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2022年浙江省绍兴市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选
项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）（2022•绍兴）实数﹣6的相反数是（ ）
A． B． C．﹣6 D．6
2．（4分）（2022•绍兴）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧
化碳．数字320000用科学记数法表示是（ ）
A．3.2×106 B．3.2×105 C．3.2×104 D．32×104
3．（4分）（2022•绍兴）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（
）
A． B． C． D．
4．（4分）（2022•绍兴）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相
同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2022•绍兴）下列计算正确的是（ ）
A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a2•a＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a5
6．（4分）（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，
AC∥EF，则∠1＝（ ）
第1页（共29页）A．30° B．45° C．60° D．75°
7．（4分）（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝
5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
8．（4分）（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对
角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）（2022•绍兴）已知（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x ＜
1 1 2 2 3 3 1
x ＜x ，则以下判断正确的是（ ）
2 3
A．若x x ＞0，则y y ＞0 B．若x x ＜0，则y y ＞0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x ＞0，则y y ＞0 D．若x x ＜0，则y y ＞0
2 3 1 3 2 3 1 2
10．（4分）（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，
在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩
下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则
剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2022•绍兴）分解因式：x2+x＝ ．
第2页（共29页）12．（5分）（2022•绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是 ．
13．（5分）（2022•绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，
劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天
数是 ．
14．（5分）（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长
为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．
15．（5分）（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右
平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝ （k≠0）的图象经过点C
和DE的中点F，则k的值是 ．
16．（5分）（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD
＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE
的长是 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每
小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（2022•绍兴）（1）计算：6tan30°+（ +1）0﹣ ．
π
（2）解方程组： ．
第3页（共29页）18．（8分）（2022•绍兴）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时
长x（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所
收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表
组别 所需时长（小时） 学生人数（人）
A 0＜x≤0.5 15
B 0.5＜x≤1 m
C 1＜x≤1.5 n
D 1.5＜x≤2 5
（1）求统计表中m，n的值．
（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长
满足0.5＜x≤1.5的共有多少人．
19．（8分）（2022•绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了
2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：
米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝kx+b
（k≠ 0），y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝ （k≠0）．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相
应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．
第4页（共29页）20．（8分）（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的
天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标
竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上
日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市
地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即
∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距
离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
21．（10分）（2022•绍兴）如图，半径为6的 O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于
点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD． ⊙
（1）若∠ACB＝20°，求 的长（结果保留 ）．
π
第5页（共29页）（2）求证：AD平分∠BDO．
22．（12分）（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交
BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得
△APD，连结DC，记∠BCD＝ ．
（1）如图，当P与E重合时，求α 的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAαD＝ ，探究 与 的数量关系．
β α β
23．（12分）（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，
﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
24．（14分）（2022•绍兴）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边
AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理
由．
（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
第6页（共29页）第7页（共29页）2022年浙江省绍兴市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选
项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）（2022•绍兴）实数﹣6的相反数是（ ）
A． B． C．﹣6 D．6
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣6的相反数是6，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（4分）（2022•绍兴）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧
化碳．数字320000用科学记数法表示是（ ）
A．3.2×106 B．3.2×105 C．3.2×104 D．32×104
【分析】把较大的数写成a×10n（1≤a＜10，n为正整数）的形式即可．
【解答】解：320000＝3.2×105，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
解题的关键．
3．（4分）（2022•绍兴）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的图形，可以画出主视图，本题得以解决．
第8页（共29页）【解答】解：由图可得，
题目中图形的主视图是 ，
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出相应的图形．
4．（4分）（2022•绍兴）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相
同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解：∵总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，
∴摸到红球的概率P＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式，掌握P（摸到红球的概率）＝红球可能出现的结果数÷所有
可能出现的结果数是解题的关键．
5．（4分）（2022•绍兴）下列计算正确的是（ ）
A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a2•a＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a5
【分析】根据多项式除以单项式判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据完全
平方公式判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故该选项符合题意；
