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2025 年上海市初中学业水平考试
数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用代数式表示 与 差的平方，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图
所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85
5．在正方形 中， 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．在锐角三角形 中， ， ， 的外接圆为 ，且半径为5，边
中点为 ，如果以 为圆心的圆与 相交，那么 的半径可以为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
试卷第1页，共3页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．分解因式： ．
8．不等式组 的解集为 ．
9．已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 ．
10．已知一个反比例函数在各个象限内， 随 的增大而减小，那么这个反比例函数的解
析式可以是 ．（只需写出一个）
11．方程 的解为 ．
12．将函数 的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ．
13．小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1．2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，
6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率
都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ．
14．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段
）的竖直高度2.7米，某人（线段 ）身高为1.8米，扫描仪测得 ，那么该
人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据： ， ，
，精确到 米）
15．为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，
调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出
租车离开的人数大约为 ．
试卷第2页，共3页16．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．
已知一皮秒等于 秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写
次（科学记数法表示）．
17．在矩形 中， 在边 上， 关于直线 的对称点为 ，联结 ， ，如
果四边形 是菱形，那么 的值为 ．
18．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内
接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算： ．
20．解方程： ．
21．已知学校热水器有一个可以储200升（ ）水的储水装置，且水在装满储水装置时会
自动停止，如图所示为储水量 与加水时间 的关系，已知温度 （单位： ）与 的关系
为： ．
(1)求 关于 的函数解析式并写出定义域；
(2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？
22．小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
试卷第3页，共3页(1)如图（1）所示，在梯形 中， ， ．设 为边 中点，将
绕点 旋转 ，点 旋转至点 的位置，得到的 是等腰三角形，其中
，设 ，求边 的长（用 表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形 中， ，且 ， ．请设计一
种方案，用一条或两条直线将梯形 分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运
动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直
线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言： 为边 中点， 是梯形 的
顶点）．
23．如图，已知 ， 为 中的两弦，联结 ， 交弦 于点 ， ，且
．
(1)求证： ；
(2)如果 ，求证： ．
24．在平面直角坐标系中，抛物线 过 ， ，与 轴交于点 ，顶
点为 ．
(1)求 ， 的值．
(2)设抛物线 过点 ， ，且与 轴交于点 ，顶点为 ．
试卷第4页，共3页①求 的值；
②当四边形 是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
25．在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 上两点．
(1)当 是边 中点时，
①如图（1），联结 ，如果 ，求证： ；
②如图（2），如果 ，联结 ， 交边 于点 ，求 的值；
(2)如图（3）所示，联结 ， ，如果 ， ， ，
．求 的长．
试卷第5页，共3页1．A
【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；
逐一验证各选项的正确性即可．
【详解】解：A： ，合并同类项时，系数相加，字母部分不变， 的系数为
1，故 ，结果为 ，计算正确；
B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为 ，而非 ，计算错误；
C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ，结果应为 ，而非 ，计算错误；
D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘； ，结果应为 ，而非 ，计算错误；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”
指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即 ．
【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示 的平方减去 的平方，而非差的平
方，错误，不符合题意；
B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意；
C. ：仅对 平方后减去 ，未对差整体平方，错误，不符合题意；
D. ：表示 减去 的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如 （ 为常数且 ）的函数是正比例
函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可．
【详解】解：A： ，该函数含常数项“ ”，不符合正比例函数 的形式，
不符合题意；
答案第1页，共2页B： ，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C： ，该函数可写为 ，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D： ，该函数可化简为 ，符合 （ ）的形式，是正比例函数，符合
题意；
故答案为：D．
4．D
【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据
按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，
按照这两个概念进行求解即可．
【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中
间的两个数是第30与31个数，而 ，故中位数是 ；故只有
选项D正确；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向
量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可．
【详解】解：设正方形边长为 ，由勾股定理得： ；在正方形
中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量 ，即 ；
∴ ．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相
交的条件是关键；根据题意，等腰 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股
定理求得 ；当 与 相交时，圆心距需满足条件 ，代入数值求
答案第2页，共2页解r的范围，进而确定选项．
【详解】解：如图，连接 并延长交 于点E，
∵ ，D为 中点，
∴ ， ；
∵锐角三角形 中， ，
∴外接圆心O在 上，
连接 ，由勾股定理得： ；
设以D为圆心的圆的半径为 ， 相交应满足： ，
即 ，解得： ；
在此范围的半径只有选项B；
故选：B．
7．
【分析】原式提取ab进行分解即可．
【详解】解：原式=
故答案为：
【点睛】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的提公因式方法是解本题的关
键．
8．
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，
即为不等式组的解集．
【详解】解：
答案第3页，共2页由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ；
故答案为： ．
9．
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到 ，进行求解即可．熟练掌
握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
