文档内容
2022年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
2．（4分）（2022•宜宾）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形
是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）（2022•宜宾）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．（﹣a3）2＝a6 C．a3÷a2＝a D．a2•a3＝a5
4．（4分）（2022•宜宾）某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七
位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分
别是（ ）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
5．（4分）（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点
E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
第1页（共31页）A．5 B．10 C．15 D．20
6．（4分）（2022•宜宾）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功
着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥
五号带回的玄武岩形成的年龄为20.30±0.04亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年
龄最小的为（单位：年）（ ）
A．2.034×108 B．2.034×109 C．2.026×108 D．2.026×109
7．（4分）（2022•宜宾）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合
理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问
原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝3 B． ﹣ ＝3
C． ﹣ ＝3 D． ﹣ ＝3
8．（4分）（2022•宜宾）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1
9．（4分）（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到
△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的
值为（ ）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
11．（4分）（2022•宜宾）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），
若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
第2页（共31页）A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤
12．（4分）（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：
①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则 ＝ ；④在△ABC内存在唯一
一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+
．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横
线上．
13．（4分）（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝ ．
14．（4分）（2022•宜宾）不等式组 的解集为 ．
15．（4分）（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，
AF＝2，CF＝3，则EF＝ ．
16．（4分）（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了
已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，
自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上
第3页（共31页）这段文字写成公式，即为S＝ ．现有周长为18的三角形
的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
17．（4分）（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的
面积为49，则大正方形的面积为 ．
18．（4分）（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝ （x＞0）
的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的
值为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（2022•宜宾）计算：
（1） ﹣4sin30°+| ﹣2|；
（2）（1﹣ ）÷ ．
20．（10分）（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝
EF．求证：AD＝CF．
第4页（共31页）21．（10分）（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们
的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），
选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统
计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同
学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男
一女同学去参加读书交流活动的概率．
22．（10分）（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，
新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学
小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的
斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精
确到1米．参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
第5页（共31页）23．（12分）（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于
点B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
24．（12分）（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的 O上一点，点D是AB的延长线上一
点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于⊙点G，交DC的延长线于点E，且EG＝
EC．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝ ，求EC的长．
第6页（共31页）25．（14分）（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y
轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、
AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动
点，求PF+ PM的最小值．
第7页（共31页）2022年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的
平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平
方根是0；负数没有平方根．
2．（4分）（2022•宜宾）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层是三个相邻的小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：D．
第8页（共31页）【点评】本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体得到的图形．
3．（4分）（2022•宜宾）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．（﹣a3）2＝a6 C．a3÷a2＝a D．a2•a3＝a5
【分析】利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法则逐个计算，根据计算结
果得结论．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3≠2a6，故选项A计算不正确；
B．（﹣a3）2＝a6，故选项B计算正确；
C．a3÷a2＝a，故选项C计算正确；
D．a2•a3＝a5，故选项D计算正确．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方
法则是解决本题的关键．
4．（4分）（2022•宜宾）某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七
位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分
别是（ ）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为88，91，93，94，95，95，97，
所以这组数据的众数是95，中位数是94．
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据
叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，
则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（4分）（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点
E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
第9页（共31页）A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四
边形的性质可以证明 AFDE的周长等于AB+AC．
【解答】解：∵DE∥▱AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
∴ AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．
故▱选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性
质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
6．（4分）（2022•宜宾）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功
着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥
五号带回的玄武岩形成的年龄为20.30±0.04亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年
龄最小的为（单位：年）（ ）
A．2.034×108 B．2.034×109 C．2.026×108 D．2.026×109
【分析】先求出此玄武岩形成的年龄最小值，再运用科学记数法进行表示．
【解答】解：∵20.30﹣0.04＝20.26（亿），
且20.26亿＝2026000000＝2.026×109，
故选：D．
【点评】此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解相关知识，并
能进行相关计算．
