文档内容
2025 年内蒙古自治区初中学业水平考试
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分100分．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利 元记作 元，则亏损 元应
记作（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
2．下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页4．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以
原点 为位似中心，在第三象限画 与 位似，若 与 的相似比
为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ， 是 边的中点，连
接 ，且 ， ，则该草坪的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 ，以点 为圆心，适
当长为半径画弧．交射线 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于
的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在 的内部相交于点 ，画射线
交 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．在闭合电路中，通过定值电阻的电流 （单位：A）是它两端的电压 （单位： ）的
试卷第2页，共3页正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为 时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则下列结论一定正确
的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分）
9．在单词 （班级）中随机选择一个字母，则选中字母“ ”的概率是 ．
10．冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3
个山楂，则穿 根大串和 根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
11．如图，因地形原因，湖泊两端 ， 的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行
测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面 的点 处．从 点测得 点的俯角为 ，
测得 点的俯角为 （ ， ， 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 ， 的距离为
（结果保留根号）．
12．如图，在菱形 中， ，对角线 的长为 ， 是 的中点， 是
试卷第3页，共3页上一点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．计算：
(1) ；
(2) ．
14．每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学
生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5
组，得到如下的频数分布表：
A B C D E
分组
人数（频数） 2 8 14 12 4
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)这40名学生视力的中位数落在哪个组内?
(2)该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在 范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在 范围内的人数为263人．
如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在 范围内的人
数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．
15．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手
能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状
态下，该机器人的每一个机械手平均 秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒
采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
试卷第4页，共3页(1)求 的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4
个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果
个数不少于10000个?
16．如图， 是 的直径，半径 ，垂足为 ， ， 是 延长线上一点，
连接 ，交 于点 ，连接 ， ．过点 作 的切线，切点为 ，交
的延长线于点 ．
(1)求 的长；
(2)求 的度数；
(3)求 的值．
17．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 ，中间的矩形 和下方
的抛物线 组成．抛物线 的高度为 ，矩形 的边 ， ，抛物线
试卷第5页，共3页的高度为 ．在装置内部安装矩形电子显示屏 ，点 ， 在抛物线 上，点
， 在抛物线 上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形 的顶点 为原点，以 边所在的直线为 轴，以 边所在
的直线为 轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出 ， ， 三点的坐标；
(2)直接写出抛物线 和 的顶点坐标，并分别求出抛物线 和 的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏 的空间要求，需要 边的长为 ，求此时 边的长．
18．如图， 是一个平行四边形纸片， 是一条对角线， ， ．
试卷第6页，共3页(1)如图1，将平行四边形纸片 沿 折叠，点 的对应点落在点 处， 交 于
点 ．
①试猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②求 的面积；
(2)如图2，点 ， 分别在平行四边形纸片 的 ， 边上，连接 ，且
，将平行四边形纸片 沿 折叠，使点 的对应点 落在 边上，求
的长．
试卷第7页，共3页1．B
【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其
符号表示即可．
【详解】解：若盈利 元记作 元，则亏损应用负数表示，
亏损 元应记作 元，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个
图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中
心对称图形．
根据中心对称图形的定义即可判断．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元
一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组 的解集在数轴上表示是：
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的
答案第1页，共2页关键．利用相似比为 ， ，直接利用相似比可得出坐标．
【详解】解：∵ 与 位似，相似比为 ，
∴ ，
∵ ，位似中心为原点 ，
∴ ，
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到
，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵ 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ 是 边的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴矩形 的面积为 ，
故选：C
6．D
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的
性质是解题的关键．由作图可知 ，结合 ，求出
，再利用平行线的性质即可求解，
【详解】解：由作图可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第2页，共2页故选：D．
7．A
【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
通过待定系数法求出电流 关于电压 的函数解析式，再将 代入函数解析式即可求
解．
【详解】解：由题意得设电流 关于电压 的函数解析式为： ，
由图象可代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
当 ，则
故选：A．