B选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，
掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．
6．（4分）（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，
AC∥EF，则∠1＝（ ）
第9页（共29页）A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的性质，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的
度数．
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平
行线的性质解答．
7．（4分）（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝
5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【分析】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x ＝5，x ＝﹣1，
1 2
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m
的值．
8．（4分）（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对
角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
第10页（共29页）③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】解：连接AC，MN，BD，它们交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题
的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
9．（4分）（2022•绍兴）已知（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x ＜
1 1 2 2 3 3 1
第11页（共29页）x ＜x ，则以下判断正确的是（ ）
2 3
A．若x x ＞0，则y y ＞0 B．若x x ＜0，则y y ＞0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x ＞0，则y y ＞0 D．若x x ＜0，则y y ＞0
2 3 1 3 2 3 1 2
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本
题．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3，
∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，
∵（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x ＜x ＜x ，
1 1 2 2 3 3 1 2 3
∴若x x ＞0，则x ，x 同号，但不能确定y y 的正负，故选项A不符合题意；
1 2 1 2 1 3
若x x ＜0，则x ，x 异号，但不能确定y y 的正负，故选项B不符合题意；
1 3 1 3 1 2
若x x ＞0，则x ，x 同号，但不能确定y y 的正负，故选项C不符合题意；
2 3 2 3 1 3
若x x ＜0，则x ，x 异号，则x ，x 同时为负，故y ，y 同时为正，故y y ＞0，故选项D符合
2 3 2 3 1 2 1 2 1 2
题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次
函数的性质解答．
10．（4分）（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，
在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩
下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则
剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出
剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：如右图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
第12页（共29页）则 ，
设DF＝x，CE＝y，
则 ，
解得 ，
∴DE＝CD+CE＝6+ ＝ ，故选项B不符合题意；
EB＝DF+AD＝ +2＝ ，故选项D不符合题意；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则 ，
设FC＝m，FD＝n，
则 ，
解得 ，
∴FD＝10，故选项C不符合题意；
BF＝FC+BC＝8+6＝14，
故选：A．
第13页（共29页）【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类
讨论的方法解答．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2022•绍兴）分解因式：x2+x＝ x （ x + 1 ） ．
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．（5分）（2022•绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是 x ＞ 1 ．
【分析】根据解一元一次不等式步骤即可解得答案．
【解答】解：∵3x﹣2＞x，
∴3x﹣x＞2，即2x＞2，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．
13．（5分）（2022•绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，
劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天
数是 2 0 ．
【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x+12），
即可解得良马20天追上劣马．
【解答】解：设良马x天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x+12），
解得x＝20，
答：良马20天追上劣马；
第14页（共29页）故答案为：20．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
14．（5分）（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长
为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 10 ° 或 100 ° ．
【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和
定理解答即可．
【解答】解：如图，点D即为所求；
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
由作图可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝ （180°﹣80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；
由作图可知：AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
故答案为：10°或100°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决
本题的关键是掌握基本作图方法．
第15页（共29页）15．（5分）（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右
平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝ （k≠0）的图象经过点C
和DE的中点F，则k的值是 6 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解答】解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝ DQ＝2，EG＝ EQ＝ ，
∴四边形HFGO的面积为2（a+ ），
∴k＝4a＝2（a+ ），
解得：a＝ ，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决
本题的关键．
16．（5分）（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD
第16页（共29页）＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE
的长是 5 或 ．
【分析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接
EJ．由tan∠CBT＝3＝ ，可以假设BT＝k，CT＝3k，证明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ
＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连
接EJ．
∵tan∠CBT＝3＝ ，
∴可以假设BT＝k，CT＝3k，
∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，
∴∠CAT＝∠JCD，
在△ATC和△CJD中，
，
∴△ATC≌△CJD（AAS），
∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，
第17页（共29页）∵∠CJD＝∠CED＝90°，
∴C，E，D，J四点共圆，
∵EC＝DE，
∴∠CJE＝∠DJE＝45°，
∴ET＝TJ＝10﹣2k，
∵CE2＝CT2+TE2＝（ CD）2，
∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[ • ]2，
整理得4k2﹣25k+25＝0，
∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，
∴k＝5和 ，
∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或 ，
故答案为：5或 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每
小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（2022•绍兴）（1）计算：6tan30°+（ +1）0﹣ ．
π
（2）解方程组： ．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，二次根式的性质与化简进
行计算即可；
（2）根据加减法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝6× +1﹣2
＝
＝1；
（2） ，
第18页（共29页）①+②得：3x＝6，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得：y＝0，
∴原方程组的解是 ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，二次根式的性质与化简，
解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握以上知识熟练运算．
18．（8分）（2022•绍兴）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时
长x（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所
