文档内容
第 9 讲 平面直角坐标系与函数基础
第一部分：知识点梳理
知识点1 平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
知识点2 点的坐标特征
1.点的坐标的概念
点的坐标用（x，y）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号“，”隔开.
2.坐标轴上的点的特征
若点P(x,y)在x轴上，则纵坐标 y=0 【例】点A(2,0)在x轴上，点B(0,-3)在y轴上.
若点P(x,y)在y轴上，则横坐标x=0
3.坐标变换规律 (轴对称与中心对称)：已知点P(x,y)
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 （ x ， - y ） ；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标 （ - x ， y ） ．
（3）点P关于原点的对称点为 （ - x ， - y ） ．
可结合坐标系的图象进行推导 （口诀“关于谁，谁不变，关于原点都改变”）
4.点到坐标轴及原点的距离：已知点P(x,y)
|y|
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
|x|
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
√x 2 +y 2
3）点P(x,y)到原点的距离等于
（
5.坐标系中常用的公式（★★★）
（1）中点公式：若 、 ，则AB中点C坐标为： ；
（2）两点间的距离公式：已知两点： 、 ，则 ．
6.点的平移特征：
不用记公式，根据在坐标系画图，即可得到。
【例】把点A(2，3)向右平移5个单位得到(7，3)； 把点A(2，3)向下平移5个单位得到(2，-2).
第 1 页 共 17 页知识点3 函数的有关概念
1.变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
2.函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，
那么就说x是自变量，(y为因变量), y是x的函数。
知识点4 函数解析式及表示方法
1.函数的解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，
叫做自变量的取值范围。
2.函数自变量的取值范围：（★★★）
①整式：自变量的取值范围是全体实数
②分式：自变量的取值要使得分母不为0 (分母≠0)
③二次根式：自变量的取值要使得被开方数为非负数 (被开方数≥0)
3. 画函数图象的一般步骤：
（1）列表：列表得出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
4.函数图象上点的坐标与解析式之间的关系：
（1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
（2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
5.函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析式法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做解析法。
（2）列表法：把自变量x的一系列值和因变量y的对应值列成表格来表示函数关系，叫做列表法。
（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
优点 缺点
准确反映整个变化过程中自变量与 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
解析法
函数的关系 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
自变量和与它对应的函数值数据一 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
列表法
目了然 与函数值的对应关系，有局限性
形象的把自变量和函数值的关系表 从图象中只能得到近似的数量关系
图象法
示出来
第 2 页 共 17 页第二部分：考点突破
考点1坐标系的相关概念
1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 边在
轴上． ．若将正方形 绕点 逆时针旋转 ．得到正方形 ．则点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，
哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一
行第一列瓷砖的位置记为 ，其右边瓷砖的位置记为 ，其上面瓷砖的位置记为 ，按照这样的
规律，下列说法正确的是（ ）
A． 位置是B种瓷砖 B． 位置是B种瓷砖
C． 位置是A种瓷砖 D． 位置是B种瓷砖
4．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第 3 页 共 17 页5．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点 在第三象限，则 的取值范围是
．
6．（2025·四川泸州·中考真题）若点 在第一象限，则 的取值范围是 ．
7．（2025·四川德阳·中考真题） 在平面直角坐标系中，已知 ， ，如果 的面积
为 ，那么点 的坐标可以是 ．（只需写出一个即可）
8．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：若 上存在两
个不同的点 ， ，对于 上任意满足 的两个不同的点 ， ，都有 ，则称
点 是 的关联点，称 的大小为点 与 的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝
角或平角）
(1)如图， 的半径为 ．
①在点 ， ， 中，点_______是 的关联点且其与 的关联角度小于 ，该
点与 的关联角度为 ；
②点 在第一象限，若对于任意长度小于 的线段 ， 上所有的点都是 的关联点，则 的
最小值为_______；
(2)已知点 ， 经过原点，线段 上所有的点都是 的关联点，记这些点与
的关联角度的最大值为 ．若 ，直接写出 的取值范围．
9．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图
纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于 两点，
其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
(1)写出 两点的坐标；
(2)求叶瓣①的周长；（结果保留 ）
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
第 4 页 共 17 页考点2函数自变量的取值范围
10．（2021·江苏无锡·中考真题）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·四川眉山·中考真题）函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D．
12．（2020·湖北恩施·中考真题）函数 的自变量的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
13．（2024·四川巴中·中考真题）函数 自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·上海·中考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·黑龙江·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
16．（2021·湖南怀化·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
18．（2024·四川内江·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ；
考点3函数的相关概念
19．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开
第 5 页 共 17 页始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
20．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在
电解水的过程中，生成物氢气的质量 与分解的水的质量 满足我们学过的某种函数关系．下表是
一组实验数据，根据表中数据， 与 之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
21．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量 随
时间 的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
22．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思
设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七
张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每
第 6 页 共 17 页张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·辽宁大连·中考）汽车油箱中有汽油 ，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随
行驶路程x（单位： ）的增加而减少，平均耗油量为 ．当 时，y与x的函数解析式
是（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为
．
25．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买
的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买
了 千克糯米；设某人的付款金额为 元，购买量为 千克，则购买量 关于付款金额 的
函数解析式为 ．
26．（2022·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 三
者之间的关系： ，测得数据如下：
100 200 220 400
2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 时，电流 A．
考点4函数的图象与性质
27．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量
与骑行里程 之间的关系如图．当电池剩余能量小于 时，摩托车将自动报警．根据
图象，下列结论正确的是（ ）
第 7 页 共 17 页A.电池能量最多可充 B.摩托车每行驶 消耗能量
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶 D.摩托车充满电后，行驶 将自动报警
28．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，
然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关
系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为
29．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．
如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路 向目的地B处运动．设 为x
（单位： ） 为y（单位： ）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点
，且经过 和 两点．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．点C的纵坐标为240 D．点 在该函数图象上
30．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车
速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数 与车速 之间的函数关系如图所示．下列说
法中错误的是（ ）
第 8 页 共 17 页A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不低于
D．若车速从 增大到 ，则这款轮胎的摩擦系数减小
31．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出
发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离 与行驶时间 之间的函数关系如图所示，下列结
论错误的是（ ）
A.两车出发 后相遇 B.A，B两地相距
C.快车比慢车早 到达目的地 D.快车的速度为 ，慢车的速度为
32．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从 地出发前往 地，在整个行程中，汽车离开 地的路
程 与时刻 之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A.乙车先到达 地 B. 、 两地相距
C.甲车的平均速度为 D.在 时，乙车追上甲车
33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，动点 从点 出发
沿边 匀速运动，运动到点 时停止，过点 作 的垂线 ，在点 运动过程中，垂线 扫过菱
形（即阴影部分）的面积为 ，点 运动的路程为 ．下列图象能反映 与 之间函数关系的是
（ ）
第 9 页 共 17 页A. B.
