文档内容
2025 年河南省中考题数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题
卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个
是正确的）
1．在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作 个，那么该队失3个球记作（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只
有 ，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量
内角的度数为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点均在网格线的交点
上，点D、E分别是边 、 与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
7．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有
甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四
张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和
“山”的概率是（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
9．如图，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，将 沿
折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化
而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数 与车速 之间的函数关系如图所示．下
列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不低于
D．若车速从 增大到 ，则这款轮胎的摩擦系数减小
二、填空题（每小题3分，共15分）
试卷第3页，共3页11．请写出一个使 在实数范围内有意义的 的值： ．
12．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机
抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 ，则这
两种小麦长势更整齐的是 （填“甲”或“乙”）．
13．观察 ，根据这些式子的变化规律，可得第 个式子为
．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究
“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与
相切于点 ，连接 ， ，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分
的面积为 ．
15．定义：有两个内角的差为 的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在 中，
， ，点 为边 上一点，若 为“反直角三角形”，则 的长
为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算： ；
（2）化简： ．
试卷第4页，共3页17．为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全
国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八
年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优
秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
年级
统计
量 七年 八年
级 级
平均
7.86 7.86
数
中位
a 8
数
众数 7 b
优秀
c
率
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表格中的 ________， ________， _________．
(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
18．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 中，其中含 角的三角板
的直角边 落在 轴上，含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比
例函数 的图象经过点 ．
试卷第5页，共3页(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板 绕点 顺时针旋转 边上的点 恰好落在反比例函数图象上，求旋
转前点 的坐标．
19．如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
20．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．
已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售
价之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹
果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
21．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园
南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
试卷第6页，共3页实物图和测量示意图
如图，纪念碑 位于有台阶的平台 上，太阳光下，其顶端
的影子落在点 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的
测量说明 影子落在点 处，位于点 处的观测者眼睛所在位置为点 ，
点 在一条直线上，纪念碑底部点 在观测者的水平视线
上．
测量数据
备注 点 在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子 的长和标杆 的长相等，可得 ，请说明理由．
(2)求纪念碑 的高度．
(3)小红通过间接测量得到 的长，进而求出纪念碑 的高度约为 ．查阅资料得知，
纪念碑的实际高度为 ．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误
差较大的可能原因（写出一条即可）．
22．在二次函数 中， 与 的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
试卷第7页，共3页(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最大值
与最小值的差为5，请直接写出 的值．
23．在 中，点 是 的平分线上一点，过点 作 ，垂足为点 ，过
点 作 ，垂足为点 ，直线 交于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．
(1)观察猜想
如图1，当 为锐角时，用等式表示线段 的数量关系：__________．
(2)类比探究
如图2，当 为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结
论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
(3)拓展应用
当 ，且 时，若 ，请直接写出 的值．
试卷第8页，共3页1．B
【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数
记为正，则失球数应记为负，据此求解即可．
【详解】解：如果某班足球队进4个球记作 个，那么该队失3个球记作 个，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关
键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．
【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般
形式为 ，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n
的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，
，再利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：由量角器可知， ，
，
即所量内角的度数为 ，
故选：C．
答案第1页，共2页5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握 ，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根； ，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方
程根的判别式求解即可．
【详解】解：一元二次方程 ，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出 是
的中位线是解题关键．取格点 、 ，由网格的性质可知， ，得到 ，
，进而证明 是 的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，取格点 、 ，
由网格的性质可知， ，
， ，
、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分
母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可．
答案第2页，共2页【详解】解：
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡
片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为 ．
故选：B．
9．D
【分析】由折叠的性质可知， ， ，再根据菱形的性质，得出
，从而求出 ，则 ，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知， ， ，
在菱形 中， ，
， ，
，
，
答案第3页，共2页，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分
母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮
胎的摩擦系数 与车速 之间的函数关系图，逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，当 时， ，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数
为 ，原说法正确，不符合题意；
B、由图象可知，当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，
不符合题意；
C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不高于 ，原说法错误，符合题意；
D、由图象可知，当 时， ；当 时， ，即车速从 增大到
，则这款轮胎的摩擦系数减小 ，原说法正确，不符合题意；
故选：C
11．3（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数
是解题的关键．根据二次根式有意义得到 求解，取恰当的值即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