收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表
组别 所需时长（小时） 学生人数（人）
A 0＜x≤0.5 15
B 0.5＜x≤1 m
C 1＜x≤1.5 n
D 1.5＜x≤2 5
（1）求统计表中m，n的值．
（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长
满足0.5＜x≤1.5的共有多少人．
【分析】（1）先求出被调查总人数，再根据扇形统计图求出m，用总人数减去A、B、D的人
数，即可得n的值；
（2）用被调查情况估计八年级800人的情况，即可得到答案．
【解答】解：（1）被调查总人数：15÷15%＝100（人），
∴m＝100×60%＝60（人），
n＝100﹣15﹣60﹣5＝20（人），
第19页（共29页）答：m为60，n为20；
（2）∵当0.5＜x≤1.5时，在被调查的100人中有60+20＝80（人），
∴在该校八年级学生800人中，每日完成书面作业所需时长满足0.5＜x≤1.5的共有800×
＝640（人），
答：估计共有640人．
【点评】本题考查统计图和统计表，解题的关键是掌握从图表中寻找“完整信息”从而求
出被调查的总数．
19．（8分）（2022•绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了
2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：
米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝kx+b
（k≠0），y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝ （k≠0）．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相
应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．
【分析】（1）根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数
表达式；
第20页（共29页）（2）结合（1）的函数表达式，代入值即可解决问题．
【解答】解：（1）函数的图象如图所示：
根据图象可知：选择函数y＝kx+b，
将（0，1），（1，2）代入，
得
解得
∴函数表达式为：y＝x+1（0≤x≤5）；
（2）当y＝5时，x+1＝5，
∴x＝4．
答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
20．（8分）（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的
天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标
竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上
日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市
地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即
∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距
离（即DB的长）为4米．
第21页（共29页）（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的
关系式，再解答即可．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中， ，
∴ ．
在Rt△ADC中， ，
∵BD＝4，
∴ ，
∴ ，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的
关键．
第22页（共29页）21．（10分）（2022•绍兴）如图，半径为6的 O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于
点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD． ⊙
（1）若∠ACB＝20°，求 的长（结果保留 ）．
（2）求证：AD平分∠BDO． π
【分析】（1）连结OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧长公式即得 的长为 ；
（2）根据AB切 O于点A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即
可得∠ADB＝∠⊙ODA，从而AD平分∠BDO．
【解答】（1）解：连结OA，如图：
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴ ＝ ＝ ；
（2）证明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AB切 O于点A，
∴OA⊥A⊙B，
∵∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠OAD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ODA，
第23页（共29页）∴AD平分∠BDO．
【点评】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的
性质．
22．（12分）（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交
BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得
△APD，连结DC，记∠BCD＝ ．
（1）如图，当P与E重合时，求α 的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAαD＝ ，探究 与 的数量关系．
β α β
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，
即得∠ACD＝∠ADC＝65°，从而 ＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
（2）分两种情况：①当点P在α线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣ ，根据
∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2 ﹣ ＝50°；②当点P在线段CE上时，α延长AD
交 BC 于点 F，由∠ADC＝∠ACD＝90α°﹣β ，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝
∠ABC+∠BAD可得90°﹣ ＝40°+ + ，2 +α＝50°．
【解答】解：（1）∵∠B＝α 40°，∠αAβCB＝α90β°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，
∴ ＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
答α： 的度数为25°；
（2）α①当点P在线段BE上时，如图：
第24页（共29页）∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝ ，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝α∠ACD＝90°﹣ ，
又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+α∠BCD，∠BAD＝ ，∠B＝40°，
∴（90°﹣ ）+ ＝40°+ ， β
∴2 ﹣ ＝α50°，β α
②如α图β2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝ ，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝α∠ACD＝90°﹣ ，
又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCαD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+ + ，
∴90°﹣ ＝40°+ + ， β α
∴2 + ＝α50°； α β
综上α所β述，当点P在线段BE上时，2 ﹣ ＝50°；当点P在线段CE上时，2 + ＝50°．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉α及轴β对称变换，三角形外角等于不相邻α的β两个内角
第25页（共29页）的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形内角和定理．
23．（12分）（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，
﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y
的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝ 或m＝ （舍去）．
综上所述，m＝﹣2或 ．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确
分类讨论得出m的取值范围是解题关键．
24．（14分）（2022•绍兴）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边
AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
第26页（共29页）（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理
由．
（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知∠AEB＝∠MEB＝45°，从而得出答案；
（2）根据对称性得，∠ENC＝∠BDC，则cos∠ENC＝ ，得EN＝ ，利用HL证明
Rt△BMN≌Rt△DCB，得∠DBC＝∠BNM，则MN∥BD；
（3）当E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM≌△CED，得DE＝MC，
当点E在边CD上时，利用△BMC∽△CNE，则 ，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵DE＝2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°．
（2）如图2，∵AB＝6，AD＝8，
第27页（共29页）∴BD＝10，
∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cos∠ENC＝ ，
得EN＝ ，
∴DE＝EN＝ ．
∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC＝∠BNM，
∴MN∥BD．
（3）如图3，当E在边AD上时，
∴∠BMC＝90°，
∴MC＝ ．
第28页（共29页）∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED（AAS），
∴DE＝MC＝ ．
如图4，点E在边CD上时，
∵BM＝6，BC＝8，
∴MC＝ ，CN＝8﹣ ．
∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴ ，
∴EN＝ ，
∴DE＝EN＝ ．
综上所述，DE的长为 或 ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定
与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨
论思想是解题的关键．
第29页（共29页）
