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2022年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意
的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•长沙）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣6 C． D．6
2．（3分）（2022•长沙）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•长沙）下列说法中，正确的是（ ）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
4．（3分）（2022•长沙）下列计算正确的是（ ）
A．a7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1
C．3a2•2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）（2022•长沙）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）
6．（3分）（2022•长沙）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育
课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，
4．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
7．（3分）（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校
园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为
10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（
第1页（共29页））
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
8．（3分）（2022•长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．105°
9．（3分）（2022•长沙）如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的
度数为（ ） ⊙
A．32° B．52° C．64° D．72°
10．（3分）（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．
若AB＝2 ，则AM的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
第2页（共29页）11．（3分）（2022•长沙）若式子 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
．
12．（3分）（2022•长沙）分式方程 的解为 ．
13．（3分）（2022•长沙）如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中
点，若OA＝7，则BC的长为 ⊙．
14．（3分）（2022•长沙）关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个不相等的实数根，则实数t
的值为 ．
15．（3分）（2022•长沙）为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体
1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计
该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有 名．
16．（3分）（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等
特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区
“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个
“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错
码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学
知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、
23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
第3页（共29页）或演算步骤）
17．（6分）（2022•长沙）计算：|﹣4|+（ ）﹣1﹣（ ）2+20350．
18．（6分）（2022•长沙）解不等式组： ．
19．（6分）（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公
司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD
＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
20．（8分）（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某
校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞
赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛
成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分 频数 频率
60≤x＜ 15 0.1
70
70≤x＜ a 0.2
80
80≤x＜ 45 b
90
90≤x＜ 60 c
100
（1）表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名
学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的
概率．
第4页（共29页）21．（8分）（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
22．（9分）（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三
百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是
一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，
狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答
下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十
九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题
后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数
第5页（共29页）量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
23．（9分）（2022•长沙）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD； ▱
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝ ，AO＝2，求BD的长及四边形
ABCD的周长．
24．（10分）（2022•长沙）如图，四边形ABCD内接于 O，对角线AC，BD相交于点E，点F在
边AD上，连接EF． ⊙
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当 ＝ ，∠DFE＝2∠CDB时，则 ﹣ ＝ ； + ＝ ； +
﹣ ＝ ．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S ，S ，若满足 ＝ + ，
1 2
试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当 ＝ ，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE．
25．（10分）（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣ ≤x≤t+ 时，函数y的最大值为M，最小
第6页（共29页）值为N，令函数h＝ ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝ （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函
数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共29页）2022年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意
的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•长沙）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣6 C． D．6
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【解答】解：﹣6的相反数是6，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．（3分）（2022•长沙）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图是从前往后得到的正投影．
【解答】解：根据主视图的概念，可知选B，
故选：B．
【点评】本题考查三视图的概念，掌握概念是解题的关键．
