根据二次函数的性
质即可求得答案．
【详解】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
， ， ，
，
，
，
即 ，
，
在 中， ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
又 ，
【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
设 ，则 ，
，
，
的最大值为 ，
故答案为 ， ．
50．（2022·江苏泰州·二模）如图①，等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且
∠CPD=60°，PD交AC于点D，设AP =x，AD=y，如图②是y关于x的函数图象，则图象顶点
的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【分析】根据题意得：AB=4，根据等边三角形的性质和∠CPD=60°，可得PB=4-x，∠BCP=∠B，
可证得△DAP∽PBC，从而得到y关于x的函数为 ，即可求解．
【详解】解： 根据题意得：AB=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，BC=AB=4，
∵AP =x，AD=y，
∴PB=4-x，
∵∠CPD=60°，
∴∠CPD=∠B，
∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠B+∠BCP，
∴∠BCP=∠B，
∴△DAP∽PBC，
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∴ ，即 ，
∴y关于x的函数为 ，
∴图象顶点的坐标为（2，1）
51．（2023·辽宁营口·二模）如图①，在钝角三角形 中， ，D为边 上一动点（C
点除外），以点D为直角顶点，以 为一条直角边作等腰直角三角形 ，连接 ．设
， ，若y关于x的函数图象如图②所示，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】由②知， 最大为5，此时点D与点A重合， ，过点E作 ，交 延
长线于G，根据等腰三角形的性质及三角形等面积法得出 ，过点B作 ，交 延长
线于H，则 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，
即可求解三角形面积．
【详解】解：由②知， 最大为5，此时点D与点A重合， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
过点E作 ，交 延长线于G，
∴ ，
【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得 ，
∴
过点B作 ，交 延长线于H，则 ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
52．已知△ABC的面积为2，∠A＝30°，点M、N分别是边AB、AC上的点，且MN将△ABC分成
面积相等的两部分，则线段MN长的最小值为___________．
A
M
N
B C
【答案】－
提示：过M作MH⊥AC于H，设MH＝x，则AH＝x
A
H
M
N
B C
∵S ＝ AN·MH＝ S ＝1，∴AN＝ ，HN＝ －x
AMN ABC
∴M△N 2＝MH 2＋HN 2＝x△ 2＋( －x )2＝( 2x－ )2＋8－4≥8－4
∴当2x＝，即x＝1，AM＝AN＝2时，MN 2有最小值为8－4
∴MN长的最小值为－
53．如图，在锐角△ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于
F，连接BD、EF，当△DEF的面积最大时，下列说法正确的是（ ）
A．BD是AC边上的高 B．BD是AC边上的中线
C．BD是∠ABC的角平分线 D．EF∥AC
【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A
E
D
B F C
【答案】B
提示：作EH⊥DF交FD的延长线于点H
A
E H
D
B F C
则S ＝ DF·EH＝ DF·DE·sin∠EDH＝ DE·DF·sin∠ABC
DEF
∵sin△∠ABC为定值，∴当DE·DF的值最大时，△DEF的面积最大
∵S ＝ AB·DE，S ＝ BC·DF，∴S ·S ＝ AB·BC·DE·DF
ABD CBD ABD CBD
∵A△B·BC为定值，∴此△时S ABD ·S CBD 的值最△大 △
设S ABC ＝S，S ABD ＝x，则△S CBD△ ＝S－x
∴S△ABD ·S
CBD
＝△x( S－x )＝－x△ 2＋Sx＝－( x－ )2＋
∴当△x＝ △，即BD是AC边上的中线时，S
ABD
·S
CBD
的值最大，△DEF的面积最大
△ △
54．如图，△ABC中，BC＝4，BC边上的高为3，矩形DEFG内接于△ABC，点D、G分别在边
AB、AC上，边EF在边BC上，则EG长的最小值为___________．
A
D G
B E F C
【答案】
提示：作AN⊥BC于点N，交DG于点M
A H A
D M G M D N G
B E N F C B E F C
设DG＝x，由△ADG∽△ABC得：＝
∴＝ ，∴AM＝ x，∴DE＝MN＝3－ x
∴EG2＝DG 2＋DE2＝x2＋(3－ x)2＝ x2－ x＋9＝(x－ )2＋
【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴当x＝ 时，EG2有最小值，∴EG的长的最小值为
注：本题也可用几何构造法解决，但不易想到．
过B作BH⊥BC，过A作AH⊥BH于H
延长GD交BH于M，连接HC交DG于N
则BE＝DM，＝ ＝
∴NG＝DM＝BE，∴四边形BENG是平行四边形
∴BN＝EG，当BN⊥HC时BN最小
由面积法可得，当BN⊥HC时BN＝，∴EG长的最小值为
55．如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，点E、F分别是对角线AC和边BC延长线上
的动点，且AE∶CF＝2∶3，连接EF交CD于点G，则线段CG长的最大值为___________．
A D
E