7．（4分）（2022•宜宾）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合
理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问
原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝3 B． ﹣ ＝3
C． ﹣ ＝3 D． ﹣ ＝3
第10页（共31页）【分析】设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成（x+2）套，根据原计划完成的时间﹣
实际完成的时间＝3天列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成（x+2）套，
根据原计划完成的时间﹣实际完成的时间＝3天得： ﹣ ＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据原计划完成的时间﹣实际完成的时
间＝3天列出方程是解题的关键．
8．（4分）（2022•宜宾）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1
【分析】根据根的判别式即可列不等式，计算即可得答案，注意a≠0．
【解答】解：由题意可得： ，
∴a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式．
9．（4分）（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到
△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在
Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
第11页（共31页）由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝ ，
∴cos∠ADF＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是
利用矩形和折叠的性质得到DF＝BF．
10．（4分）（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的
值为（ ）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n
＝﹣2，mn＝﹣5，而m是方程的一个根，可得 m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，那么
m2+mn+2m＝m2+2m+mn，再把m2+2m、m+n的值整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0
（a ≠0）两根x 、x 之间的关系：x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
11．（4分）（2022•宜宾）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），
若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
第12页（共31页）A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤
【分析】把A、B两点坐标代入二次函数解析式，用a表示b、c，进而把抛物线的解析式用a
表示，设抛物线在x轴下方一点P的横坐标为t，由CP≥ AB，列出a与t的不等式式，进
而根据不等式的性质求得结果．
【解答】解：把A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
设P（t，a（t﹣1）2﹣9a）为x轴下方的抛物线上的点，则﹣2＜t＜4，
设C为AB的中点，则C（1，0），
∵以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，
∴CP≥ ，即CP≤3，
∴（t﹣1）2+[a（t﹣1）2﹣9a]2≥9，
∴ ，
∴a≤﹣ 或a≥ ，
∵以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，
∴抛物线开口向上，即a＞0，
∴a≥ ，
∵ ，即 ，
∴a≥ ．
故选：A．
第13页（共31页）【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，点与圆的位置关系的应用，关键是根据
点与圆的位置关系列出不等式．
12．（4分）（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：
①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则 ＝ ；④在△ABC内存在唯一
一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+
．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS），可得结论；
②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝ m，OA＝ m，过点C作CJ⊥DF于点J，
求出AO，CJ，可得结论；
④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M
共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设
PD＝t，则BD＝AD＝ t，构建方程求出t，可得结论．
【解答】解：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
第14页（共31页）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△DAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠AEC+∠ADC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC＝∠CED，故②正确，
设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝ m，OA＝ m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵tan∠CDF＝ ＝ ＝2，
∴CJ＝ m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO∥CJ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
第15页（共31页）∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝
120°，PB＝PC，AD⊥BC，
∴∠BPD＝∠CPD＝60°，
设PD＝t，则BD＝AD＝ t，
∴2+t＝ t，
∴t＝ +1，
∴CE＝BD＝ t＝3+ ，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定
理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，
属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横
线上．
13．（4分）（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝ x （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
14．（4分）（2022•宜宾）不等式组 的解集为 ﹣ 4 ＜ x ≤﹣ 1 ．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解： ，
第16页（共31页）解不等式①，得：x≤﹣1，
解不等式②，得：x＞﹣4，
故原不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1，
故答案为：﹣4＜x≤﹣1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方
法．
15．（4分）（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，
AF＝2，CF＝3，则EF＝ ．
【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出
EF的长度．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，
∴ ，
∴EF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件求证△AEF∽△ABC是解决
问题的关键．
16．（4分）（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了
已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，
自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上
第17页（共31页）这段文字写成公式，即为S＝ ．现有周长为18的三角形
的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 3 ．
【分析】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可．
【解答】解：根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，
则4k+3k+2k＝18，
解得：k＝2，
∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，
∴S＝ ＝ ＝3 ，
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则
的熟练掌握．
17．（4分）（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的
面积为49，则大正方形的面积为 28 9 ．
【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内
切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式
进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE＝OD＝3＝ ，
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
第18页（共31页）∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，
∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代人②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
故答案为：289．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时
也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
18．（4分）（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝ （x＞0）
的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的
值为 9 ．
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC＝b，通过解直角三角
第19页（共31页）形和等边三角形的性质用b表示出A、B两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出
b的方程求得b，便可求得k的值．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，
设OC＝b，则BC＝ ，OB＝2b，
∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b， b），
∵∠M＝60°，AB⊥OM，
∴AM＝2BM＝20﹣2b，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，
∵∠AND＝60°，
∴DN＝ ＝b﹣5，AD＝ AN＝ b﹣5 ，
∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，
∴A（15﹣b， b﹣5 ），