3．（3分）（2022•长沙）下列说法中，正确的是（ ）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，逐一判断即可解
答．
第8页（共29页）【解答】解：A、调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故A符合题意；
B、“太阳东升西落”是必然事件，故B不符合题意；
C、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故C不符
合题意；
D、任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故D不符合
题意；
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，熟练掌握
这些数学概念是解题的关键．
4．（3分）（2022•长沙）下列计算正确的是（ ）
A．a7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1
C．3a2•2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全
平方公式对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
【解答】解：∵a7÷a5＝a7﹣5＝a2，
∴A的计算正确；
∵5a﹣4a＝a，
∴B的计算不正确；
∵3a2•2a3＝6a5，
∴C选项的计算不正确；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项的计算不正确，
综上，计算正确的是A，
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的
法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键．
5．（3分）（2022•长沙）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直
接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（5，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣
第9页（共29页）5，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以
结合平面直角坐标系的图形．
6．（3分）（2022•长沙）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育
课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，
4．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
【分析】这7个数据中出现次数最多的数据为众数是3，中位数是把这组数据按从小到大
的顺序排，位于中间的数据是4．
【解答】解：∵这7个数据中出现次数最多的数据是3，
∴这组数据的众数是3．
把这组数据按从小到大顺序排为：
3，3，3，4，4，5，6，
位于中间的数据为4，
∴这组数据的中位数为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，
中位数是指将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，
则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平
均数这这组数据的中位数．
7．（3分）（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校
园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为
10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（
）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【分析】直接利用乙的单价×乙的本书＝乙的费用，进而得出答案．
【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本书是解题关键．
第10页（共29页）8．（3分）（2022•长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．105°
【分析】根据平行线性质，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DGE＝75°．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠DGE＝∠BAE＝75°，
∵AE∥CF，
∴∠DCF＝∠DGE＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
9．（3分）（2022•长沙）如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的
度数为（ ） ⊙
A．32° B．52° C．64° D．72°
【分析】利用切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后利用四边形内角和是360°，进行
计算即可解答．
【解答】解：∵PA，PB是 O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，⊙
∵∠AOB＝128°，
第11页（共29页）∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝52°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．（3分）（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．
若AB＝2 ，则AM的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】证明△AMB是等腰直角三角形，即可得到答案．
【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，
∴DA＝DM＝DB，
∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，
∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，
∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，
∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝ AB＝ ×2 ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图证明△AMB是等腰
直角三角形．
第12页（共29页）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2022•长沙）若式子 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
x ≥ 19 ．
【分析】根据二次根式 （a≥0），可得x﹣19≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣19≥0，
解得：x≥19，
故答案为：x≥19．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 （a≥0）是解题的关键．
12．（3分）（2022•长沙）分式方程 的解为 x ＝ 2 ．
【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为
整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x（x+3），得
2（x+3）＝5x，
解得x＝2．
检验：把x＝2代入x（x+3）＝10≠0，即x＝2是原分式方程的解．
故原方程的解为：x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思
想”，把分式方程转化为整式方程求解，②解分式方程一定注意要验根．
13．（3分）（2022•长沙）如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中
点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．⊙
【分析】根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．
【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
第13页（共29页）∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理内
容．
14．（3分）（2022•长沙）关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个不相等的实数根，则实数t
的值为 t ＜ 1 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝22﹣4×1×t＞0，然后解不等式求出m的取
值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即22﹣4×1×t＞0，
解得t＜1，
故答案为：t＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）（2022•长沙）为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体
1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计
该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有 95 0 名．
【分析】用总人数乘以样本中知晓“强省会战略”的人数所占比例即可得．