G
B C F
【答案】30－12
提示：作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M，FN⊥CD于N
A D
E
M
N G
B H C F
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2
∴∠ACD＝∠DCF＝60°
由AE∶CF＝2∶3，设AE＝2x，则CF＝3x，EC＝2－2x
EH＝EM＝(2－2x)，FN＝ x
∵S ＝S ＋S ，∴CF·EH＝ CG·EM＋ CG·FN
CEF △CEG CFG
∴C△F·EH＝CG·( EM△＋FN )，∴3x·( 2－2x )＝ ( x＋2 )·CG
∴CG＝ ＝ ＝－6(x＋2)－ ＋30
＝－[－ ]2＋30－12
∴线段CG长的最大值为30－12
56．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝AC，过点P的直线
分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________．
A F D
E P
B C
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【答案】6
提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H
由AP＝ AC可得AG＝PH＝ AB＝ ，AH＝PG＝ AD＝1 A H F D
设GE＝x，则AE＝x＋
G
由△EGP∽△PHF，可得HF＝，AF＝1＋ E P
S ＝ AE·AF＝(x＋ )(1＋ )＝(x＋ ＋ )＝(－ )2＋
AEF
∴△△AEF的面积的最小值为
B C
∵AP＝ AC，∴S ＝4S
四边形AECF AEF
∴四边形AECF的面积的最小值△为6
57．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在BC边上，点F在DC边上，∠EAF＝30°，过
点F作FG∥BC，交AE于点G，则线段GF长的最小值为___________．
A D
G F
B E C
【答案】
提示：延长AD到点H，连接FH，使∠H＝30°
A D H
G
F
B E C
∵∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠H
∵FG∥BC∥AD，∴∠AFG＝∠HAF
∴△AFG∽△HAF，∴＝，∴GF＝
设DF＝x，则AF2＝x2＋42＝x2＋16，AH＝x＋4
∴GF＝＝＝[x＋＋ ]－
＝(－)2＋≥，∴GF长的最小值为
58．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E是AB边上的一个动点，点M是CE的中点，将
线段EM绕点E逆时针旋转60°得到线段EF，连接DE、DF，则△DEF的面积的最小值为
___________．
F
A D
E
M
B C
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【答案】
提示：连接FC、FM
G F H
A D
E
M
B C
由题意，EF＝EM，∠FEM＝60°，∴△EFM是等边三角形
∴FM＝EM＝CM，∠FME＝60°，∴∠MCF＝∠MFC＝30°
∴∠EFC＝90°，∴FC＝EF
过点F作AD的平行线，分别交BA、CD的延长线于点G、H
则△GEF∽△HFC，∴＝＝＝
设FG＝x，则FH＝2－x，EG＝FH＝2－x
S
△FEC
＝ EF·FC＝ EF 2＝ ( FG 2＋EG 2 )＝ [ x 2＋( 2－ x )2]
S ＝S ＋S －S
△DEF △FEC △FDC △EDC
＝[x2＋(2－x)2]＋×2×(2－x)－×2×2
＝x2－3x＋2＝(x－)2＋
当x＝ 时，BG＝CH＝x＝，EG＝2－x＝，AE＝BE＝1
即E是AB的中点，此时△DEF的面积最小，最小值为
2022 广州市中考真题
59．如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最
小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
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(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= ，设
BE= ，则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得DF= ，从而得
到四边形ABEF的面积s= S ABD - S DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E
△ △
是△ABC重心，从而得到BE=CE= BO= ，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E
和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由 ，可得
当 ，即BE= 时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好
在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°= = ，
∴BD=2BO= ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
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由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= BE
∵ ，
∴MN= ，
设BE= ，则EN= ，
∴EM=MN-EN= ，
∵S ABCD= AD▪MN= ，
菱形
∴S ABD= S ABCD= ，
菱形
△
∵BE= DF，
∴DF= ，
∴S DEF= DF ▪EM= = ，
△
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ，
△ △
∵点E在BD上，且不在端点，∴0