C. D.
34．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点．动
点P从点A出发，沿边 方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x， 的
面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
35．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 （厘米/天）和光照
强度 （勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（ ）内， 与 近似成一次函数关
系；在中高光照强度范围 内， 与 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，
下列结论正确的是（ ）
第 10 页 共 17 页A.当 时， 随 的增大而减小 B.当 时， 有最大值
C.当 时， D.当 时，
36．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（
）
A.小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B.小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C.小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D.小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
37．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从 地匀
速出发，甲健步走向 地．途中偶遇一位朋友，驻足交流 后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚
出发 ，跑步到达 地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的
距离 与甲出发的时间 之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；
②甲出发 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ；
④ ， 两地之间的距离是 ．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
38．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为
．两人前进路程s（单位： ）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象
信息，下列说法正确的是（ ）
第 11 页 共 17 页A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
39．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺
贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分
别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，
运动员通常会记录每行进 所用的时间，即“配速”（单位： ）．小华参加 的骑行比赛，
他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A.第 所用的时间最长 B.第 的平均速度最大
C.第 和第 的平均速度相同 D.前 的平均速度大于最后 的平均速度
41．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程 （米）与时间 （秒）的函数关
系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点：
第 12 页 共 17 页42．（2025·湖北·中考真题）如图1，在 中， ．动点P，Q均以
的速度从点 同时出发，点 沿折线 向点 运动，点 沿边CA向点 运动．当点 运
动到点 时，两点都停止运动． 的面积 （单位： ）与运动时间 （单位：s）的关系如图2所
示．（1） ；（2） ．
43．（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以 （米/分）的速度步行一段时
间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）
与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到
达时距会议开始还有 分钟．
44．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．
某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不
变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起
继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量 （件）与乙机器人工作时间 （分钟）之间的函数关系
如图所示．
(1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
(2)求 所在直线对应的函数表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
第 13 页 共 17 页45．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 ，公园离
家 ．小华从家出发，先匀速步行了 到书店，在书店停留了 ，之后匀速步行了 到
公园，在公园停留 后，再用 匀速跑步返回家．下面图中 表示时间， 表示离家的距离．图
象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间 1 6 18 50
小华离家的距离
②填空：小华从公园返回家的速度为____________ ；
③当 时，请直接写出小华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 的速度散步直接到公园．在从家到公园
的过程中，对于同一个 的值，小华离家的距离为 ，小华的妈妈离家的距离为 ，当 时，求
的取值范围（直接写出结果即可）．
46．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下
来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一
名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以
认为y是x的函数．当 和 时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不
变．
对于给定的T，在平面直角坐标系 中描出该T值下各数对 所对应的点，并根据变化趋势用平滑
曲线连接，得到曲线 ．当 和 时，曲线 ， 如图所示．
第 14 页 共 17 页(1)观察曲线 ，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出 时的曲线 ；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完
成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中
应安排小腾先进行_______日的模拟练习．
47．（2024·青海西宁·中考真题）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要
按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌
汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量 （单位： ）与充电时间 （单位： ）之
间的函数图象，其中折线 表示用快速充电器充电时 与 的函数关系；线段 表示用普通充电器
充电时 与 的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
(1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 充到70 需 ．
(2)求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
第 15 页 共 17 页(3)该品牌汽车电池电量从10 充到100 ，快速充电器比普通充电器少用 ．
48．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，
停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时
间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚 到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和
货车距各自出发地的距离y（单位： ）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回
答下列问题：
(1)图中a的值是_______，b的值是_______；
(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位： ）与行驶时间x（单位：h）之
间的函数解析式；
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 ．
49．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯 的正下方 处出发，先沿平路走到
处，再上坡到达 处．已知小明的身高为 m，他在道路上的影长 （单位：m）与行走的路程 （单
位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中， 是线段， 是曲线．
(1)结合 的位置，解释点 的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯 的高度是____________m．
(3)设 的坡角为 ．
①通过计算：比较线段 与线段 的倾斜程度．
②当 取不同的值时，下列关于曲线 的变化趋势的描述； 随 的增大而增大； 随 的增大
而减小； 随 的增大先增大后减小； 随 的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是
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