【解答】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有：1000× ＝950
（名）．
故答案为：950．
【点评】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的
第14页（共29页）关键．
16．（3分）（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等
特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区
“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个
“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错
码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学
知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是 DDDD ， （填写网名字母代号）．
【分析】由乘方的定义可知，2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘；通过计算可得2n
的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定2200的个位数字是6；由积的乘方运算可得2200
＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，由此可得2200＞1060，从而可求解．
【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘，
∴YYDS（永远的神）的说法正确；
∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，
∴2200不等于2002，
∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的尾数2，4，8，6循环，
∵200÷4＝50，
∴2200的个位数字是6，
∴JXND（觉醒年代）说法正确；
∵210＝1024，103＝1000，
∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，
∵1024＞1000，
∴2200＞1060，
∴QGYW（强国有我）说法正确；
第15页（共29页）故答案为：DDDD．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律
是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、
23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
17．（6分）（2022•长沙）计算：|﹣4|+（ ）﹣1﹣（ ）2+20350．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣4|+（ ）﹣1﹣（ ）2+20350
＝4+3﹣2+1
＝6．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式
是解题的关键．
18．（6分）（2022•长沙）解不等式组： ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
19．（6分）（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公
司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD
＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
第16页（共29页）【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝ BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
【点评】本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键．
20．（8分）（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某
校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞
赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛
成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分 频数 频率
60≤x＜ 15 0.1
70
70≤x＜ a 0.2
80
80≤x＜ 45 b
90
90≤x＜ 60 c
100
第17页（共29页）（1）表中a＝ 3 0 ，b＝ 0. 3 ，c＝ 0. 4 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名
学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的
概率．
【分析】（1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c
即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生
的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）补全频数分布直方图如下：
第18页（共29页）（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状
图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°
＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；
（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC ＝S△ADC ，求出S△ABC ＝ AB•BC＝6，即
可得四边形ABCD的面积是12．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
第19页（共29页），
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC ＝S△ADC ，
∴S△ABC ＝ AB•BC＝ ×4×3＝6，
∴S△ADC ＝6，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ADC ＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
22．（9分）（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三
百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是
一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，
狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答
下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十
九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题
后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． √
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． ×
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． ×
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数
量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
【分析】（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗有（300﹣3x）条，可得75＜x＜
100，又x为奇数，即知x可取77，79，81......99，共12个，从而可判断①正确，②③错误；
（2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗有n条，可得： ，即可解得
“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条．
【解答】解：（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗有（300﹣3x）条，
第20页（共29页）根据题意得： ，
解得75＜x＜100，
∵x为奇数，
∴x可取77，79，81......99，共12个，
∴①正确，②③错误，
故答案为：√，×，×；
（2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗有n条，
根据题意得： ，
解得 ，
答：“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条．
【点评】本题考查不等式组及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等
式组和方程组．
23．（9分）（2022•长沙）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD； ▱
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝ ，AO＝2，求BD的长及四边形
ABCD的周长．
【分析】（1）由菱形的判定得 ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得O▱D＝2EF＝3，再由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，