8．D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数 的性质，分情况讨论 的取值范围，比较 和 的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数 的图象上，在各个象限内， 随 的增大而增大，且
第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵ ，
当 时，即 时，
则 ，
当 时，即 时，
则 ，
当 时，即 时，
则 ，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
答案第3页，共2页9．
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件 出现 种可能，那么事件 的概率 ．
利用简单事件的概率计算公式即可得．
【详解】解：单词 中字母“ ”有2个，单词 中总共有5个字母，
∴选中字母“ ”的概率 ，
故答案为： ．
10． ##
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计
算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿 根大串和
根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为： ，
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握
特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点 作 于点 ，则
，求出 ， ，利用 ，得出
， ，相加即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ， ，
答案第4页，共2页∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质
与判定是解题的关键．连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用四边形
是菱形，得出 ， ， ，得出
， ，即可证明 ，即可计算出 ， ，
求出 ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
答案第5页，共2页∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟
练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可；
（2）利用分式的乘法的运算法则化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．(1) 组
(2)①200人；②合理即可
【分析】本题考查了频数分布表，中位数，用样本估计总体等知识点，正确理解题意是解
题的关键．
（1）由中位数的意义即可求解；
（2）①用样本估计总体的方法即可求解；②比较数据发现今年学生视力在 范
围内的人数相比去年减少，然后提出合理性的建议即可．
答案第6页，共2页【详解】（1）解：∵随机抽取了40名学生，
∴中位数为第 名学生的视力的平均数，
由频数分布表可得第 名学生在 组，
∴这40名学生视力的中位数落在 组；
（2）解：①由题意得， （人）
答：500名八年级学生的视力在 范围内有200人；
②因为 ，
所以今年学生视力在 范围内的人数相比去年减少，
建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均
衡；③减少电子产品的使用（合理即可）．
15．(1)8
(2)至少需要6个这样的机器人
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建
立分式方程求解即可；
（2）设需要 个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次
不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴ 的值为8；
（2）解：1小时 ，
设需要 个这样的机器人，
由题意得： ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
答案第7页，共2页16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角
形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含 角的直角三角形的性质，
三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键．
（1）连接 ，判定 是等边三角形，得出 ，利用弧长公式求解即可；
（2）利用 ，求出 ，再利用 ，等边对等角即
可求解；
（3）连接 ， 求出 ，即可得 ，利用 是 的切线，求
出 ， ，证明 ，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
在 中， ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 的长 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
答案第8页，共2页∴ ；
（3）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
17．(1) ， ，
(2)抛物线 和 的顶点坐标分别为 ， ， 的表达式为 ；
的表达式为 ；
(3)
【分析】（1）由矩形 性质可得 ， ， ，
，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线 于 ，交抛物线 于
答案第9页，共2页，交矩形 于 ， ，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线 是抛物线 和
的对称轴， ， ，由矩形 中 ，抛
物线 的高度为 ，抛物线 的高度为 ，直线 是抛物线 和 的对称轴，即可
得出抛物线 和 的顶点坐标分别为 ， ，分别设抛物线 和 的表达式
为 ， ，分别将将 和 代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出 ， ，证明 轴，设
，则 ， ，则 ，
求得 ，由抛物线对称性可得 ．
【详解】（1）解：∵矩形 的边 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线 于 ，交抛物线 于 ，交矩形 于 ， ，
答案第10页，共2页结合矩形和抛物线的对称性，可得直线 是抛物线 和 的对称轴，
， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵抛物线 的高度为 ，抛物线 的高度为 ，直线 是抛物线 和 的对称轴，
∴ ， ，
∴抛物线 和 的顶点坐标分别为 ， ，
分别设抛物线 和 的表达式为 ， ，
将 代入 ，
解得 ，
则抛物线 的表达式为 ；
将 代入 ，
解得 ；
则抛物线 的表达式为 ；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∵ 是矩形，
∴ ，
∴ 轴，
∴ ，
答案第11页，共2页设 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 （在对称轴右侧，舍），
∴ ，
由抛物线对称性可得 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数
法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
18．(1)① ，理由略；②
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三
角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）①由翻折得 ， ，利用四边形 是平行四边形，可证明
， ，再证明 ，即可求证；
②由 ，得 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，利用等腰三角形性质得 ，求出
，可得 ，利用勾股定理求出
，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，由翻
折的性质得 ，同（2）可得 ，利用
答案第12页，共2页，求出 ，可得 ，证明
，得出 ，求出 ，证明
，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①由翻折得 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
②由 ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答案第13页，共2页（2）解：过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，
由翻折的性质得 ，
同（2）可得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
得 ，
∴ ，
∵平行四边形 中， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
答案第14页，共2页解得： ．
答案第15页，共2页