∵A、B两点都在反比例函数数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝（15﹣b）（ b﹣5 ）＝b• b，
解得b＝3或5，
当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b＝3，
∴k＝b• b＝9 ，
故答案为：9 ．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，关
键是列出b的方程．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第20页（共31页）19．（10分）（2022•宜宾）计算：
（1） ﹣4sin30°+| ﹣2|；
（2）（1﹣ ）÷ ．
【分析】（1）先计算二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后计算加减；
（2）先计算括号里面的，再变除法为乘法进行分式的乘法运算．
【解答】解：（1） ﹣4sin30°+| ﹣2|
＝2 ﹣4× +2﹣
＝2 ﹣2+2﹣
＝ ；
（2）（1﹣ ）÷
＝（ ）．
＝
＝a﹣1．
【点评】此题考查了实数与分式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序与方法，并
能进行正确的计算．
20．（10分）（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝
EF．求证：AD＝CF．
【分析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF．
在△ABC和△DEF中，
，
第21页（共31页）∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF，
∴AC﹣DC＝DF﹣DC，
即：AD＝CF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，准确利用全等三角形
的判定定理解答是解题的关键．
21．（10分）（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们
的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），
选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统
计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同
学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男
一女同学去参加读书交流活动的概率．
【分析】（1）根据选择A类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级（1）班的人数，求
出选择C类书籍的人数，补全条形统计图；
（2）求出选择B类书籍的人数，求出m；
（3）根据题意画出画树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m%＝ ×100%＝40%，
则m＝40；
第22页（共31页）（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女）＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是求随机事件的概率、条形统计图和扇形统计图，能够正确从统计图
中获取相关的信息是解题的关键．
22．（10分）（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，
新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学
小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的
斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精
确到1米．参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
第23页（共31页）【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以得到AF和BF的值，然后根据题目中的数据，
可以计算出DE的值．
【解答】解：由已知可得，
tan∠BAF＝ ＝ ，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，
设BF＝7a米，AF＝24a米，
∴（7a）2+（24a）2＝252，
解得a＝1，
∴AF＝24米，BF＝7米，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，
设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，
∵tan∠DBE＝ ＝ ，
∴tan60°＝ ，
解得x≈40，
答：东楼的高度DE约为40米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
23．（12分）（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于
点B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
第24页（共31页）【分析】（1）求出A，B两点坐标，代入直线的解析式求出a，b，再求出点C的坐标，求出k
即可；
（2）构建方程组求出点D的坐标，再利用割补法求出三角形面积．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝ ＝2，
∵A（4，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∴B（0，8），
∵A，B两点在直线y＝ax+b上，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵BC＝3AC，
∴AB＝4AC，
∴CE∥OB，
∴ ＝ ＝ ，
∴CE＝2，
∴C（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
第25页（共31页）（2）由 ，解得 或 ，
∴D（1，6），
过点D作DF⊥y轴于点F，
∴S△OCD ＝S△AOB ﹣S△BOD ﹣S△COA
＝ •OA•OB﹣ •OB•DF﹣ •OA•CE
＝ ×4×8﹣ ×8×1﹣ ×4×2
＝8
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点，解直角三角形等知识，解题的关键是熟
练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
24．（12分）（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的 O上一点，点D是AB的延长线上一
点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于⊙点G，交DC的延长线于点E，且EG＝
EC．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝ ，求EC的长．
第26页（共31页）【分析】（1）要证明DE是 O的切线，只要证明OC⊥CD即可，根据题目中的条件和等腰
三角形的性质、直角三角⊙形的性质，可以得到∠OCD＝90°，从而可以证明结论成立；
（2）根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得DE和CD的长，从而可以
得到EC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵EF⊥AB，AB为 O的切线，
∴∠GFA＝90°，∠⊙ACB＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠AGF＝∠ABC，
∵EG＝EC，OC＝OB，
∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，
又∵∠AGF＝∠EGC，
∴∠ECG＝∠BCO，
∵∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ECG+∠ACO＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴DE是 O的切线；
（2）解：⊙由（1）知，DE是 O的切线，
∴∠OCD＝90°， ⊙
∵BD＝4，sin∠D＝ ，OC＝OB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得OC＝2，
∴OD＝6，
∴DC＝ ＝ ＝4 ，
∵点E为OA的中点，OA＝OC，
∴OF＝1，
∴DF＝7，
第27页（共31页）∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，
∴△EFD∽△OCD，
∴ ，
即 ，
解得DE＝ ，
∴EC＝ED﹣DC＝ ﹣4 ＝ ，
即EC的长是 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定，解答本题的关键是
明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．（14分）（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y
轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、
AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动
点，求PF+ PM的最小值．
第28页（共31页）【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
（2）过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE（AAS），推出OA＝FG＝3，设F（m，
﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），可得FG＝|m﹣1|＝3，推出m＝﹣2或m＝4，即可解
决问题；
（3）由题意，M（1，﹣1），F（4，﹣5），F（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F F
1 2 1 2
交对称轴于点H，连接F M，F M，过点F 作F N⊥F M于点N，交对称轴于点P，连接
1 2 2 2 1
PF ．则MH＝4，HF ＝3，MF ＝5，证明PN＝ PM，由PF ＝PF ，推出PF+ PM＝
1 1 1 2 1
PF +PN＝FN 为最小值．
1 2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC是解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得 ，
∴ ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
第29页（共31页）过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F （﹣2，﹣5），
1
当m＝时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F （4，﹣5）
2
综上所述，满足条件点点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由题意，M（1，﹣1），F（4，﹣5），F（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F F
1 2 1 2
交对称轴于点H，连接F M，F M，过点F 作F N⊥F M于点N，交对称轴于点P，连接
1 2 2 2 1
PF ．则MH＝4，HF ＝3，MF ＝5，
1 1 1
在Rt△MHF 中，sin∠HMF ＝ ＝ ，则在RtMPN中，sin∠PMN＝ ＝ ，
1 1
∴PN＝ PM，
第30页（共31页）∵PF ＝PF ，
2 1
∴PF+ PM＝PF +PN＝FN 为最小值，
1 2
∵ ＝ ×6×4＝ ×5×F N，
2
∴F N＝ ，
2
∴PF+ PM的最小值为 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解
直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程
解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
第31页（共31页）