10． （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数
大于0，据此可得答案．
【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内， 随 的增大而减小，
∴该反比例函数的比例系数大于0，
∴符合题意的反比例函数解析式可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
答案第4页，共2页12．
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则
即可求解．
【详解】解：∵函数 的图像向下平移2个单位，
∴平移后的新函数的解析式为 ；
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌
上的数字相同的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案．
【详解】解：∵小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相
同，
∴小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点 作 于点 ，由题意，得
，线段的和差求出 的长，解 ，求出 的长即可．添加辅助线构
造直角三角形，是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，则： 米，
∵ 米，
∴ 米，
答案第5页，共2页在 中， ，
∴ 米；
故答案为： ．
15．1800人
【分析】本题考查利用样本估计总体，扇形统计图，根据扇形统计图求出样本中当地每天
乘坐出租车离开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可．
【详解】解： （万人） （人）；
故答案为：1800人．
16．
【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于 皮秒，再由该器件执
行一次擦写需要400皮秒列式求解即可．
【详解】解： ，
∴该器件一秒可以擦写 次，
故答案为： ．
17． ##
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称
的性质可得 ，设 ，则 ，由菱形的性质得到
，证明 ，利用勾股定理可得 ，据此可得答案．
【详解】解；∵ 关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
设 ，则 ，
答案第6页，共2页∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18． 或
【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如 ，
弦为 时，此时 恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在
圆外部时，即 交 的两边，截取的两条弦为 时，进行求解即可．
【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如 交 的两边，截取的两条弦为
，此时 恰好是正五边形的一个内角，
∴ ；
当角的顶点在圆外部，即 交 的两边，截取的两条弦为 时，
则： ，
∴ ，
∴ ；
答案第7页，共2页综上：这个角的大小是 或 ；
故答案为： 或 ．
19．
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分
母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
20．
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验
即可得到答案．
【详解】解：
方差两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
检验，当 时， ，此时 是原方程的增根，
当 时， ，此时 是原方程的解，
∴原方程的解为 ．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式
答案第8页，共2页是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出
定义域；
（2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：设 关于 的函数解析式为 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
∴ 关于 的函数解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解；由（1）可得当 时， ，
∴加满水时， ，
∴
答：当水加满时，储水装置内水的温度为 ．
22．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识；
（1）过点D作 于H，则由等腰三角形的性质得 ；证明四边形
是矩形，则有 ；再由旋转知 ，则可求得 的长，最后求得结果；
（2）连接 ，把 通过平移变换，再轴对称变换得到 ，则 为满足条
件的等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，过点D作 于H，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
答案第9页，共2页∴四边形 是矩形，
∴ ；
由旋转知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图（2），连接 ，把 沿 平移使M与P对应，得到 ；
再把 沿 对折，得到 ，H与N是对应点，则 是等腰三角形，其中两
腰分别为 ，点N、Q分别是梯形的顶点．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三
角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，由等边对等角得到 ，利用 证明 ，
得到 ，证明 ，得到 ，则可证明 ；
（2）连接 ，由 ，得到 ， ，证明
答案第10页，共2页，得到 ，则可证明 ，进而证明
，推出 ；再证明 ，得到 ，则可
证明 ．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
答案第11页，共2页∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
由（1）可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．(1)
(2)①3；② 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把抛物线 的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把
答案第12页，共2页点A和点B坐标代入 中可得抛物线 的解析式为
，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出 即可得到
答案；
②可证明 轴，即 ，则当四边形 是直角梯形时，只有 或
，据此画出对应的示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①由（1）得抛物线 得解析式为 ，
∴点P的坐标为 ，
在 中，当 时， ，
∴点C的坐标为 ；
∵抛物线 过点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
在 中，当 时， ，
答案第13页，共2页当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ 轴，即 ，
∴当四边形 是直角梯形时，只有 或 ，
如图2-1所示，当 时，
∵点C的坐标为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第14页，共2页∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
如图2-2所示，当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，过点Q作 轴于H，则 ，
∴ ，
答案第15页，共2页在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
综上所述，当四边形 是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数
与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①延长 交于H，可证明 ，得到
，则可证明 ，得到 ，则 ；
②如图所示，延长 交于M，由平行四边形的性质得到 ， ，证明
， ，得到 ， ，则
；设 ，则 ， ，进而
可得 ，即可得到 ；可证明 ，
，设 ，则 ，则 ，据此可得答案；
（2）延长 交于M，由平行四边形的性质可得 ， ，证明
， ，再证明 ，得到 ，求
出 ，设 ，则由相似三角形的性质可得 ，
，进而可得 ；再由 ，得到
答案第16页，共2页，则 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示，延长 交于H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，延长 交于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
答案第17页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解；如图所示，延长 交于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答案第18页，共2页∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性
质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解
题的关键．
答案第19页，共2页
