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第 8 讲 一元二次方程
第一部分：知识点梳理
知识点一：一元二次方程的概念
1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c = 0(a≠0)
其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：最高次项的系数a≠0.
【判断一元二次方程的条件】
①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③整式方程.
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的
解也叫做一元二次方程的根。
知识点二：一元二次方程的解法
1.直接开平方法：适合以下形式的方程：
① ② ③
2.配方法：
（1）化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程左边分解因式，整理成 的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3.公式法：
（1）把方程化为一般形式，即 ； （2）求出判别式 的值；
（3）若当 时，用求根公式 求出方程的解．
4.因式分解法：
（1）基本思想是把方程化成 的形式，可得 或 ．
（2）步骤：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可.
第 1 页 共 11 页知识点三：一元二次方程根的判别式
1.根的判别式：一元二次方程 是否有实数根，由判别式 的符号决定.
2.根的判别式与根的情况的关系
当Δ=b2 -4ac＞0时,方程有两个不相等实数根.
当Δ=b2 -4ac＝0时,方程有两个相等的实数根.
当Δ=b2 -4ac＜0时,方程没有的实数根.
★特别地，当Δ=b2 -4ac≥0时，方程有两个实数根（方程有实数根）
知识点四：根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的两个根为
x
1
,x
2，（前提是Δ=b2 -4ac≥0）
b c
x +x =− x ⋅x =
1 2 a 1 2 a
则 和 与系数a，b，c之间有如下关系： ，
常用变形：
1 1 x +x
1 2
+ =
x2 +x2 =(x +x ) 2 −2x x x x x x
1 2 1 2 1 2 ； 1 2 1 2 ； ；
知识点五：利用一元二次方程解决实际问题
1.列方程解应用题步骤：即审、设、列、解、验、答六步．
2.一元二次方程应用题的等量关系：
（1）传染问题：a (1+x)n=b
（2）变化率(增长率)问题：a (1±x)n=b （+代表增长，-代表下降）
（3）单循环问题： 每两个队之间比赛一场，每两人握手一次
双循环问题： 每两个队之间比赛两场，每两人互送礼物或贺卡
（4）利润问题：总利润=单件利润×销量； 单件利润=售价-进价； 利润率= ×100％．
1
（5）面积问题：长方形面积=长×宽，三角形面积= ×底×高，
2
如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积可通过平移转化为
图2的形式，则面积= ．
第 2 页 共 11 页第二部分：考点突破
考点1一元二次方程的相关概念
1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则
的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
2．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则
m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
4．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
5．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
6．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值
为（ ）
A． B． C．1 D．4
7．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的
值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
9．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
第 3 页 共 11 页A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
10．（2025·四川广安·中考真题）已知方程 的两根分别为 和 ，则代数式 的值
为 ．
11．（2025·四川成都·中考真题）从 ，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一
元二次方程 有实数根的概率为 ．
12．（2025·四川达州·中考真题）已知关于 的方程 的一个根是 ，则 的值为 ．
13．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程 的一个解为 ，则 ．
14．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程 的一个根，则 的值为
．
15．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程 的一个根为1，则 ．
16．（2025·上海·中考真题）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是
．
17．（2025·山东·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是 ．
18．（2025·山东东营·中考真题）若关于 的方程 无实根，则 的取值范围是
．
考点2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
19．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ， ，则点
在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
20．（2025·广西·中考真题）已知 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C．20 D．25
第 4 页 共 11 页21．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数 是关于x的方程 的两个
根，若 ，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
22．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程 的两个实数根为 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
24．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程 无实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程 的两根为 ，则 的值为
．
26．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程 的两个解，则 的值为
．
27．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为
．
28．（2024·四川成都·中考真题）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
值为 ．
29．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
第 5 页 共 11 页．
30．（2025·江苏苏州·中考真题）已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，其中
，则 ．
31．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
．
32．（2024·青海西宁·中考真题）已知方程 的两根分别为a和b，则 的值为
．
考点3一元二次方程的解法
33．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程： ．
34．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
35．（2023·广东广州·中考真题）解方程： ．
36．（2025·四川南充·中考真题）设 ， 是关于 的方程 的两根．
(1)当 时，求 及m的值．
(2)求证： ．
第 6 页 共 11 页37．（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程．
(1) ；
(2) ．
38．（24-25九年级上·广西钦州·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
考点4一元二次方程的应用
39．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四
步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的
长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为 步，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．2
40．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：
“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，
其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
41．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某
公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月
产值的月均增长率为 ，可列出的方程为（ ）
A. B.
第 7 页 共 11 页C. D.
42．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的
平均增长率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
43．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产
．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A. B.
C. D.
44．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024
年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
45．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们
喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车
一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
46．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边
都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长
为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
第 8 页 共 11 页47．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和 长的围
栏围成一个面积为 的矩形场地．设矩形的宽为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
48．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长
）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则
长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
49．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产
钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
50．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长 ，宽 的矩形场地 上，修建
一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 的道路，中间是宽 的道路．如果阴影部
分的总面积是 ，那么x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
第 9 页 共 11 页51．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展
开图．若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．
52．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四
个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形 的面积等
于四边形 面积的2倍，则 ．
53．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投
入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
54．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款
文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发
现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润
是多少？
第 10 页 共 11 页55．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 （如图），生
态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用 的篱笆围成．生态园的面积能否为 ？如果能，请求出
的长；如果不能，请说明理由．
56．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长 、宽 的矩形种植园．为了方便耕作管理，
在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为 的9个
矩形地块，请你求出小路的宽度．
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