∴使 在实数范围内有意义的 的值可以为 ；
故答案为：3（答案不唯一）．
12．甲
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定
性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解．
答案第4页，共2页【详解】解： 两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 ，
，
两种小麦长势更整齐的是甲，
故答案为：甲．
13．
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式
子，得到第 个式子为 ，即可得到答案．
【详解】解：第1个式子： ，
第2个式子： ，
第3个式子： ，
第4个式子： ，
……
观察发现，第 个式子为 ，
故答案为：
14．
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到 ，由垂径定理可得
，由圆周角定理可得 ，进而证明 是等边三角形，得到
，再根据阴影部分的面积 求解即可．
【详解】解： 所在圆的圆心为点O，边 与 相切于点 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
答案第5页，共2页，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线
的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
15． 或
【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和
性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情
况讨论：①当 时，过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质得到
，证明 ，得到 ，即可求出 的长；②当
时，过点 作 交 于点 ，由等角对等边得到 ，
再证明 ，设 ，进而得出 ， ，根据
求出 的值，即可求出 的长；③当 时，利用锐
角三角函数，得出 ， ，即此种情况不存在；④当
时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．
【详解】解： ，
，
，
，
答案第6页，共2页，
若 为“反直角三角形”，
①当 时，过点 作 于点 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
；
②当 时，过点 作 交 于点 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
答案第7页，共2页设 ，则 ，
，
， ，
，
，
；
③当 时，
， ，且 ，
，
，
若 ，则 ，即 ，
此种情况不存在；
④当 时，
当点 与点 重合时， 最小，此时 ，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
16．（1）0；（2）1
【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；
（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．
【详解】解：（1）
；
（2）
答案第8页，共2页．
【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多
项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
17．(1)7.5；8；
(2)见解析
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解
题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可；
（2）可以根据众数和中位数做决策．
【详解】（1）解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统
计图可得中位数 ；
八年级得分为8分的人数最多为23人，
∴众数 ；
八年级的得分优秀率为： ，
故答案为：7.5；8； ；
（2）解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数
和众数都高于七年级．
18．(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把 的坐标为 代入反比例函数 即可得到答案；
（2）求解 ，证明 ，求解 ，如图，连接 ，
旋转到 的位置；可得 ，结合 的对应点 在 的图象上，可
得 ，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函数
答案第9页，共2页的图象经过点 ．
∴ ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵含 角的三角板 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
如图，连接 ， 旋转到 的位置；
∴ ，
∵ 的对应点 在 的图象上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函
数的应用，理解题意是解本题的关键.
19．(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上
知识是关键．
答案第10页，共2页（1）运用尺规作直径 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到 ， ，即 ，
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵ 是直径，
∴运用尺规作直径 的垂直平分线角 于点 ，
∴点 即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
20．(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元；
(2)该公司最少需花费 元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理
解题意正确列式是解题关键．
（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹
果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次
方程组求解即可；
答案第11页，共2页（2）设购买甲种苹果 箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求
出 的取值范围，设该公司需花费 元，得到 关于 的一次函数，求出最值即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元，
则 ，
解得： ，
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元；
（2）解：设购买甲种苹果 箱，则购买乙种苹果 箱，
则 ，
解得： ，
设该公司需花费 元，
则 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 有最小值为 ，
即该公司最少需花费 元．
21．(1)见解析；
(2)纪念碑 的高度为 ．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似
三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得 ，即可证明结论；
（2）令 与 的交点为 ，则四边形 和 是矩形，设 ，证明
，得到 ，求出 的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能
的原因即可．
【详解】（1）解： 太阳光下，其顶端 的影子落在点 处，同一时刻，竖直放置的标杆
答案第12页，共2页顶端 的影子落在点 处，
，
标杆的影子 的长和标杆 的长相等，即 ，
；
（2）解：如图，令 与 的交点为 ，
则四边形 和 是矩形，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
答：纪念碑 的高度为 ．
（3）解：纪念碑的实际高度为 ，小红求出纪念碑 的高度约为 ，（2）中纪
念碑 的高度为 ，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑 位于有台阶的平台 上，点 的位置无法正确定位，使得 的长存
答案第13页，共2页在误差，影响计算结果．
22．(1)
(2) ；见解析
(3) 或
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）分两种情况解答，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解： ，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
画出函数图象，如图，
答案第14页，共2页（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为 ，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线 ，
当平移后抛物线的对称轴在直线 左侧时，此时最小值为 ， ，即 ，
当 时，取得最大值，最大值为 ，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
当平移后抛物线对称轴在直线 右侧时，此时最小值为 ， ，即 ，
答案第15页，共2页当 时，取得最大值，最大值为 ，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
综上所述，n的值为 或 ．
23．(1)
(2)图见解析；不成立， ，证明见解析
(3) 或 ．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的
判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图，过点C作 于点P，由角平分线的性质定理可得 ，再证明
可得 ，然后说明四边形 是矩形可得 ，最后
根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，过点C作 于点Q，由角平分线的性质定理可得 ，再证明
可得 ，然后说明四边形 是矩形可得 ，最后根
据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）分 和 分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三
角形的判定与性质、勾股定理解答即可．
答案第16页，共2页【详解】（1）解：如图，过点C作 于点P，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：不成立， ，证明如下：
如图，过点C作 于点Q，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
答案第17页，共2页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
（3）解：①如图：当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图：当 时，
答案第18页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上， 的值为 或 ．
答案第19页，共2页