AC⊥BD，BD＝2OD＝6，然后由勾股定理得AD＝ ，即可求出菱形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，
∴▱AC⊥BD；
第21页（共29页）（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝3，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝ ，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4 ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股
定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（10分）（2022•长沙）如图，四边形ABCD内接于 O，对角线AC，BD相交于点E，点F在
边AD上，连接EF． ⊙
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当 ＝ ，∠DFE＝2∠CDB时，则 ﹣ ＝ 0 ； + ＝ 1 ； + ﹣
＝ 0 ．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S ，S ，若满足 ＝ + ，
1 2
试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当 ＝ ，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；
（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得AE•CE＝BE•DE，即可得出 ﹣ ＝0，
根据已知条件可得EF∥AB，FA＝FE，即可得出△DFE∽△DAB，根据相似三角形的性质
第22页（共29页）可得 ＝ ，根据恒等式变形，进而即可求解；
（3）①记△ADE、△EBC的面积为S ，S ，则S＝S +S +S +S ，S S ＝S S ，根据已知条件可
3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
得S
3
＝S
4
，进而可得S△ABD ＝S△ADC ，得出CD∥AB，结合同弧所对的圆周角相等即可证明
△ABE、△DCE是等腰三角形；
②证明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质，得出EA•AC+CE•AC
＝AC2＝mn+p2则AC＝ ，．EC＝ ＝ ，AE＝AC﹣CE＝ ，计
算AE•CE即可求解．
【解答】（1）证明：∵ ，
∴∠ACD＝∠ABD，即∠ABE＝∠DCE，
又∵∠DEC＝∠AEB，
∴△ABE∽△DCE；
（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE•CE＝BE•DE，
∴ ﹣ ＝ ＝0，
∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝∠DAB＝2∠CDB，
又∵∠DFE＝2∠CDB，
∴∠DFE＝∠DAB，
∴EF∥AB，
∴∠FEA＝∠EAB，
∵ ＝ ，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴FA＝FE，
∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB，
第23页（共29页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝1，
∵ + ＝ ＝1，
∴ + ＝1，
∴ ＝0，
故答案为：0，1，0；
（3）解：①△ABE，△DCE都为等腰三角形，
理由：记△ADE、△EBC的面积为S 、S ，
3 4
则S＝S
1
+S₂+S
3
+S
4
，
∵ ＝ ＝ ，
∴S S ＝S S ①，
1 2 3 4
∵ ，
即S＝S +S +2 ，
1 2
∴S +S ＝2 ②，
3 4
由①②可得 ，
即（ ﹣ ）2＝0，
∴S ＝S ，
3 4
∴S△ABE +S△ADE ＝S△ABE +S△EBC ，
即S△ABD ＝S△ADC ，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠DBA，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠CAB，
第24页（共29页）∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB，
∴△ABE，△DCE都为等腰三角形；
②∵ ＝ ，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵∠DCA＝∠EBA，
∴△DAC∽△EAB，
∴ ＝ ，
∵AB＝m，AD＝n，CD＝p，
∴EA•AC＝DA×AB＝mn，
∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠CDE＝∠CAD，
又∠ECD＝∠DCA，
∴△DCE∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴EA•AC+CE•AC＝AC2＝mn+p2，
则AC＝ ，．EC＝ ＝ ，
∴AE＝AC﹣CE＝ ，
∴AE•CE＝ ．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解
题的关键．
25．（10分）（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣ ≤x≤t+ 时，函数y的最大值为M，最小
值为N，令函数h＝ ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
第25页（共29页）（2）若函数y＝ （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函
数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；
②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+ k+b，N＝kt﹣ k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt
﹣ k+b，有N＝kt+ k+b，h＝﹣k；
（2）分两种情况讨论：当t﹣ ≥1时，M＝ ，N＝ ，则h＝ ，所以h有最大
值 ；当t﹣ ＜1，t+ ≥1时，M＝2，N＝ ，则h＝1﹣ ，可求h的取值为0≤h＜
，从而可得h的最大值为 ；
（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣ 时，M＝﹣（t﹣ ﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+ ﹣2）2+4+k，
h＝t﹣2，由题意可得 ＝4+k，解得k＝﹣ ；②当t+ ≤2时，N＝﹣（t﹣ ﹣2）2+4+k，M
＝﹣（t+ ﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，由题意可得 ＝4+k，解得k＝﹣ ；③当t﹣ ≤2≤t，即
2≤t≤ ，
N＝﹣（t+ ﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝ （t﹣ ）2，由题意可得 ＝4+k，解得k＝﹣ ；④
当t＜2≤t+ ，N＝﹣（t﹣ ﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝ （t﹣ ）2，由题意可得 ＝4+k，解
得k＝﹣ ．
【解答】解：（1）①∵t＝1，
第26页（共29页）∴ ≤x≤ ，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣ ≤x≤t+ 有最大值M＝kt+ k+b，有最小值N＝kt﹣
k+b，
∴h＝k；
当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣ ≤x≤t+ 有最大值M＝kt﹣ k+b，有最小值N＝kt+
k+b，
∴h＝﹣k；
综上所述：h＝±k；
（2）当t﹣ ≥1时，t≥ ，
函数y＝ （x≥1）最大值M＝ ，最小值N＝ ，
∴h＝ ，
当t＝ 时，h有最大值 ；
当t﹣ ＜1，t+ ≥1时，即 ≤t＜ ，
函数y＝ （x≥1）最大值M＝2，最小值N＝ ，
∴h＝1﹣ ，
∴0≤h＜ ，
∴h的最大值为 ；
第27页（共29页）（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t﹣ 时，即t≥ ，
此时M＝﹣（t﹣ ﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+ ﹣2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
∴h的最小值为 ，
由题意可得 ＝4+k，
解得k＝﹣ ；
②当t+ ≤2时，即t≤ ，
此时N＝﹣（t﹣ ﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+ ﹣2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
∴h的最小值为 ，
由题意可得 ＝4+k，
解得k＝﹣ ；
③当t﹣ ≤2≤t，即2≤t≤ ，
此时N＝﹣（t+ ﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝ （t﹣ ）2，
∴h的最小值为 ，
由题意可得 ＝4+k，
第28页（共29页）解得k＝﹣ ；
④当t＜2≤t+ ，即 ≤t＜2，
此时N＝﹣（t﹣ ﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝ （t﹣ ）2，
h的最小值为 ，
由题意可得 ＝4+k，
解得k＝﹣ ；
综上所述：k的值为﹣ 或﹣ ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根
据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是
解题的关键．
第29页（共29页）
